С 35 общие методы решения уравнений

Общие методы решения уравнений

Общие методы решения уравнений. Решение уравнений

Просмотр содержимого документа
«Общие методы решения уравнений»

«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, что, следуя нашему методу, мы достигли цели».

01.07.1646 – 14.11.1716 гг.

Методы решения уравнений – это способы, приёмы, с помощью которых можно решить то или иное уравнение.

Общие методы решения уравнений – это такие способы, приёмы, с помощью которых можно решить уравнения разного типа.

Метод разложения на множители

Общие методы решения уравнений

Метод введения новой переменной

Метод замены уравнения h ( f (х)) = h ( g (х)) уравнением f (х) = g (х)

Если функция h (х) монотонная , то она принимает каждое своё значение только один раз .

Пример 1. Решить уравнение (3х – 7) 5 = (2х + 3) 5 .

Пример 2 . Решить уравнение (8 – 2х) 2 = (х 2 + 5) 2 .

Так как функция h (х) = х 2 немонотонная , то применять этот метод нельзя .

0 ⇒ х – 1 ; ОДЗ : х + 3 0 log 3 (х + 1)(х + 3) = log 3 3 ; (х + 1)(х + 3) = 3 ; х 2 + 4х = 0 ; х 1 = 0, х 2 = – 4 ; Ответ: 0 . » width=»640″

Пример 3 . Решить уравнение log 3 (х + 1) + log 3 (х +3) = 1 .

log 3 (х + 1)(х + 3) = log 3 3 ;

Метод разложения на множители

f(x) g(x) h(x) = 0 заменяют совокупностью уравнений f(x) = 0 , g(x) = 0 , h(x) = 0 .

Пример 4. Решить уравнение sin х + sin 2х+ sin 3х = 0 .

( sin х + sin 3х) + sin 2х = 0 ;

2 sin 2х cos х + sin 2х = 0 ;

sin 2х (2 cos х + 1) = 0 ;

Метод введения новой переменной

0 ; t 2 – 5 t – 24 = 0 ; » width=»640″

Пример 5 . Решить уравнение 4 х – 10 · 2 х-1 = 24 .

2 2х – 5 · 2 х – 24 = 0 ;

t 2 – 5 t – 24 = 0 ;

Функционально-графический метод решения уравнения f (х) = g (х)

C троят графики функций у = f (х) и у = g (х) .

Затем находят точки пересечения этих графиков, определяют их абсциссы.

Пример 7 . Решить уравнение 2 cos π х = 2х – 1 .

• Монотонность ;
• ограниченность ;
• чётность ;
• периодичность ;
• если одна из функций возрастает, а другая убывает на определённом промежутке, то уравнение f ( x ) = g ( x ) не может иметь более одного корня который, в принципе, можно найти подбором ;
• если функция f ( x ) ограничена сверху, а функция g ( x ) – снизу так, что f ( x ) мах = А g ( x ) мin = A , то уравнение f ( x ) = g ( x ) равносильно системе уравнений:

Общие методы решения уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ уравнения.doc

Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе

по теме «Общие методы решения уравнений.

Замена уравнения h ( f ( x ))= h ( g ( x )) уравнением f ( x )= g ( x )»

Учитель Лисецкая МА

повторение, обобщение, систематизация знаний об общем методе решения уравнений; проверка усвоения знаний на обязательном уровне;

развитие умения работать с тестовыми заданиями, формирование навыков самостоятельной работы с большим объемом информации;

воспитание самооценки, коммуникативных способностей.

Сегодня мы проводим урок по теме «Общие методы решения уравнений.

Замена уравнения h ( f ( x ))= h ( g ( x )) уравнением f ( x )= g ( x )». За две недели до урока вы образовали три группы и получили задание: повторить изученный материал по темам «Решение иррациональных, логарифмических, показательных уравнений». Каждая группа результаты своей работы должна была оформить в виде буклета, которые вы представите на сегодняшнем уроке. Откройте тетради, запишите дату, классная работа, тему урока.

Для актуализации опорных знаний проведем устную работу следующим образом:

1 часть – вспомним и сформулируем основные определения (работа выполняется фронтально)

2 часть – покажем применение этих знаний на практике (фронтально)

3 часть – это задание выполнят индивидуально два ученика.

Задания 1 части:

Что называется уравнением?

Что называется корнем уравнения?

Какие уравнения называются равносильными?

Что значит решить уравнение?

Задания 2 части (приготовлено на экране):

а) Какие из чисел 5; 0; -3; являются корнями уравнения

1) 5 3х =3 5х 2) =х + 1 3) ln ( x 3 – 15) = lnx

Ответ: 1) 0, 2) 0, 3) ни одно из чисел

б) Решите уравнение (Уравнения записаны на доске. При ответе ученики комментируют решение)

1)=9 (83) 6) = -2 (3)

2) = 5 (5) 7) = 9 (5)

3) = — 9 (корней нет) 8) 4 x – 2 x = 0 (0)

4) lnx = ln 9 (9) 9) 2 x +5 ∙ lg ( x -12)=0 (корней нет)

5) 2 x = 7 (log ₂ 7) 10) lg ( x + 5) =0 (0)

Задания 3 части: (задание было дано индивидуально, выслушаем ответы учеников) Равносильны ли уравнения. Ответ обосновать.

