Содержание и роль уравнений в школьном курсе математики
методическая разработка по алгебре по теме
Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объевляется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач. В курсе математики старших классов учащиеся сталкиваются с новыми классами уравнений, их систем или углубленным изучением уже известных классов. Однако это мало влияет на уже сформированную схему: они дополняют ее новым фактическим содержанием, не меняя сложившейся связи, соединяющие различные классы.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
soderzhanie_i_rol_uravneniy_v_sovremennom_shkolnom_kurse_matematiki.docx | 20.34 КБ |
Предварительный просмотр:
Содержание и роль уравнений в современном школьном курсе математики.
Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.
Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX—VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Таким образом, был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучени/
Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду (приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака), а затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры (использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д.). На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики. В этом процессе все яснее становилась важность роли, которую играло понятие уравнения в системе алгебраических понятий.
Открытие координатного метода (Декарт, XVII в.) и последовавшее за ним развитие аналитической геометрии позволили применить алгебру не только к задачам, связанным с числовой системой, но и к изучению различных геометрических фигур. Эта линия развития алгебры упрочила положение уравнения как ведущего алгебраического понятия, которое связывалось теперь уже с тремя главными областями своего возникновения и функционирования:
a) уравнение как средство решения текстовых задач;
b) уравнение как особого рода формула, служащая в алгебре объектом изучения;
c) уравнение как формула, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.
Каждое этих представлений оказалось в том или ином отношении полезным.
Таким образом, уравнение как общематематическое понятие многоаспектно, причем ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если речь идет о проблемах школьного математического образования.
Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно — методическую линию — линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики.
Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики.
а) Прикладная направленность
линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики.
В настоящее время ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.
б) Теоретико-математическая направленность
линии уравнений раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов уравнений, и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений
в) Для линии уравнений характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики
Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий,— это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений и их систем. Области иррациональных и логарифмических выражений связаны соответственно с уравнениями хk = b (k — натуральное число, большее 1) и ax=b.
Связь линии уравнений с числовой линией двусторонняя. Приведенный пример показывает влияние уравнений на развертывание числовой системы. Обратное влияние проявляется в том, что каждая вновь введенная числовая область расширяет возможности составления и решения различных уравнений. Например, введение арифметического квадратного корня из рациональных чисел позволяет записывать корни не только уравнений вида х2 = b, где b—неотрицательное рациональное число, но и любых квадратных уравнений с рациональными коэффициентами и неотрицательным дискриминантом.
Линия уравнений тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей — приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т. д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем.
С функциональной линией непосредственно связан также и небольшой круг вопросов школьного курса математики, относящихся к дифференциальным и функциональным уравнениям. Сама возможность возникновения дифференциального уравнения кроется в наличии операции дифференцирования (может быть поставлен вопрос о нахождении для заданной функции ¦ другой функции F, такой, что F’ (x)=f (х)).
Однако сама по себе возможность выделения дифференциальных уравнений в школьном курсе математики еще не следует из того факта, что имеются формальные основания для их рассмотрения. Как известно, теория дифференциальных уравнений обладает большой сложностью. В школьном обучении эта теория представлена лишь своими начальными частями, которые не образуют связного целого, а относятся к различным конкретным, по большей части прикладным вопросам.
По-видимому, понятие дифференциального уравнения допускает более широкое представление в школьном курсе. В настоящее время этот вопрос является открытой методической проблемой.
В отличие от дифференциальных функциональные уравнения (неизвестным в которых, так же как и в дифференциальных, является функция) почти не представлены в школьном курсе математики. Единичные задания, связанные с этим классом уравнений, могут быть использованы при рассмотрении показательной функции, в связи с понятием обратной функции и др.
В качестве последнего примера отметим взаимосвязь линии уравнений с алгоритмической линией. Влияние же алгоритмической линии на линию уравнений заключается прежде всего в возможности использования ее понятий для описания алгоритмов решения уравнений и систем различных классов.
Реализация преемственности в обучении математике в основной и старшей школе (на примере изучения уравнений) Текст научной статьи по специальности « Науки об образовании»
Аннотация научной статьи по наукам об образовании, автор научной работы — Аммосова Надежда Васильевна, Краснова Галина Геннадьевна
Рассматривается вопрос о реализации принципа преемственности в обучении математике между основной и старшей школой. В статье на примере изучения раздела « Уравнения » описан один из вариантов обеспечения преемственности в курсе алгебры, использование которого позволит осуществить последовательное систематическое повторение , системное обобщение и углубленное изучение материала в старших классах на разных этапах его изучения.
Похожие темы научных работ по наукам об образовании , автор научной работы — Аммосова Надежда Васильевна, Краснова Галина Геннадьевна
Текст научной работы на тему «Реализация преемственности в обучении математике в основной и старшей школе (на примере изучения уравнений)»
Аммосова Надежда Васильевна
Доктор педагогических наук, профессор кафедры высшей математики, академик Международной академии наук педагогического образования, Астраханский государственный университет, n_ammosova@mail.ru, Астрахань
Краснова Галина Геннадьевна
Старший преподаватель кафедры естественнонаучного и технологического образования Государственного автономного образовательного учреждения Астраханской области дополнительного профессионального образования (повышения квалификации) специалистов «Астраханский институт повышения квалификации и переподготовки», аспирант кафедры высшей математике Астраханского государственного университета (по специальности 13.00.02 «Теория и методика обучения и воспитания»), 6176@mail.ru, Астрахань
РЕАЛИЗАЦИЯ ПРЕЕМСТВЕННОСТИ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ В ОСНОВНОЙ И СТАРШЕЙ ШКОЛЕ (НА ПРИМЕРЕ ИЗУЧЕНИЯ УРАВНЕНИЙ)
Аннотация: Рассматривается вопрос о реализации принципа преемственности в обучении математике между основной и старшей школой. В статье на примере изучения раздела «Уравнения» описан один из вариантов обеспечения преемственности в курсе алгебры, использование которого позволит осуществить последовательное систематическое повторение, системное обобщение и углубленное изучение материала в старших классах на разных этапах его изучения.
Ключевые слова: преемственность в обучении математике, математическая подготовка учащихся, последовательность, углубленное изучение, систематизация, повторение, уравнения.
