Ряды Фурье с примерами решений
Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.
Понятие ряда Фурье
Тригонометрическим рядом Фурье называется ряд вида
где числа a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , . a n , b n , . — коэффициенты Фурье.
Более сжатая запись ряда Фурье с символом «сигма»:
.
Как мы только что установили, в отличие от степенного ряда, в ряде Фурье вместо простейших функций 
взяты тригонометрические функции
Коэффициенты Фурье вычисляются по следующим формулам:
,
,
.
Все вышеперечисленные функции в ряде Фурье являются периодическими функциями с периодом 2π . Каждый член тригонометрического ряда Фурье является периодической функцией с периодом 2π .
Поэтому и любая частичная сумма ряда Фурье имеет период 2π . Отсюда следует, что если ряд Фурье сходится на отрезке [-π, π] , то он сходится на всей числовой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности периодических частичных сумм, является периодической функцией с периодом 2π .
Вышеупомянутое свойство видно на графике внизу: здесь график суммы ряда для функции f(x) = x . Вне отрезка [-π, π] сумма ряда является периодическим продолжением данной функции: график функции бесконечно повторяется справа и слева.
Сходимость ряда Фурье и сумма ряда
Пусть функция F(x) , определённая на всей числовой прямой и периодическая с периодом 2π , является периодическим продолжением функции f(x) , если на отрезке [-π, π] имеет место F(x) = f(x)
Если на отрезке [-π, π] ряд Фурье сходится к функции f(x) , то он сходится на всей числовой прямой к её периодическому продолжению.
Ответ на вопрос о том, при каких условиях ряд Фурье функции f(x) сходится к этой функции, даёт следующая теорема.
Теорема. Пусть функция f(x) и её производная f ‘ (x) — непрерывные на отрезке [-π, π] или же имеют на нём конечное число точек разрыва 1-го рода. Тогда ряд Фурье функции f(x) сходится на всей числовой прямой, причём в каждой точке x , принадлежащей отрезку [-π, π] , в которой f(x) непрерывна, сумма ряда равна f(x) , а в каждой точке x 0 разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции f(x) справа и слева:
,
где 
и 
.
На концах отрезка [-π, π] сумма ряда равна среднему арифметическому значений функции в крайней левой и крайней правой точках периода разложения:
.
В любой точке x , принадлежащей отрезку [-π, π] , сумма ряда Фурье равна F(x) , если x — точка непрерывности F(x) , и равна среднему арифметическому пределов F(x) слева и справа:
,
Пример 1. Периодическая функция f(x) с периодом 2π определена следующим образом:
Проще эта функция записывается как f(x) = |x| . Разложить функцию в ряд Фурье, определить сходимость ряда и сумму ряда.
Решение. Определим коэффициенты Фурье этой функции:
Теперь у нас есть всё, чтобы получить ряд Фурье данной функции:
Этот ряд сходится во всех точках, и его сумма равна данной функции.
Решить задачу на ряды Фурье самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 2. Дана периодическая функция с периодом 2π :
Определить коэффициенты Фурье.
Ряды Фурье для чётных и нечётных функций
Пусть функция f(x) определена на отрезке [-π, π] и является чётной, т. е. f(- x) = f(x) . Тогда её коэффициенты b n равны нулю. А для коэффициентов a n верны следующие формулы:
,
.
Пусть теперь функция f(x) , определённая на отрезке [-π, π] , нечётная, т.е. f(x) = — f( — x) . Тогда коэффициенты Фурье a n равны нулю, а коэффициенты b n определяется формулой
.
Как видно из формул, выведенных выше, если функция f(x) чётная, то ряд Фурье содержит только косинусы, а если нечётная, то только синусы.
Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию 
.
Решение. Это нечётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье 
, а чтобы найти 
, нужно вычислить определённый интеграл:
Получаем ряд Фурье данной функции:
.
Это равенство справедливо для любого 
. В точках 
сумма ряда Фурье по приведённой во втором параграфе теореме не совпадает со значениями функции , а равна 
. Вне отрезка 
сумма ряда является периодическим продолжением функции , её график приводился выше в качестве иллюстрации суммы ряда.
Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию 
.
Решение. Это чётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье 
, а чтобы найти 
, нужно вычислить определённые интегралы:
Получаем ряд Фурье данной функции:
.
Это равенство справедливо для любого , так как в точках сумма ряда Фурье в данном случае совпадает со значениями функции , поскольку 
.
Ряды Фурье с периодом 2l
Пусть функция f(x) определена на отрезке [— l, l] ( l — произвольное положительное число). Тогда формула ряда Фурье этой функции принимает вид
,
где коэффициенты Фурье определяются по следующим формулам:
,
,
.
Пример 5. Разложить в ряд Фурье с периодом 2l функцию f(x) , которая на отрезке [— l, l] задаётся формулой 
.
Решение. Это чётная функция, поэтому её коэффициент Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённые интегралы:
Ряд Фурье данной функции:
.
Это равенство справедливо для любого , а это значит, что ряд сходится на всей числовой прямой.
Решить задачу на ряды Фурье самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 6. Разложить в ряд Фурье с периодом 4 периодическую функцию 
, 
.