Рост числа клеток описывается уравнением

2. Решение второго вопроса разобьем на два этапа. На первом этапе используем приближенное выражение, получаемое из уравнения Ферхюльста (2.1):

Рис.2.3. Изменение численности популяции фазанов в полулогарифмических координатах

Для этого на основе первичных данных рассчитаем дополнительные переменные и , как это указано в таблице 2.1, и представим их в виде графика, где по оси абсцисс будем откладывать , а по оси ординат — (рис.2.4).

ln ( x )

1937,008,002,0819,001,16-5,741938,0030,003,4055,500,92-4,411939,0081,004,39181,501,11-3,401940,00282,005,64461,500,78-2,061941,00641,006,46917,500,60-1,061942,001194,007,091546,000,46-0,091943,001898,007,551,15

Рис.2.4. Определение параметра K по дополнительным переменным, представленным в таб. 2.1.

Точки на графике группируются около прямой линии, которая согласно выражению (2.3) пересекает ось абсцисс в точке, соответствующей величине K (рис.2.4). В рассматриваемом случае величина параметра K равна 2500.

Рис. 2.5. Определение параметра r по данным из таблицы 2.1.

Для нахождения параметра r воспользуемся интегральной формой уравнения Ферхюльста в логарифмическом виде:

На основе ряда x рассчитаем дополнительную переменную , как указано в таблице 2.1. и построим график для этой переменной против переменной t (рис. 2.5). Как видно, экспериментальные точки группируются около прямой линии, тангенс угла которой согласно выражению (2.4) дает значение параметра r . Для рассматриваемого случая tg a = 1.13. Учитывая размерность шкал получаем искомый ответ: r = 1.13 год -1 .

Условия: В Кузнецком Алатау на одном из охотучастков велась добыча соболя. Через некоторое время охотоведы заметили резкое снижение численности популяции. Когда численность соболя на участке упала ниже известной критической величины, был сделан вывод о неконтролируемом браконьерском промысле. Контролируемый промысел был остановлен, и был организован ежегодный учет численности популяции соболя. Данные представлены в таблице 2.2 и на рис.2.6.

Рис.2.6. Изменение численности популяции соболя после отмены контролируемого промысла

Вопросы: По данным, представленным в таблице 2.2. определите, сколько соболей в год браконьеры добывали на данном участке N p , каковы кинетические параметры популяции соболей на данном участке ( r и K ), какова критическая численность популяции в условиях браконьерства x кр. и какова критическая величина промысла N кр .

Решение: Будем описывать динамику этой популяции следующим уравнением (Базыкин, 1985):

Здесь r — мальтузианский параметр, K – ресурсный параметр, N p – браконьерский промысел.

Для решения на первом этапе используем приближенную форму данного уравнения:

С этой целью на основе данных о x i и t i рассчитаем дополнительные переменные и (см. таб.2.3.), а затем построим график в этих координатах (рис.2.7). Точки на графике должны лечь на кривую, перевернутую параболу, которая пересекает ось абсцисс в точках X 1 и X 2 , соответствующих стационарным решениям уравнения (2.5).

Для исследуемой популяции по графику (рис.2.7) определяем, что X 1 = 1086 и X 2 = 2373. Из этих данных далее определяем значение параметра K , т.к. из теории (Базыкин, 1985) известно, что K = X 1 + X 2 . В нашем случае K =1086 + 2373 = 3459 особей.

Знание параметра K и значений X 1 и X 2 позволяет нам использовать для дальнейшего решения задачи интегральную форму уравнения (2.5):

Рис.2.7. Определение параметров X 1 и X 2 , по данным из таблицы 2.3.

Рассчитаем соответствующую дополнительную переменную , как указано в таб.2.3. и построим график для этой переменной против переменной t (рис.2.8).

Рис.2.8. Определение параметра r по данным из таблицы 2.3.

Для этого графика tg a = 0.517. Далее определяем значение параметра r :

Учитывая размерность осей получаем r = 1.39 год -1 .

Значение параметра N p (интенсивность браконьерского промысла) находим из выражения: ,

Критическая численность популяции в условиях браконьерского промысла, согласно теории, равна стационарному решению X 1 , поэтому x кр. = 1086 особей. Критическую величину промысла N кр находим из соотношения особей.

