Решу егэ уравнения и неравенства база

ЕГЭ Профиль №15. Показательные неравенства

15 заданием профильного ЕГЭ по математике является неравенство. Одним, из наиболее часто встречаемых неравенств, которое может оказаться в 15 задание, является показательное неравенство. Большая часть показательных неравенств предлагаемых на реальных экзаменах решается с помощью замен, методом интервалов или разложением на множители. Прежде чем решать показательные неравенства необходимо знать свойства показательной функции и уметь решать показательные уравнения (см. задание 13 профильного ЕГЭ « Показательные уравнения »). В данном разделе представлены показательные неравенства (всего 109) разбитые на два уровня сложности. Уровень А — это простейшие показательные неравенства, которые являются подготовительными для решения реальных показательных неравенств предлагаемых на ЕГЭ по профильной математике. Уровень В — состоит из неравенств, которые предлагали на реальных ЕГЭ и в диагностических работах прошлых лет.

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике можно считать границей между «неплохо сдал ЕГЭ» и «поступил в вуз с профильной математикой». Здесь не обойтись без отличного знания алгебры. Потому что встретиться вам может любое неравенство: показательное, логарифмическое, комбинированное (например, логарифмы и тригонометрия). И еще бывают неравенства с модулем и иррациональные неравенства. Некоторые из них мы разберем в этой статье.

Хотите получить на Профильном ЕГЭ не менее 70 баллов? Учитесь решать неравенства!

Темы для повторения:

Разберем неравенства разных типов из вариантов ЕГЭ по математике.

Дробно-рациональные неравенства

1. Решите неравенство:

Решим неравенство относительно t методом интервалов:

Вернемся к переменной x:

Показательные неравенства

2. Решите неравенство

Сделаем замену Получим:

Умножим неравенство на

Дискриминант квадратного уравнения

Значит, корни этого уравнения:

Разложим квадратный трехчлен на множители.

. Вернемся к переменной x.

Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной x. Запомнили?

Следующая задача — с секретом. Да, такие тоже встречаются в вариантах ЕГЭ,

3. Решите неравенство

Сделаем замену Получим:

Вернемся к переменной

Первое неравенство решим легко: С неравенством тоже все просто. Но что делать с неравенством ? Ведь Представляете, как трудно будет выразить х?

Оценим Для этого рассмотрим функцию

Сначала оценим показатель степени. Пусть Это парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение этой функции достигается в вершине параболы, при х = 1. При этом

Мы получили, что

Тогда , и это значит, что Значение не достигается ни при каких х.

Логарифмические неравенства

4. Решите неравенство

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Лучше всего оформлять решение неравенства именно так.

Следующее неравенство — комбинированное. И логарифмы, и тригонометрия!

5. Решите неравенство

А вот и метод замены множителя (рационализации). Смотрите, как он применяется. А на ЕГЭ не забудьте доказать формулы, по которым мы заменяем логарифмический множитель на алгебраический.

6. Решите неравенство:

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что . Используем также условия

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря,

Согласно методу замены множителя, выражение заменим на

Решить ее легко.

Разберем какое-нибудь нестандартное неравенство. Такое, что не решается обычными способами.

7. Решите неравенство:

Привести обе части к одному основанию не получается. Ищем другой способ.

Заметим, что при x = 9 оба слагаемых равны 2 и их сумма равна 4.

Функции и — монотонно возрастающие, следовательно, их сумма также является монотонно возрастающей функцией и каждое свое значение принимает только один раз.

Поскольку при x=9 значение монотонно возрастающей функции равно 4, при значения этой функции меньше 4. Конечно, при этом , то есть x принадлежит ОДЗ.

Задание №17 ЕГЭ по математике базового уровня

Неравенства и сравнения

В семнадцатом задании нам необходимо сравнить данные числа с положением на координатной прямой или решить и сопоставить решения неравенств с областью на прямой. В данном задании можно пользоваться правилом исключения, поэтому достаточно правильно определить три решения из четырех, выбирая в первую очередь простые. Итак, приступим к разбору 17 задания базового варианта ЕГЭ по математике.

