Романко курс разностных уравнений скачать

Курс разностных уравнений, Романко В.К., 2012

К сожалению, на данный момент у нас невозможно бесплатно скачать полный вариант книги.

Но вы можете попробовать скачать полный вариант, купив у наших партнеров электронную книгу здесь, если она у них есть наличии в данный момент.

Также можно купить бумажную версию книги здесь.

Курс разностных уравнений, Романко В.К., 2012.

Учебное пособие содержит основные методы исследования разностных уравнений и систем таких уравнений. Эти методы достаточно полно проиллюстрированы примерами. Для закрепления теоретических знаний в пособии приведены также задачи по разностным уравнениям, пригодные как для самостоятельного решения учащимися, так и для составления контрольных работ преподавателями. Пособие предназначено студентам, аспирантам и преподавателям экономических, биологических, физических и других факультетов прикладного профиля.

Предисловие.
Многим системам различной природы свойствен дискретный по времени режим работы. Вот лишь некоторые возможные примеры: а) типичные банковские операции, к которым относятся регулярные ежемесячные взносы, б) экономические модели, в которых используются периодически определяемые индексы и показатели, в) медицинские назначения больному («по две таблетки каждый день»), г) модели эволюционного процесса, характеризующие изменения в популяциях от поколения к поколению, д) дискретные технические системы управления цифровыми сигналами (системы телеметрии, передающие периодические данные с различных метеостанций, космических зондов или нефтяных скважин).

Оглавление.
Предисловие.
Часть I.Методы исследования разностных уравнений.
Часть II.Задачи и ответы.
Приложение. Комплексные числа.

По кнопкам выше и ниже «Купить бумажную книгу» и по ссылке «Купить» можно купить эту книгу с доставкой по всей России и похожие книги по самой лучшей цене в бумажном виде на сайтах официальных интернет магазинов Лабиринт, Озон, Буквоед, Читай-город, Литрес, My-shop, Book24, Books.ru.

По кнопке «Купить и скачать электронную книгу» можно купить эту книгу в электронном виде в официальном интернет магазине «ЛитРес» , и потом ее скачать на сайте Литреса.

По кнопке «Найти похожие материалы на других сайтах» можно найти похожие материалы на других сайтах.

On the buttons above and below you can buy the book in official online stores Labirint, Ozon and others. Also you can search related and similar materials on other sites.

Курс разностных уравнений — В. К. Романко

Информация о книге:

Учебное пособие содержит основные методы исследования разностных уравнений и систем таких уравнений. Эти методы достаточно полно проиллюстрированы примерами. Для закрепления теоретических знаний в пособии приведены также задачи по разностным уравнениям, пригодные как для самостоятельного решения учащимися, так и для составления контрольных работ преподавателями. Пособие предназначено студентам, аспирантам и преподавателям экономических, биологических, физических и других факультетов прикладного профиля.

Полная версия ]]>

Курс разностных уравнений В. К. Романко

«В. К. Романко Разностные уравнения 3 е издание (электронное) УДК 517 ББК 22.161.6 Р69 Романко В. К. Р69 Разностные уравнения [Электронный ресурс] : учебное пособие / . »

3 е издание (электронное)

Р69 Разностные уравнения [Электронный ресурс] : учебное пособие / В. К. Романко. — 3-е изд. (эл.). — Электрон. текстовые

дан. (1 файл pdf : 111 с.). — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10″.

Пособие состоит из двух частей. В первой части содержатся

теоретические сведения, проиллюстрированные примерами, во второй — задачи по разностным уравнениям.

Для студентов экономических, биологических, физических и других факультетов, программы курсов которых предполагают изучение дискретных динамических систем.

УДК 517 ББК 22.161.6 Деривативное электронное издание на основе печатного аналога: Разностные уравнения : учебное пособие / В. К. Романко. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — 108 с. : ил. — ISBN 5-94774-343-4.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006 c ISBN 978-5-9963-2661-7 Оглавление Предисловие.

Часть I. Методы исследования разностных уравнений.

Глава 1. Линейные разностные уравнения первого порядка 5 Глава 2.

Общие свойства и методы решения линейных разностных уравнений порядка n.

Глава 3. Линейные разностные стационарные уравнения.

24 Глава 4. Нормальные линейные системы разностных уравнений. Общие понятия.

Глава 5. Линейные стационарные системы разностных уравнений.

