С 15 дробные рациональные уравнения 9 класс

ГДЗ дидактические материалы по алгебре 9 класс Макарычев, Миндюк, Крайнева Просвещение Задание: С-15 Дробные рациональные уравнения

1. При каких значениях c равно нулю значение дроби

2. Решите уравнение

3. Найдите корни уравнения

4. Решите уравнение, обозначив одну из взаимно обратных дробей через t, а другую – через 1/t.

5. Решите уравнение, используя введение новой переменной

6. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций

7. Найдите корни уравнения

8. Сумма некоторого положительного числа и числа, ему обратного, в 1,7 раза меньше суммы их квадратов. Найдите эти числа.

Дробно-рациональные уравнения

Что такое дробно-рациональные уравнения

Дробно-рациональными уравнениями называют такие выражения, которые представляется возможным записать, как:

при P ( x ) и Q ( x ) в виде выражений, содержащих переменную.

Таким образом, дробно-рациональные уравнения обязательно содержат как минимум одну дробь с переменной в знаменателе с любым модулем.

9 x 2 — 1 3 x = 0

1 2 x + x x + 1 = 1 2

6 x + 1 = x 2 — 5 x x + 1

Уравнения, которые не являются дробно-рациональными:

Как решаются дробно-рациональные уравнения

В процессе решения дробно-рациональных уравнений обязательным действием является определение области допустимых значений. Найденные корни следует проверить на допустимость, чтобы исключить посторонние решения.

Алгоритм действий при стандартном способе решения:

1. Выписать и определить ОДЗ.
2. Найти общий знаменатель для дробей.
3. Умножить каждый из членов выражения на полученный общий параметр (знаменатель), сократить дроби, которые получились в результате, чтобы исключить знаменатели.
4. Записать уравнение со скобками.
5. Раскрыть скобки для приведения подобных слагаемых.
6. Найти корни полученного уравнения.
7. Выполним проверку корней в соответствии с ОДЗ.
8. Записать ответ.

Пример 1

Разберем предложенный алгоритм на практическом примере. Предположим, что имеется дробно-рациональное уравнение, которое требуется решить:

x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

Начать следует с области допустимых значений:

x 2 — 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2

Воспользуемся правилом сокращенного умножения:

x 2 — 4 = ( x — 2 ) ( x + 2 )

В результате общим знаменателем дробей является:

Выполним умножение каждого из членов выражения на общий знаменатель:

x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

x ( x — 2 ) ( x + 2 ) x — 2 — 7 ( x — 2 ) ( x + 2 ) x + 2 = 8 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ( x — 2 ) ( x + 2 )

После сокращения избавимся от скобок и приведем подобные слагаемые:

x ( x + 2 ) — 7 ( x — 2 ) = 8

x 2 + 2 x — 7 x + 14 = 8

Осталось решить квадратное уравнение:

Согласно ОДЗ, первый корень является лишним, так как не удовлетворяет условию, по которому корень не равен 2. Тогда в ответе можно записать:

Примеры задач с ответами для 9 класса

Требуется решить дробно-рациональное уравнение:

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

Определим область допустимых значений:

О Д З : x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ — 2

x 2 + 7 x + 10 ≠ 0

D = 49 — 4 · 10 = 9

x 1 ≠ — 7 + 3 2 = — 2

x 2 ≠ — 7 — 3 2 = — 5

Квадратный трехчлен x 2 + 7 x + 10 следует разложить на множители, руководствуясь формулой:

a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 )

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

Заметим, что общим знаменателем для дробей является: ( x + 2 ) ( x + 5 ) . Умножим на этот знаменатель уравнение:

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

Сократим дроби, избавимся от скобок, приведем подобные слагаемые:

x ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 2 + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 5 —

— ( 7 — x ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

x ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) — 7 + x = 0

x 2 + 5 x + x 2 + 3 x + 2 — 7 + x = 0

2 x 2 + 9 x — 5 = 0

Потребуется решить квадратное уравнение:

2 x 2 + 9 x — 5 = 0

Первый корень не удовлетворяет условиям ОДЗ, поэтому в ответ нужно записать только второй корень.

