Романко в к разностные уравнения учебное пособие

Курс разностных уравнений, Романко В.К., 2012

К сожалению, на данный момент у нас невозможно бесплатно скачать полный вариант книги.

Но вы можете попробовать скачать полный вариант, купив у наших партнеров электронную книгу здесь, если она у них есть наличии в данный момент.

Также можно купить бумажную версию книги здесь.

Курс разностных уравнений, Романко В.К., 2012.

Учебное пособие содержит основные методы исследования разностных уравнений и систем таких уравнений. Эти методы достаточно полно проиллюстрированы примерами. Для закрепления теоретических знаний в пособии приведены также задачи по разностным уравнениям, пригодные как для самостоятельного решения учащимися, так и для составления контрольных работ преподавателями. Пособие предназначено студентам, аспирантам и преподавателям экономических, биологических, физических и других факультетов прикладного профиля.

Предисловие.
Многим системам различной природы свойствен дискретный по времени режим работы. Вот лишь некоторые возможные примеры: а) типичные банковские операции, к которым относятся регулярные ежемесячные взносы, б) экономические модели, в которых используются периодически определяемые индексы и показатели, в) медицинские назначения больному («по две таблетки каждый день»), г) модели эволюционного процесса, характеризующие изменения в популяциях от поколения к поколению, д) дискретные технические системы управления цифровыми сигналами (системы телеметрии, передающие периодические данные с различных метеостанций, космических зондов или нефтяных скважин).

Оглавление.
Предисловие.
Часть I.Методы исследования разностных уравнений.
Часть II.Задачи и ответы.
Приложение. Комплексные числа.

По кнопкам выше и ниже «Купить бумажную книгу» и по ссылке «Купить» можно купить эту книгу с доставкой по всей России и похожие книги по самой лучшей цене в бумажном виде на сайтах официальных интернет магазинов Лабиринт, Озон, Буквоед, Читай-город, Литрес, My-shop, Book24, Books.ru.

По кнопке «Купить и скачать электронную книгу» можно купить эту книгу в электронном виде в официальном интернет магазине «ЛитРес» , и потом ее скачать на сайте Литреса.

По кнопке «Найти похожие материалы на других сайтах» можно найти похожие материалы на других сайтах.

On the buttons above and below you can buy the book in official online stores Labirint, Ozon and others. Also you can search related and similar materials on other sites.

Разностные уравнения — В. К. Романко

Пособие состоит из двух частей. В первой части содержатся теоретические сведения, проиллюстрированные примерами, во второй – задачи по разностным уравнениям. Для студентов экономических, биологических, физических и других факультетов, программы курсов которых предполагают изучение дискретных динамических систем.

Полная версия книги ]]>

Разностные уравнения В. К. Романко

Еще книги этого автора

Информация о книге:

Учебное пособие содержит основные методы исследования разностных уравнений и систем таких уравнений. Эти методы достаточно полно проиллюстрированы примерами. Для закрепления теоретических знаний в пособии приведены также задачи по разностным уравнениям, пригодные как для самостоятельного решения учащимися, так и для составления контрольных работ преподавателями. Пособие предназначено студентам, аспирантам и преподавателям экономических, биологических, физических и других факультетов прикладного профиля.

В. К. Романко Разностные уравнения

Марья Довголевская 5 лет назад Просмотров:

1 В. К. Романко Разностные уравнения

2 3-е издание (электронное) 2015

3 УДК 517 ББК Р69 Р69 Романко В. К. Разностные уравнения [Электронный ресурс] : учебное пособие / В. К. Романко. 3-е изд. (эл.). Электрон. текстовые дан. (1 файл pdf : 111 с.). М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10″. ISBN Пособие состоит из двух частей. В первой части содержатся теоретические сведения, проиллюстрированные примерами, во второй задачи по разностным уравнениям. Для студентов экономических, биологических, физических и других факультетов, программы курсов которых предполагают изучение дискретных динамических систем. УДК 517 ББК Деривативное электронное издание на основе печатного аналога: Разностные уравнения : учебное пособие / В. К. Романко. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, с. : ил. ISBN В соответствии со ст и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации ISBN c БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006

