С 25 решение квадратных уравнений 8 класс

Квадратные уравнения (8 класс)

Уравнение называют квадратным, если его можно записать в виде \(ax^2+bx+c=0\), где \(x\) неизвестная, \(a\), \(b\) и \(с\) коэффициенты (то есть, некоторые числа, причем \(a≠0\)).

В первом примере \(a=3\), \(b=-26\), \(c=5\). В двух других \(a\),\(b\) и \(c\) не выражены явно. Но если эти уравнения преобразовать к виду \(ax^2+bx+c=0\), они обязательно появятся.

Коэффициент \(a\) называют первым или старшим коэффициентом, \(b\) – вторым коэффициентом, \(c\) – свободным членом уравнения.

Виды квадратных уравнений

Если в квадратном уравнении присутствуют все три его члена, его называют полным. В ином случае уравнение называется неполным.

Как решать квадратные уравнения

В данной статье мы рассмотрим вопрос решения полных квадратных уравнений. Про решение неполных — смотрите здесь .

Итак, стандартный алгоритм решения полного квадратного уравнения:

Преобразовать уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).

Выписать значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).
Пока не отработали решение квадратных уравнений до автоматизма, не пропускайте этот этап! Особенно обратите внимание, что знак перед членом берется в коэффициент. То есть, для уравнения \(2x^2-3x+5=0\), коэффициент \(b=-3\), а не \(3\).

Вычислить значение дискриминанта по формуле \(D=b^2-4ac\).

Решите квадратное уравнение \(2x(1+x)=3(x+5)\)
Решение:

Теперь переносим все слагаемые влево, меняя знак.

Уравнение приняло нужный нам вид. Выпишем коэффициенты.

Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).

Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt><2a>\) и \(x_2=\frac<-b - \sqrt><2a>\).

Решите квадратное уравнение \(x^2+9=6x\)
Решение:

Тождественными преобразованиями приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).

Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).

Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt><2a>\) и \(x_1=\frac<-b - \sqrt><2a>\).

В обоих корнях получилось одинаковое значение. Нет смысла писать его в ответ два раза.

Решите квадратное уравнение \(3x^2+x+2=0\)
Решение:

Уравнение сразу дано в виде \(ax^2+bx+c=0\), преобразования не нужны. Выписываем коэффициенты.

Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).

Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt><2a>\) и \(x_1=\frac<-b - \sqrt><2a>\).

Оба корня невычислимы, так как арифметический квадратный корень из отрицательного числа не извлекается.

Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут ).

Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета . Это быстрее, но требует определенного навыка.

Пример. Решить уравнение \(x^2-7x+6=0\).
Решение: Согласно обратной теореме Виета, корнями уравнения будут такие числа, которые в произведении дадут \(6\), а в сумме \(7\). Простым подбором получаем, что эти числа: \(1\) и \(6\). Это и есть наши корни (можете проверить решением через дискриминант).
Ответ: \(x_1=1\), \(x_2=6\).

Данную теорему удобно использовать с приведенными квадратными уравнениями, имеющими целые коэффициенты \(b\) и \(c\).

Серия уроков по теме: «Квадратные уравнения». Алгебра 8-й класс

Класс: 8

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. (22 часа)

1. Входной контроль. Лекция. Презентация.	ВК 2ч.
2. Изучение нового материала. Тренинг-минимум.	ЧО1 1ч. Стр.107-109.
3. Решение задач с адаптацией.	З1 0,5ч.
4. Изучение нового материала. Тренинг-минимум	ЧО2 1ч стр.111-112
5. Решение задач с адаптацией.	З2 1ч
6. Контролирующая самостоятельная работа.	С 0,5ч.
7. Изучение нового материала. Тренинг-минимум.	ЧО3 1ч. Стр.113-114
8. Решение задач с адаптацией.	З3 1ч
9.Изучение нового материала. Тренинг-минимум.	ЧО4 1ч стр.115-119
10.Решение задач с адаптацией.	З4 1ч
11. Контролирующая самостоятельная работа С2 1ч 12. Изучение дополнительного материала.	ЧД 1ч.
13.Изучение нового материала. Тренинг-минимум.	ЧО5 1ч стр.122-126
14.Решение задач с адаптацией.	З5 1ч
15Контролирующая самостоятельная работа.	С3 0,5ч.
16.Изучение нового материала. Тренинг-минимум.	ЧО6 1ч стр.128-130
17.Решение задач с адаптацией	З6 1ч
18.Контролирующая самостоятельная работа.	С4 0,5ч
19.Изучение нового материала. Тренинг-минимум.	ЧО7 1ч стр.131-134
20.Решение задач с адаптацией	З7 1ч
21. Самостоятельная работа.	С5 1ч
22.Обобщающий урок. Нестандартная форма урока	Нф 1ч.
23. Выходной контроль. Контрольная работа.	ВК 1ч.