Ammosova Nadezhda Vasilievna
Doctor of pedagogical sciences, the professor of chair of higher mathematics, the academician of the International academy of Sciences pedagogical obrazovanija, the Astrakhan state university, n_ammosova@mail.ru, Astrakhan
Krasnova Galina Gennadievna
Senior teacher of department of natural-science and technological formation of the State independent educational institution of the Astrakhan region of additional vocational training (improvement of professional skill) of experts «The Astrakhan institute of improvement of professional skill and retraining», the post-graduate student of department of chair of higher mathematics of the Astrakhan state university (on a speciality 13.00.02 «Theory and a training and education technique»), 6176@mail.ru, Astrakhan
CONTINUITY REALIZATION IN TRAINING TO THE MATHEMATICIAN AT THE BASIC AND SENIOR SCHOOL
(ON THE EXAMPLE OF STUDYING OF THE EQUATIONS)
Abstract. The question on realization of a principle of continuity in training to the mathematician between the basic and senior school is considered. In article on an example of studying of section of “Equation” one of variants of maintenance of continuity in the algebra course which use will allow to carry out consecutive regular repetition both system generalization and profound studying of a material in the senior classes at different stages of its studying is described.
Keywords: continuity in training to the mathematician, mathematical preparation of pupils, sequence, profound studying, ordering, repetition, the equations.
В процессе обучения математике в ос- котором согласно принципу преемственно-
новной школе учащиеся приобретают опре- сти может базироваться их дальнейшее обу-
деленное количество опорных знаний и чение в старшей школе. Следовательно, если
умений, составляющих тот фундамент, на выпускник основной школы не имеет проч-
ной базы по математике, то он не готов к усвоению курса математики в старшей школе. В последнее время это является одной из причин снижения уровня математической подготовки учащихся в средней школе.
Сама природа образовательного процесса с его задачной структурой, свойствами ступенчатости и спиралевидности возводит в ранг организационного принципа требования преемственности, последовательности и систематичности. Каждый новый этап обучения должен быть связан с предшествующим, служить предпосылкой для последующего обучения. Связь и преемственность этапов обучения способствует доступности учебного материала, прочности его усвоения, познавательных способностей обучаемых, что, в свою очередь, обеспечивает системность в формировании знаний, умений и навыков у старшеклассников. Преемственность и последовательность в обучении позволяют разрешить противоречие между необходимостью формирования у будущих выпускников целостной системы математических знаний, умений, навыков и дискретным характером изучения учебного материала. Преемственность в содержании математической подготовки выступает как непрерывный процесс развертывания структурных компонентов содержания, плавный переход от одного этапа обучения к другому, постепенное усложнение содержания учебной информации, последовательная смена уровня требований к объему и глубине усвоения знаний, умений и навыков [2]. В этом случае каждая следующая ступень образовательной системы является естественным продолжением, развитием предыдущей, что характерно при спиралевидном расположении материала, а учащиеся имеют возможность постепенно и непрерывно расширять знания по конкретной учебной проблеме, не допуская разрывов.
Рассмотрим на примере изучения уравнений один из вариантов обеспечения преемственности в алгебре, использующий последовательное систематическое повторение материала на разных этапах его изучения.
Уравнения занимают центральное место в школьном курсе алгебры. Они имеют не только важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространствен-
ных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. В курсе алгебры уравнениям также отводится значительное место. По мере того, как вводятся новые виды выражений и изучаются их преобразования, расширяется и круг рассматриваемых уравнений.
При изучении любой темы уравнения могут быть использованы как эффективное средство мотивации, закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний, развития творческой математической деятельности учащихся. Операции над числами и свойства этих операций, функции и свойства функций, а также связанные с этими вопросами алгебраические преобразования в процессе изучения сразу же могут находить отражение в упражнениях на решение уравнений. Поэтому реализуя преемственность при изучении уравнений, необходимо обеспечить преемственность не только в самой содержательной линии, но и между уравнениями и изучением функций, числовых множеств, выражений и их преобразований.
При изучении раздела «Уравнения» необходимо учитывать два противоположных направленных процесса, сопровождающие обучение. Первый процесс — постепенное возрастание количества классов уравнений и приемов их решения, различных преобразований применяемых в решении. За счет увеличения объема материала изучение его новых фрагментов затрудняется наличием уже изученных. Второй процесс — установление разнообразных связей между различными классами уравнений, выявление все более общих классов, закрепление все более обобщенных типов преобразований, упрощение описания и обоснования решений. Для того чтобы оба этих процесса не вступали в противоречие, необходимо обобщить и систематизировать материал за курс основной школы с использованием принципа преемственности.
Для этого на уроках вводного повторения и при актуализации знаний учащихся перед изучением в 10 классе раздела «Уравнения» мы считаем целесообразным проанализировать развертывание основных аспектов знаний об уравнениях в курсе алгебры основной школы. Владея определенным багажом
знаний и умений, учащиеся могут самостоятельно или при помощи учителя провести их обобщение и систематизацию, что позволит составить целостное представление о развитии линии уравнений в курсе алгебры.
Теоретический материал, изученный в курсе основной школы по теме «Уравнения», поэтому необходимо повторить, систематизировать и обобщить используя принцип преемственности:
1) Основные понятия и термины: неизвестное число; уравнение (левая часть уравнения, правая часть уравнения, член уравнения); корень уравнения; что значит решить уравнение; линейное уравнение; основные свойства уравнений; квадратное уравнение; формулы корней квадратного уравнения; рациональное и иррациональное уравнение.
2) Основные теоретические сведения, используемые при решении уравнений.
Свойства арифметических действий: переместительное, сочетательное, распределительное.
Основные свойства уравнений:
1) любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный;
2) обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
3) условие равенства нулю произведения и частного двух чисел.
4) определение модуля числа.
Затем для удобства систематизации материала и создания условий для наглядного восприятия [3], мы предлагаем учащимся в процессе повторения составить следующую таблицу (речь идет об уравнениях с одним неизвестным), в которой они описывают основные классы функций, изученные ими в курсе алгебры 7-9 классов (таблица 1).
При заполнении этой таблицы учащиеся вспоминают изученные классы уравнений, алгоритмы и способы их решения, а также отмечают особенности решения каждого класса уравнений. На основании таблицы
Основные классы уравнений
Уравнения Простейший вид Алгоритм решения Примечания
Линейное уравнение ах + в = 0, где а, в — некоторые числа Если а = 0, в = 0, то х-любое число. Если а = 0, в Ф 0, то корней нет. Если а Ф 0, то х = — в/а. Для приведения уравнения к простейшему виду необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, использовать правила переноса слагаемых из одной части уравнения в другую
Квадратное уравнение ах2 + вх + с = 0, где аф0, в, с — действительные числа В = в2 — 4ас Если Б > 0, -в + -Л) Т0-Ти= 2а Если В Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Дипломная работа: Методика решения задач повышенной трудности в старших классах средней школы
Название: Методика решения задач повышенной трудности в старших классах средней школы Раздел: Рефераты по педагогике Тип: дипломная работа Добавлен 04:49:55 12 ноября 2010 Похожие работы Просмотров: 1199 Комментариев: 14 Оценило: 2 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать | |||
Задача 3 – это фактически задача на перебор вариантов. Ее цель состоит в том, чтобы дать учащимся возможность накопить некоторый опыт по подсчету числа вариантов и по построению дерева вариантов.