Дано дробно-рациональное уравнение, корни которого требуется найти:

4 x — 2 — 3 x + 4 = 1

В первую очередь следует переместить все слагаемые влево и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

4 \ ( x + 4 ) x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x + 4 — 1 \ ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

4 ( x + 4 ) — 3 ( x — 2 ) — ( x — 2 ) ( x + 4 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

4 x + 16 — 3 x + 6 — ( x 2 + 4 x — 2 x — 8 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

x + 22 — x 2 — 4 x + 2 x + 8 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

Заметим, что получилось нулевое значение для дроби. Известно, что дробь может равняться нулю, если в числителе нуль, а знаменатель не равен нулю. На основании этого можно составить систему:

— x 2 — x + 30 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0 ⇔ — x 2 — x + 30 = 0 ( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0

Следует определить такие значения для переменной, при которых в дроби знаменатель будет обращаться в нуль. Такие значения необходимо удалить из ОДЗ:

( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0

Далее можно определить значения для переменных, которые при подстановке в уравнение обращают числитель в нуль:

— x 2 — x + 30 = 0 _ _ _ · ( — 1 )

Получилось квадратное уравнение, которое можно решить:

Сравнив корни с условиями области допустимых значений, можно сделать вывод, что оба корня являются решениями данного уравнения.

Нужно решить дробно-рациональное уравнение:

x + 2 x 2 — 2 x — x x — 2 = 3 x

На первом шаге следует перенести все слагаемые в одну сторону и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

x + 2 \ 1 x ( x — 2 ) — x \ x x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x = 0

x + 2 — x 2 — 3 ( x — 2 ) x ( x — 2 ) = 0

x + 2 — x 2 — 3 x + 6 x ( x — 2 ) = 0

— x 2 — 2 x + 8 x ( x — 2 ) = 0 ⇔ — x 2 — 2 x + 8 = 0 x ( x — 2 ) ≠ 0

Перечисленные значения переменной обращают знаменатель в нуль. По этой причине их необходимо удалить из области допустимых значений.

— x 2 — 2 x + 8 = 0 _ _ _ · ( — 1 )

Корни квадратного уравнения:

x 1 = — 4 ; x 2 = 2

Заметим, что второй корень не соответствует ОДЗ. Таким образом, в ответе остается только первый корень.

Найти корни уравнения:

x 2 — x — 6 x — 3 = x + 2

Согласно стандартному алгоритму решения дробно-рациональных уравнений, выполним перенос всех слагаемых в одну сторону. Далее необходимо привести к дроби к наименьшему общему знаменателю:

x 2 — x — 6 \ 1 x — 3 — x \ ( x — 3 ) — 2 \ ( x — 3 ) = 0

x 2 — x — 6 — x ( x — 3 ) — 2 ( x — 3 ) x — 3 = 0

x 2 — x — 6 — x 2 + 3 x — 2 x + 6 x — 3 = 0

0 x x — 3 = 0 ⇔ 0 x = 0 x — 3 ≠ 0

Такое значение переменной, при котором знаменатель становится равным нулю, нужно исключить из области допустимых значений:

Заметим, что это частный случай линейного уравнения, которое обладает бесконечным множеством корней. При подстановке какого-либо числа на место переменной х в любом случае числовое равенство будет справедливым. Единственным недопустимым значением для х в данном задании является число 3, которое не входит в ОДЗ.

Ответ: х — любое число, за исключением 3.

Требуется вычислить корни дробно-рационального уравнения:

5 x — 2 — 3 x + 2 = 20 x 2 — 4

На первом этапе необходимо выполнить перенос всех слагаемых влево, привести дроби к минимальному единому знаменателю:

5 \ ( x + 2 ) x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x + 2 — 20 \ 1 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

5 ( x + 2 ) — 3 ( x — 2 ) — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

5 x + 10 — 3 x + 6 — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

2 x — 4 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ 2 x — 4 = 0 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0

( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0

Данные значения переменной х являются недопустимыми, так как в этом случае теряется смысл дроби в связи с тем, что знаменатель принимает нулевое значение.

Заметим, что 2 не входит в область допустимых значений. В связи с этим, можно заключить, что у уравнения отсутствуют корни.