Самостоятельная работа с взаимопроверкой и взаимооценкой (по вариантам)

1 вариант 2вариант

Вычислить: ; .

+ —.

Вычислить: ; .;

+—

Найдите значение выражения Д=в 2 – 4ас, если а=2, в=5, с=1.Найдите значение выражения Д=в 2 – 4ас, если а=-2, в=4, с=3.

Чему равен , если Д = 625Чему равен , если Д = 324

Решите уравнения а) х 2 – 3х = 0;

б) х 2 = 64; в) х 2 =7

Решите уравнения а) х 2 – 4х = 0;

б) х 2 = 36; в) х 2 =11

Уравнение вида ах 2 +вх+с=0, называется квадратным. Определите, чему равны коэффициенты а, в ,с в уравнении

7х 2 +10х+12=0

Уравнение вида ах 2 +вх+с=0, называется квадратным. Определите, чему равны коэффициенты а, в ,с в уравнении

5х 2 +12х+19=0

1. ЧО₁. Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения.

Опр.1 Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 +вх+с=0, где а,в,с – заданные числа, а?0, х — неизвестное.

Коэффициенты а, в, с квадратного уравнения обычно называют так: а – первым или старшим коэффициентом, в – вторым коэффициентом, с – свободным членом.

Например, в уравнении 3х 2 – х + 2=0 старший коэффициент 3, второй коэффициент -1, свободный член 2.

Задание, Определить а, в, с в уравнении 5х 2 -10х+3=0.

Теорема. Уравнение х 2 = d, где d>0, имеет два корня: х_1=, х₂ = —.

Доказательство. См. учебник стр. 109.

Например, уравнение х 2 = имеет два корня: х₁ = = , х₂ = —= —.

Обычно записывают х_1,2 = ± .; уравнение х 2 =3 имеет два корня х_1,2 = ± уравнение х 2 = 8 имеет два корня х_1,2 = ± или х_1,2 = ± 2 .

Следствие. Если в уравнении х 2 = d правая часть равна нулю, то уравнение имеет один корень х=0 или два равных корня х_1,2 =0.

Если d 2 = d не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным числом.

Например, уравнение х 2 = -25 не имеет действительных корней.

Задание. Решить уравнения: а) х 2 =225; б) х 2 =0; в) х 2 = — 64.

2.ЧО₂ Неполные квадратные уравнения.

Опр.2 Квадратное уравнение ах 2 +вх+с=0 называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов в или с равно нулю. Они имеют следующий вид:

ах 2 =0, где в=0,с=0.

ах 2 + с = 0, где в=0, с?0. ах 2 +вх=о, где с=0, в?0.

Заметим, что в уравнениях а?0.

Например, 1). Решить уравнение 7х 2 =0.

Решение. Разделим обе части этого уравнения на 7 получим

х 2 =0, откуда х=0.

2).Решить уравнение 5х 2 — 125 = 0.

Решение. Разделим обе части уравнения на 5:

х = ±,

3). Решить уравнение 3х 2 + 8 = 0.

Решение. 3х 2 = — 8,

Х 2 = — .

Это уравнение действительных корней не имеет, так как х 2 не может быть отрицательным числом.

Ответ: корней нет.

4). Разобрать в учебнике на стр. 112. Оформить запись в тетрадь.

Задание. Решить уравнения. Учебник. Стр.112 № 417 (2; 4; 6 ), № 418 (5; 6;) №419(1; 4)

3. ЧО₃ Метод выделения полного квадрата.

Для решения некоторых квадратных уравнений применяется метод выделения полного квадрата.

ВСПОМНИМ: Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения (а+в) 2 = а 2 + 2ав + в 2

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на втрое плюс квадрат второго выражения (а – в) 2 = а 2 – 2ав + в 2 .

Рассмотрим это на примерах.

1).Решить квадратное уравнение х 2 – 4х – 5 = 0.

Решение. Преобразуем это уравнение

х 2 – 2х*2 + 4 = 5 + 4,

х – 2 = -3 или х – 2 = 3,

Решая это уравнение, мы преобразовали его так, что в левой части получился квадрат двучлена, а правая часть не содержит неизвестное.