4 Оглавление Предисловие Часть I. Методы исследования разностных уравнений Глава 1. Линейные разностные уравнения первого порядка 5 Глава 2. Общие свойства и методы решения линейных разностных уравнений порядка n Глава 3. Линейные разностные стационарные уравнения. 24 Глава 4. Нормальные линейные системы разностных уравнений. Общие понятия Глава 5. Линейные стационарные системы разностных уравнений Глава 6. Понятие о методах решения нелинейных разностных уравнений и систем таких уравнений Глава 7. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия автономной системы разностных уравнений Глава 8. Устойчивость периодических решений и бифуркации автономных систем разностных уравнений.. 74 Глава 9. Детерминированный хаос. Странные аттракторы 79 Часть II. Задачи и ответы Задачи Ответы

5 Предисловие Теория разностных уравнений находит многообразные приложения во многих областях естествознания при моделировании поведения систем различной природы. Разностные уравнения обычно возникают тогда, когда рассматриваемая величина регистрируется через некоторые (как правило, равные) промежутки времени. Например, так называемая паутинообразная модель рынка одного товара описывается разностным уравнением вида P t+1 = ap t + b, где P t цена товара в период t, a и b некоторые числа. При моделировании относительной численности какоголибо биологического вида появляется разностное уравнение вида x n+1 = λx n (1 x n ), где x n относительная численность популяции в n-й момент времени, а λ коэффициент размножения. В задачах описания, анализа и синтеза дискретных динамических систем управления математические модели таких систем описываются разнообразными разностными уравнениями. В современной теории нелинейных колебаний разностные уравнения появляются либо самостоятельно, либо при переходе от дифференциальных уравнений к точечным отображениям Пуанкаре. Такой переход в трехмерном случае значительно упрощает исследование. В математике основным источником разностных уравнений являются дифференциальные уравнения. Имеются в виду разностные схемы, используемые для приближенного решения дифференциальных уравнений. Многие факты теории линейных дифференциальных уравнений верны и для линейных разностных уравнений, хотя есть и некоторые различия. Отличие разностных уравнений от дифференциальных уравнений проявляется в наибольшей степени, когда уравнения нелинейны. Например, поведение решений одномерных разностных уравнений может быть таким же

6 4 Предисловие сложным, как и поведение решений многомерных разностных уравнений. Для динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, сложное поведение имеется лишь в пространствах большой размерности (n 3). Таким образом, многочисленные применения разностных уравнений в экономических, биологических, математических исследованиях, в теории автоматического регулирования, в теории нелинейных колебательных процессов и в других задачах требуют знания элементарной теории разностных уравнений. В настоящем учебном пособии изложена элементарная теория разностных уравнений. Учебное пособие предназначено для первоначального ознакомления с такой теорией и рассчитано, в первую очередь, на студентов экономических, биологических, физических факультетов, факультетов прикладной математики и физики и других факультетов, программы курсов которых предполагают изучение дискретных динамических систем. Учебное пособие состоит из двух частей. Первая часть явля ется теоретической. В ней приведены основные методы исследования разностных уравнений и систем таких уравнений. Эти методы достаточно полно проиллюстрированы примерами. Вторая часть учебного пособия содержит задачи по разностным уравнениям. Решение этих задач позволяет закрепить знание методов решения разностных уравнений. Эти задачи пригодны как для самостоятельно решения учащимися, так и для составления контрольных работ преподавателями. В учебном пособии систематически используются следующие обозначения: начало доказательства теоремы; начало решения примера; конецдоказательства теоремы; конецрешения примера. Формирование представлений о методике изложения теории разностных уравнений в данном учебном пособии происходило под влиянием общения с моими коллегами по работе профессорами Ф. Т. Алескеровым, П. Б. Гусятниковым, С. Г. Лобановым. Всем им выражаю искреннюю благодарность.

7 ЧАСТЬ I МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА 1 Линейные разностные уравнения первого порядка Пусть множество N 0 = <0, 1, 2, 3. >ипустьr множество всех вещественных чисел, а N множество всех натуральных чисел. Линейным разностным уравнением первого порядка называется уравнение вида y k+1 + a k y k = f k, (1) где a k заданная функция k N 0, причем a k 0для всех k N 0, f k заданная функция k N 0 и y k искомая функция k N 0. Будем считать в дальнейшем, что все значения функций a k, f k, y k принадлежат множеству R. Замечание. Условие a k 0для всех k N 0 является существенным в определении линейного разностного уравнения первого порядка. Например, линейное разностное уравнение вида y k+1 = f k не считается уравнением первого порядка, поскольку замена k +1=n дает уравнение y n = f n 1, которое условно можно назвать разностным уравнением нулевого порядка. Необходимость требования для уравнения (1) условия a k 0 для всех k N 0 в дальнейшем будет понятна и из других соображений. Уравнение (1) иногда называют линейным рекуррентным уравнением первого порядка или линейным дискретным отображением первого порядка, а дискретный аргумент k N 0