Разбор типовых вариантов заданий №17 ЕГЭ по математике базового уровня

Вариант 17МБ1

Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

ТОЧКИ А В С D

ЧИСЛА 1) log₂ 10 2) 7/3 3) √26 4) (3/5) -1

Алгоритм выполнения:

Проанализировать рядом с каким из целых чисел стоит данная точка.
Проанализировать на каком интервале лежат числа из правого столбца.
Сравнить полученные интервалы и поставить в соответствие.

Решение:

Рассмотрим точку А. Ее значение больше 1 и меньше 2.
Рассмотрим точку B. Ее значение больше 2 и меньше 3.
Рассмотрим точку С. Ее значение больше 3 и меньше 4.
Рассмотрим точку D. Ее значение больше 5 и меньше 6.
Вспомним что такое логарифм.

Логарифм по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число x.

Вариант 17МБ2

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

РЕШЕНИЯ

Алгоритм выполнения:

Представить правые и левые части неравенств в виде степени одного и того же числа.
Сравнить степени, так как основания равны.
Поставить в соответствие предложенные интервалы.

Решение:

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Число 0,5 можно представить как , значит (0,5) x = (2 -1 ) x = 2 -x

Неравенство примет вид:

Основания степеней одинаковы, следовательно, степени соотносятся так же.

Если умножить и правую и левую часть неравенства на -1, то знак изменится на противоположный.

то есть, – вариант под номером 1.

Аналогично с вариантом Б.

Число 0,5 можно представить как , значит (0,5) x = (2 -1 ) x = 2 -x

Неравенство примет вид:

Основания степеней одинаковы, следовательно, степени соотносятся так же.

Если умножить и правую и левую часть неравенства на -1, то знак изменится на противоположный.

то есть, – вариант под номером 4.

Представим 4 в виде степени с основанием 2. 2 2 = 4.

Неравенство примет вид:

Основания степеней одинаковы, следовательно, степени соотносятся так же.

и – вариант под номером 3.

Вариант 17МБ3

Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.

ЧИСЛА

ОТРЕЗКИ

Алгоритм выполнения:

Найти промежутки в которых лежат числа m и n.
Оценить интервалы, в которых лежат выражения в левом столбце.
Поставить им в соответствие интервалы из правого столбца.

Решение:

Вариант 17МБ4

Рассмотрим первое неравенство:

представим 4 как 2 2 , тогда:

Остальные неравенства решаются аналогичным образом, достаточно вспомнить, что 0,5 = ½ = 2 -1 :

Ответ: А-4, Б-3, В-2, А-1.

Вариант 17МБ5

Каждому из четырех неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установить соответствие между неравенствами и их решениями.

Алгоритм выполнения

Решаем по очереди каждое из неравенств (А–Г). При необходимости (для наглядности) отображаем полученное решение на координатной прямой.
Записываем результаты в форме, которая предложена в столбце «Решения». Находим соответствующие пары «буква–число».

Решение:

А. 2 –х+1 –x+1 –1 → –x+1 2. Ответ: х ϵ (2; +∞). Получаем: А–3.

Б.

Неравенство преобразований не требует, поэтому сразу применяем метод интервалов, отобразив корни неравенства на координатной прямой.

Корни в данном случае – это х=4 и х=5. Имеем в виду, что неравенство строгое, т.е. значения корней в промежуток для ответа не включаем. В точке х=5 перехода знака не происходит, т.к. по условию (х–5) дано в квадрате. Поскольку нам нужен промежуток, где х 1 → log₄x > log₄4 → x > 4. Т.е.: х ϵ (4; +∞). Ответ: В–1.

Вариант 17МБ6

На координатной прямой отмечены точки А, В, С и D.

Число m равно √2.

