Арктангенс и решение уравнения tg x=a
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На этом уроке мы познакомимся с понятием арктангенса. В начале рассмотрим график функции у = tg t на наименьшем положительном периоде, вспомним ее свойства и сформулируем прямую и обратную задачу для нашей функции. Дадим определение арктангенса как решения обратной задачи. Далее рассмотрим нахождение арктангенса на числовой окружности с помощью линии тангенсов. Докажем важное свойство арктангенса: арктангенс от минус а равен минус арктангенсу а. В конце урока решим несколько задач вычислительного и сравнительного типа, иллюстрируя решение на графике и на круге.
Арктангенс и арккотангенс. Онлайн калькулятор
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти арксинус и арккосинус от числа. Результат можно видеть как в градусах, так и в радианах. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Арктангенс и арккотангенс − теория, примеры и решения
Функция арктангенс и ее график
Функция тангенс определена в интервале [−∞;+∞] кроме точек , . и не является монотонной функцией (т.е. не является возрастающей или убывающей во всей области определения функции (Рис.1) (подробнее о функции тангенс смотрите на странице Тангенс и котангенс. Онлайн калькулятор). А для того, чтобы функция имела обратную, она должна быть монотонной.
Однако, функцию тангенс можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:
, , , и т.д. |
По теореме об обратной функции, на каждом из указанных отрезков функция tg x имеет обратную функцию. Отметим, что это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке . Обратную функцию обозначают x=arctg y. Поменяв местами x и y, получим:
y=arctg x. | (1) |
Функция (1) − это функция, обратная к функции
. |
График функции арктангенс можно получить из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.2).
Свойства функции арктангенс.
- Область определения функции: .
- Область значений функции: .
- Функция является нечетной: .
- Функция возрастает.
- Функция непрерывна.
Решим тригонометрическое уравнение
В интервале для уравнения (2) существует одно t, для которого tg t=a. Это решение
Следовательно в интервале уравнение (2) имеет один корень. Так как тангенс периодичная функция с основным периодом π, то все корни уравнения (2) отличаются на πn (n∈Z), т.е.
. | (3) |
Решение уравнения (2) представлен на Рис.3:
Так как tg t − это ординат точки пересечения прямой OMt1 c прямым x=1, то для любого a на линии тангенса есть только одна точка T(1; a). Прямая OTt пересекается с окружностью с радиусом 1 в двух точках: . Но только точка соответствует интервалу , которое соответствует решению .
Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:
. |
Решение. Воспользуемся формулой (3):
, |
. |
Пример 2. Решить тригонометрическое уравнение:
. |
Решение. Воспользуемся формулой (3):
. |
Используя онлайн калькулятор получим:
. |
Функция арккотангенс и ее график
Как известно, функция котангенс определена в интервале [−∞;+∞] кроме точек -2π, —π 0, π, 2π. и не является монотонной функцией (Рис.4) (подробнее о функции котангенс смотрите на странице Тангенс и котангенс. Онлайн калькулятор). А для того, чтобы функция имела обратную, она должна быть монотонной.
Однако, функцию кокотангенс можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:
По теореме об обратной функции, на каждом из указанных интервалов функция ctg x имеет обратную функцию. Это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке . Обратную функцию оброзначают x=arcctg y. Поменяв местами x и y, получим:
y=arcctg x. | (4) |
Функция (4) − это функция, обратная к функции
. |
График функции арккотангенс можно получить из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.5).
Свойства функции арккотангенс.
- Область определения функции: .
- Область значений функции: .
- Функция не является ни четной ни нечетной (так как функция не симметрична ни относительно начала координит, ни относительно оси Y).
- Функция убывает.
- Функция непрерывна.
Решим тригонометрическое уравнение
В интервале (0; π) для уравнения (5) существует одно t, для которого сtg t=a. Это t=arcctg a. Следовательно в интервале (0; π) уравнение (5) имеет один корень. Так как котангенс периодичная функция с основным периодом π, то общее решение уравнения (5) имеет следующий вид:
(6) |
Решения уравнения (5) можно представить на единичной окружности (Рис.6):
ctg t − это абсцис точки пересечения прямой с прямым y=1. Любому числу a на линии котангенс соответствует только одна точка . Прямая пересекется с единичной окружностью в двух точках . Но только точка соответствует интервалу (0; π), которое соответствует решению .
Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:
. |
Решение. Воcпользуемся формулой (6):
. |
Так как в интервале (0; π), то
. |
Пример 2. Решить следующее тригонометрическое уравнение:
. |
Решение. Используя формулу (6), имеем
. |
С помощью онлайн калькулятора вычисляем . Тогда
Арктангенс
Арктангенс — обратная тригонометрическая функция. Общепринятое обозначение арктангенса — arctg x. При этом довольно часто, особенно в зарубежной литературе можно встретить иное обозначение — arctan x.
Арктангенс калькулятор
Как пользоваться калькулятором арктангенса
Введите значение тангенса угла и нажмите кнопку посчитать. В результате вы получите значение арктангенса выраженное в градусах и радианах.
Что такое арктангенс
Арктангенс числа x — это значение угла в радианах, для которого справедливо равенство tg a = m.
К примеру, что такое arctg 1? Это угол в радианах, тангенс которого равен 1.
http://matworld.ru/trigonometry/arktangens-i-arkkotangens.php
http://calculat.ru/arktangens