Тема 3. Влияние концентрации лимитирующего субстрата на скорость размножения. Уравнение Моно.

Теория : Из множества необходимых для жизнедеятельности пищевых компонентов, субстратов, потребляемых организмами исследуемой популяции, субстрат, находящийся в наименьшей доступности и лимитирующий ростовые процессы, определяет скорость размножения. Этот принцип известен как принцип минимума Либиха. Количественная зависимость удельной скорости размножения r от количества (концентрации) лимитирующего субстрата S, как правило, имеет насыщающий характер и обычно описывается уравнением Моно (Печуркин, 1978; Ризниченко, Рубин, 1993):

Уравнение Моно имеет два параметра: r max – максимально возможная скорость размножения при избытке субстрата (размерность – [время] -1 ) и K S – коэффициент насыщения (размерность – аналогичная размерности субстрата). Согласно теории коэффициент насыщения численно равен той концентрации субстрата, при которой наблюдается половинная от максимальной скорость размножения. Типичный вид зависимости Моно представлен на рис.3.1.

Рис.3.1. Зависимость удельной скорости размножения от концентрации лимитирующего субстрата в соответствии с уравнением Моно

Условия: С целью определения кинетики размножения популяции бактерий Escherichia coli (кишечная палочка) изучали рост и размножение клеток данных бактерий при различных концентрациях лимитирующего субстрата, глицерина. Клетки выращивали при оптимальных условиях и через каждые полчаса измеряли оптическую плотность культуры (показатель, отражающий численность популяции). Полученные в результате эксперимента данные представлены в таблице 3.1. и на рис.3.2.

Таблица 3.1.

Рис.3.2. Изменение оптической плотности культуры клеток E.coli при различной концентрации лимитирующего субстрата (глицерина). Здесь S50 – концентрация субстрата 50 мг/л,

S100 – концентрация субстрата 100 мг/л и т.д.

Вопросы: Определить на основе представленных экспериментальных данных кинетические параметры размножения клеток кишечной палочки (параметры уравнения Моно, r max и K S )

Решение: На первом этапе обработки экспериментальных данных определим удельную скорость роста r клеток кишечной палочки для каждой концентрации лимитирующего субстрата по алгоритму, рассмотренному в задаче 1.1. В качестве показателя, отражающего относительное изменение численности популяции во времени, будем использовать отношение соответствующих значений оптической плотности Ex t /Ex 0 (Перт,1978). Рассчитаем для каждой концентрации дополнительную переменную ln( Ex t /Ex 0 ) и построим график зависимости этой переменной от времени (таб.3.1. и рис.3.3). Экспериментальные точки для каждой концентрации должны сгруппироваться около соответствующей прямой линии, тангенс угла которой равен оценке r для этой концентрации.

Рис.3.3. Определение значений удельной скорости размножения r клеток E.coli для каждой концентрации лимитирующего субстрата. Обозначения те же, что и на рис.3.2.

Определенные таким образом значения r для каждой концентрации лимитирующего субстрата S представлены в таблице 3.2., а соответствующий график – на рис.3.4.

Рис.3.4. Зависимость удельной скорости размножения исследуемой популяции кишечной палочки от концентрации лимитирущего субстрата, глицерина

Нетрудно видеть, что зависимость удельной скорости размножения от концентрации субстрата для исследуемой популяции имеет вид кривой с насыщением и по всей видимости описывается уравнением Моно (3.1).

Для нахождения параметров уравнения Моно воспользуемся методом Корниша-Боудена, “прямым линейным графиком”, разработанным специально для подобного рода зависимостей (Корниш-Боуден, 1979). С этой целью для каждой пары < S, r >из таб.3.2 на оси абсцисс влево будем откладывать значение – S , а на оси ординат – значение r . Далее через точки <- S, 0>и <0 , r >проводим прямую линию (рис.3.5), Таких линий на графике будет пять, по числу пар < S, r >. Данные прямые по теории Корниша-Боудена должны пересечься в одной точке, координаты которой дают искомые значения параметров уравнения Моно, K S и r max . В рассматриваемой задаче из-за наличия ошибок измерений точек пересечения прямых на графике (рис.3.5) больше, около десяти. В этом случае в качестве оценки рекомендуют брать медиану.