Глава 6. Понятие о методах решения нелинейных разностных уравнений и систем таких уравнений.

. 60 Глава 7. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия автономной системы разностных уравнений. 63 Глава 8. Устойчивость периодических решений и

Теория разностных уравнений находит многообразные приложения во многих областях естествознания при моделировании поведения систем различной природы. Разностные уравнения обычно возникают тогда, когда рассматриваемая величина регистрируется через некоторые (как правило, равные) промежутки времени. Например, так называемая паутинообразная модель рынка одного товара описывается разностным уравнением вида Pt+1 = aPt + b, где Pt — цена товара в период t, a и b — некоторые числа.

При моделировании относительной численности какоголибо биологического вида появляется разностное уравнение вида xn+1 = xn (1 xn ), 2794633475-11 где xn — относительная численность популяции в n-й момент времени, а — коэффициент размножения.

В задачах описания, анализа и синтеза дискретных динамических систем управления математические модели таких систем описываются разнообразными разностными уравнениями.

В современной теории нелинейных колебаний разностные уравнения появляются либо самостоятельно, либо при переходе от дифференциальных уравнений к точечным отображениям Пуанкаре. Такой переход в трехмерном случае значительно упрощает исследование.

В математике основным источником разностных уравнений являются дифференциальные уравнения. Имеются в виду разностные схемы, используемые для приближенного решения дифференциальных уравнений.

Многие факты теории линейных дифференциальных уравнений верны и для линейных разностных уравнений, хотя есть и некоторые различия.

Отличие разностных уравнений от дифференциальных уравнений проявляется в наибольшей степени, когда уравнения нелинейны. Например, поведение решений одномерных разностных уравнений может быть таким же 4 Предисловие сложным, как и поведение решений многомерных разностных уравнений. Для динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, сложное поведение имеется лишь в пространствах большой размерности (n 3).

Таким образом, многочисленные применения разностных уравнений в экономических, биологических, математических исследованиях, в теории автоматического регулирования, в теории нелинейных колебательных процессов и в других задачах требуют знания элементарной теории разностных уравнений.

В настоящем учебном пособии изложена элементарная теория разностных уравнений. Учебное пособие предназначено для первоначального ознакомления с такой теорией и рассчитано, в первую очередь, на студентов экономических, биологических, физических факультетов, факультетов прикладной математики и физики и других факультетов, программы курсов которых предполагают изучение дискретных динамических систем.

Учебное пособие состоит из двух частей. Первая часть является теоретической. В ней приведены основные методы исследования разностных уравнений и систем таких уравнений. Эти методы достаточно полно проиллюстрированы примерами.

Вторая часть учебного пособия содержит задачи по разностным уравнениям. Решение этих задач позволяет закрепить знание методов решения разностных уравнений. Эти задачи пригодны как для самостоятельно решения учащимися, так и для составления контрольных работ преподавателями.

В учебном пособии систематически используются следующие обозначения:

— начало доказательства теоремы;

— начало решения примера;

— конец доказательства теоремы;

• — конец решения примера.

Формирование представлений о методике изложения теории разностных уравнений в данном учебном пособии происходило под влиянием общения с моими коллегами по работе — профессорами Ф. Т. Алескеровым, П. Б. Гусятниковым, С. Г. Лобановым. Всем им выражаю искреннюю благодарность.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

fk, yk принадлежат множеству R.

Замечание. Условие ak = 0 для всех k N0 является существенным в определении линейного разностного уравнения первого порядка. Например, линейное разностное уравнение вида yk+1 = fk не считается уравнением первого порядка, поскольку замена k + 1 = n дает уравнение yn = fn1, которое условно можно назвать разностным уравнением нулевого порядка.

Необходимость требования для уравнения (1) условия ak = 0 для всех k N0 в дальнейшем будет понятна и из других соображений.

Уравнение (1) иногда называют линейным рекуррентным уравнением первого порядка или линейным дискретным отображением первого порядка, а дискретный аргумент k N0 6 Глава 1

Если fk 0 для всех k N0, то уравнение (1) называется линейным однородным разностным уравнением первого порядка. В противном случае уравнение (1) называется линейным неоднородным разностным уравнением первого порядка.

Заданная последовательность k, k N0, называется решением уравнения (1), если она обращает уравнение (1) в числовое тождество для всех k N0. График решения (1) представляет собой последовательность точек плоскости с координатами (k, k ) для всех k N0.

