Ряд фурье для системы уравнений

Ряды Фурье с примерами решений

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие ряда Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье называется ряд вида

где числа a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , . a n , b n , . — коэффициенты Фурье.

Более сжатая запись ряда Фурье с символом «сигма»:

.

Как мы только что установили, в отличие от степенного ряда, в ряде Фурье вместо простейших функций взяты тригонометрические функции

Коэффициенты Фурье вычисляются по следующим формулам:

,

,

.

Все вышеперечисленные функции в ряде Фурье являются периодическими функциями с периодом 2π . Каждый член тригонометрического ряда Фурье является периодической функцией с периодом 2π .

Поэтому и любая частичная сумма ряда Фурье имеет период 2π . Отсюда следует, что если ряд Фурье сходится на отрезке [-π, π] , то он сходится на всей числовой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности периодических частичных сумм, является периодической функцией с периодом 2π .

Вышеупомянутое свойство видно на графике внизу: здесь график суммы ряда для функции f(x) = x . Вне отрезка [-π, π] сумма ряда является периодическим продолжением данной функции: график функции бесконечно повторяется справа и слева.

Сходимость ряда Фурье и сумма ряда

Пусть функция F(x) , определённая на всей числовой прямой и периодическая с периодом 2π , является периодическим продолжением функции f(x) , если на отрезке [-π, π] имеет место F(x) = f(x)

Если на отрезке [-π, π] ряд Фурье сходится к функции f(x) , то он сходится на всей числовой прямой к её периодическому продолжению.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях ряд Фурье функции f(x) сходится к этой функции, даёт следующая теорема.

Теорема. Пусть функция f(x) и её производная f ‘ (x) — непрерывные на отрезке [-π, π] или же имеют на нём конечное число точек разрыва 1-го рода. Тогда ряд Фурье функции f(x) сходится на всей числовой прямой, причём в каждой точке x , принадлежащей отрезку [-π, π] , в которой f(x) непрерывна, сумма ряда равна f(x) , а в каждой точке x 0 разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции f(x) справа и слева:

,

где и .

На концах отрезка [-π, π] сумма ряда равна среднему арифметическому значений функции в крайней левой и крайней правой точках периода разложения:

.

В любой точке x , принадлежащей отрезку [-π, π] , сумма ряда Фурье равна F(x) , если x — точка непрерывности F(x) , и равна среднему арифметическому пределов F(x) слева и справа:

,

Пример 1. Периодическая функция f(x) с периодом 2π определена следующим образом:

Проще эта функция записывается как f(x) = |x| . Разложить функцию в ряд Фурье, определить сходимость ряда и сумму ряда.

Решение. Определим коэффициенты Фурье этой функции:

Теперь у нас есть всё, чтобы получить ряд Фурье данной функции:

Этот ряд сходится во всех точках, и его сумма равна данной функции.

Решить задачу на ряды Фурье самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Дана периодическая функция с периодом 2π :

Определить коэффициенты Фурье.

Ряды Фурье для чётных и нечётных функций

Пусть функция f(x) определена на отрезке [-π, π] и является чётной, т. е. f(- x) = f(x) . Тогда её коэффициенты b n равны нулю. А для коэффициентов a n верны следующие формулы:

,

.

Пусть теперь функция f(x) , определённая на отрезке [-π, π] , нечётная, т.е. f(x) = — f( — x) . Тогда коэффициенты Фурье a n равны нулю, а коэффициенты b n определяется формулой

.

Как видно из формул, выведенных выше, если функция f(x) чётная, то ряд Фурье содержит только косинусы, а если нечётная, то только синусы.

Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Это нечётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённый интеграл:

Получаем ряд Фурье данной функции:

.

Это равенство справедливо для любого . В точках сумма ряда Фурье по приведённой во втором параграфе теореме не совпадает со значениями функции , а равна . Вне отрезка сумма ряда является периодическим продолжением функции , её график приводился выше в качестве иллюстрации суммы ряда.

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Это чётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённые интегралы:

Получаем ряд Фурье данной функции:

.