Рис.3.5. Определение кинетических параметров размножения клеток кишечной палочки K S и r max методом Корниша-Боудена на основе данных из таб.3.2.

Таким образом, по графику на рис.3.5. определяем, что для исследуемой популяции E.coli кинетические параметры размножения имеют следующие значения:

K S = 48 мг/л, r max = 0.83 час -1 .

Условия: Изучали кинетику размножения богомола. Исходя из предположения о пропорциональности между интенсивностью поедания пищи и скоростью размножения, измеряли зависимость между плотностью распределения пищи (мух) и количеством пищи, съеденной в единицу времени одной особью. Данные представлены в таблице 3.3 и на рис.3.6.

Рис.3.6. Зависимость между плотностью распределения пищи и количеством пищи, съеденной в единицу времени, для популяции богомола

Вопросы: Определить по представленным данным кинетические параметры интенсивности поедания пищи богомолом, а также плотность распределения пищи, мух, при которой скорость размножения популяции богомола будет равна половине от максимальной.

Решение: Для ответа на первый вопрос отметим, что судя по графику на рис.3.6. кинетика поедания пищи богомолом подчиняется уравнению типа уравнения Моно:

Искомые параметры уравнения Моно I max и K S определим с помощью метода Корниша-Боудена, как это описано в задаче 3.1., используя данные из таб.3.3. Соответствующее решение предсталено на рис. 3.7.

Таким образом, для кинетики поедания мух богомолом I max = 28.5 усл.ед., K S = 0.0038 мух/м 2 .

Ответ на второй вопрос. Из пропорциональности между интенсивностью поедания пищи I и скоростью размножения r следут, что . Отсюда очевидно, что половинная скорость размножения популяции, 0.5 r ( S ), будет наблюдаться, когда плотность распределения мух S будет равна K S , т.е. 0.0038 мух/м 2 .

Рис.3.7. Определение кинетических параметров I max и K S по данным из таб.3.3 .

Условия: Исследовали кинетику размножения оленьей мыши исходя из тех же соображений, что и в задаче 3.2. Полученные данные о зависимости между плотностью распределения пищи, среднего числа коконов пильщиков на 1 м 2 , и средним числом коконов, съеденных одной мышью, представлены в таблице 3.4. и на рис. 3.8.

Среднее число коконов пильщиков на 1 м 2010204060100150200250Среднее число коконов, съеденных одной мышью02,695,199,6625,852,869,178,284

Вопросы: Проанализировать кинетику поедания коконов пильщиков оленьей мышью. Определить значения соответствующих параметров.

Рис.3.8. Зависимость между средним числом коконов пильщиков на 1 м 2 и средним числом коконов, съеденных одной мышью

Решение: На первом этапе анализа обратим внимание на то, что кривая зависимости между средним числом коконов пильщиков на 1 м 2 и средним числом коконов, съеденных одной мышью, представленная на рис.3.8, имеет два явно отличающихся участка. Первый начинается от нуля и заканчивается примерно на значении 40 коконов на 1 м 2 и характеризуется низкими значениями интенсивности поедания. Далее идет второй участок с существенно более высокими значениями интенсивности поедания, переход одного участка в другой характеризуется четко выраженным изломом на кривой.

Из этого наблюдения следует, что оленья мышь использует более сложный тип пищевого поведения. При низких плотностях пищи очевидно тип питания неспецифичен и характеризуется низким сродством к данному виду пищи. Когда же плотность пищи превышает некоторый порог, тип питания становится специфичным с повышением и сродства и скорости поедания.

Для проверки данного предположения построим график Корниша-Боудена, используя данные из таблицы 3.4.

Видно, что точки пересечения прямых на рис.3.9. группируются в двух различных областях. Это подтверждает предположение о двух кинетических типах пищевого поведения оленьей мыши: первый тип характеризуется высоким значением константы насыщения (низким сродством к пище) и низким значением максимальной интенсивности поедания пищи, второй тип – наоборот.

Рис.3.9. График Корниша-Боудена для данных из таб.3.4.