2). Решить уравнение 4х 2 — 8х + 3 = 0.

Решение. Преобразуем это уравнение

(2х) 2 – 2*2*2х + 4 = -3+4,

2х – 2 =1 или 2х – 2 = -1

Решите уравнения: 1) х 2 + 2х – 15 = 0;

25х 2 — 10х — 3 = 0.

4 ЧО₄ Решение квадратных уравнений.

Рассмотрим квадратное уравнение общего вида: ах 2 + вх + с = 0, где а?0. Разделив обе части уравнения на а, получим: х 2 + х + =0.

Преобразуем это уравнение так, чтобы в левой части получился квадрат двучлена: х 2 + х = — ,

х 2 + 2* х + () 2 = — + () 2 ,

( х + ) 2 = .

Если в 2 — 4ас ? 0, то (х + ) 2 = () 2 , откуда х = = ±, х_1,2 = — ± или х_1,2 = .

Эту формулу называют формулой корней квадратного уравнения общего вида. Выражение « в 2 – 4ас» называют дискриминантом и обозначают буквой D . Поэтому , если D?0, то уравнение имеет два корня, они находятся по формуле корней квадратного уравнения.

Задание. Запишите формулу корней квадратного уравнения общего вида.

Если D=0, то квадратное уравнение имеет единственный корень : х = — .

Если D?0, то квадратное уравнение не имеет корней..

Примеры. 1) Решить уравнение 6х 2 + х – 2 = 0.

Решение. а = 6; в = 1; с=-2.

D>0, уравнение имеет два корня: х_1,2 = .

х_1,2 = .

х₁=; х₂ = .

Ответ: —

2) Решить уравнение 4х 2 – 4х +1 = 0.

Решение. а=4; в=-4; с=1.

D=0, уравнение имеет единственный корень х = —, х = —

Ответ: .

Решить уравнение х 2 — 4х +5 = 0.

Решение. а=1; в=-4; с=5.

3) 7х 2 — 6х + 2 = 0.

5. ЧО₅. Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета.

Определение. Квадратное уравнение вида х 2 +px+q=0 называется приведенным.

В этом уравнении старший коэффициент равен единице.

Например, уравнение вида х 2 — 3х – 4 = 0 является приведенным.

Задание. Какие уравнения являются приведенными: 1) х 2 + 4х + 7=0;

2)5х 2 +5х-17=0; 3) х 2 -5х=0; 4)9х 2 -3х+25=0; 5)х 2 +4х-16=0; 6) х 2 +25=0.

Всякое квадратное уравнение ах 2 + вх +с = 0 может быть приведено к приведенному делением обеих частей уравнения на а?0.

Например, уравнение 4х 2 +4х-3=0 делением на 4 приводится к приведенному х 2 + х — =0.

Задание. Приведите квадратное уравнение к приведенному: 6х 2 -3х+12=0.

Рассмотрим приведенное квадратное уравнение х 2 +px+q=0. Его корни находятся по формуле: х_1,2= — .

Её называют формулой корней приведенного квадратного уравнения.

Например, решить уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.

Решение. По формуле х_1,2 = — находим:

х_1,2 = 7 ± = 7 ± = 7 ± 8.

Для приведенного квадратного уравнения справедлива теорема Виета: если х₁ и х₂ — корни уравнения х 2 + рх + q = 0, то справедливы формулы х₁+х₂= -р, х₁ * х₂ = q, т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Доказательство смотри на стр. 123.

Например, уравнение х 2 – 13х + 30 = 0 имеет корни х₁ = 10, х₂ = 3; сумма его корней х₁ + х₂ = 13, а их произведение х₁* х₂ = 30. Отметим, что теорема Виета справедлива и в случае, когда квадратное уравнение имеет два равных корня: х₁=х₂= — .

Например, уравнение х 2 – 6х + 9 = 0 имеет равные корни: х₁ = х₂ = 3, их сумма х₁ + х₂ = 6, произведение х₁х₂ = 9.

Задание. Рассмотреть и записать в тетрадь решение задач 2,3,4 на стр. 124.

При решении некоторых задач применяется теорема, обратная теореме Виета:Если числа р, q, х₁, х₂ таковы, что х₁+х₂ = -р, х₁х₂ =q, то х₁ и х₁ — корни уравнения х 2 + рх + q = 0.

Доказательство смотри на странице 124.

Используя теорему, обратную теореме Виета, иногда можно подбором найти корни квадратного уравнения.

Смотри задачу 5 на стр. 125.