Алгоритм выполнения

Для каждого из выражений правого столбца делаем следующее:

Подставляем вместо m его числовое значение (√2). Вычисляем приблизительное значение.
Ориентируясь на целую часть полученного числа, находим соответствующее значение на координатной прямой.
Фиксируем пару «буква–число».

Решение:

Это значение на прямой находится между значениями –3 и –2 и соответствует точке А. Получили: А–1.

Число находится между значениями 2 и 3 и соответствует точке D. Имеем: D–2.

Число находится на прямой между 0 и 1. Это – точка С. Имеем: С–3.

Число размещается на прямой между значениями –1 и 0, что отображает т.В. Получаем: В–4.

Вариант 17МБ7

Алгоритм выполнения

Последовательно решаем каждое неравенство (А–Г), получая в ответе промежуток значений. Находим соответствующее ему графическое отображение в правой колонке (Решения).
При решении неравенств учитываем, что: 1) при снятии знаков логарифма с основанием, меньшим 1, знак неравенства меняется на противоположный; 2) выражение под знаком логарифма всегда больше 0.

Решение:

А.

Полученный промежуток-ответ отображен на 4-й координатной прямой. Поэтому имеем: А–4.

Полученный промежуток представлен на 1-й прямой. Отсюда имеем: Б–1.

В. Это неравенство аналогично предыдущему (Б) с разницей исключительно в знаке. Поэтому и ответ будет подобен с той только разницей, что в конечном неравенстве будет противоположный знак. Т.е. получим: х ≤ 3, х > 0 → x ϵ (0; 3]. Соответственно, получаем пару: В–2.

Г. Это неравенство аналогично 1-му (А), но с противоположным знаком. Поэтому ответ здесь будет таким: х ≥ 1/3, х > 0 → х ϵ [1/3; +∞). Т.о., ответ: Г–3.

Вариант 17МБ8

Алгоритм выполнения

Решаем неравенство А. Находим номер соответствующего ответу решения из правой колонки.
Рассматриваем неравенство Г как подобное неравенству А. Определяем для него номер решения из правого столбца.
Решаем неравенство Б, перейдя к основанию 2. Определяем соответствующий для него номер варианта решения.
По аналогии с неравенством Б решаем неравенство В.

Решение:

А. 2 х ≥ 2 → 2 х ≥ 2 1 → х ≥ 1. Имеем: А–1.

Г. По аналогии с неравенством А получаем в ответе: х ≤ 1. Имеем: Г–2.

Б. 0,5 х ≥ 2 → (1/2) х ≥ 2 →2 –х ≥ 2 1 х ≤ –1. Имеем: Б–3.

В. По аналогии с неравенством Б получаем в ответе: х ≥ –1. Имеем: В–4.

Вариант 17МБ9

Каждому из четырех неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Алгоритм выполнения

Подобные неравенства решаются методом интервалов. На координатной прямой отмечаются точки, являющиеся корнями соответствующего кв.ур-ния; промежутки между этими точками имеют определенные знаки, причем 1-й из них справа (от +∞ до самого большого

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Решение:

Корнями в этих неравенствах являются х=1 и х=4.

Для неравенства А на прямой имеем:

Результатом здесь будут промежутки с отрицательным знаком, т.е. х 4. Ответ: Б–1.

В неравенстве В нужно взять промежуток с отрицательным знаком. Тогда имеем: 1 4. Ответ: Г–2.

Вариант 17МБ10

На координатной прямой отмечены точки А, В, С и D.

Алгоритм выполнения

Определяем приблизительное значение чисел, приведенных в правом столбце, или их целую часть, что позволит выяснить, между какими двумя целыми числами на координатной прямой они располагаются.
Фиксируем пары «буква–число» для заполнения итоговой таблицы ответов.

Решение:

Вариант 17МБ11

Алгоритм выполнения

Решаем последовательно неравенства А–Г, учитывая ОДЗ.
По результату (полученному простейшему неравенству) находим соответствующее графическое решение из правого столбца.

Решение:

log₂ (x–1) 0 → x > 1.

