Роль квадратных уравнений в жизни

Исследовательская работа по теме: «Квадратные уравнения в жизни»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Исследовательская работа По теме: «Квадратные уравнения в жизни» Выполнил: Ученик 8 А класса Лицея №144 Торопов Алексей Руководитель: Учитель математики Иванова Светлана Борисовна

План работы: Введение . Историческая справка Актуальность выбранной темы. Гипотеза Основная часть Мои исследования Вывод Использованная литература

Цель работы: Узнать больше о квадратных уравнениях Проанализировать, где в жизни применяются квадратные уравнения

Введение. Историческая справка Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Умение решать уравнения не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям. х у

Важность умения решать квадратные уравнения в очередной раз доказывает то, что такие уравнения умели решать еще в древности. Но как это делалось, если в то время не существовала символическая алгебра?

Актуальность выбранной темы. История возникновения и развития квадратных уравнений Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Квадратные уравнения решали еще в Индии. Древнеиндийский математик Баудхаяма . впервые использовал квадратные уравнения в форме ax 2 = c и ax 2 + bx = c и привел методы их решения.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. в «Книге абака» итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.

Далее квадратные уравнения продолжают изучать и другие выдающиеся математики Штифель Кардано Франсуа Виет Рене Декарт Ньютон

Мы уже знаем, что решение квадратных уравнений находило применение в древности. Так как квадратные уравнения с тех времен активно развивались, можно сделать вывод, что их применение значительно увеличилось. Как же теперь применяются квадратные уравнения?

Мои исследования Изучив множество источников я выяснил, что квадратное уравнение широко распространено. Оно применяется во многих расчетах, сооружениях, спорте, а также и вокруг нас. Рассмотрим и проверим некоторые применения квадратного уравнения

Сейчас ученые выяснили, что траекторию движения планет можно найти с помощью квадратного уравнения.

Взлет главная составляющая полета. Здесь берется расчет для маленького сопротивления и ускоренного взлета. Взлет самолета

Фонтан смотрится лучше, если капли воды достигают высоты, большей, чем высота статуи.

В данном виде спорта, крайне важны арифметические расчеты. П ри разбеге прыгуна в высоту для максимально четкого попадания на планку отталкивания и высокого полета, используют расчеты связанные с парабалой . Атлетика

Также подобные расчеты нужны в метании. Дальность полета объекта зависит от квадратного уравнения.

Квадратные уравнения получили большое значение и значительное применение в жизни.

С помощью исследования я выяснил, что квадратное уравнение имеет большое применение в жизни. Еще в древности человек использовал квадратное уравнение. А с тех пор применение квадратного уравнения только росло.

Вывод Проходя эту тему на уроке, мы мало задумываемся о практическом применении квадратных уравнений. Поэтому мы считаем, что квадратные уравнения нигде не используются, но как выяснилось это не так. Изучая эту тему, я узнал много интересных фактов о квадратных уравнениях, их истории, и об их применении.

Использованная литература — О.В.Зут Серия «Смотреть значит видеть» — Интернет источники, Википедия — А.А.Прокофьев «Математика» — И.Б.Кожухов «Математика» — А.М.Голова «Наука в действии»

Применение квадратных уравнений в жизни

Презентация к открытому уроку по алгебре в 8 классе по теме » Квадратные уравнения»

Просмотр содержимого документа
«Применение квадратных уравнений в жизни»

«Квадратные уравнения в жизни»

• Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Умение решать уравнения не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям.

• Важность умения решать квадратные уравнения в очередной раз доказывает то, что такие уравнения умели решать еще в древности. Но как это делалось, если в то время не существовала символическая алгебра?

История возникновения и развития квадратных уравнений

• Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

• Квадратные уравнения решали еще в Индии. Древнеиндийский математик Баудхаяма. впервые использовал квадратные уравнения в форме ax2= c и ax2+ bx = c и привел методы их решения.

• Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. в «Книге абака» итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.

• Далее квадратные уравнения продолжают изучать и другие выдающиеся математики

• Решение квадратных уравнений находило применение в древности.
• Так как квадратные уравнения с тех времен активно развивались, можно сделать вывод, что их применение значительно увеличилось. Как же теперь применяются квадратные уравнения?