После обсуждения ответов и решений учащихся учитель может сказать примерно следующее:«Вы получили разные ответы, но никто не смог доказать, что он перебрал все возможные случаи. Давайте попробуем разработать такой способ подсчета, при котором можно быть уверенным в том, что мы перебрали все возможные варианты.» Тогда словосочетание «перебор … вариантов» появляется в таком контексте, что смысл его объяснять не надо, тем более, что используемые слова учащимся к этому моменту уже знакомы из других жизненных ситуаций.
Далее учащимся предлагается сначала посчитать, сколько можно построить ломаных с началом в точке А . Рассуждаем так: из точки А можно пойти в точку B или в точку C или в точку D . Чтобы ничего не пропустить, сделаем рисунок:
Теперь подумаем, куда мы можем пойти из точки B , из точки C, из точки D, и т.д. В результате рассуждений получаем такой рисунок.
«Итак, мы видим, что можно построить 6 ломаных с началом в точке A . Как вы думаете, сколько всего ломаных мы получим, если проделаем такую же работу с остальными точками? Проверьте свое предположение дома» [9].
Здесь работа над задачей в классе заканчивается и учащимся предлагается закончить ее дома: изобразить все ломаные с началом в точке A и, рассуждая аналогично (сделав такой же рисунок), выписать и изобразить все ломаные с началом в точках B , C и D . В процессе выполнения этой работы учащиеся заметят, что каждая ломанная повторяется дважды, поскольку, например, ABCD и DCBA – это одна и та же ломаная. Поэтому всего различных ломаных получится не , а вдвое меньше – 12.
Далее учащимся предлагается дома на альбомном листе изобразить все 12 ломаных.
4. Изобразите отрезок MN . Отметьте на нем точки K и L так, чтобы отрезок KN составлял , а отрезок ML – отрезка MN . Какую часть отрезков MN , NK , ML , MK и NL составляет отрезок KL ? Прежде чем решать задачу подумайте, какой длины удобно взять отрезок MN .
Подсказка содержится в тексте задачи. Учащимся предлагается в классе прочитать первые два предложения и подумать над подсказкой.
Изобразим отрезок и отметим на нем точки. Отрезок KL составляет длины отрезка MN , длины отрезка NK , длины отрезка ML , 1 длины отрезка MK , 1 длины отрезка NL .
5. Решите задачу подбором. Из 29 коробок часть содержит по 14 кг конфет, а часть по 15 кг. Сколько тех и других коробок, если общая масса конфет в коробках обоих типов одинаковая?
Внимательно изучив данные, видим, что 14 + 15 = 29. Значит коробок, в которых по 14 кг должно быть 15, а тех, в которых по 15 кг – 14 [1].
6. Пассажир поезда, идущего со скоростью 50 км/ч, заметил, что встречный поезд шел мимо него в течение 10 секунд. Определите длину встречного поезда, если его скорость – 58 км/ч.
Какие величины в задаче известны? Сделаем рисунок:
Длина поезда – это расстояние от начала головного вагона до конца хвостового вагона. Какие величины мы обычно используем, чтобы найти расстояние?
Как бы вы решали задачу, если бы поезд, в котором сидел пассажир, стоял на месте?
1) 50 + 58 = 108 км/ч скорость, с которой встречный поезд проехал мимо пассажира.
2) 108 (км/ч) = (108 × 1000) : 3600 (м/с) = 30 (м/с).
3) 30 × 10 = 300 (м) – длина поезда.
7. На отдельном листе бумаги, используя чашку вместо циркуля, проведите карандашом окружность. Вырежьте получившийся круг и подумайте, как при помощи перегибания найти его центр. Подумайте, как найти центр круга в случае, если круг перегнуть нельзя.
Выполнение первого задания – найти центр вырезанного круга перегибанием, как правило, затруднений не вызывает.
Если же круг перегнуть нельзя, то центр найти сложнее. Здесь учащимся следует предложить подумать, какие из свойств углов и окружностей, с которыми они знакомы, можно использовать в этой задаче. Оказывается, достаточно построить прямой угол BAC , где точки A , B , C принадлежат окружности, тогда BC – диаметр, а его середина – центр окружности.
Эти модели способствуют развитию у детей конкретного и абстрактного мышления во взаимосвязи между собой, т.к. модель задачи, с одной стороны, дает возможность школьнику в наглядной форме конкретно представить зависимости между величинами, входящими в задачу, а с другой ‑ способствует абстрагированию, помогает отвлечься от сюжетных деталей, от предметов, описанных в тексте задачи [2].
Методика рассматривает несколько методов решения задач ‑ алгебраический, арифметический, графический, практический, метод предположения, метод перебора. Они могут применяться как при решении стандартных задач, так и нестандартных. Алгебраический метод решения задач развивает теоретическое мышление, способность к обобщению, формирует абстрактное мышление и обладает такими преимуществами, как краткость записи и рассуждений при составлении уравнений, экономит время. Арифметический метод решения также требует большого умственного напряжения, что положительно сказывается на развитии умственных способностей, математической интуиции, на формировании умения предвидеть реальную жизненную ситуацию. Часто встречаются задачи, которые можно решить методом перебора. При этом ученик как бы экспериментирует, наблюдает, сопоставляет факты и на основании частных выводов делает те или иные общие заключения. В процессе этих наблюдений обогащается его реально-практический опыт.
Именно в этом и состоит практическая ценность задач на перебор. При этом слово «перебор» используется в смысле разбора всех возможных случаев, которые удовлетворяют условие задачи, показав, что других решений быть не может. Встречаются задачи, в которых алгебраический или арифметический метод недостаточно эффективен. В этом случае при поиске решения используется метод предположения.
В математике нет каких-либо общих правил, позволяющих решить любую нестандартную задачу, т.к. такие задачи в какой-то степени неповторимы. Нестандартная задача в большинстве случаев воспринимается как вызов интеллекту и порождает потребность реализовать себя в преодолении препятствия [10].
Глава 2. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ В СТАРШИХ КЛАССАХ
2.1 Особенности решения текстовых задач
С термином «задача» люди постоянно сталкиваются в повседневной жизни как на бытовом, так и на профессиональном уровне. Каждому из нас приходится решать те или иные проблемы, которые зачастую мы называем задачами. Это могут быть общегосударственные задачи (освоение космоса, воспитание подрастающего поколения, оборона страны и т.п.), задачи определенных коллективов и групп (сооружение объектов, выпуск литературы, установление связей и зависимостей и др.), а также задачи, которые стоят перед отдельными личностями. Проблема решения и чисто математических задач, и задач, возникающих перед человеком в процессе его производственной или бытовой деятельности, изучается издавна, однако до настоящего времени нет общепринятой трактовки самого понятия «задача». В широком смысле слова под задачей понимается некоторая ситуация, требующая исследования и разрешения человеком (или решающей системой).