Для линейного однородного разностного уравнения первого порядка yk+1 + ak yk = 0, (2) где ak = 0 для всех k N0, формулу всех решений можно получить с помощью последовательных подстановок. Из Линейные разностные уравнения первого порядка

где C — произвольная постоянная из множества R, k N0.

Формула (3) называется формулой общего решения уравнения (2).

Для решения линейного неоднородного разностного уравнения первого порядка (1) применяется метод вариации постоянной.

В заключение отметим, что для получения общего решения уравнения (1) необходимо уметь вычислять суммы k слагаемых и произведения k сомножителей. Эти суммы и произведения часто не задают элементарные функции. Например, доказано, 2794633475-11 что уравнение (1) при ak = 1, fk = ln k, k N, не имеет решения в классе элементарных функций. В таких случаях при заданном начальном условии (6) формула решения (7) разностной задачи Коши на практике позволяет найти лишь значения решения yk при нескольких первых значениях k N.

ГЛАВА 2 Общие свойства и методы решения линейных разностных уравнений порядка n Линейным разностным уравнением порядка n называется уравнение вида yk+n + a1k yk+n1 + · · · + ank yk = fk, (1) где a1k. ank, fk — заданные функции целочисленного аргумента k N0 = <0, 1, 2, 3. >, причем ank = 0 для всех k N0, а yk — искомая функция k N0.

В дальнейшем будем считать, что все эти функции могут быть как вещественными, так и комплекснозначными. Так как функции целочисленного аргумента принято называть последовательностями, то с этой точки зрения a1k. ank, fk — заданные последовательности, а yk — искомая последовательность. Функции a1k. ank называются коэффициентами уравнения (1), а функция fk называется правой частью уравнения (1). 2794633475-11 Уравнение (1) иногда называют линейным рекуррентным уравнением порядка n или линейным дискретным отображением порядка n, а аргумент k N0 называют дискретным временем. Началом отсчета аргумента k может быть не только 0, но и любое целое число k0 0.

Условие ank = 0 для всех k N0 является существенным.

Например, уравнение yk+2 = yk+1 не считается линейным разностным уравнением второго порядка, поскольку замена k + 1 = m приводит его к виду ym+1 = ym, являющемуся линейным разностным уравнением первого порядка. Кроме того, требование ank = 0 для всех k N0, как будет ясно из дальнейшего, обеспечивает единственность решения так называемой разностной задачи Коши для (1).

Наряду с уравнением (1) иногда рассматривают и более общие линейные разностные уравнения. Уравнение вида n2 amk yk+m = fk, m=n1 где k = 0, ±1, ±2. и an1 k = 0, an2 k = 0 для всех k, называют линейным разностным уравнением порядка (n1 +n2 ).

Свойства и методы решения разностных уравнений Ясно, что заменой это уравнение сводится к уравнению (1).

Кроме таких уравнений, на практике встречается случай, когда аргумент k пробегает лишь конечное множество значений из N — множества натуральных чисел.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением уравнений вида (1).

Если fk 0 для всех k N0, то уравнение (1) называется линейным однородным уравнением порядка n. В противном случае уравнение (1) называется линейным неоднородным уравнением порядка n.

Заданная последовательность k, k N0, называется решением уравнения (1), если она обращает (1) в числовое тождество для каждого k N0. График решения (1) представляет собой последовательность точек плоскости с координатами (k, k ) для всех k N0.

Уже из гл. 1 ясно, что решение линейных разностных уравнений не определяется единственным образом. Для получения единственного решения таких уравнений необходимо задавать 2794633475-11 дополнительные условия. Если для уравнения (1) задаются дополнительные условия, то будем говорить, что задана разностная задача.

Чаще всего дополнительными условиями для уравнения (1) выступают начальные условия:

y0 = u1, y1 = u2. yn1 = un, (2) где u1, u2. un — заданные числа.

Задачу нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего начальным условиям (2), будем называть разностной задачей Коши (1)—(2).

Как будет далее установлено, условие ank = 0 для всех k N0 при определении уравнения (1) обеспечивает единственность решения разностной задачи Коши (1)—(2).

Теорема 1. Решение разностной задачи Коши (1)—(2) всегда существует и единственно.

