Задание №21 ОГЭ по математике
В двадцать втором задании необходимо решить задачу, составив уравнение с неизвестными. Ниже мы приводим алгоритмы решения типовых вариантов.
Алгоритм решения:
- Введем неизвестную величину: скорость третьего.
- Составим краткую запись в виде таблицы, где разместим данные в графы: скорость, время, расстояние.
- Выясняем, на какой
Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.
Решение:
1. Обозначим через x км/ч скорость третьего велосипедиста. 2. Составим таблицу их краткого условия:
v, км/ч | t, ч | S, км |
1 велосипедист | 21 | На 2 ч раньше всех |
2 велосипедист | 15 | На 1 ч раньше третьего |
3 велосипедист | х |
3. Задача на движение водном направлении, значит, для определения совместной скорости (сближения), необходимо из большей скорости вычитать меньшую. Наибольшая скорость была у третьего велосипедиста, потому что он догонял двух других.
4. Перед тем, как выехал третий велосипедист, первый двигался уже 2 часа. За это время он проехал 42 км, а второй проехал 15 км, поскольку был в пути 1 час. Совместная скорость третьего и второго велосипедистов равна (x-15) км/ч. так как они движутся в одном направлении. Третий велосипедист догнал второго спустя ч после своего выезда.
Совместная скорость третьего и первого велосипедистов равна (x-21)км/ч. Третий велосипедист догнал первого через ч после своего выезда из поселка.
По условию третий велосипедист догнал первого спустя 9 ч после того, как догнал второго.
5. Исходя из этого, составим равенство:
,
Преобразуем полученное уравнение:
6. Получили квадратное уравнение. Решим его:
По условию скорость третьего велосипедиста была наибольшей, значит, второй
Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Алгоритм решения:
- Введем неизвестные величины: скорость третьего и время его движения.
- Составим краткую запись в виде таблицы, где разместим данные в графы: скорость, время, расстояние.
- Используя условие, формулы времени или скорости, выражаем через неизвестные величины все остальные.
- Исходя из условия, составляем равенства.
- Составляем и решаем систему уравнений.
- Определяем величины, которые еще нужно найти.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Пусть x км/ч – скорость третьего велосипедиста, а t ч – время, за которое он догнал второго велосипедиста.
2. Составим таблицу данных условия:
v, км/ч | t, ч | s, км |
1 велосипедист | 15 | t +7 |
2 велосипедист | 10 | t +1 |
3 велосипедист | х | t |
3. До места встречи со вторым велосипедистом третий проехал x·t км.
Скорость второго велосипедиста 10 км/ч. В пути он находился t + 1 часов к моменту встречи с третьим велосипедистом. Тогда в момент встречи велосипедисты находились на расстоянии 10·(t + 1) км от поселка. Расстояния эти одинаковы, значит, x·t = 10·(t + 1).
Первого велосипедиста третий догонит через t + 5 ч – время, за которое он догнал первого велосипедиста после второго, тогда до места встречи с первым велосипедистом третий проехал x·(t + 5) км.
Первый велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч и был в пути до встречи с третьим t + 7 часов, потому как выехал он на 2 часа раньше. Расстояние, которое проехал первый велосипедист, равно 15·(t + 7) км.
Получаем еще одно равенство: x·(t + 5) = 15·(t + 7)
4. Составляем систему уравнений:
5. Решаем полученную систему, преобразовав каждое из уравнений: Вычитаем из второго уравнение первое, получаем
Подставляем вместо x в первое уравнение системы правую часть равенства и решаем полученное уравнение.
(t + 19)·t = 10t + 10
t 2 + 19t = 10t + 10
По формуле дискриминанта и корней:
D = 9 2 — 4·1·(-10) = 81 + 40 = 121
Первый ответ не может удовлетворять условию задачи, поскольку время не может иметь отрицательных значений. Следовательно,
x = t + 19 = 1 + 19 = 20
Скорость третьего велосипедиста 20 км/ч.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Алгоритм решения:
- Введем неизвестные величины: скорость третьего и время его движения.
- Составим краткую запись в виде таблицы, где разместим данные в графы: скорость, время, расстояние.