• Применяется квадратные уравнения во многих расчетах, сооружениях, спорте, а также и вокруг нас.
• Рассмотрим и проверим некоторые применения квадратного уравнения

• Сейчас ученые выяснили, что траекторию движения планет можно найти с помощью квадратного уравнения.

Взлет главная составляющая полета. Здесь берется расчет для маленького сопротивления и ускоренного взлета.

• Фонтан смотрится лучше, если капли воды достигают высоты, большей, чем высота статуи.

В данном виде спорта, крайне важны арифметические расчеты.

При разбеге прыгуна в высоту для максимально четкого попадания на планку отталкивания и высокого полета, используют расчеты связанные с парабалой.

Также подобные расчеты нужны в метании. Дальность полета объекта зависит от квадратного уравнения.

• Квадратные уравнения получили большое значение и значительное применение в жизни.

• Квадратное уравнение имеет большое применение в жизни. Еще в древности человек использовал квадратное уравнение. А с тех пор применение квадратного уравнения только росло.

• Проходя эту тему на уроке, мы мало задумываемся о практическом применении квадратных уравнений. Поэтому мы считаем, что квадратные уравнения нигде не используются, но как выяснилось это не так.

Исследовательская работа «Квадратные уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Сергачская средняя общеобразовательная школа №3»

Квадратные уравнения: от истоков к современности

Выполнила ученица 8 «а» класса

Никулина Анастасия, 14 лет

Руководитель: Маслова Елена Владимировна

3. Способы решения квадратных уравнений …………………………… ….10-15

С квадратными уравнениями мы знакомы из школьного курса алгебры. В учебнике алгебры 8 класса под редакцией С.А.Теляковского нам представляют квадратные уравнения, как уравнения второй степени. Предлагаются некоторые способы решения квадратных уравнений, а также решение задач с помощью квадратных уравнений. Но к сожалению, о применении уравнений на практике в учебнике ничего не сказано.

На уроке нам учитель сообщила, что есть и другие способы решения квадратных уравнений и можно для каждого вида уравнений выбрать эффективный способ. Я решила самостоятельно изучить способы решения квадратных уравнений, которых нет в учебнике, а также выяснить имеют ли применение в жизни квадратные уравнения.

Цель работы: Расширить свои знания о квадратных уравнениях

Познакомиться с историей появления и развития квадратных уравнений

Используя дополнительную литературу, изучить способы решения, которых нет в учебнике

Узнать применение квадратных уравнений в жизни

Объект исследования : квадратные уравнения

Предмет: исследования квадратных уравнений

Актуальность темы: Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Сила теории уравнений в том, что не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.

Гипотеза: Предполагаю, что квадратные уравнения можно решить многими способами, и они находят своё применение в жизни человека

Есть ли иные способы решения квадратных уравнений отличные от тех, что предложены в учебнике и зачем нам в жизни нужны квадратные уравнения

1 . Странички истории

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Много лет назад возникла необходимость решать уравнения второй степени. Потребность обусловлена нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96».

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так, как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10+х. Другое же меньше, т. е.10- х . Разность между ними2х. Отсюда уравнение:

или же 100 – х 2 =96, х 2 =4

Отсюда х = 2 . Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа. Если решить эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то можно прийти к решению уравнения:

y (20- y ) = 96 , y 2 – 20 y +96=0

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полу разность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ax 2 + bx = c , а > 0 (1)

В уравнении (1) коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары. «Стая обезьян забавляется: восьмая часть всего числа их в квадрате резвится в лесу, остальные двенадцать кричат на вершине холмика. Скажите мне, сколько всех обезьян?»

Комментируя задачу, хочется сказать, что задаче соответствует уравнение (х/8) 2 + 12 = x . Бхаскара пишет под видом x 2 – 64х = — 768. Прибавляя к обеим частям квадрат 32, уравнение примет вид:

x 2 – 64 x + 32 2 = — 768 + 1024

После извлечения квадратного корня получаем: x – 32 =16.

«В данном случае, говорит Бхаскара, — отрицательные единицы первой части таковы, что единицы второй части меньше их, а потому последние можно считать и положительными, и отрицательными, и получаем двойное значение неизвестного: 48 и 16». Необходимо сделать вывод: решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Квадратные уравнения в Европе XII-XVII в.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х 2 + bx = c при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX—VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.

Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака. А затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры, использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д. На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики.