Переход от типа к типу наблюдается при плотности пищи примерно 40-50 коконов на м 2 (см рис.3.8). Для определения более точных значений кинетических параметров построим графики Корниша-Боудена отдельно для каждого участка (каждого типа пищевого поведения). Очевидно, что для второго участка с высокоспецифичным типом пищевого поведения значения абсцисс нужно брать с поправкой, уменьшать на 40 единиц. Рисунки 3.10 и 3.11 демонстрируют данный подход.

Таким образом, кинетика поедания коконов пильщиков оленьей мышью характеризуется наличием двух участков на оси плотности пищи: на первом участке (0-45 коконов на м 2 ) кинетика низкоспецифична и имеет параметры K S 1 = 250, I max 1 = 70, на втором участке (> 50 коконов на м 2 ) она более специфична с параметрами K S 2 = 7 0, I max 2 = 110.

Рис.3.10 и 3.11. Нахождение кинетических параметров I max и K S для двух различных участков пищевого поведения оленьей мыши.

K S 1 = 250, I max 1 = 70; K S 2 = 7 0, I max 2 = 110;

Презентация на тему: «Производная в химии, биологии и в медицине»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Ибрагимова Анифе Ришатовна, преподаватель высшей квалификационной категории КФ ГБПОУ РК «Джанкойский профессиональный техникум» Производная в химии, биологии и в медицине Калиновский филиал Государственного бюджетного профессионального образовательного учреждения Республики Крым «Джанкойский профессиональный техникум» Эпиграф: В науку погрузившись с головой, сижу и строю график свой. Кручу его, верчу и могу понять- как концентрацию и время мне связать? (П.Погостин) 2018 г.

Как используется производная при решении химических и биологических задач? Применение производной в медицине. Проблемный вопрос? « Как трудно было сперва уметь поддерживать огонь и как теперь легко… Так все придет, только трудитесь. Приобретайте главное свое богатство- умение себя побеждать» (Д.И.Менделеев)

Цель проекта: Выяснить как используется производная в химии, биологии и в медицине Задачи: Подобрать задачи связанные с химией и медициной , решить с помощью производной. Применить производную в своей профессии «Просто знать- еще не все, знания нужно уметь использовать». И.В.Гете

Производная помогает нам решать задачи практического характера в разных областях науки Гипотеза

Актуальность Скорость химической реакции – один из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях научно-производственной деятельности. Например, инженерам-технологам при определении эффективности химических производств, химикам, разрабатывающим препараты для медицины и сельского хозяйства, а также врачам и агрономам, использующим эти препараты для лечения людей и для внесения их в почву.

Науку все глубже постигнуть стремись, Познанием вечного жаждой томись. Лишь первых познаний блеснет тебе свет, Узнаешь: предела для знания нет. (Фирдоуси) Задача 1 Зависимость между массой х вещества, получаемого в результате некоторой химической реакции и временем t выражается уравнением Определите скорость химической реакции в момент времени t. Задача 2 Концентрация раствора изменяется с течением времени по закону: . Найти скорость растворения.

«Границ научному познанию и предсказанию предвидеть невозможно» Д.И.Менделеев Производная в медицине Предположим, что х обозначает дозу назначенного лекарства, у — функция степени реакции. у=f(x)=x²(a-x), где а — некоторая положительная постоянная. При каком значении х реакция максимальна? В результате значительной потери крови содержание железа в крови уменьшилось на 210 мг. Недостаток железа вследствие его восстановления с течением времени t уменьшается по закону мг(t – сутки). Найти зависимость скорости восстановления железа в крови от времени. Вычислить эту скорость в момент t=0 и через 7 суток.

.Значит . Тогда при . В этой точке . Значит — тот уровень дозы, который дает максимальную реакцию. Решение 2 задачи: Решение 1 задачи: Скорость восстановления железа: Знак «-» указывает на уменьшение недостачи. При скорость восстановления равна 30 мг/сутки. Через 7 суток скорость восстановления равна 11,1 мг/сут: Релаксационный процесс – это процесс возвращения системы к состоянию устойчивого равновесия, из которого она была выведена. Во многих случаях (особенно при однократном воздействии) этот процесс описывается экспоненциальным уравнением где – постоянная времени. Ее физический смысл: — это время, в течение которого начальное отклонение уменьшается в e раз (т. е. в 2,7 раза). В нашей задаче постоянная времени – 7 суток.