- Используя условие, формулы времени или скорости, выражаем через неизвестные величины все остальные.
- Исходя из условия, составляем равенства.
- Составляем и решаем систему уравнений.
- Определяем величины, которые еще нужно найти.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Пусть x км/ч – скорость третьего велосипедиста, а t ч – время, за которое он догнал второго велосипедиста. 2. Составим таблицу данных условия:
v, км/ч | t, ч | s, км |
1 велосипедист | 24 | t +9 |
2 велосипедист | 21 | t +1 |
3 велосипедист | х | t |
3. До места встречи со вторым велосипедистом третий проехал x·t км. Второй велосипедист до момента, когда его догонит третий велосипедист, двигался t + 1 часов . Он проехал до места встречи 21·(t + 1) км. Расстояния, пройденные велосипедистами, одинаковы. Получим первое равенство x·t = 21·(t + 1). Третий велосипедист до момента встречи с первым велосипедистом после встречи о вторым, ехал t + 9 ч тогда до места встречи с первым велосипедистом он проехал расстояние x·(t + 9) км. Первый велосипедист до встречи с третьим ехал t + 11 часов, поскольку до момента выезда третьего, уже проехал 2 часа. До места встречи он проехал 24·(t + 11) км. Расстояния одинаковы. Тогда получим еще одно равенство: x·(t + 9) = 24·(t + 11) Составим систему уравнений для решения задачи: Решим ее, раскрыв скобки и преобразовав каждое уравнение: Далее используем метод вычитания, откуда получим:
Подставив выражение для x в первое уравнение: Получили квадратное уравнение.
t 2 + 81t = 63t + 63
t 2 + 18t – 63 = 0
D = 18 2 — 4·1·(-63) = 324 + 252 = 576
Первое значение не подходит, поскольку время по условию не может иметь отрицательные значения. Значит, Таким образом, скорость третьего велосипедиста 28 км/ч.Ответ: 28
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Пусть искомое расстояние равно x км. Скорость лодки при движении против течения равна 4 км/ч, при движении по течению равна 8 км/ч. Время, за которое лодка доплывёт от места отправления до места назначения и обратно, равно
часа.
Из условия задачи следует, что это время равно 3 часам. Составим уравнение:
Решая уравнение, получаем x = 8.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Алгоритм решения:
- Находим число процентов (или долю) твердого вещества в свежих фруктах. Находим эту величину в кг.
- Вычисляем кол-во процентов твердого вещества в сушеных фруктах.
- Составляем пропорцию и определяем общую массу сушеных фруктов.
Решение:
В сушеных фруктах масса твердого вещества, по сравнению со свежими, не меняется (а только снижается объем воды). Поэтому в искомой массе сухих фруктов мякоти тоже будет 4,2 кг. Но в процентном соотношении эта масса составит 100%–30%=70% (30% по условию приходится на воду). Искомая же (общая) масса сухих фруктов в данном случае – это 100%.
Тогда обозначим искомую массу через Х и составим пропорцию: 4,2 кг – 70% Х – 100%
Решим эту пропорцию:
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Алгоритм решения:
- Вводим переменные-обозначения для скорости наполнения резервуара (л/мин) и для времени наполнения (мин). Выражаем через соответствующие переменные параметры наполнения для 1-й и 2-й труб.
- Составляем систему уравнений (1-е уравнение для первой трубы, 2-е – для второй).
- Решаем систему.
Решение:
Обозначим через х скорость наполнения 1-й трубы (это наша искомая величина). Тогда скорость наполнения 2-й трубы равна (х+5).Обозначим через t время наполнения 2-й трубы. Тогда время наполнения 1-й трубы составит (t+2).
Через каждую из труб должно пройти 200 л воды. Для 1-й трубы получим:
Аналогично для 2-й трубы:
Из уравнения для 2-й трубы выразим t через х:
Подставим полученное для t выражение в уравнение для 1-й трубы: Решим это уравнение и найдем искомую величину:
Корень х2 не может быть принят в качестве ответа, поскольку он не удовлетворяет условию (скорость наполнения резервуара не может быть отрицательной величиной).