Отдельно стоят математические задачи, решение которых достигается специальными математическими средствами и методами. Среди них выделяют задачи научные (например, теорема Ферма, проблема Гольбаха и др.), решение которых способствует развитию математики и ее приложений, и задачи учебные, которые служат для формирования необходимых математических знаний, умений и навыков у разных групп обучаемых (школьников, слушателей курсов, студентов и др.) и направлены на изменение качеств личности обучаемого (не знал – знаю, не умел – умею и т.п.).
Учебные математические задачи различаются по характеру их объектов. В одних задачах все объекты математические (числа, геометрические фигуры, функции и т.п.), в других объектами являются реальные предметы (люди, животные, автотранспортные и механические средства, сплавы, жидкости и т.д.) или их свойства и характеристики (количество, возраст, скорость, производительность, длина, масса и т.п.). Задачи, все объекты которых математические (доказательства теорем, вычислительные упражнения, установление признаков изучаемого математического понятия и т.д.), часто называют математическими заданиями.
Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом, принято называть текстовыми (сюжетными, практическими, арифметическими и т.д.). Перечисленные названия берут начало от способа записи (задача представлена в виде текста), сюжета (описываются реальные объекты, явления, события), характера математических выкладок (устанавливаются количественные отношения между значениями некоторых величин, связанные чаще всего с вычислениями). В последнее время наиболее распространенным является термин «текстовая задача».
Текстовой задачей будем называть описание некоторой ситуации (явления, процесса) на естественном и (или) математическом языке с требованием либо дать количественную характеристику какого-то компонента этой ситуации (определить числовое значение некоторой величины по известным числовым значениям других величин и зависимостям между ними), либо установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения, либо найти последовательность требуемых действий.
Придерживаясь современной терминологии, можно сказать, что текстовая задача представляет собой словесную модель ситуации, явления, события, процесса и т.п. Как в любой модели, в текстовой задаче описывается не все событие или явление, а лишь его количественные и функциональные характеристики.
Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие (или действия) должно быть выполнено для получения ответа на требование задачи.
В каждой задаче можно выделить:
а) числовые значения величин, которые называются данными, или известными (их должно быть не меньше двух);
б) некоторую систему функциональных зависимостей в неявной форме, взаимно связывающих искомое с данными и данные между собой (словесный материал, указывающий на характер связей между данными и искомыми);
в) требование или вопрос, на который надо найти ответ.
Числовые значения величин и существующие между ними зависимости, т.е. количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними, называют условием (или условиями) задачи. В задаче обычно не одно, а несколько условий, которые называют элементарными.
Требования могут быть сформулированы как в вопросительной, так и в повествовательной форме, их также может быть несколько. Величину, значения которой требуется найти, называют искомой величиной, а числовые значения искомых величин – искомыми, или неизвестными.
Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи. Для того чтобы уяснить структуру задачи, надо выявить ее условия и требования, т.е. построить высказывательную модель задачи [10,19,20].
1. Из пункта А одновременно стартуют три бегуна и одновременно финишируют в том же пункте, пробежав по маршруту, состоящему из прямолинейных отрезков АВ, ВС, СА, образующих треугольник АВС. На каждом из указанных отрезков скорости у бегунов постоянны и равны: у первого – 10 км / ч, 16 км / ч и 14 км / ч соответственно; у второго – 12 км / ч, 10 км / ч и 16 км / ч соответственно. Третий бегун в пунктах В и С оказывается не один и меняет скорость на маршруте один раз. Установить, является ли треугольник АВС остроугольным или тупоугольным.
Решение . Обозначим стороны треугольника: . Из условия следует, что первый и последний участки — и — третий бегун пробегает вместе с первым либо со вторым; причем, если маршрут он бежит вместе с первым, то маршрут — вместе с первым, и наоборот. А поскольку он меняет скорость один раз, то его скорости на участках , и соответственно могут быть равными:
1) 10, 10, 16; 3) 12, 12, 14;
2) 10, 16, 16; 4) 12, 14, 14;
Первый вариант отпадает сразу, так как в этом случае третий бегун отстанет от второго.
По аналогичной причине отпадает второй вариант (третий бегун обгонит первого). Остаются два варианта. Соответственно имеем две системы (уравнения составляются на основании условия равенства времени, затрачиваемого на маршрут бегунами):
и
Для каждой системы легко выразить и через . Для первой системы , , — наибольшая сторона; причем , так как >. Треугольник тупоугольный. Для второй системы >т.е. этот случай невозможен.
Ответ. Треугольник тупоугольный (тупым является угол АСВ ).
2. Вася и Петя победили между собой 39 орехов. Число орехов, доставшихся любому из них, меньше удвоенного числа орехов, доставшихся другому. Квадрат трети числа орехов, доставшихся Пете, меньше числа орехов, доставшихся Васе. Сколько орехов у каждого?
Решение. Если мы обозначим через x и y количество орехов, доставшихся соответственно Васе и Пете, то без труда составим систему из одного уравнения и трех неравенств:
Сложность задачи в третьей части – в решении системы. При этом мы должны помнить, что x и y – целые положительные числа. Из уравнения найдем . Для y будем иметь систему из трех неравенств:
Из первых двух неравенств найдем . Последнее неравенство перепишем в виде Можно, конечно, решить это неравенство. Но лучше поступить иначе. Поскольку y – целое положительное число, то при будем иметь , а при будет , то . Таким образом, .
3. Пункт А находится на берегу реки, ширина которой 400 м, скорость течения 3 км / ч. Пункт В расположен ниже по течению в 4 км от А (если В1 – проекция В на берег, на котором расположен А, то АВ1 =4 км), на расстоянии 2 км 680 м от противоположного берега (А и В – по разные стороны реки). Турист выехал из А на лодке, пересек реку, оставил на берегу лодку, дошел до В и вернулся тем же путем. На всех участках, по реке и по суше, он двигался прямолинейно. Скорость лодки в стоячей воде 5 км / ч, скорость передвижения туриста пешком 3,2 км / ч. За какое наименьшее время мог проделать свое путешествие турист?
Решение. Пусть турист приплыл в точку С на противоположном берегу. Причем СD = x, где D – пункт, противоположный А (рис. 1,а ) ( АD перпендикулярен берегам ). Если время на прохождение участка АС равно t 1 , то на участке C D можно найти такую точку С 1 , что AC 1 = 5t 1 , C 1 C = 3t 1 .
