ЕГЭ Профиль №15. Рациональные неравенства
15 заданием профильного ЕГЭ по математике является неравенство. Одним из видов неравенств которое может оказаться в 15 задание является рациональное неравенство. Прежде чем решать рациональные неравенства, следует научиться решать рациональные уравнения . Как правило, рациональное неравенство решается методом интервалов, который не требует каких-то специальных навыков, но при этом решение оказывается достаточно объемным и требует внимательности. Также не следует забывать про метод замен. Без умения решать рациональные неравенства невозможно будет научиться решать все остальные неравенства (показательные, логарифмические и т.д.). Поэтому изучение темы «Неравенства и системы неравенств» необходимо начинать именно с рациональных неравенств. В данном разделе представлены рациональные неравенства (всего 113) разбитые на два уровня сложности. Уровень А — это простейшие рациональные неравенства, которые являются подготовительными для решения реальных рациональных неравенств предлагаемых на экзамене. Уровень В — состоит из неравенств, которые предлагали на реальных ЕГЭ и в диагностических работах прошлых лет.
Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике
Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике можно считать границей между «неплохо сдал ЕГЭ» и «поступил в вуз с профильной математикой». Здесь не обойтись без отличного знания алгебры. Потому что встретиться вам может любое неравенство: показательное, логарифмическое, комбинированное (например, логарифмы и тригонометрия). И еще бывают неравенства с модулем и иррациональные неравенства. Некоторые из них мы разберем в этой статье.
Хотите получить на Профильном ЕГЭ не менее 70 баллов? Учитесь решать неравенства!
Темы для повторения:
Разберем неравенства разных типов из вариантов ЕГЭ по математике.
Дробно-рациональные неравенства
1. Решите неравенство:
Решим неравенство относительно t методом интервалов:
Вернемся к переменной x:
Показательные неравенства
2. Решите неравенство
Сделаем замену Получим:
Умножим неравенство на
Дискриминант квадратного уравнения
Значит, корни этого уравнения:
Разложим квадратный трехчлен на множители.
. Вернемся к переменной x.
Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной x. Запомнили?
Следующая задача — с секретом. Да, такие тоже встречаются в вариантах ЕГЭ,
3. Решите неравенство
Сделаем замену Получим:
Вернемся к переменной
Первое неравенство решим легко: С неравенством тоже все просто. Но что делать с неравенством ? Ведь Представляете, как трудно будет выразить х?
Оценим Для этого рассмотрим функцию
Сначала оценим показатель степени. Пусть Это парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение этой функции достигается в вершине параболы, при х = 1. При этом
Мы получили, что
Тогда , и это значит, что Значение не достигается ни при каких х.
Логарифмические неравенства
4. Решите неравенство
Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Лучше всего оформлять решение неравенства именно так.
Следующее неравенство — комбинированное. И логарифмы, и тригонометрия!
5. Решите неравенство
А вот и метод замены множителя (рационализации). Смотрите, как он применяется. А на ЕГЭ не забудьте доказать формулы, по которым мы заменяем логарифмический множитель на алгебраический.
6. Решите неравенство:
Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что . Используем также условия
Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря,
Согласно методу замены множителя, выражение заменим на
Решить ее легко.
Разберем какое-нибудь нестандартное неравенство. Такое, что не решается обычными способами.
7. Решите неравенство:
Привести обе части к одному основанию не получается. Ищем другой способ.
Заметим, что при x = 9 оба слагаемых равны 2 и их сумма равна 4.
Функции и — монотонно возрастающие, следовательно, их сумма также является монотонно возрастающей функцией и каждое свое значение принимает только один раз.
Поскольку при x=9 значение монотонно возрастающей функции равно 4, при значения этой функции меньше 4. Конечно, при этом , то есть x принадлежит ОДЗ.
Рациональные уравнения
Рациональное уравнение – это уравнение вида $f(x)=g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — рациональные выражения.
Рациональные выражения — это целые и дробные выражения, соединённые между собой знаками арифметических действий: деления, умножения, сложения или вычитания, возведения в целую степень и знаками последовательности этих выражений.
$<2>/
$3x+√x=7$ — иррациональное уравнение (содержит корень)
Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно рациональным.
Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:
- Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ);
- Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
- Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
- Решить получившееся целое уравнение;
- Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.
Решить уравнение: $4x+1-<3>/
1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения
3. решаем полученное уравнение
Решим вторым устным способом, т.к. $а+с=b$
4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю
В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
При решении уравнения с двумя дробями, можно использовать основное свойство пропорции.
Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
Воспользуемся основным свойством пропорции
Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой стороне
Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к. $a+b+c=0$
В первом пункте получилось, что при x = 0 уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/zadanie-15-profilnogo-ege-po-matematike-neravenstva/
http://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/racionalnye_uravneniya