Значит, искомая скорость наполнения равна 20 л/мин.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Составим для удобства решения таблицу, в которую внесем данные из условия задачи, обозначив переменной х неизвестную величину – скорость 1 автомобиля:
Скорость | Время | Расстояние | |
1 автомобиль | х | 800 х . . | 800 |
2 автомобиль | х – 36 | 800 х − 36 . . | 800 |
Пояснения к заполнению таблицы:
Так как мы обозначили за х скорость 1 авто, значит скорость 2 авто будет на 36 км/ч меньше.
Расстояние у каждого авто будет 800 км.
Для нахождения времени надо расстояние разделить на скорость, поэтому мы получили дроби с переменной в знаменателе.
Зная, что первый прибывает к финишу на 5 ч раньше второго, составим и решим уравнение:
800 х − 36 . . − 800 х . . = 5
Приведем к общему знаменателю х(х-36) наше уравнение и решим его:
800х – 800х+28800=5х 2 – 180
5х 2 – 180 – 28800 =0; разделим на 5 каждый коэффициент:
Решим полученное квадратное уравнение
D=b 2 – 4ac=36 2 – 4 ∙ ( − 5760 ) =24336
х1,2= − b ± √ D 2 a . . = 36 ± 156 2 . .
Отсюда х1=96, а х2 не удовлетворяет условию задачи, так как оно отрицательное, а скорость не может быть выражена отрицательным числом.
Значит, скорость первого автомобиля 36 км/ч
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Как решать систему уравнений
О чем эта статья:
8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Основные понятия
Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.
Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.
Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.
Линейное уравнение с двумя переменными
Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.
Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.
Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.
Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:
Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.
Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.
Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).
Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Система двух линейных уравнений с двумя переменными
Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.
Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:
Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.
Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.
Можно записать систему иначе:
Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.
Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.
Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.
Метод подстановки
Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:
Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.
Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.
Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.
Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.
Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).
Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.
Пример 1
Решите систему уравнений:
x − y = 4
x + 2y = 10
Выразим x из первого уравнения:
x − y = 4
x = 4 + y
Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:
x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10
Решим второе уравнение относительно переменной y:
4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2
Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:
x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6
Ответ: (6; 2).
Пример 2
Решите систему линейных уравнений:
x + 5y = 7
3x = 4 + 2y
Сначала выразим переменную x из первого уравнения:
x + 5y = 7
x = 7 − 5y
Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:
3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y
Решим второе линейное уравнение в системе:
3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1
Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:
x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2
Ответ: (2; 1).
Пример 3
Решите систему линейных уравнений:
x − 2y = 3
5x + y = 4
Из первого уравнения выразим x:
x − 2y = 3
x = 3 + 2y
Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:
5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1
Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:
x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1
Ответ: (1; −1).
Метод сложения
Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:
При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.
Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.
Решаем получившееся уравнение с одной переменной.
Находим соответствующие значения второй переменной.
Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).
Система линейных уравнений с тремя переменными
Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:
Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).
Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.
Решение задач
Разберем примеры решения систем уравнений.
Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?
5x − 8y = 4x − 9y + 3
5x − 8y = 4x − 9y + 3
5x − 8y − 4x + 9y = 3
Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки
Выразить у из первого уравнения:
Подставить полученное выражение во второе уравнение:
Найти соответствующие значения у:
Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения
- Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
- Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
- Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:
- Ответ: (1; 1), (1; -1).
Задание 4. Решить систему уравнений
Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.
Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными
При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:
Решение №2226 Решите систему уравнений (х-4)(у-7)=0 (у-5)/(х+у-9)=2
Решите систему уравнений
Источник: ОГЭ Ященко 2022 (50 вариантов)
Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!
Насколько понятно решение?
Средняя оценка: 4.3 / 5. Количество оценок: 6
Оценок пока нет. Поставь оценку первым.
Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️
Вступай в группу vk.com 😉
Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время
В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.
http://skysmart.ru/articles/mathematic/reshenie-sistem-uravnenij
http://ege314.ru/20-algebraicheskie-vyrazheniya-uravneniya-neravenstva-i-ih-sistemy/reshenie-2226/