Аль – Хорезми — арабский учёный, который в 825 г. написал книгу «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры. Он также дал шесть видов квадратных уравнений и для каждого из шести уравнений в словесной форме сформулировал особое правило его решения.

В трактате Хорезми насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1. «Квадраты равны корням», т.е. ах 2 = вх.

2. «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3. «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4. «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = вх.

5. «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + вх = с.

6. «Корни и числа равны квадратам», т.е. вх +с = ах 2 .

Разберём задачу аль – Хорезми, которая сводится к решению квадратного уравнения. «Квадрат и число равны корням.» Например, один квадрат и число 21 равны 10 корням того же квадрата, т.е. спрашивается, из чего образуется квадрат, который после прибавления к нему 21 делается равным 10 корням того же квадрата?» х 2 + 21 = 10х

Франсуа Виет — французский математик, сформулировал и доказал теорему о сумме и произведении корней приведённого квадратного уравнения.

Искусство, которое я излагаю, ново или по крайней мере было настолько испорчено временем искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид . Франсуа Виет

Виет Франсуа (1540-13.12. 1603) родился в городе Фонтене ле-Конт провинции Пуату, недалеко от знаменитой крепости Ла-Ро-шель. Он был широко образованным человеком. Знал астрономию и математику и все свободное время отдавал этим наукам.Главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики: Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся. Нельзя было записывать и, следовательно, начать в общем виде алгебраические сравнения или какие-нибудь другие алгебраические выражения. Каждый вид уравнения с числовыми коэффициентами решался по особому правилу. Поэтому необходимо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самих чисел не зависят. Виет и его последователи установи, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством предметов или длиной отрезка. Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода. Значит, их можно обозначать какими-либо отвлеченными знаками. Виет это и сделал. Он не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытий, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений. Не случайно за это Виета называют «отцом» алгебры, основоположником буквенной символики.

2. Способы решения квадратных уравнений

1. СПОСОБ : Разложение левой части уравнения на множители

2. СПОСОБ : Метод выделения полного квадрата

3. СПОСОБ : Решение квадратных уравнений по формуле

4. СПОСОБ : Графическое решение квадратного уравнения

5. СПОСОБ : Решение уравнений с использованием теоремы Виета

Все вышеперечисленные способы подробно разобраны в учебнике, поэтому на них я не буду останавливаться. Разберём ещё несколько способов.

6. СПОСОБ : Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни у ₁ и у ₂ найдем с помощью теоремы Виета.

При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски» . Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Решим уравнение 2х 2 — 11х + 15 = 0.

Решение. « Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену и сделав замену получим уравнение у 2 — 11у + 30 = 0.

Согласно обратной теореме Виета

7. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0

1. Если a+ b + с = 0 ( т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х ₁ = 1, х ₂ = c/а

2. Если а — b + с = 0, или b = а + с, то х1 = — 1, х2 = — c/а

Решим уравнение 345х 2 — 137х — 208 = 0.

Решение : так как а + b + с = 0 (345 — 137 — 208 = 0), то х ₁ = 1, х ₂ = — 208/345

Решим уравнение 132х2 + 247х + 115 = 0

Решение. Т.к. a-b+с = 0 (132 — 247 +115=0), то

8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то потребуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. Можно использовать следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки. Нужно найти координаты центра S окружности по формуле x ₀ = — b /2 a y ₀ = ( a + c )/2 a и провести окружность радиуса SA , где А(0,1)

При этом возможны три случая

1) Радиус окружности больше ординаты центра, окружность пересекает ось Ох в двух точках

х1 и х2 — корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра, окружность касается оси Ох в точке

х ₁ — корень квадратного уравнения

3) Радиус окружности меньше ординаты центра, окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

Решим уравнение х 2 — 2х — 3 = 0.

Определим координаты точки центра окружности по формулам: х ₀ = 2/2=1, у ₀ = -2/2=-1

Проведем окружность радиуса S A, где А (0;1)

9. СПОСОБ : Геометрический способ решения квадратных уравнений

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми.

Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя

х 2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

Решим геометрически уравнение у 2 — 6у — 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

Находим «изображения» выражения у 2 — 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у 2 — 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у — 3. Заменяя выражение у 2 — 6у равным ему числом 16,

получаем: (у — 3) 2 = 16 + 9, т.е. у — 3 = ± √25, или у — 3 = ± 5, где у ₁ = 8 и у ₂ = — 2.

10. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Безу

Теорема Безу и её следствие рассматриваются в старших классах. Смысл состоит в том, что нужно подставить в уравнение вместо неизвестной все целые делители свободного члена уравнения, и поделить столбиком наш трехчлен на (х- а), где а – найденный корень. Затем разложить на множители и найти остальные корни. Приведу пример:

Разделим р (х) на (х-1)

3. Жизнь по «параболе»

Школьном курсе алгебры мы знакомимся с квадратными уравнениями и уравнениями, сводящимися к квадратным. Однако они применяются не только для решения более сложных уравнений. Мы встретим квадратные уравнения в экономических дисциплинах, в различных программах для обработки звука и видео, а также в векторной графике.

Многие обучающиеся даже не догадываются, что график квадратичной функции, парабола, встречается в разных областях нашей жизни. Приведу несколько примеров.

При разбеге прыгуна для максимально четкого попадания на планку отталкивания и высокого полета используют расчеты, связанные с параболой. Подобные расчеты нужны и при метании снаряда. Дальность полета объекта зависит от квадратного уравнения. Даже беговая дорожка стадиона, параболической формы, для плавного прохождения дистанции.

Наука и техника

Тесно связаны квадратные уравнения с астрономией. Ведь с их помощью можно найти траекторию движения планет. Человек давно начал освоение неба и одно из главных его изобретений — самолет. Взлет самолета главная составляющая полета. Здесь берется расчет для маленького сопротивления и ускорения взлета. Не обошлась без квадратных уравнений и военная техника. Русская артиллерия установила рекорд дальности стрельбы

Мы с удовольствием наблюдаем красивейшее оптическое явление – радуга. Еще ученые древности задавались вопросом формы радуги. Она полукруглая. Форма радуги определяется формой капель воды, в которых преломляется солнечный свет. А форма капли- круглая.

Даже струя воды, выбрасываемая из фонтана принимает форму параболы.

Дельфины – прекрасные создания. Они сопровождают суда и начинают выпрыгивать из воды, демонстрируя при этом движение по параболе.

Человечество прошло длинный путь от незнания к знанию, непрерывно заменяя на этом пути неполное и несовершенное знание все более полным и совершенным.

В ходе выполнения своей исследовательской работы я считаю, что с поставленной целью и задачами я справилась, мне удалось узнать о квадратных уравнениях гораздо больше, чем в школьном курсе алгебры. Мне было интересно узнать о различных способах решения квадратных уравнений, а также узнать где же они применяются. Способов решения квадратных уравнений очень много. Я изучила 10 способов решения квадратных уравнений. Надо отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ГИА.

Подводя итоги, можно сделать вывод, что гипотеза моя подтвердилась. Квадратные уравнения играют огромную роль в математике. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни, и я думаю, что мою презентацию можно использовать в учебном процессе, чтобы заинтересовать увлекающихся математикой школьников и просто тех детей, которые не видят смысла в квадратных уравнениях

1.Мордкович А.Г. М 79 Алгебра. 8 класс: В двух частях. Ч.1: Учебник для общеобразовательных учреждений. — 4-е издание — М.: Мнемозина, 2002. — 223 с.:

2. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. — М.: Просвещение, 1988

3.Глейзер Г.И. История математики в школе. — М.: просвещение, 1982

4.Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. — м., просвещение, 1990

5.Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. — М.: Просвещение, 1972

6.Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.М., Квант, №4/72. С.34.

7.Дидактические материалы по алгебре. М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №№ 21/96, 10/97.

8.Баранова Е.А. Как увлечь школьников исследовательской деятельностью. Математика в школе / Е.А. Баранова, М.И.Зайкин// 2004. №2 – 80с.

9.Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы. – М.: Просвещение, 1982.

10.Дробышев Ю.А. Изучение квадратных уравнений на основе историко – генетического метода /Ю.А. Дробышев // /. Математика в школе № 6 –2011.

11.С.А. Литвинова, и др. За страницами учебника математики 8-11 классы. – 2-е изд., дополненное – М.: Глобус, Волгоград: Панорама,2008.– c.76-82.

12.Макарычев Ю. Н. Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под редакцией С. А. Теляковского. – 11-е издание – М.: Просвещение, 2003. – 238 с.