Применение производной в биологии Биологический смысл производной заключается в том, что по известной зависимости численности популяции можно определить относительный прирост особей. Рост числа клеток популяции описывается уравнением: Получите формулу для скорости роста численности популяции. Получите формулу для скорости роста численности популяции. Зависимость суточного удоя y в литрах от возраста коров х в годах определяется уравнением где х>2. Найдите возраст дойных коров, при котором суточный удой будет наибольшим.

Решение 1 задачи: Решение 2 задачи: Беря во внимание, что х>2, находим знаки производной на интервалах (лет)- точка максимума, возраст дойных коров, при котором суточный удой будет наибольшим.

Вывод: В данной работе рассмотрено одно из важнейших понятий математического анализа — производная функции с точки зрения её практического применения. С помощью производной можно решать самые разнообразные задачи, относящиеся к любой области человеческой деятельности. В частности, с помощью производных возможно подробное исследование функций, более точное построение их графиков, решение уравнений и неравенств, доказательство тождеств и неравенств, нахождение наибольших и наименьших значений величин. Задачи расширяют кругозор и повышают интерес к производной. Они могут быть интересны и полезны студентам, увлекающимся математикой.

Используемая литература: 1. Лисичкин : учеб. пособие для техникумов / , — М.:Высш. шк.,1991. 2. Никольский математического анализа: учеб. пособие для студ. ссузов.- М.: Дрофа, 2012. 3. Богомолов задач по математике: учеб пособие для ссузов. – М.: Дрофа, 2005. 4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. — М.: Высшая школа, 2013. Использование ресурсов сети Интернет: https://ru.wikipedia.org/wiki http://dic.academic.ru/

Краткое описание документа:

•В данной работе рассмотрено одно из важнейших понятий математического анализа — производная функции с точки зрения её практического применения. С помощью производной можно решать самые разнообразные задачи, относящиеся к любой области человеческой деятельности. В частности, с помощью производных возможно подробное исследование функций, более точное построение их графиков, решение уравнений и неравенств, доказательство тождеств и неравенств, нахождение наибольших и наименьших значений величин. Задачи расширяют кругозор и повышают интерес к производной. Они могут быть интересны и полезны студентам, увлекающимся математикой.

Производная функции и ее практическое применение (стр. 4 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4

Задача. Функция издержек имеет вид , а доход при производстве х единиц товара определяется следующим образом:

Определить оптимальное для производителя значение выпуска х0.

Функция прибыли имеет вид:

Найдем производную функции прибыли:

Очевидно, Р'(х)> 0 при х 0 при 100 200, т. е. х=200— максимальное значение Р(х) на интервале (100; + ∞).

Р (200) = 419 900 > Р (100), таким образом, xопт = 200 (ед.).

Задача. Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день.

Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

К=-х3+98х2+200х. Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200

Задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции

у= — х2+98х+200. На промежутке [20;90].

Вывод: x=49 — критическая точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической точке.

f(20)=1760 f(49)=2601 f(90)=320.

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.

6 Применение производной в медицине

Применение дифференциального исчисления в медицине сводится к вычислению скорости. Например, скорости восстановительных реакций и скорости релаксационного процесса.

Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, изменении температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. Степень реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы. С помощью производной можно вычислить, при какой дозе лекарства реакция организма максимальна. С помощью второй производной можно определить условия, при которых скорость процесса наиболее чувствительна к каким-либо воздействиям

Задача Предположим, что х обозначает дозу назначенного лекарства, у — функция степени реакции. у=f(x)=x²(a-x), где а — некоторая положительная постоянная. При каком значении х реакция максимальна?

.Значит . Тогда при . В этой точке . Значит — тот уровень дозы, который дает максимальную реакцию.

Точки перегиба важны в биохимии, так как они определяют условия, при которых некоторая величина, например скорость процесса, наиболее (или наименее) чувствительна к каким-либо воздействиям.

Задача. В результате значительной потери крови содержание железа в крови уменьшилось на 210 мг. Недостаток железа вследствие его восстановления с течением времени t уменьшается по закону мг(t – сутки). Найти зависимость скорости восстановления железа в крови от времени. Вычислить эту скорость в момент t=0 и через 7 суток.