Рассмотрим пример. Упростите дробь

Разложим числитель дроби на множители, используя способ группировки

х 2 – х – 12 = х 2 — 4х + 3х – 12 = (х 2 – 4х) + (3х -12) = х (х – 4) + 3 (х – 4) = = (х – 4) (х + 3 ). Следовательно,

Многочлен ах 2 + вх + с, где а?0, называют квадратным трехчленом. При решении данного примера квадратный трехчлен х 2 – х – 12 был разложен на множители способом группировки, но можно поступить иначе. Для этого рассмотрим следующую теорему:Если х₁ и х₂ — корни квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0, то при всех х справедливо равенство ах 2 + вх + с = а(х –х₁)(х –х₂).

Доказательство смотри на стр. 125.

Задание. Рассмотри задачу № 7 и оформи её в тетрадь.

Реши: №450(1,2); №451(2,5); №456(5); № 457(6).

6. ЧО₆ Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Определение. Уравнение вида ах 4 + вх +с = 0, где а ?0, называется биквадратным.

Заменой х 2 = t это уравнение сводится к квадратному.

Например, решить биквадратное уравнение 9х 4 + 5х 2 – 4 = 0.

Пусть х 2 = t , тогда данное уравнение имеет вид: 9t 2 + 5t – 4 = 0.

D = 5 2 – 4 * 9 * (-4).

D>0, уравнение имеет два корня: t_1,2 = .

t_1,2 = .

t₁=; t₂ =

Получаем х 2 = или х 2 = -1.

х_1,2 = ± корней нет, так как -1 4 – 10х 2 + 9 = 0.

Рассмотрим дробно-рациональное уравнение, его решение тоже сводится к квадратному.

Например, решить уравнение

Решение. Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение равен (х+2)(х-3). Если х+2?0 и х-3?0, то, умножая обе части на (х+2)(х-3), получаем:

решаем полученное квадратное уравнение.

D > 0, уравнение имеет два корня: х_1,2 =

х_1,2= х₁ = х₂ =

Если х₁ = 1, то х+2 ?0 и х+3 ?0 верно,

если х₂ = —, то х+2 ? 0 и х+3? 0 верно.

Ответ: 2.

Задание. Рассмотреть задачу №4 в учебнике на стр.129 и записать её решение в тетрадь, прочитать и записать вывод к уравнению на стр. 130.

Задачу № 5 разбираем на доске и записываем к себе в тетрадь.

Задание. По задачи №5 составить вопросы и ответить на них по мере возможного.

Решить № 470(3) или №473(1) или № 553(2).

7. ЧО₇. Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Для решения задач с помощью квадратных уравнений необходимо вспомнить: теорему Пифагора «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов», а 2 +в 2 =с 2 ; закон свободного падения; формулы квадратного уравнения;формула пути «Путь равен произведению скорости на время», S=V t; задачи на совместную работу; площадь прямоугольника « Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину»; S = ab; периметр прямоугольника «Периметр прямоугольника равен сумме длины и ширины, умноженной на 2» P = 2(a+b)/

Рассмотрим несколько задач,решаемых с помощью квадратных уравнений.

Задача №1. Скорость велосипедиста на первой половине пути была на 3 км/ч больше, чем его скорость на второй половине пути. С какой скоростью велосипедист проехал вторую половину пути, если весь путь в 90 км он преодолел за 5,5 часа? Решение.

Пусть х км/ч скорость велосипедиста на второй половине пути, тогда первую половину пути велосипедист проехал со скоростью (х+3)км/ч. Так как весь путь равен 90 км, то его половина равна 45 км, поэтому ч, время, затраченное велосипедистом на второй половине пути, а ч, время, затраченное велосипедистом на первой половине пути. По условию задачи известно, что весь путь велосипедист преодолел за 5,5= часа, составим и решим уравнение

,

,

90(х+3) + 90х = 11х(х+3),

90х + 270 + 90х =11х 2 + 33х,

11х 2 + 33х — 90х – 270 — 90х=0,

11х 2 – 147х – 270 = 0,

а=11, в= -147, с= -270.

D = (-147) 2 -4*11*(-270).

D>0, уравнение имеет два корня: х_1,2 =

х_1,2 = ; х₁= х₂ =

х₂=условию задачи не удовлетворяет, так как скорость отрицательной быть не может.

Значит, скорость велосипедиста на втором участке пути равна 15 км/ч, а на первом (15+3)=18 км/ч.