Это означает, что вектор — путь, реально пройденный лодкой, мы представляем в виде суммы двух векторов: — путь, пройденный лодкой,
если бы не было течения, и — путь лодки под воздействием одного течения.
Записав для треугольника AC1 D теорему Пифагора, получим
. (1)
Аналогично, если t2 – время на пути от C до A , определив точку С 2 ниже С так, что , получим для t 2 уравнение
. (2)
Поскольку t 1 и t 2 – положительные корни соответственно уравнений (1) и (2), то
есть время передвижения на лодке. Время движения по суше равно
.
Таким образом, время, затраченное на путешествие, будет:
Рассмотрим два прямоугольных треугольника PNM и KLP : катеты одного x и 0,32, другого 4-x и 2,68, расположенных, как показано на рисунке 1,б . Тогда
.
Длина ломанной KPM будет минимальной, если точка P лежит на отрезке
KM . Но .
Таким образом, минимальное время будет:
(ч).
Ответ . Наименьшее время, за которое турист мог проделать свое путешествие часа [21].
2.2 Методика решения уравнений и неравенств
Уравнения и неравенства ‑ традиционная тема школьного курса математики, занимающая большое место, начиная с младших классов, где простейшие уравнения и неравенства до введения теории на основе свойств арифметических действий, и кончая старшими классами, где решаются трансцендентные уравнения.
Уравнения и неравенства представляют собой тот алгебраический аппарат, тот язык, на который переводятся разного рода задачи, в том числе и прикладные, строятся их математические модели.
Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств. Одну из наиболее часто встречающихся идей хорошо иллюстрирует решение следующего простого неравенства:
1. Решить неравенство: .
Решение. Есть два стандартных пути решения: возведение в квадрат (при условии ; если же , неравенство выполняется) и замена неизвестного .
Рассмотрим еще один способ – нестандартный. Функция, расположенная в левой части, монотонно возрастает, в первой части убывает. Из очевидных графических соображений следует, что уравнение имеет не более одного решения, причем если x 0 – решение этого уравнения, то при будет , а решением данного неравенства будет . Значение x 0 легко подбирается: x 0 = 1.
Ответ . [16].
2. Решить уравнение: .
Решение. Данное уравнение имеет очевидное решение x = 1. Докажем, что других решений нет. Поделим обе части на , получим . Левая часть представляет собой монотонно убывающую функцию. Следовательно, каждое свое значение она принимает один раз, т.е. данное уравнение имеет единственное решение.
Итак, основная идея, на которой основывались решения этих двух примеров, весьма проста: если f( x) монотонно возрастает, а φ(x) монотонно убывает, то уравнение f( x) = φ( x) имеет не более одного решения, причем если x = x 0 – решение этого уравнения, то при x > x 0 (x входит в область определения обеих функций f( x) и φ( x) ) будет f( x) > φ( x) , а при x 1 эта функция монотонно убывает. Это можно сделать, например, стандартным образом: найти производную
и доказать, что при t > 1 . Покажем другой способ:
.
Получившаяся функция, очевидно, является убывающей (основание растет, под знаком логарифма функция убывает).
Наше уравнение имеет вид: , значит, . Слева функция возрастающая, следовательно, решение единственно, оно легко находится подбором: x = 4.
Уравнения вида f( f ( x) ) = x . При решении уравнений указанного вида полезна бывает теорема:
Если y = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнения
Доказательство. То, что уравнение (Б) является следствием уравнения (А), очевидно: любой корень (А) удовлетворяет (Б). (Если
Верна ли теорема для монотонно убывающей функции?
Замечание. Если y = f ( x) монотонно возрастает, то при любом k уравнения и f ( x) = x эквивалентны.
Приведем несколько примеров использования этой теоремы [22].
1. Решить уравнение: .
Решени е. Перепишем уравнение . Рассмотрим функцию . Эта функция монотонно возрастает. Имеем уравнение
f ( f ( x)) = x. В соответствии с теоремой заменяем его на эквивалентное уравнение f ( x) = x или .
.
2. Решить уравнение:
.
Решение. Преобразуем уравнение: .
Данное уравнение имеет вид: f ( f ( x)) = x, где .
Согласно теореме имеем эквивалентное уравнение: ,
.
Ответ. [14].
3. Решить систему уравнений :.
Решение. Рассмотрим функцию . Поскольку
при всех t , то f ( t) возрастает.
Согласно теореме x удовлетворяет уравнению f ( x) = x или
.
Использование экстремальных свойств рассматриваемых функций. Оценки. Основные идеи этого пункта достаточно хорошо видны из примеров:
1. Решить уравнение: .
Решение. Левая часть данного уравнения не превосходит 2, а правая- не меньше 2. Следовательно, равенство может иметь место лишь при условии, что левая и правая части равны 2, т.е. x = 0.
Замечание. Данная ситуация, когда наименьшее значение функции, расположенной в одной части уравнения, равно наибольшему значению функции, расположенной в другой части, может быть обобщена. Более общий случай – уравнения вида f ( x) = φ ( x) , для которых при всех допустимых x (формально мы можем переписать это уравнение в виде
f ( x) = φ ( x) = 0, в результате приходим к уже рассмотренной ситуации, поскольку наибольшее значение правой части равно нулю).
2. Решить уравнение: .
Докажем, что данное уравнение не имеет решений. Перейдем к следствию (потенцируем): .
Оценим левую часть на основании неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим
:
т.е. левая часть меньше правой. Уравнение не имеет решений.
Ответ. Нет решения.
3. Решить систему уравнений:
Решение. Докажем, что .
Пусть для определенности x 5 > x 4 , тогда из первых двух уравнений получим , откуда и тем более . Далее из третьего и четвертого получаем и тем более . Из последней пары находим . Получилось противоречие ( и , т.е. , а предположили, что ).
Значит, , отсюда и т.д., все неизвестные равны между собой.
Ответ. (0, 0, 0, 0,0); .
Нестандартные по формулировке задачи, связанные с уравнениями или неравенствами. К данной категории, в частности, относятся задачи, в которых требуется определить число корней заданного уравнения, доказать существование корня на определенном промежутке, решить уравнение или неравенство на заданном промежутке. Рассмотрим несколько примеров.
1. Доказать, что уравнение имеет одно положительное решение и одно отрицательное решение.
Решение. Единственность положительного решения достаточно очевидна. Это следует из того, что при , где f ( x )- левая часть заданного уравнения, т.е. f ( x ) при монотонно возрастает, а .
Докажем единственность отрицательного корня. Можно поступить следующим образом. Рассмотрим функции
.
Докажем, что если , то . (Из этого будет следовать наше утверждение, поскольку в данном случае возрастает везде, где .)
Имеем
.
Значит, при .
