ЕГЭ Профиль №15. Показательные неравенства
15 заданием профильного ЕГЭ по математике является неравенство. Одним, из наиболее часто встречаемых неравенств, которое может оказаться в 15 задание, является показательное неравенство. Большая часть показательных неравенств предлагаемых на реальных экзаменах решается с помощью замен, методом интервалов или разложением на множители. Прежде чем решать показательные неравенства необходимо знать свойства показательной функции и уметь решать показательные уравнения (см. задание 13 профильного ЕГЭ « Показательные уравнения »). В данном разделе представлены показательные неравенства (всего 109) разбитые на два уровня сложности. Уровень А — это простейшие показательные неравенства, которые являются подготовительными для решения реальных показательных неравенств предлагаемых на ЕГЭ по профильной математике. Уровень В — состоит из неравенств, которые предлагали на реальных ЕГЭ и в диагностических работах прошлых лет.
Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике
Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике можно считать границей между «неплохо сдал ЕГЭ» и «поступил в вуз с профильной математикой». Здесь не обойтись без отличного знания алгебры. Потому что встретиться вам может любое неравенство: показательное, логарифмическое, комбинированное (например, логарифмы и тригонометрия). И еще бывают неравенства с модулем и иррациональные неравенства. Некоторые из них мы разберем в этой статье.
Хотите получить на Профильном ЕГЭ не менее 70 баллов? Учитесь решать неравенства!
Темы для повторения:
Разберем неравенства разных типов из вариантов ЕГЭ по математике.
Дробно-рациональные неравенства
1. Решите неравенство:
Решим неравенство относительно t методом интервалов:
Вернемся к переменной x:
Показательные неравенства
2. Решите неравенство
Сделаем замену Получим:
Умножим неравенство на
Дискриминант квадратного уравнения
Значит, корни этого уравнения:
Разложим квадратный трехчлен на множители.
. Вернемся к переменной x.
Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной x. Запомнили?
Следующая задача — с секретом. Да, такие тоже встречаются в вариантах ЕГЭ,
3. Решите неравенство
Сделаем замену Получим:
Вернемся к переменной
Первое неравенство решим легко: С неравенством тоже все просто. Но что делать с неравенством ? Ведь Представляете, как трудно будет выразить х?
Оценим Для этого рассмотрим функцию
Сначала оценим показатель степени. Пусть Это парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение этой функции достигается в вершине параболы, при х = 1. При этом
Мы получили, что
Тогда , и это значит, что Значение не достигается ни при каких х.
Логарифмические неравенства
4. Решите неравенство
Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Лучше всего оформлять решение неравенства именно так.
Следующее неравенство — комбинированное. И логарифмы, и тригонометрия!
5. Решите неравенство
А вот и метод замены множителя (рационализации). Смотрите, как он применяется. А на ЕГЭ не забудьте доказать формулы, по которым мы заменяем логарифмический множитель на алгебраический.
6. Решите неравенство:
Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что . Используем также условия
Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря,
Согласно методу замены множителя, выражение заменим на
Решить ее легко.
Разберем какое-нибудь нестандартное неравенство. Такое, что не решается обычными способами.
7. Решите неравенство:
Привести обе части к одному основанию не получается. Ищем другой способ.
Заметим, что при x = 9 оба слагаемых равны 2 и их сумма равна 4.
Функции и — монотонно возрастающие, следовательно, их сумма также является монотонно возрастающей функцией и каждое свое значение принимает только один раз.
Поскольку при x=9 значение монотонно возрастающей функции равно 4, при значения этой функции меньше 4. Конечно, при этом , то есть x принадлежит ОДЗ.
Задания по теме «Показательные неравенства»
Открытый банк заданий по теме показательные неравенства. Задания C3 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Задание №1193
Условие
Решите неравенство 3^<2x^2+7>+3^<(x+3)(x+1)>-4\cdot 3^<8x>\geqslant 0.
Решение
3^<2x^2+7>+3^
Ответ
(-\infty ; 1]\cup [3;+\infty ).
Задание №1192
Условие
Решите неравенство 3^<3x>-3^
Решение
3^<3x>-3^x\cdot 2^<2x>\cdot 3+3^<2x>\cdot 2^x-3\cdot 2^ <3x>\geqslant 0.
Разделим обе части неравенства на 2^<3x>, 2^ <3x>\neq 0, 2^<3x>>0, неравенство примет вид \frac<3^<3x>><2^<3x>>-\frac<3^x\cdot 2^<2x>\cdot 3><2^<3x>>\,\,\,+ \frac<3^<2x>\cdot 2^x><2^<3x>>-\frac<3\cdot 2^<3x>><2^<3x>>\geqslant 0,
\left( \frac32\right) ^<3x>-3\cdot \left( \frac32\right) ^x+\left( \frac32\right) ^<2x>-3\geqslant 0, введем обозначение \left( \frac32\right) ^x=t, t>0.
t\in[-\sqrt 3;-1]\cup [\sqrt 3;+\infty ), но t>0, следовательно, решением неравенства t^3+t^2-3t-3\geqslant 0 является t\in[\sqrt 3;+\infty ).
\left( \frac32\right) ^x=t, тогда \left( \frac32\right) ^x\geqslant \sqrt 3.
Ответ
Задание №990
Условие
Решите неравенство 7^<2x>-7^
Решение
Введём обозначение 7^x=t,\, t > 0. Неравенство примет вид t^<2>-7t+3|t-5| \geq 6.
\left[\!\!\begin
\left[\!\!\begin
\left[\!\!\begin
1) 0
2) 7^
Значит, объединением решений будут промежутки (-\infty ;0] и [1;+\infty ).
Ответ
Задание №988
Условие
Решение
С помощью замены 5^
Выделим целую часть в каждом слагаемом:
После приведения к общему знаменателю и упрощению получим:
Решим неравенство методом интервалов
С учётом условия t > 0, получим
Возвращаясь к переменной x , получим, что 5^
Ответ
(-\infty;0)\,\cup \left (\log_<5>\frac<3><2>; \log_<5>\frac<5><2>\right )\,\cup \left (\log_<5>\frac<7><2>; \log_<5>4\right)
Задание №967
Условие
Решение
Обозначим 3^
\frac<3(t+3)t>
Так как при этом t+3 > 0 и t+2 > 0, то неравенство верно при t-1 то есть 0 Тогда 0
Ответ
Задание №228
Условие
Решите неравенство \left | 2^
Решение
Пусть \left | 2^
Используя метод интервалов, найдем решения неравенства с переменной t: t=5 или t > 6 . Отсюда \left | 2^
Пусть 2^
Далее \left[\!\!\begin
Для решения неравенства \left | a-3 \right | > 6 необходимо найти такие точки, расстояние от которых до точки 3 больше 6 . Справа от точки 3 расположена точка 9 на расстоянии 6 единиц, а слева — точка (-3). Поэтому из неравенства
\left | a-3\right | > 6 получаем a или a > 9 . Далее \left[\!\!\begin
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/zadanie-15-profilnogo-ege-po-matematike-neravenstva/
http://academyege.ru/theme/pokazatelnye-neravenstva.html