Это равенство справедливо для любого , так как в точках сумма ряда Фурье в данном случае совпадает со значениями функции , поскольку .

Ряды Фурье с периодом 2l

Пусть функция f(x) определена на отрезке [— l, l] ( l — произвольное положительное число). Тогда формула ряда Фурье этой функции принимает вид

,

где коэффициенты Фурье определяются по следующим формулам:

,

,

.

Пример 5. Разложить в ряд Фурье с периодом 2l функцию f(x) , которая на отрезке [— l, l] задаётся формулой .

Решение. Это чётная функция, поэтому её коэффициент Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённые интегралы:

Ряд Фурье данной функции:

.

Это равенство справедливо для любого , а это значит, что ряд сходится на всей числовой прямой.

Решить задачу на ряды Фурье самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Разложить в ряд Фурье с периодом 4 периодическую функцию , .

Ортогональные системы функций. Ряды Фурье по ортогональным системам.

Ортогональные системы функций.

Например, тригонометрическая система
$$
\frac<1><2>,\quad \cos \frac<\pi x>,\quad \sin \frac<\pi x>,\quad \ldots,\quad \cos \frac,\quad \sin \frac, \ldots\label
$$
ортогональна на отрезке \([-l, l]\) (ранее мы уже разбирали этот пример).

Так как
$$
2\int\limits_<-l>^ \left(\frac<1><2>\right)^ <2>dx = \int\limits_<-l>^ \cos^ <2>\frac = \int\limits_<-l>^ \sin^ <2>\frac = l,\ n \in \mathbb,\label
$$
то, поделив все функции тригонометрической системы \eqref на \(\sqrt\), а первую из этих функций на \(\sqrt\), получим ортонормированную на отрезке \([-l, l]\) тригонометрическую систему
$$
\frac<1><\sqrt<2l>>,\quad \frac<1><\sqrt> \cos \frac<\pi x>,\quad \frac<1><\sqrt> \sin \frac<\pi x>, \ldots\label
$$

При \(l = \pi\) тригонометрическая система \eqref имеет особенно простой вид
$$
\frac<1><2>,\quad \cos x,\quad \sin x,\quad \ldots,\quad \cos nx,\quad \sin nx,\quad \ldots\label
$$
и ортогональна на отрезке \([-\pi, \pi]\).

Многочлены Лежандра
$$
L_(x) = \frac<1><2^n!> \frac>>(x^<2>-1)^,\quad n \in \mathbb,\quad L_<0>(x) = 1,\label
$$
образуют ортогональную систему функций на отрезке [—1,1].

\(\vartriangle\) Доказательство ортогональности многочленов Лежандра на отрезке [—1,1] сводится к проверке при \(n > m\) тождества
$$
J = \int\limits_<-1>^ <1>\frac>>(x^<2>-1)^ \frac>>(x^<2>-1)^ dx = 0.\nonumber
$$

Воспользуемся тем, что \(x = 1\) и \(x = -1\) есть нули кратности \(n\) многочлена \((x^<2>-1)^\). Поэтому все производные многочлена \((x^<2>-1)^\) до порядка \(n-1\) включительно обращаются в нуль в точках \(x = 1\) и \(x = -1\).

Интегрируя выражение \(J\) по частям, получаем, что
$$
J = -\int\limits_<-1>^ <1>\frac>>(x^<2>-1)^ \frac>>(x^<2>-1)^ dx = \ldots \\ \ldots = (-1)^ \int\limits_<-1>^<1>(x^<2>-1)^ \frac>>(x^<2>-1)^ dx = 0,\nonumber
$$
так как \(n + m > 2m\), многочлен \((x^<2>-1)^\) имеет степень \(2m\), а производная от многочлена порядка, более высокого, чем степень многочлена, тождественно равна нулю. \(\blacktriangle\)

Ряд Фурье по ортогональной системе.

Пусть функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\), а \(\<\varphi_(x)\>\) — ортогональная на \([a, b]\) система непрерывных функций, причем ни одна из функций \(\varphi_(x)\) не обращается тождественно в нуль на отрезке \([a, b]\).

Говорят, что функция \(f(x)\) разложена на отрезке \([a, b]\) в сходящийся ряд по ортогональной системе функций \(\<\varphi_(x)\>\), если найдется такая числовая последовательность \(\\>\), что функциональный ряд \(\sum_^ <\infty>a_\varphi_(x)\) сходится и его сумма равна \(f(x)\), то есть
$$
f(x) = \sum_^ <\infty>a_\varphi_(x),\quad x \in [a, b].\label
$$

Если функциональный ряд \eqref сходится равномерно на отрезке \([a, b]\), то справедливы следующие выражения для коэффициентов этого ряда:
$$
a_ = \dfrac<\displaystyle \int\limits_^ f(x)\varphi_(x) dx><\displaystyle\int\limits_^ \varphi_^<2>(x) dx>,\ n \in \mathbb.\label
$$

\(\circ\) Так как функция \(\varphi_(x)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\), то она ограничена на этом отрезке (теорема Вейерштрасса). Если равномерно сходящийся ряд умножить на ограниченную функцию, то получим равномерно сходящийся ряд (это непосредственно следует из определения равномерной сходимости функционального ряда). Поэтому, умножая ряд \eqref на функцию \(\varphi_(x)\), получаем
$$
f(x)\varphi_(x) = \sum_^ <\infty>a_\varphi_(x)\varphi_(x),\ n \in \mathbb,\label
$$
причем ряд в правой части равенства \eqref сходится равномерно на отрезке \([a, b]\).

Числа \(a_\) называются коэффициентами Фурье, а ряд \eqref — рядом Фурье функции \(f(x)\) по ортогональной на \([a, b]\) системе функций \(\<\varphi_(x)\>\).

Ряд Фурье функции \(f(x)\) по тригонометрической системе на отрезке \([-l, l]\) будем записывать в виде
$$
f(x) = \frac> <2>+ \sum_^ <\infty>\left(a_ \cos \frac + b_ \sin \frac\right)\label
$$
и называть тригонометрическим рядом Фурье функции \(f(x)\) на отрезке \([-l, l]\).

Коэффициенты \(a_\) и \(b_\) можно вычислить, если подставить в формулы \eqref выражения для тригонометрических функций и воспользоваться формулами \eqref:
$$
a_ <0>= \frac<1> \int\limits_<-l>^ f(x)\ dx,\quad a_ = \frac<1> \int\limits_<-l>^ f(x) \cos \frac\ dx,\\ b_ = \frac<1> \int\limits_<-l>^ f(x) \sin \frac\ dx,\ n \in \mathbb.\label
$$
В частности, при \(l = \pi\) получаем
$$
a_ <0>= \frac<1> <\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>f(x)\ dx,\quad a_ = \frac<1> <\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>f(x) \cos nx\ dx,\\b_ = \frac<1> <\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>f(x) \sin nx\ dx,\ n \in \mathbb.\label
$$

Ряд Фурье абсолютно интегрируемой функции.

Коэффициенты Фурье могут быть вычислены при помощи формулы \eqref для любой абсолютно интегрируемой на отрезке \([a, b]\) функции \(f(x)\), если функции \(\varphi_(x)\) непрерывны и не обращаются тождественно в нуль на отрезке \([a, b]\).

Ряд \(\displaystyle\sum_^ <\infty>a_\varphi_(x)\), где \(a_\) — коэффициенты Фурье абсолютно интегрируемой на \([a, b]\) функции \(f(x)\), будем называть рядом Фурье функции \(f(x)\) по ортогональной системе функций \(\<\varphi_(x)\>\). Так как этот ряд может оказаться расходящимся, то будем писать
$$
f(x) \sim \sum_^ <\infty>a_\varphi_(x).\label
$$
В частности, для тригонометрической системы \eqref формула \eqref имеет следующий вид:
$$
f(x) \sim \frac> <2>+ \sum_^ <\infty>a_ \cos \frac + b_ \sin \frac.\label
$$

Запись \eqref означает, что \(\sum_^ <\infty>a_\varphi_(x)\) есть ряд Фурье функции \(f(x)\) по ортогональной системе \(\(x)\>\).