8 6 Глава 1 называют дискретным временем. Так как функции аргумента k N 0 принято называть последовательностями, то с этой точки зрения a k и f k в уравнении (1) являются заданными последовательностями, а y k искомая последовательность k N 0. Простейшие примеры уравнения (1) дают арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия и частичные суммы числового ряда. Если a k = 1 и f k = d для всех k N 0, то уравнение (1) задает арифметическую прогрессию с разностью d. Еслижеa k = q и f k = 0 для всех k N 0, то уравнение (1) задает геометрическую прогрессию со знаменателем q. Наконец, пусть для числового ряда f n n=1 k-й частичной суммой является k y k = f n. n=1 Тогда y k удовлетворяет уравнению вида y k+1 = y k + f k+1. Если f k 0 для всех k N 0, то уравнение (1) называется линейным однородным разностным уравнением первого порядка. В противном случае уравнение (1) называется линейным неоднородным разностным уравнением первого порядка. Заданная последовательность ϕ k, k N 0, называется решением уравнения (1), если она обращает уравнение (1) в числовое тождество для всех k N 0. График решения (1) представляет собой последовательность точек плоскости с координатами (k, ϕ k ) для всех k N 0. Для линейного однородного разностного уравнения первого порядка y k+1 + a k y k =0, (2) где a k 0 для всех k N 0, формулу всех решений можно получить с помощью последовательных подстановок. Из

9 Линейные разностные уравнения первого порядка 7 уравнения (2) имеем, что y 1 = a 0 y 0, y 2 = a 1 y 1 = a 0 a 1 y 0, y 3 = a 2 y 2 = a 0 a 1 a 2 y 0. y k =( 1) k a 0 a 1 a 2. a k 1 y 0. Если воспользоваться обозначением произведения знаком, то получаем формулу всех решений (2): k 1 y k = y 0 ( 1) k a j. Положим y 0 = C, A k =( 1) k k 1 j=0 a j. Заметим, что A k 0для всех k N 0 в силу определения уравнения (1). Тогда формула всех решений (2) примет вид j=0 y k = C A k, (3) где C произвольная постоянная из множества R, k N 0. Формула (3) называется формулой общего решения уравнения (2). Для решения линейного неоднородного разностного уравнения первого порядка (1) применяется метод вариации постоянной. Будем искать решение линейного неоднородного уравнения (1) в таком же виде (3), что и решение линейного однородного уравнения (2), но будем считать C не произвольной постоянной, а некоторой неизвестной функцией C k, k N 0. Итак, решение (1) ищем в виде y k = C k A k, k N 0, (4) где функцию C k найдем подстановкой y k в уравнение (1). Подстановка в (1) дает равенство вида или C k+1 A k+1 + a k C k A k = f k C k+1 A k+1 C k A k+1 = f k. Отсюда C k+1 = C k + f k, A k+1 поскольку A k+1 0для всех k N 0 в силу определения уравнения (1). Последовательными подстановками тогда получаем,

10 8 Глава 1 что k 1 f C k = C 0 + j, A j+1 j=0 где k N 0, C 0 = D произвольная постоянная из R. Таким образом, подставляя C k в формулу (4), находим формулу всех решений (1): [ ] k 1 f y k = D + j A k. (5) A j+1 j=0 Формулу (5) называют формулой общего решения линейного неоднородного разностного уравнения первого порядка (1). Из формулы (5) видно, что общее решение линейного неоднородного уравнения (1) представляет собой сумму общего решения линейного однородного уравнения (2) и некоторого частного решения линейного неоднородного уравнения (1). Пример 1. Решить уравнение ( k +2 ) 2 2k +4 y k+1 y k = k +1 k +3. Для заданного уравнения имеем, что: k 1 ( A k =( 1) k ( 1) k j +2 ) 2 =(k +1) 2, j +1 k 1 j=0 f j k 1 =2 A j+1 j=0 k 1 =2 =2 j=0 (j +2) (j +3)(j +2) 2 = k 1 1 (j +3)(j +2) =2 j=0 ( k +2 ) = k k +2. j=0 ( 1 j +2 1 ) = j +3 Следовательно, по формуле (5) получаем общее решение заданного уравнения ( y k = C + k ) (k +1) 2, k +2 где C произвольная постоянная.