Объединяем полученный промежуток с ОДЗ, получаем: x ϵ (1; 3). Это соответствует решению №3. Ответ: А–3.

. ОДЗ не дает ограничений

Тогда в результате имеем: х ϵ (1; +∞). Ответ: Б–2.

Здесь не требуются преобразования. Решается неравенство методом интервалов. Точки пересечения с координатной прямой: х=1, х=3. Тогда имеем:

Для решения требуется взять промежутки с положительным знаком. ОДЗ: х≠3. Получаем: х ϵ (1; 3)ᴗ(3; +∞). Ответ: В–4.

х 2 – 4х + 3 > 0 → (x–1)(x–3) > 0. Применив метод интервалов, получим:

ОДЗ не дает ограничений. Значит, х ϵ (–∞; 1)ᴗ(3; +∞). Ответ: Г–1.

Вариант 17МБ12

На координатной прямой отмечено число m.

Каждому из четырех чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.

Алгоритм выполнения

Определяем приблизительное значение для m.
Подставляем найденное значение для m последовательно в каждое из выражений (А–Г), вычисляем их числовые значения.
Сопоставляем полученные числа с отрезками, предложенными в правом столбце, находим пары «буква–число» для ответа.

Решение:

Число m располагается на прямой между 1,5 и 2 и немного смещено от середины этого отрезка к двойке. Следовательно, наиболее точным для него является 1,8.

Число А. Имеем: √1,8. Известно, что √1=1, √2≈1,4. Т.е. √1,8 наверняка располагается на отрезке между 1 и 2. Ответ: А–1.

Число Б. Оно равно: 1,8 3 =5,832, т.е. это число принадлежит промежутку [5; 6]. Ответ: Б–4.

Число В. Это число равно: 1,8+1=2,8, что соответствует отрезку [2; 3]. Ответ: В–2.

Число Г. Тут получаем: 6/1,8≈3,33. Этому значению соответствует отрезок [3; 4]. Ответ: Г–3.

Вариант 17МБ13

Число m равно √0,15.

Алгоритм выполнения

Преобразуем число m так, чтобы вынести значение из-под корня.
Подставляем последовательно полученную величину для m в каждое из выражений в левом столбце. Получаемые результаты соотносим с подходящим отрезком из правого.

Решение:

Число √0,15 очень немногим отличается от √0,16, а из 0,16 можно точно извлечь

Находим значения выражений А–Г и определяем их соответствия отрезкам:

А. –1/0,4=–2,5. Результат соответствует отрезку [–3; –2]. Ответ: А–1.

Б. 0,4 2 =0,16. Число входит в промежуток [0; 1]. Ответ: Б–3.

В. 4·0,4=1,6. Это число находится в интервале [1; 2]. Ответ: В–4.

Г. 0,4–1=–0,6. Результат попадает на отрезок [–1; 0]. Ответ: Г–2.

Вариант семнадцатого задания 2019 года (10)

На координатной прямой отмечено число m и точки А, В, С и D.

Алгоритм выполнения

Определяем приблизительное значение для m.
Вычисляем значения выражений 1–4, находим соответствие между полученными результатами и точками А–D на координатной прямой.

Решение:

Точка m располагается почти посередине между 1 и 2, но немного ближе к 1, чем к 2. Максимально приближенным к реальному в данном случае следует считать значение m=1,4.

Определяем соответствие чисел и точек на прямой:

6–1,4=4,6. Это значение отображено точкой D. Ответ: D–1.
1,4 2 =1,96. Такое число отображается в точке С. Ответ: С–2.
1,4–1=0,4. Это число соответствует точке В. Ответ: В–3.
Здесь можно не вычислять результат, поскольку имеет место единственное отрицательное число, а на прямой обозначена единственная точка слева от 0 – т.А. Ответ: А–4.

источники:

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/zadanie-15-profilnogo-ege-po-matematike-neravenstva/

http://spadilo.ru/zadanie-17-ege-po-matematike-bazovyj/