а) 2 х = 256 и 3х 2 – 24х = 0 (нет)

б) = 1 и Sin 2 x = 0 (да)

в) 2 х = 256 и log ₂ x = 3 (да)

г) lgx 2 = 5 и 2 lg х = 5 (нет)

д) lgx 2 = 5 и 2 lg │х│ = 5 (да)

На поставленный вопрос ученики отвечают по очереди.

Проверка домашнего задания.

Результаты своей домашней работы каждая группа представляет в виде буклета (через проектор и в печатном варианте). Выступление построено по плану:

1) теоретическая часть (определения, теоремы);

2) практическая часть (особенности решения и используемые методы);

(При необходимости каждый учащийся может сделать копии работ всех групп для подготовки к экзамену).

Теперь перейдем к решению иррациональных, показательных, логарифмических уравнений взятых из сборников для подготовки к экзамену.

Уравнения написаны на карточках, которые лежат на столе учителя текстом вниз. К доске приглашаются двое учащихся, они выбирают задания. Один ученик будет решать самостоятельно, другой с комментариями.

Укажите, какому промежутку принадлежит корень уравнения log ₄( x + 12) log _x 2 = 1

1) (- 4 ; — 2) 2) (5; 6) 3) (3; 5) 4) [ -5; -3]

log ₄ (x + 12) =

x ₁ = 4, 4 О.Д.З.

x ₂ = -3, -3 О.Д.З.

4 (3; 5)

Ответ: 4 (3; 5), вариант (3)

О.Д.З.

При решении использованы формулы:

log _b a =

б) Решите уравнение: =

Решение: = х – 7

Возведем обе части уравнения в квадрат

(х – 11)(х +1) = (х – 7) 2

х 2 + х – 11х – 11 = х 2 – 14х + 49

Проверка: =

в) Укажите, какому промежутку принадлежит корень уравнения () 2х () 2х = 243

1) [ 0; -1] 2) [ 3; 4] 3) (-3; -2) 4) (2; 3)

() 2х () 2х = 243

() 2х = 243

() 2х = 3 5

х = 2,5, 2,5 (2; 3)

Ответ: 2,5 (2; 3), вариант (4)

г) Найдите сумму корней уравнения (100х) lgx = x 3

1) 11 , 2)9, 3) 1,1 4) 0,9

(100х) lgx = x 3 , О.Д.З. х>0

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10

lg( (100х) lgx ) = lg x 3

lgx(lg100 + lgx) = 3lgx

lg 2 x + 2lgx – 3lgx = 0

lgx = 0 или lgx – 1 = 0

x ₁ = 1, 1 О . Д . З .

х₂ = 10, 10 О.Д.З.

х₁ + х₂ =11 Ответ: 11, вариант (1)

5. Самостоятельная работа.

Самостоятельная работа проводится в виде теста. Всего 2 варианта, в каждом варианте 6 заданий.

а) Укажите, какому промежутку принадлежит корень уравнения 25 3-х = 0,2

1) (0, 1), 2) (1,2) 3) (2,3) 4) (3,4)

б) Найдите произведение корней уравнения 3 х -1 = 243

в) Найдите сумму корней уравнения lg (4 x -3) = 2 lgx

г) Сколько корней имеет уравнение = х 2 – 3

1) 4 2) 2 3) 1 4) ни одного

д) Решите уравнение =

1) 2) — 3) — 4)

е) Решите уравнение 7+ х = 14

1) 21 2) 7 3) -7 4) 1

а) Укажите, какому промежутку принадлежит корень уравнения log ₃(1- x ) = 4

1) (62, 64), 2) (-81,-79) 3) (79,81) 4) (-12,-10)

б) Сколько корней имеет уравнение = 1 – x 2

в) Найдите сумму корней уравнения log _√3 x 2 = log _√3(9 x -20)

г) Укажите, какому промежутку принадлежит корень уравнения 4 х-2 =0,5 1-х

1) (-4, -2) 2) (1,2) 3) (2,4) 4) (4,6)

д) Решите уравнение х – 4 =

1) 5 2) — 1 3) 5 и -1 4) -5

е) Найдите наименьший корень уравнения 3∙9 х — 5∙ 6 х + 2∙ 4 х = 0

1) -1 2) 0 3) 1 4) 2

Проверку самостоятельной работы проводим через проектор.

Код правильных ответов:

Учащиеся обмениваются тетрадями и проверяют правильность ответов. После проверки самостоятельно выставляют оценки по следующим критериям:

«5» — за шесть верных ответов

«4» — за 4 – 5 верных ответов

«3» — за три правильных ответа

«2» — менее трех ответов.

6. Подведение итогов урока.

Итак, сегодня на уроке мы рассмотрели общий метод решения иррациональных, логарифмических и показательных уравнений. Но, важно помнить, что этот метод применим только в том случаи, когда функция y = h ( x ) монотонна. Этот метод пригодится вам при сдаче выпускного экзамена. Оценки за урок….

Общие методы решения уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы изучим общие методы решения уравнений. Изучим уравнения со сложными функциями нового вида h(f(x))=h(g(x)) с разными аргументами. Рассмотрим общие методы решения таких уравнений, приведем примеры.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»