11 Линейные разностные уравнения первого порядка 9 Для нахождения какого-либо конкретного решения уравнения (1) необходимо задать дополнительное условие, например, начальное условие y 0 = u, (6) где u заданное число. Задачу нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию (6), будем называть разностной задачей Коши для уравнения (1). Решение разностной задачи Коши для уравнения (1) существует, единственно при любом u R и задается формулой [ ] k 1 f y k = u + j A k, (7) A j+1 j=0 В заключение отметим, что для получения общего решения уравнения (1) необходимо уметь вычислять суммы k слагаемых и произведения k сомножителей. Эти суммы и произведения часто не задают элементарные функции. Например, доказано, что уравнение (1) при a k = 1, f k =lnk, k N, неимеет решения в классе элементарных функций. В таких случаях при заданном начальном условии (6) формула решения (7) разностной задачи Коши на практике позволяет найти лишь значения решения y k при нескольких первых значениях k N.

12 ГЛАВА 2 Общие свойства и методы решения линейных разностных уравнений порядка n Линейным разностным уравнением порядка n называется уравнение вида y k+n + a 1k y k+n a nk y k = f k, (1) где a 1k. a nk, f k заданные функции целочисленного аргумента k N 0 = <0, 1, 2, 3. >, причем a nk 0для всех k N 0, а y k искомая функция k N 0. В дальнейшем будем считать, что все эти функции могут быть как вещественными, так и комплекснозначными. Так как функции целочисленного аргумента принято называть последовательностями, то с этой точки зрения a 1k. a nk, f k заданные последовательности, а y k искомая последовательность. Функции a 1k. a nk называются коэффициентами уравнения (1), а функция f k называется правой частью уравнения (1). Уравнение (1) иногда называют линейным рекуррентным уравнением порядка n или линейным дискретным отображением порядка n, а аргумент k N 0 называют дискретным временем. Началом отсчета аргумента k может быть не только 0, но и любое целое число k 0 > 0. Условие a nk 0для всех k N 0 является существенным. Например, уравнение y k+2 = y k+1 не считается линейным разностным уравнением второго порядка, поскольку замена k +1 = m приводит его к виду y m+1 = y m, являющемуся линейным разностным уравнением первого порядка. Кроме того, требование a nk 0 для всех k N 0, как будет ясно из дальнейшего, обеспечивает единственность решения так называемой разностной задачи Коши для (1). Наряду с уравнением (1) иногда рассматривают и более общие линейные разностные уравнения. Уравнение вида n 2 m= n 1 a mk y k+m = f k, где k = 0, ±1, ±2. и a n1 k 0, a n2 k 0 для всех k, называют линейным разностным уравнением порядка (n 1 +n 2 ).

13 Свойства и методы решения разностных уравнений 11 Ясно, что заменой это уравнение сводится к уравнению (1). Кроме таких уравнений, на практике встречается случай, когда аргумент k пробегает лишь конечное множество значений из N множества натуральных чисел. В дальнейшем ограничимся рассмотрением уравнений вида (1). Если f k 0 для всех k N 0, то уравнение (1) называется линейным однородным уравнением порядка n. В противном случае уравнение (1) называется линейным неоднородным уравнением порядка n. Заданная последовательность ϕ k, k N 0, называется решением уравнения (1), если она обращает (1) в числовое тождество для каждого k N 0. График решения (1) представляет собой последовательность точек плоскости с координатами (k, ϕ k ) для всех k N 0. Уже из гл. 1 ясно, что решение линейных разностных уравнений не определяется единственным образом. Для получения единственного решения таких уравнений необходимо задавать дополнительные условия. Если для уравнения (1) задаются дополнительные условия, то будем говорить, что задана разностная задача. Чаще всего дополнительными условиями для уравнения (1) выступают начальные условия: y 0 = u 1, y 1 = u 2. y n 1 = u n, (2) где u 1,u 2. u n заданные числа. Задачу нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего начальным условиям (2), будем называть разностной задачей Коши (1) (2). Как будет далее установлено, условие a nk 0 для всех k N 0 при определении уравнения (1) обеспечивает единственность решения разностной задачи Коши (1) (2). Теорема 1. Решение разностной задачи Коши (1) (2) всегда существует и единственно. Докажем существование решения задачи (1) (2). Полагая k = 0 и подставляя начальные значения u 1,u 2. u n в уравнение (1), находим значение y n = f 0 a 10 u n. a n0 u 1.