Ответ: корни отсутствуют

Нужно найти корни уравнения:

x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )

Начнем с определения ОДЗ:

— 5 ≠ 0 x ≠ 0 x ( x — 5 ) ≠ 0 x ≠ 5 x ≠ 0

При умножении обеих частей уравнения на единый знаменатель всех дробей и сокращении аналогичных выражений, которые записаны в числителе и знаменателе, получим:

x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 ) · x ( x — 5 )

( x — 3 ) x ( x — 5 ) x — 5 + x ( x — 5 ) x = ( x + 5 ) x ( x — 5 ) x ( x — 5 )

( x — 3 ) x + x = x + 5

Прибегая к арифметическим преобразованиям, можно записать уравнение в упрощенной форме:

x 2 — 3 x + x — 5 = x + 5 → x 2 — 2 x — 5 — x — 5 = 0 → x 2 — 3 x — 10 = 0

Для дальнейших действий следует определить, к какому виду относится полученное уравнение. В нашем случае уравнение является квадратным с коэффициентом при x 2 , который равен 1. Таким образом, целесообразно воспользоваться теоремой Виета:

x 1 · x 2 = — 10 x 1 + x 2 = 3

В этом случае подходящими являются числа: -2 и 5.

Второе значение не соответствует области допустимых значений.

Решение рациональных уравнений. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением. Извне он может получить только возбуждение. (А. Дистервег)

Цели:

• Обобщить, углубить знания обучающихся по изучаемой теме.
• Способствовать формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию; развитию творческих способностей учеников путем решения заданий, содержащих модули, параметры
• Побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.

Оборудование: экран, проектор, документ – камера, магнитная доска, плакаты 1-4.

У обучающихся на рабочем месте: оценочные листы, карточки со схемами 4-5, комплект дидактической игры «Лото», копировальная бумага.

Вся работа на этом занятии сопровождается индивидуальным оценочным листом (Приложение 1).

Критерии оценок: «5» – 30-28 баллов, «4» – 27-22 балла, «3» – 21-16 баллов, «2» – менее 16 баллов.

Ход урока

I. Вводная беседа учителя (2 мин).

– Один начинающий волшебник, герой шуточной песенки, неумело обращался с заклинаниями, в результате вместо грозы у него получилась коза, а вместо утюга – слон. Чтобы решать уравнения, нужно совершать ряд преобразований, и делать это следует очень осмотрительно.

Например, решая уравнения, мы могли бы рассуждать так:

Пример 1

Пример 2

На самом деле, стараясь «избавиться от всего лишнего», мы допустили бы ошибки. Какие?

В результате неравносильных преобразований в уравнении 1 потерян корень х = 0, а в примере 2 появился «посторонний» корень х = 1.

1. Как же не попасть в подобные ловушки?
2. Прежде всего, нужно четко понимать, какие действия нужно выполнить в ходе решения уравнения.
3. Сегодня на уроке мы повторим, обобщим, приведем в систему изученные виды, методы и приемы решения рациональных уравнений.

II. Проверка домашнего задания (5 мин).

(С помощью документ – камеры демонстрируем заранее заготовленное домашнее задание. Ученики отвечают по готовым записям. Работа ведется фронтально, но пары обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку.)

(х – 5) 2 + 9х = + 25.

Нет действительных корней (∅).

(х – 5)(х + 3) = 1 – 2х.

(х – 5)(х + 3) = 3(х – 5).

2(х + 1) – 1 = 3 – (1 – 2х).

Нет действительных корней (∅).

1 – 2х – + 4х 2 = х 2 – 2х + 1.

3(1 – х) + 2 = 5 – 3х.

Бесконечное множество корней (х ∈ R).

Нет действительных корней (∅).

25х 2 – 30х + 9 = 0.

В результате выполнения задания получилась схема 1. (Демонстрируется на слайде).

Схема 1. Классификация рациональных уравнений по виду.

Задание 2. Подготовить одну физическую задачу, показывающую, что рациональные уравнения могут служить математическими моделями реальных ситуаций.

(У доски разбирается наиболее интересный пример.)

– В результате обсуждения и проверки домашнего задания выясняем сущность решения уравнений.

Выводы:

1. Уравнения являются математическими моделями очень многих физических и иных явлений. Поэтому решение различных практических задач сводится к решению уравнений.
2. Уравнением с одним неизвестным называется запись вида А(х) = В(х), в которой А(х) и В(х) – выражение от неизвестной х.
3. Областью определения уравнения называется множество всех значений х, при которых определены обе части уравнения.
4. Корнем или решением уравнения называется значение неизвестного, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.
5. Линейные и квадратные уравнения решаются по готовым формулам, они называются простейшими.Главная задача при решении любого уравнения – свести его к простейшему.