Докажем существование решения задачи (1)—(2). Полагая k = 0 и подставляя начальные значения u1, u2. un в уравнение (1), находим значение yn = f0 a10 un. an0 u1.

12 Глава 2 Зная yn, из уравнения (1) при k = 1 можно найти значение yn+1 = f1 a11 yn a21 un. an1 u2.

Зная yn+1, из уравнения (1) при k = 2 находим значение yn+2 = f2 a12 yn+1 a22 yn a32 un. an2 u3.

И так далее. Ясно, что последовательные подстановки k N0 в уравнение (1) и использование начальных условий (2) позволяют найти любое значение решения yk разностной задачи Коши при k N0.

Единственность решения разностной задачи Коши (1)—(2) будет доказана в гл. 4.

Замечание. Если задавать начальные значения не в первых n последовательных точках, как в начальных условиях (2), то решение разностной задачи может либо не существовать, либо быть неединственным.

Например, рассмотрим уравнение 2794633475-11 yk+2 + yk = 0.

Как будет установлено в гл. 3, все решения этого уравнения имеют вид k k yk = C1 cos + C2 sin, где C1 и C2 — произвольные постоянные. Легко проверить, что при дополнительных условиях y0 = y2 = 0 разностная задача имеет бесконечно много решений, а при дополнительных условиях y0 = 0, y2 = 1 разностная задача не имеет решений.

Рассмотрим теперь линейное однородное разностное уравнение порядка n yk+n + a1k yk+n1 + · · · + an1,k yk1 + ank yk = 0, (2) где a1k. an1,k, ank — заданные функции дискретного аргумента k N0, причем ank = 0 для всех k N0. Эти функции могут принимать как вещественные, так и комплексные значения.

Для однородного уравнения (2) имеет место следующая теорема, называемая принципом суперпозиции для уравнения (2).

Свойства и методы решения разностных уравнений

«УТВЕРЖДАЮ Главный государственный санитарный врач Российской Федерации Первый заместитель Министра здравоохранения Российской Федерации Г.Г.ОНИЩЕНКО 24 июля 2001 г. Дата введения 1 октября 2001 г. 2.3.7. СОСТОЯНИЕ ЗДОРОВЬЯ НАСЕЛЕНИЯ В СВЯЗ. »

«Методические рекомендации по выявлению в лесах инвазивных видов вредителей: рыжего соснового лубоеда (Dendroctonus valens), каштановой орехотворки (Dryocosmus kuriphilus), уссурийского короеда (Polygraphus proximus), ясеневой узкотелой златки (Agrilus planipennis), американской белой бабочки. »

«Л.А. Внукова, С.А. Зырянова СОЗДАНИЕ WEB-СТРАНИЦ: ОСНОВЫ ЯЗЫКА HTML Министерство образования Российской Федерации Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Л.А. Внукова, С.А. Зырянова СОЗДАНИЕ WEB-СТРАНИЦ: ОСНОВЫ ЯЗЫКА HTML Учебно-методическое пособие Омск И. »

«МИНИСТЕРСТВО ТРУДА, ЗАНЯТОСТИ И СОЦИАЛЬНОЙ ЗАЩИТЫ РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЦЕНТР СОЦИАЛЬНОГОЙ ПОМОЩИ СЕМЬЕ И ДЕТЯМ «ГАИЛЭ» ПОДГОТОВКА НЕСОВЕРШЕННОЛЕТНИХ К ВОЛОНТЕ. »

«В.В. Старостин МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ НАНОТЕХНОЛОГИЙ В.В. Старостин МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ НАНОТЕХНОЛОГИЙ Учебное пособие 3 е издание (электронное) Под общей редакцией проф. Л. Н. Патрикеева Моск. »

«ВЫБОР И ЭКСПЛУАТАЦИЯ БЕСПРОВОДНЫЕ МИКРОФОННЫЕ СИСТЕМЫ Адаптированные к цифровому вещанию Тим Виер (Tim Vear) Учебное пособие компании Shure Официальный дистрибьютер на территории России ко. »

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ САЯНО-ШУШЕНСКИЙ ФИЛИАЛ БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ. САМООБСЛЕДОВАНИЕ И ПЕРВИЧНАЯ ДИАГНОСТИКА Учебно-методическое пособие . »

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П. КОРОЛЕВА. »

2017 www.kniga.lib-i.ru — «Бесплатная электронная библиотека — онлайн материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.