14 12 Глава 2 Зная y n, из уравнения (1) при k =1можно найти значение y n+1 = f 1 a 11 y n a 21 u n. a n1 u 2. Зная y n+1, из уравнения (1) при k =2находим значение y n+2 = f 2 a 12 y n+1 a 22 y n a 32 u n. a n2 u 3. И так далее. Ясно, что последовательные подстановки k N 0 в уравнение (1) и использование начальных условий (2) позволяют найти любое значение решения y k разностной задачи Коши при k N 0. Единственность решения разностной задачи Коши (1) (2) будет доказана в гл. 4. Замечание. Если задавать начальные значения не в первых n последовательных точках, как в начальных условиях (2), то решение разностной задачи может либо не существовать, либо быть неединственным. Например, рассмотрим уравнение y k+2 + y k =0. Как будет установлено в гл. 3, все решения этого уравнения имеют вид y k = C 1 cos kπ 2 + C 2 sin kπ 2, где C 1 и C 2 произвольные постоянные. Легко проверить, что при дополнительных условиях y 0 = y 2 =0разностная задача имеет бесконечно много решений, а при дополнительных условиях y 0 =0, y 2 =1разностная задача не имеет решений. Рассмотрим теперь линейное однородное разностное уравнение порядка n y k+n + a 1k y k+n a n 1,k y k 1 + a nk y k =0, (2) где a 1k. a n1,k, a nk заданные функции дискретного аргумента k N 0, причем a nk 0для всех k N 0. Эти функции могут принимать как вещественные, так и комплексные значения. Для однородного уравнения (2) имеет место следующая теорема, называемая принципом суперпозиции для уравнения (2).

15 Свойства и методы решения разностных уравнений 13 Теорема 2. Если y 1k,y 2k. y mk решения линейного однородного уравнения (2), то их линейная комбинация y k = C 1 y 1k + C 2 y 2k + + C m y mk с произвольными числовыми коэффициентами C 1,C 2. C m также является решением уравнения (2). По условию теоремы имеем, что для всех k N 0 y i,k+n + a 1k y i,k+n a nk y ik =0,i = 1,m =1, 2. m. Подставив выражение для y k в уравнение (2), получаем m m m C i y i,k+n + a 1k y i,k+n a nk y ik = i=1 = i=1 i=1 m C i [y i,k+n + a 1k y i,k+n a nk y ik ]=0. i=1 Значит, y k решение (2) и теорема доказана. Определение. Функции y 1k,y 2k. y mk дискретного аргумента k N 0 называются линейно зависимыми на множестве N 0, если существуют постоянные α 1,α 2. α m, не равные нулю одновременно, такие, что α 1 y 1k + α 2 y 2k + + α m y mk =0 для всех k N 0. Если же это равенство для всех k N 0 справедливо лишь при α 1 = α 2 =. = α m =0, то функции y 1k,y 2k. y mk называются линейно независимыми на множестве N 0. Например, на множестве N 0 функции λ k 1 и λk 2, где λ 1 и λ 2 заданные ненулевые числа и λ 1 λ 2, являются линейно независимыми, а функции cos 2 kπ 2, kπ sin2, 1 являются линейно 2 зависимыми. Рассмотрим определитель y 1k y 2k. y mk y D[y 1k. y mk ]= 1,k+1 y 2,k+1. y m,k y 1,k+m 1 y 2,k+m 1. y m,k+m 1

17 Минимальные системные требования определяются соответствующими требованиями программы Adobe Reader версии не ниже 11-й для платформ Windows, Mac OS, Android, ios, Windows Phone и BlackBerry; экран 10″ Учебное электронное издание Романко Василий Кириллович РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное пособие Подписано к использованию Формат мм Издательство «БИНОМ. Лаборатория знаний» , Москва, проезд Аэропорта, д. 3 Телефон: (499)