2. Найти все целые значения x, удовлетворяющие неравенству
.
Решение. Область определения левой части неравенства . Значит, нам достаточно рассмотреть три значения x : 1, 2, 3.
Если , то левая часть равна .
Если , то .
Если , то .
3. Найти все целые x, удовлетворяющие неравенству
.
Решение. Рассмотрим функцию .
Докажем, что, начиная с некоторого x , f ( x) возрастает. Это можно было сделать обычным путем, оценивая производную. Мы сделаем иначе. Нам достаточно доказать возрастание функции для целых x , т.е. что
.
Имеем
.
Последнее неравенство выполняется при , т.е. для всех допустимых целых x .
Нам осталось найти наибольшее целое, для которого (или наименьшее, для которого ).
. Далее,.
Тригонометрические уравнения. К нестандартным следует отнести также уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.
1. Решить уравнение: .
Решение. По определению обратных тригонометрических функций
. Найдем .
Эта задача сводится к следующей: «Найти cos α , если и
()».
Поскольку cos α >0 , то .
Получаем уравнение , откуда . Получаем для x два значения:
.
Второе значение для x не подходит, поскольку .
Ответ. .
Замечание. Данное уравнение можно решить и иначе. Обозначим левую и правую части данного уравнения через y . Тогда . Для y имеем тригонометрическое уравнение, сводящееся к квадратному относительно
По смыслу задачи , следовательно, , значит,
.
Не так уж редко встречаются уравнения, решение которых основывается на ограниченности функций cos x и sin x .
2. Решить уравнение: .
Решение. Поскольку , то левая часть не
превосходит 3 и равна 3, если .
Для нахождения значений x , удовлетворяющих обоим уравнениям, поступим следующим образом. Решим одно из них. Затем среди найденных значений отберем те, которые удовлетворяют и другому.
Начнем со второго: .
Тогда .
Понятно, что лишь для четных k будет .
Ответ. [2].
4. Найти в градусах корень уравнения:, если .
Решение. Уравнение является однородным второго порядка. Разделив обе части на , получим уравнение , квадратное относительно . Решив его, найдем
По условию , значит, . При этих значениях аргумента , следовательно, уравнение не имеет решения.
Из уравнения находим . Значит, . Придавая значения , выбираем , удовлетворяющие условию . При получим .
Ответ. [17].
Тригонометрические неравенства. Тригонометрическими неравенствами называются неравенства вида , где ‑ одна из тригонометрических функций . При решении этих неравенств удобно использовать график соответствующей тригонометрической функции.
1. Решить неравенство:.
Решение. Здесь должно выполняться условие , т.е. . Произведем преобразования:
.
Так как при , то достаточно решить неравенство , т.е. . Полагая и построив график функции (рис. 2), устанавливаем, что
или . В эти интервалы значения не входят.
Ответ. , где .
2. Решить неравенство: .
Решение. Преобразуем левую часть равенства:
Остается решить неравенство , т.е. . Полагая и построив график функции (рис.2) находим
или . Отсюда .
Ответ. .
3. Решить неравенство:.
Решение. Последовательно преобразуя левую часть неравенства, получим
Итак, имеем неравенство или . Полагая , с помощью графика функции (рис.3),
, откуда , т.е. , .
Ответ. , [6].
2.3 Особенности решения задач с параметрами
Общеизвестно, что на вступительных экзаменах в вузы часто встречаются задачи, которым в «традиционном» школьном курсе в силу различных причин уделяется мало внимания.
Одним из видов таких упражнений являются задачи, содержащие параметры. В школьных учебниках практически нет заданий на эту тему. Однако овладение методикой их решения мне кажется очень полезным: оно существенно повышает уровень логической подготовки учащихся, позволяет чуть по-новому, как бы изнутри взглянуть на такие «банальные» функциональные зависимости, подробно анализируемые школьной программой, как, к примеру, линейные и квадратные многочлены.
Уравнения и неравенства с параметрами. В подобного рода задачах встречаются два вида символов: неизвестные или переменные (обычно обозначаются буквами x , y , z ,… ) и параметры (a , b , c ,… ). Конечно разница между ними весьма условна, в известной степени можно сказать, что параметр – это переменная, значение которой считается фиксированным, и каждое значение параметра определяет относительно заданного неизвестного соответствующее уравнение (неравенство, систему). Иными словами, уравнение с параметром является фактически семейством уравнений, рассматриваемых при фиксированном значении параметра.
Введение параметра способствовало появлению качественно новых типов задач, вдохнуло, если так можно выразиться, новую жизнь в такие традиционные виды задач, как решение уравнений и неравенств.
1. Решить уравнение:.
Решение. Возводим обе части в квадрат (условие ):
Еще раз возводим в квадрат (условие ). Получаем окончательное уравнение
,
среди решений, которого надо найти те, для которых Получившееся уравнение имеет четвертую степень относительно неизвестного , но зато является квадратным относительно параметра . Попробуем этим обстоятельством воспользоваться:
Теперь левая часть уравнения раскладывается на множители
Наше уравнение распадается на два:
и ,
каждое из которых надо решить при условии, что
Начнем с уравнения . Поскольку то из того, что , следует, что . Значит, нам достаточно найти лишь те решения, для которых ; тогда неравенство будет выполняться автоматически. Но сумма корней (если они есть) равна ; следовательно, уравнение может иметь лишь один неотрицательный корень при условии . Значит, при будет .
Перейдем ко второму уравнению . Из этого уравнения . Левая часть неположительная, правая неотрицательная. Равенство возможно лишь, если .
Ответ. Если , то ;
если , то ;
при остальных решений нет [21].
2. При каких значениях параметра а уравнение имеет корни сумма которых равна нулю ?
Решение. Это уравнение – квадратное, его дискриминант
.
Сумма корней уравнения равна и по условию задачи она равна нулю, т.е. , что возможно при . Теперь необходимо осуществить контроль неотрицательности дискриминанта при этих значениях . При дискриминант положителен, тогда как при дискриминант оказывается отрицательным.
Ответ. [3].
3. При каких значениях параметра квадратное уравнение имеет корни одного знака ?
Решение. Так как по условию задачи рассматриваемое уравнение – квадратное, то (иначе формулировка задачи не имеет смысла). Очевидно, условие задачи предполагает также существование корней квадратного уравнения, что означает неотрицательность дискриминанта. Если , то квадратное уравнение имеет один корень (два равных корня).
Так как по условию корни должны быть одинаковых знаков, то
, т.е. .
Решением последнего неравенства является
.
С учетом условий и получим .
Ответ. [7].
4. Для каждого неотрицательного значения параметра решить неравенство .