Скорость восстановления железа:

Знак «-» указывает на уменьшение недостачи. При скорость восстановления равна 30 мг/сутки. Через 7 суток скорость восстановления равна 11,1 мг/сут:

Релаксационный процесс – это процесс возвращения системы к состоянию устойчивого равновесия, из которого она была выведена. Во многих случаях (особенно при однократном воздействии) этот процесс описывается экспоненциальным уравнением , где – постоянная времени. Ее физический смысл: — это время, в течение которого начальное отклонение уменьшается в e раз (т. е. в 2,7 раза). В нашей задаче постоянная времени – 7 суток.

7 Применение производной в химии

Скорость химической реакции – один из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях научно-производственной деятельности. Например, инженерам-технологам при определении эффективности химических производств, химикам, разрабатывающим препараты для медицины и сельского хозяйства, а также врачам и агрономам, использующим эти препараты для лечения людей и для внесения их в почву. Одни реакции проходят практически мгновенно, другие идут очень медленно. В реальной жизни для решения производственных задач, в медицинской, сельскохозяйственной и химической промышленности важно знать скорости реакций химических веществ.

Пусть дана функция m=m(t),где m-количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени t. Приращению времени Δt будет соответствовать приращение Δm величины m. Отношение Δm/Δt— есть средняя скорость химической реакции за промежуток времени Δt. Предел этого отношения при стремлении Δt к нулю — есть скорость химической реакции в данный момент времени.

Задача. Зависимость между массой х вещества, получаемого в результате некоторой химической реакции и временем t выражается уравнением Определите скорость химической реакции в момент времени t.

Надо найти производную от х по времени t

Задача. Концентрация раствора изменяется с течением времени по закону: . Найти скорость растворения.

Скорость растворение вычислим с помощью производной:

8 Применение производной в биологии

Биологический смысл производной заключается в том, что по известной зависимости численности популяции можно определить относительный прирост особей.

Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения задана уравнением: у=p(t). Пусть Δt-промежуток времени от некоторого начального значения t до t+Δt. Тогда у+Δу=p(t+Δt)— новое значение численности популяции, соответствующее моменту t+Δt, а Δy+p(t+Δt)-p(t)-изменение числа особей организмов.

Задача Рост числа клеток популяции описывается уравнением: . Получите формулу для скорости роста численности популяции.

Задача. Зависимость суточного удоя y в литрах от возраста коров х в годах определяется уравнением , где х>2. Найдите возраст дойных коров, при котором суточный удой будет наибольшим.

Беря во внимание, что х>2, находим знаки производной на интервалах

(лет)- точка максимума, возраст дойных коров, при котором суточный удой будет наибольшим.

Заключение

В данной работе рассмотрено одно из важнейших понятий математического анализа — производная функции с точки зрения её практического применения. С помощью производной можно решать самые разнообразные задачи, относящиеся к любой области человеческой деятельности. В частности, с помощью производных возможно подробное исследование функций, более точное построение их графиков, решение уравнений и неравенств, доказательство тождеств и неравенств, нахождение наибольших и наименьших значений величин.

По всем вышеперечисленным областям применения производной подобрано и сведено в сборник около двухсот задач. Каждый раздел сборника начинается с краткого изложения теоретических основ, содержит типовые задачи с решениями и наборы упражнений для самостоятельного решения. Эти задачи расширяют кругозор и повышают интерес к производной. Они могут быть интересны и полезны студентам, увлекающимся математикой.

Литература

1. Богомолов задач по математике: учеб пособие для ссузов. – М.: Дрофа, 2005.

2. Богомолов : учеб. для ссузов / , – М.: Дрофа, 2010.

3. Богомолов . Дидактические задания: учеб. пособие для ссузов / , – М.: Дрофа, 2005.

4. Истомина : вопросы и ответы: учеб. пособие для вузов. – Ростов н/Д: Феникс, 2002.

5. Лисичкин : учеб. пособие для техникумов / , — М.:Высш. шк.,1991.

6. Никольский математического анализа: учеб. пособие для студ. ссузов.- М.: Дрофа, 2012.

7. Омельченко : учеб. пособие для ссузов. – Ростов н/Д: Феникс, 2007.

8. Филимонова : учеб. пособие для ссузов. – Ростов н/Д: Феникс, 2013.