Производная
Теория к заданию 7 из ЕГЭ по математике (профильной)
Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:
Дифференцированием называют операцию нахождения производной.
Таблица производных некоторых элементарных функций
Функция | Производная |
$c$ | $0$ |
$x$ | $1$ |
$x^n$ | $nx^ |
$<1>/ | $-<1>/ |
$√x$ | $<1>/<2√x>$ |
$e^x$ | $e^x$ |
$lnx$ | $<1>/ |
$sinx$ | $cosx$ |
$cosx$ | $-sinx$ |
$tgx$ | $<1>/ |
$ctgx$ | $-<1>/ |
Основные правила дифференцирования
1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных
Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+<1>/
Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.
2. Производная произведения
Найти производную $f(x)=4x·cosx$
3. Производная частного
4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции
Физический смысл производной
Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.
Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?
1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции
$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$
2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:
Геометрический смысл производной
Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.
Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:
Следовательно, можем составить общее равенство:
На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k 0$
Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.
Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)
$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$
Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:
Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.
Решу егэ математика профиль производные уравнения
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.
Поскольку касательная параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. У данной функции производная равна нулю только в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 2 минимума, итого 4 экстремума. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней в 4 точках.
Задание №6. Производная. Поведение функции. Первообразная — профильный ЕГЭ по Математике
Необходимая теория:
Задание 6 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих встречаются вопросы о первообразной.
Геометрический смысл производной
Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.
Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.
1. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке
Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке .
Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:
2. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой
Найдите значение производной функции в точке
Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла , смежного с углом .
Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: Поскольку , имеем:
Касательная к графику функции
3. Прямая является касательной к графику функции
Найдите абсциссу точки касания.
Запишем условие касания функции и прямой в точке
При значения выражений и равны.
При этом производная функции равна угловому коэффициенту касательной, то есть .
Из второго уравнения находим или Первому уравнению удовлетворяет только .
Физический смысл производной
Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.
Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.
Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.
4. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.
Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета:
Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:
В момент времени получим:
Применение производной к исследованию функций
Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.
Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.
Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.
И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.
Если , то функция возрастает.
Если , то функция убывает.
В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».
В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
возрастает | точка максимума | убывает | точка минимума | возрастает |
0 | 0 |
5. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.
Производная функции в точках максимума и минимума функции Таких точек на графике 5.
6. На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?
Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?
Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.
На отрезке производная функции положительна.
Значит, функция возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.
7. На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой
Прямая параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.
8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек максимума функции на отрезке
Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке такая точка всего одна! Это
9. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите точку экстремума функции на отрезке
Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.
Значит, является точкой экстремума.
Первообразная и формула Ньютона-Лейбница
Функция , для которой является производной, называется первообразной функции Функции вида образуют множество первообразных функции
10. На рисунке изображён график — одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке
Функция для которой является производной, называется первообразной функции
Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку , в которых производная функции равна нулю. Это точки максимума и минимума функции На отрезке таких точек 4.
Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» — в этой статье
http://ege.sdamgia.ru/test?theme=68
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/zadanie-7-profilnogo-ege-po-matematike-proizvodnaya-povedenie-funkcii-pervoobraznaya/