Решение. Левая часть неравенства представляет собой многочлен как относительно , так и относительно параметра . Степени соответственно равны 4 и 3. Однако если умножить многочлен на , а затем сделать замену , то в новом многочлене максимальная степень параметра будет равна 2. Случай дает нам ответ . Будем теперь считать, что . Умножив обе части неравенства на и сделав замену , получим
.
Левая часть представляет собой квадратный трехчлен относительно :
,
.
Раскрывая левую часть неравенства на множители, получим
,
.
Второй множитель положителен при всех , если . Приходим к неравенству , откуда, если , ; если , ‑ любое. Возвращаясь к , получим ответ.
Ответ. Если , то ;
если , то ;
если , то ‑ любое [21].
5. Найти все значения параметра , при которых существует единственное значение , при котором выполняется неравенство
.
Решение. Обозначим () и перейдем к основанию 5. Получим:
.
Функция от , расположенная в числителе, монотонно убывает. Нетрудно подобрать значение , при котором она обращается в нуль:.
Если , то решением неравенства относительно будет , а следовательно, исходное неравенство не может иметь единственного решения. (Неравенство при любом имеет бесконечно много решений.)
Значит, и решением относительно будет . Возвращаясь к , будем иметь . Для того чтобы существовало единственное значение , удовлетворяющее последним неравенствам, необходимо и достаточно, чтобы наименьшее значение квадратного трехчлена равнялось бы 4, т.е. .
Ответ. [5].
6. Найти все значения , при каждом из которых множество решений неравенства не содержит ни одного решения неравенства .
Решение. Нам надо найти все , такие, что при всех имеет место неравенство . Решение последнего неравенства при данном относительно состоит из двух лучей, исключается внутренняя часть отрезка с концами и (какой из них левый, а какой правый‑неважно). Но если меняется от ‑1 до 1, то меняется от 0 до 1, а меняется от 1 до 3. Теперь понятно, что не может принимать значения от 0 до 3, а при всех или заданное условие выполняется.
Ответ. [22].
Графические методы решения задач с параметрами. Задачи с параметрами требуют к себе своеобразного подхода по сравнению с остальными – здесь необходимо грамотное и тщательное исследование. Для применения графических методов требуется умение выполнять построение различных графиков, вести графическое исследование, соответствующее данным значениям параметра.
1. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно 2 решения?
Решение. Рассмотрим функцию .
Графиком такой функции является ломанная из трех звеньев. Найдем точки излома:
1) ;
2) .
Так как ; , то и ‑ точки излома. Заметим, что , если и имеет минимум в одной из точек или .
С геометрической точки зрения количество решений уравнения ‑ это количество точек пересечения при каждом фиксированном значении параметра ‑ ломанной, состоящей из трех звеньев, и прямой .
По рис. 4 видно, что уравнение имеет ровно 2 решения, если значение в точке минимума меньше 27. Причем значение в другой из точек излома несущественно. Значит необходимо выполнение одного из двух неравенств:
или .
Так как , то первое неравенство равносильно неравенству . А поскольку , то второе неравенство равносильно неравенству
.
Объединением полученных интервалов будет интервал .
Ответ. Уравнение имеет два решения при [7].
2. При любом значении параметра решить неравенство
.
Решение. Рассмотрим плоскость и изобразим на ней множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству рис.5. Сначала изобразим область, для точек которой имеет смысл . Это будет полуплоскость (правее и ниже прямой ), из которой удалены части прямых . Вне полосы, ограниченной прямыми и , будет , и, следовательно, после потенцирования неравенства получим .
Последнему неравенству соответствует область под параболой (при этом ).
Внутри полосы будет . На рисунке 5 область , для точек которой , заштрихована. (Заметим, что парабола касается прямой ) Теперь ось точками разбита на шесть участков, на каждом из которых легко выписывается решение нашего неравенства. Для этого берем на соответствующем участке, проводим горизонтальную прямую, находим значения , соответствующие концам отрезков этой прямой, попавших в заштрихованную зону.
Например, если , то получаем два отрезка, концы первого: и (меньший корень уравнения ), второго: и .
Ответ. Если , , решений нет;
если , то ;
если , то и ;
если , то и ;
если , то и ;
если , то ;
если , то и [4].
2.4 Педагогический эксперимент и анализ результатов
С целью практического обоснования выводов, полученных в ходе наблюдения за деятельностью учащихся 10 «А» и 10 «Б» классов был проведен частичный психолого-педагогический эксперимент в МОУ СОШ №3 г. Ставрополя.
Работа предусматривала несколько этапов. На первом этапе проводился констатирующий эксперимент, направленный на выяснение уровня сформированности методов научного познания у учащихся.
На следующем этапе была проведена серия экспериментальных занятий, направленных на формирование у учащихся основ методов научного познания.
Заключительный этап исследования проводился теми же методами, что и первый. Затем следовало подведение итогов опытно-экспериментальной работы. Рассмотрим подробнее каждый из этапов.
2.4.1 Констатирующий этап эксперимента
В опытно-экспериментальной работе участвовали два класса 10 «А» ‑ контрольный класс, 10 «Б» ‑ экспериментальный класс. В контрольном классе участвовало 18 человек и в контрольном такое же число, таким образом, участвовало 36 человек.
В рамках данного этапа были использованы следующие методы:
• метод математической и статистической обработки данных.
На данном этапе эксперимента были опробирваны задания. Цель их состояла в выявлении уровня общей сформированности методов научного познания. На этом этапе принимало участие два класса.
1. На какие числа без остатка делятся данные числа 237237, 312312, 568568, 749749?
2. Три синих попугая капитана Флинта съедают 3 кг корма за три дня, пять зеленых попугаев – 5 кг корма за 5 дней, а семь оранжевых – 7 кг корма за 7 дней. Какие попугаи самые прожорливые?
г) все одинаковы
д) невозможно определить
3. Выражение 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + … ‑ 60 равно
4. Известно, что Число x увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличилось z ?
б)
в)
5. Напротив клетки попугая висят часы. Он беспрерывно говорит по-испански, когда угол между стрелками часов острый, по-португальски, когда этот угол тупой, и молчит лишь тогда, когда этот угол прямой. Что он делал дольше в течение суток?
а) говорил по-испански
б) говорил по-португальски
г) ответ зависит от момента начала наблюдения
д) по-испански он говорил столько же, сколько по-португальски
Проанализировав работы, мы получили диаграмму.
1 – полностью верно
2 – частично верно
4 – не приступили к выполнению задания
Как видно из диаграммы на данном этапе работы нет существенных отличий экспериментального и контрольного классов. По полученным данным можно судить, что сформированность методов научного познания находится на уровне ближе к среднему.
2.4.2 Поисковый этап исследования
На данном этапе осуществлялся подбор заданий для работы с учащимися для получения результатов исследования.