Если скорость на втором участке пути равна 15 км/ч, а на первом 18 км/ч, то время на первом участке пути равно ч, а на втором участке пути оно равноч. На весь путь потрачено (2,5+3)= 5,5 ч, что соответствует условию задачи.

Задания: 1)Прочитать §31, рассмотреть задачи № 1,2, 3. Подготовить вопросы по данной теме. Оформить эти задачи к себе в тетрадь.

4. ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА ИЗУЧЕНИЯ НОВОГО МАТЕРИАЛА.

Как изучать

2. Ответить на вопросы: 1.Что называется квадратным уравнением?

3.Что такое первый коэффициент?

4.Что такое второй коэффициент?

5.Что такое свободный член?

6.Сколько корней имеет квадратное уравнение вида х 2 =d, если d>0? d=0? d 21.02.2007

Самостоятельная работа «Квадратные уравнения» 8 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

1. Сколько корней будет иметь квадратное уравнение, если D >0?

a ) 2 корня; b ) 1 корень; c ) нет корней.

2. Сколько корней будет иметь квадратное уравнение, если D =0?

a ) 2 корня; b ) 1 корень; c ) нет корней.

3. Сколько корней будет иметь квадратное уравнение, если D

a ) 2 корня; b ) 1 корень; c ) нет корней.

4. Вычислив дискриминант, укажите количество корней квадратного уравнения:

б) 25x 2 − 30x + 9 = 0;

5. Реши квадратное уравнение:

a) x 2 – 10x + 25 = 0

b) 3x 2 – 5x + 2 = 0

c) 4x 2 + 6x + 2 = 0

d) 3x 2 + 8x + 6 = 0

1. Сколько корней будет иметь квадратное уравнение, если D =0?

a ) 2 корня; b ) 1 корень; c ) нет корней.

2. Сколько корней будет иметь квадратное уравнение, если D

a ) 2 корня; b ) 1 корень; c ) нет корней.

3. Сколько корней будет иметь квадратное уравнение, если D >0?

a ) 2 корня; b ) 1 корень; c ) нет корней.

4.Вычислив дискриминант, укажите количество корней квадратного уравнения:

б) 4x 2 − 40x + 25 = 0;

5. Реши квадратное уравнение:

a) x 2 – 4x + 3 = 0

b) 3x 2 + 5x – 2 = 0

c) x 2 + 15x + 60 = 0

d) 8x 2 – 13x + 5 = 0

1. Сколько корней будет иметь квадратное уравнение, если D >0?

a ) 2 корня; b ) 1 корень; c ) нет корней.

2. Сколько корней будет иметь квадратное уравнение, если D =0?

a ) 2 корня; b ) 1 корень; c ) нет корней.

3. Сколько корней будет иметь квадратное уравнение, если D

a ) 2 корня; b ) 1 корень; c ) нет корней.

4. Вычислив дискриминант, укажите количество корней квадратного уравнения:

б) 25x 2 − 30x + 9 = 0;

5. Реши квадратное уравнение:

a) x 2 – 10x + 25 = 0

b) 3x 2 – 5x + 2 = 0

c) 4x 2 + 6x + 2 = 0

d) 3x 2 + 8x + 6 = 0

1. Сколько корней будет иметь квадратное уравнение, если D =0?

a ) 2 корня; b ) 1 корень; c ) нет корней.

2. Сколько корней будет иметь квадратное уравнение, если D

a ) 2 корня; b ) 1 корень; c ) нет корней.

3. Сколько корней будет иметь квадратное уравнение, если D >0?

a ) 2 корня; b ) 1 корень; c ) нет корней.

4.Вычислив дискриминант, укажите количество корней квадратного уравнения:

б) 4x 2 − 40x + 25 = 0;

5. Реши квадратное уравнение:

a) x 2 – 4x + 3 = 0

b) 3x 2 + 5x – 2 = 0

c) x 2 + 15x + 60 = 0

d) 8x 2 – 13x + 5 = 0

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 581 157 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.

4.4. Решение квадратного уравнения общего вида

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 12.01.2022
• 43
• 0

• 12.01.2022
• 81
• 1

• 12.01.2022
• 103
• 0

• 12.01.2022
• 22
• 0

• 12.01.2022
• 133
• 0

• 12.01.2022
• 140
• 1

• 12.01.2022
• 298
• 1

• 11.01.2022
• 53
• 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 12.01.2022 6852
• DOCX 18.7 кбайт
• 721 скачивание
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Соболева Анна Игоревна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 4 месяца
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 13549
• Всего материалов: 12

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.