С 15 решение систем уравнений второй степени

С 15 решение систем уравнений второй степени

Система уравнений второй степени. Способы решения

Система уравнений второй степени – это система уравнений, в которой есть хотя бы одно уравнение второй степени.

Систему из двух уравнений, в которой одно уравнение второй степени, а второе уравнение первой степени, решают следующим образом:

1) в уравнении первой степени одну переменную выражают через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, благодаря чему получается уравнение с одной переменной;

3) решают получившееся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

Пример : Решим систему уравнений

1) Второе уравнение является уравнением первой степени. В ней выражаем переменную x через y:

2) в первом уравнении вместо x подставляем полученное выражение 1 – 2y:

Раскрываем скобки и упрощаем:

Приравниваем уравнение к нулю и решаем получившееся квадратное уравнение:

3) Решив квадратное уравнение, найдем его корни:

4) Осталось найти значения x. Для этого в одно из двух уравнений системы просто подставляем значение y. Второе уравнение проще, поэтому выберем его.
Итак, подставляем значения y в уравнение x + 2y = 1 и получаем:
1) х + 2(-0,125) = 1
х – 0,25 = 1
х = 1 + 0,25
х₁ = 1,25.

Способы решения системы уравнений с двумя уравнениями второй степени.

1. Замена системы уравнений равносильной совокупностью двух систем.

Пример : Решим систему уравнений

Здесь нет уравнений первой степени, поэтому решать их вроде бы сложнее. Но в первом уравнении многочлен можно разложить на линейные множители и применить метод группировки:

(Пояснение-напоминание: x – 3y встречается в выражении дважды и является общим множителем в многочлене (x – 3y)(x + 3y) – 1(x – 3y). По правилу группировки, мы умножили его на сумму вторых множителей и получили равносильное уравнение).

В результате наша система уравнений обретает иной вид:

Первое уравнение равно нулю только в том случае, если x – 3y = 0 или x + 3y – 1 = 0.

Значит, нашу систему уравнений мы можем записать в виде двух систем следующего вида:

Мы получили две системы, где первые уравнения являются уравнениями первой степени. Мы уже можем легко решить их. Понятно, что решив их и объединив затем множество решений этих двух систем, мы получим множество решений исходной системы. Говоря иначе, данная система равносильна совокупности двух систем уравнений.

Итак, решаем эти две системы уравнений. Очевидно, что здесь мы применим метод подстановки, подробно изложенный в предыдущем разделе.

Обратимся сначала к первой системе.
В уравнении первой степени выразим х через у:

Подставим это значение во второе уравнение и преобразим его в квадратное уравнение:

Как решается квадратное – см.раздел «Квадратное уравнение». Здесь мы сразу напишем ответ:

Теперь подставим полученные значения у в первое уравнение первой системы и решим его:

Итак, у нас есть первые ответы:

Переходим ко второй системе. Не будем производить вычисления – их порядок точно такой же, что и в случае с уравнениями первой системы. Поэтому сразу напишем результаты вычислений:

Таким образом, исходная система уравнений решена.

1 1
(–3 — ; –1 — ), (3; 1), (2,5; –0,5), (–2; 1).
2 6

2. Решение способом сложения.

Пример 2 : Решим систему уравнений

Второе уравнение умножим на 3:

Зачем мы умножили уравнение на 3? Благодаря этому мы получили равносильное уравнение с числом -3y, которое встречается и в первом уравнении, но с противоположным знаком. Это поможет нам буквально при следующем шаге получить упрощенное уравнение (они будут взаимно сокращены).

Сложим почленно левые и правые части первого уравнения системы и нашего нового уравнения:

Сводим подобные члены и получаем уравнение следующего вида:

Упростим уравнение еще, для этого сокращаем обе части уравнения на 5 и получаем:

Приравняем уравнение к нулю:

Это уравнение можно представить в виде x(x – 2y) = 0.

Здесь мы получаем ситуацию, с которой уже сталкивались в предыдущем примере: уравнение верно только в том случае, если x = 0 или x – 2y = 0.

Значит, исходную систему опять-таки можно заменить равносильной ей совокупностью двух систем:

Обратите внимание: во второй системе уравнение x – 2y = 0 мы преобразовали в x = 2y.

Итак, в первой системе мы уже знаем значение x. Это ноль. То есть x₁ = 0. Легко вычислить и значение y: это тоже ноль. Таким образом, первая система имеет единственное решение: (0; 0).

Решив вторую систему, мы увидим, что она имеет два решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

Таким образом, исходная система имеет следующие решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

3. Решение методом подстановки.

Этот метод был применен в начале раздела. Здесь мы выделяем его в качестве одного из способов решения. Приведем еще один пример.

Пример . Решить систему уравнений

│х + у = 9
│у 2 + х = 29

Первое уравнение проще, поэтому выразим в нем х через у:

Теперь произведем подстановку. Подставим это значение х во второе уравнение, получим квадратное уравнение и решим его:

у 2 + 9 – у = 29
у 2 – у – 20 = 0

D = b 2 – 4ас = 1 – 4 · 1 · (–20) = 81

Осталось найти значения х. Первое уравнение проще, поэтому им и воспользуемся:

1) х + 5 = 9
х = 9 – 5
х₁ = 4

2) х – 4 = 9
х = 9 + 4
х₂ = 13

План-конспект урока по алгебре в 9-м классе в соответствии с требованиями ФГОС. Тема: «Решение систем уравнений второй степени»

Разделы: Математика

Класс: 9

Ключевые слова: системы уравнений

Технологическая карта урока

Предмет: алгебра.

Класс: 9

Учебник (УМК, программа): Ю.Н.Макарычев, Р.Г.Миндюк, К.Н.Нешков, С.Б.Суворова. Алгебра. 9 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 2015.