Результаты выполнения домашнего задания заносятся обучающимися в оценочный лист.

Оценка: «5» – нет ошибок; «4» – 2-3 ошибки; «3» – более 3 ошибок.

III. Работа по теме урока.

Этап I. (5 мин). Тест (под копировальную бумагу) (Приложение 2).

Цель: Проверить навыки решения простейших уравнений.

Работа проводится по карточкам в двух вариантах, состоящих из 20 уравнений, записанных в столбец. Для выполнения задания обучающийся берет полоску бумаги и кладет ее справа от столбца, по которому собирается работать.

Решая, ученик записывает только ответы; напротив задания, вызвавшего затруднение, ставит прочерк; по истечении времени, отведенного на выполнение теста, по команде учителя листы под­писываются и сдаются.

Учитель открывает слайд, где подготовлен список правильных ответов и критерии оценок. Проводится быстрая самопроверка решений (по копиям).

Результаты теста заносятся в оценочный лист.

Для оценки работы надо: поставить знак «+» против верного ответа и знак «– » против неверного; подсчитать число плюсов.

Критерии оценок: «5» – 20 плюсов; «4» – 15-19 плюсов; «3» – 10-14 плюсов, «2» – 9 и менее плюсов.

Этап II (15 мин).

Цель: установить связи между корнями квадратных, линейных уравнений и их коэффициентами.

На слайде обучающимся демонстрируется плакат № 1

? о с о б е н н о е !

1. 2(х + 7) = 2х + 14

2. 3(х – 1) – 5(5 + х) = 7

3. (а 2 – 9)х = а 2 – 5а + 6

Требуется указать, о чем идет речь.

Ответ: 1, 2, 3, 4 – линейные уравнения.

Уравнение 1 имеет бесконечное множество корней,

уравнение 2 – решений не имеет,

уравнение 4 имеет один корень,

уравнение 3 – линейное уравнение с параметром; в зависимости от значения параметра а уравнение может иметь различное количество корней.

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.

Ребятам предлагается решить уравнение 3: (а 2 – 9)х = а 2 – 5а + 6.

Случай 1: а 2 – 9 = 0. Тогда а = – 3 или а = 3.

Если а = – 3, то исходное уравнение примет вид 0х = 30 и корней не имеет.

Если а = 3, то получаем уравнение 0х = 0, для которого любое действительное число является корнем.

Ответ: если а = – 3, то корней нет; если а = 3, то х ∈ R; если а ∉ <– 3; 3>, то один корень .

Обобщая результаты решения уравнения 3, получаем схему 2, которая показывает связь числа корней линейного уравнения с его коэффициентами.

Учитель предлагает двум обучающимся собрать на доске из заранее подготовленных карточек схему 2 и схему 3, которые отражают связь числа корней квадратного уравнения ах 2 +bх+с=0 (а ≠ 0) с его дискриминантом Д = в 2 – 4ас, и для каждого случая аналитического решения указать геометрическую модель.

Остальным обучающимся демонстрируется плакат № 2 на слайде

? н е л ь з я !

1. х 2 + ах + 12 = 0

Вопрос: Что бы это означало?

Ответ: (1), (3) – квадратные уравнения с параметром. В этих уравнениях параметр а входит в состав второго коэффициента и свободного члена; (2) – это также уравнение с параметром, но параметр а входит в состав коэффициента при х 2 многочлена второй степени. Это уравнение нельзя сразу решить по формулам для отыскания корней квадратного уравнения, т. к. о заданном уравнении мы не можем сказать, квадратное оно или линейное.

Если коэффициент при х 2 многочлена второй степени содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль

Решим уравнение (2) ах 2 – 2х + 4 = 0.

Рассмотрим два случая, когда а = 0 и когда а ≠ 0.

1 . При а = 0, уравнение (2) линейное -2х+4= 0. Откуда х = 2.

2. При а ≠ 0, уравнение (2) – квадратное. Его дискриминант равен Д = 4-16а.

Если Д 1/4, уравнение решений не имеет.

Если Д = 0, т.е. а = 1/4, то уравнение имеет единственный корень x = 4.

Если Д > 0, т. е. а 1/4, уравнение решений не имеет; если а = 1/4, то уравнение имеет единственный корень x = 4; если а 27.12.2012