С этой целью была проанализирована научная литература по проблеме исследования, отобраны, систематизированы и дополнены задания, упражнения, игры, которые бы помогли освоить методы научного познания учащимся.
2.4.3 Формирующий этап эксперимента
Эксперимент длился с января по март 2004 года. В течение этого времени экспериментальный класс в ходе учебно-воспитательного процесса получал дополнительные задания на уроках математики.
Цель этого этапа заключалась в проверке эффективности подобранной системы заданий в реальной практике.
Второй срез был проведен в конце формирующего этапа эксперимента. Целью этого среза было выявление уровня эффективности проводимой опытно-экспериментальной работы. Предложенные задания были повышенной трудности по сравнению с первым срезом.
1. Уравнение не может иметь
а) 3 положительных решения
б) 1 положительное и 2 отрицательных решения
в) 1 положительное решение и 0 отрицательных
г) 1 положительное и 1 отрицательное решение
2. Автомат делит четное число пополам, а нечетное увеличивает на 5. Известно, что за 3 шага автомат получил из нечетного числа n число 35. Какова сумма цифр числа n ?
3. Когда идет дождь, кошка сидит в комнате или в подвале. Когда кошка в комнате, мышка сидит в норке, а сыр лежит в холодильнике. Если сыр на столе, а кошка – в подвале, то мышка – в комнате. Сейчас идет дождь, а сыр лежит на столе. Тогда обязательно
а) кошка в комнате
б) кошка в норке
в) кошка в комнате или мышка в норке
г) кошка в подвале, а мышка в комнате
д) такая ситуация невозможна
4. График функции представлен на рисунке
5. Отношение углов треугольника равно 1 : 5 : 6. Длина наибольшей стороны – 6 см. Какова длина высоты, опущенной на наибольшую сторону?
После анализа работ были получены следующие показатели, которые отображены в диаграмме.
1 – полностью верно
2 – частично верно
4 – не приступили к выполнению задания
Из диаграммы видно, что в экспериментальном классе значительно больше учащихся полностью верно выполняют предложенные задания, нет учащихся, которые бы вообще не приступали к выполнению заданий. Результаты каждого класса позволяют сделать вывод, что уровень знаний увеличился в рамках собственного класса.
Из анализа результата можно сказать, что гипотеза подтвердилась, решение задач повышенной трудности будет способствовать развитию всех познавательных процессов школьников, а также математической интуиции и творческого подхода к решению самых разнообразных задач.
Решение задачи крайне сложный процесс, при описании которого невозможно исчерпать все многообразие его сторон. Дать учащимся правила, позволяющие решить любую нестандартную задачу, невозможно, ибо нестандартные задачи в какой-то степени неповторимы, а универсального метода, позволяющего решить любую задачу, к сожалению, нет. Даже строгое выполнение всех указаний и следование советам учителя не сможет творческий процесс отыскания решений нестандартных задач уложить в определенные схемы.
Задачи повышенной трудности служат переходным мостом от классной работы к внеклассной, служат хорошим материалом для выявления наиболее способных к математике учащихся, для дополнительных заданий, как в школе, так и дома.
Последовательное осуществление органической связи между повседневной учебной работой на уроках и внеклассной работой с помощью задач повышенной трудности позволит учителю добиться больших успехов в развитии математических способностей отдельных учащихся и всего класса в целом.
1. Алексеев В., Бородин П., Галкин В., Панферов В., Сергеев И., Тарасов В. Разные стандартные и нестандартные задачи // Математика, 2002. ‑ №36. – С. 24-27.
2. Генкин Г.З., Глейзер Л.П. Преподавание в классе с углубленным изучением математики // Математика в школе, 1991. ‑ №1. – С. 20-22.
3. Евсеева А.И. Уравнения с параметрами // Математика, 1998. ‑ №2. – С. 10-14.
4. Епифанова Т.Н. Графические методы решения задач с параметрами // Математика, 1998. ‑ №2. – С. 17-23.
5. Ефремов В.П., Ефремова Л.И. Нестандартные задачи на уроках и после // Математика, 2003. ‑ №7. – С. 56-58.
6. Задачи письменного экзамена по математике за курс ср. школы: условия и решения. Вып I / Д.И.Аверьянов и др. – М.: «Школа – Пресс», 1993. – 128 с.
7. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учеб.пособие для 10-11 классов сред.шк. / Б.М.Ивлев и др. – М.: Просвещение, 1993. – 46 с.
8. Кожухова С.А., Кожухов С.К. Свойства функций в задачах с параметром // Математика, 1998. ‑ №2. – С. 14-17.
9. Кордемский Б.А. Очерки о математических задачах на смекалку. Пособие для учителей. – М.: Учпедгиз, 1958. – 116 с.
10. Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1991. – 237 с.
11. Кучугурова Н.Д. Интенсивный курс методики преподавания математики: Учебное пособие. – Ставрополь: Изд-во СГУ, 2001. – 231 с.
12. Методика преподавания математики в средней школе / Общая методика / Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985. – 336 с.
13. Методическое пособие по математике для поступающих в вузы №1 / Под ред. А.А. Тырымова. – Волгоград: Изд. «Учитель», 1997. – 80 с.
14. Методическое пособие по математике для поступающих в вузы №3 / Под ред. А.А. Тырымова. – Волгоград: Изд. «Учитель», 1997. – 55 с.
15. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе. – Минск: Высшая школа, 1990. – 267 с.
16. Руководство к решению задач по математике: Справ. пособ. для поступающих в вузы / В.А. Протасеня, Л.А. Залетаева, Г.Т. Пушкина-Варчук, Т.Н. Чуракова; Под общ. ред. В.А. Протасени. – Минск: Высш. шк., 1991. – 350 с.
17. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. В 2-х кн. Кн.1. Алгебра: Учеб.пособие / В.К.Егорьев, В.В.Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; под ред. М.И.Сканави. – М.: Высшая школа, 1998. – 528 с.
18. Столяр А.А. Педагогика математики: Учебное пособие для физико-математических факультетов пед. ин-ов. – Минск.: Высшая школа, 1986. – 414 с.
19. Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математике: Пособие для учителей, методистов и педагогических высших учебных заведений. – М.: Флинта, 1998. – 224 с.
20. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред. шк. – М.: Просвещение, 1989. – 191 с.
21. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб.пособие для 10 кл. ср. шк. – М.: Просвещение, 1989. – 350 с.
22. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб.пособие для 11 кл. ср. шк. – М.: Просвещение, 1991. – 383 с.
http://cyberleninka.ru/article/n/realizatsiya-preemstvennosti-v-obuchenii-matematike-v-osnovnoy-i-starshey-shkole-na-primere-izucheniya-uravneniy
http://www.bestreferat.ru/referat-235809.html