Тип урока: изучение нового материала

Цели:

познакомиться с алгоритмом решения систем методом подстановки, проанализировать и сравнить с графическим способом,
• сформировать умение решать системы уравнений, содержащие уравнения второй степени способом подстановки.

• прививать внимательность, аккуратность;
• воспитывать умение четко организовывать индивидуальную работу;
• воспитывать культуру общения;
• формировать мотивацию на здоровый образ жизни;
• обеспечить здоровьесбрегающую образовательную среду.

• способствовать формированию навыков исследовательской деятельности обучающихся;
• развивать потребность в нахождении рациональных приемов и способов создания модели и решения математической задачи

Оборудование: доска, проектор, листки с самостоятельными работами, памятки с алгоритмами решения систем уравнений

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Учитель приветствует учащихся
Мне нравится, что сегодня вы все хорошо выглядите. Улыбнитесь, передайте мысленно соседу по парте положительные эмоции, поделитесь капелькой теплоты, добра.
Эпиграф нашего урока: «Дорогу осилит идущий, математику мыслящий». Будем активны, внимательны, чтобы знания, полученные на сегодняшнем уроке пригодились вам в дальней шей жизни. (слайд 2)
У каждого из вас на столе лежит лист самооценки. В конце урока каждый оценит свою работу. (Приложение 1)

Готовятся к уроку, настраиваются на рабочий лад.

Планирование деятельности по изучению новой темы

Какое понятие проходит красной нитью через весь курс алгебры? Для того, чтобы вы ответили на этот вопрос, предлагаю вашему вниманию историческую справку. (слайд3)
Как вы думаете, какова тема нашего урока?

Решение систем уравнений второй степени.

Предлагает вспомнить такие понятия как: система уравнений, решение систем уравнений.
Какой способ решения систем уравнений второй степени мы рассматривали на прошлых уроках? (слайд 4).

Устно отвечают на вопросы учителя

Вспоминаем алгоритм решения систем графическим способом. (слайды 5,6).Необходимо построить графики уравнений в одной координатной плоскости; найти координаты точек пересечения графиков, которые и будут решением системы.

Практическая деятельность учащихся

Проверим выполнение домашнего задания.

Графики построены правильно, а ответы разные, почему? Какие способы решения систем уравнений из курса алгебры 7 класса вы еще знаете?

Проверяют свои ответы, в лист самооценки ставят баллы.
Используя графики, не всегда удается получить точное решение системы уравнений.

Сегодня рассмотрим первый из них: способ подстановки.Способ подстановки и способ сложения.Работа в парах (слайды 8,9)Выражают одну переменную через другую, затем оценивают свою работу.

Изучение нового материала

1) Решим систему уравнений:

2) Выражаем из уравнения первой степени одну переменную через другую:

3) Подставляем полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приводим к уравнению с одной переменной. Решаем полученное уравнение с одной переменной

2x + 3 — x² = 0
x² — 2x — 3 = 0

По теореме Виета

x1 + x2 = 2,
x1 · x2 = -3.

Отсюда x1 = 3, x2 = -1. 4) Находим соответствующее значение второй переменной

x1 = 3, y1 = 2·3 + 3 = 9,
x2 = -1, y2 = 2·(-1) + 3 = 1.

У доски вместе с учителем решает учащаяся комментируя свои действия, остальные следят, при необходимости поправляют.

Сформулируйте алгоритм решения систем уравнений способом подстановки.
Найдите алгоритм в учебнике на с.112 ,прочитаем и обсудим, как его применять при решении систем уравнений второй степени. (слайд 10).

Формулируют алгоритм решения систем уравнений способом подстановки.
Читают и обсуждают свои действия при решении систем уравнений второй степени.

Работа по первичному усвоению материала

Работа по группам (слайды 11,12), предлагает, пользуясь алгоритмом, решить системы с последующей проверкой.

Учащиеся делятся на две группы и решают по алгоритму.

Есть ли разница, из какого уравнения системы получить подстановку?

Нет. Если в систему входит уравнение 1-ой степени, то подстановку получают из этого уравнения. Если оба уравнения второй степени, то подстановку получают из любого.

Работа с учебником по вариантам: (слайд 13)
первый вариант решает №429(г),
второй вариант решает №430(в)

Решают с последующей проверкой

а) проверьте решение систем уравнений (слайд 14)

б) используя графическое представление, определить сколько решений имеет система (слайд 15) От чего зависит количество решений системы при графическом способе решения?

(15;11) решение системы

От количества точек пересечения;
одно решение, потому что одна точка пересечения, (0;4)

Нужно отметить, что системы уравнений с двумя переменными встречаются при сдаче ОГЭ.

Учащиеся высказывают свои предположения

Какие способы решения систем уравнений узнали (слайд 16)
Наш урок подошел к концу, как и 2019 год. На доске вы видите елочку, которую нам нужно украсить игрушками, каждая из которых является словом — пожеланием вам в Новом 2020 году. Подбираем синонимы и антонимы к высказываниям, собираем слово, угадав которое, узнаем год животного по китайскому календарю. (Крыса) Приложение 2, (слайд 17).

Отвечают на вопросы

Этап подведения итогов.
Домашнее задание.

Предлагает подвести итог урока.
Заполните оценочный лист
(слайд 18).

Заполняют оценочный лист, выставляют оценки. записывают домашнее задание.

Системы уравнений по-шагам

Результат

Примеры систем уравнений

• Метод Гаусса
• Метод Крамера
• Прямой метод
• Система нелинейных уравнений

Указанные выше примеры содержат также:

• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x)
• число Пи pi
• комплексное число i

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте: