Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №43.Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• уравнение и неравенство, способы их решения;
• система уравнений, система неравенств;
• изображение в координатной плоскости множество решений уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств и нахождение площади получившейся фигуры;

Глоссарий по теме

Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

Все уравнения, которые не являются линейными называются нелинейными.

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Все неравенства, которые не являются линейными называются нелинейными.

Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.

Все системы неравенств, которые не являются линейными называются нелинейными.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Учебник: Алгебра 9 кл с углубленным изучением математики Мнемозина, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня на уроке мы вспомним нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными; системы линейный уравнений и неравенств, а также научимся изображать множество на плоскости, задаваемое нелинейным уравнением и неравенством.

1.Линейные уравнения с двумя переменными.

Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

Все уравнения, которые не являются линейными называются нелинейными.

Например, нелинейные уравнения с двумя переменными. Уравнение с двумя переменными можно заменить равносильным уравнением, в котором правая часть будет нулем, а левая многочленом стандартного вида:

Нелинейные уравнения с двумя переменными изображаются на координатной плоскости различными фигурами, каждое уравнение нужно рассматривать индивидуально.

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению:

Уравнение запишем в виде (х-у)(х+у) = 0, значит либо х-у=0, либо х

+у=0. Поэтому множество точек удовлетворяющих уравнению – пара пересекающихся прямых.

Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:

Сумма неотрицательных слагаемых равна 0 только в одном случае, когда оба слагаемых одновременно равны 0.

Это уравнение имеет единственное решение: х=2; у=-3. Поэтому множество точек удовлетворяющих уравнению – точка (2;-3).

Пусть на координатной плоскости Оху выбрана точка А(а;b), М(х;у) – произвольная точка этой плоскости, R- расстояние от точки М до точки А. Тогда , где R>0. Уравнение окружности с радиусом R и с центром в точке А(а;b).

Запишем уравнение в виде Множеством решения данного уравнения является окружность центром в точке (-1;4) и радиусом 3 единичных отрезка.

Рассмотрим примеры уравнений с двумя переменными, содержащих знак модуля:

Если то х+у=2 Множество решений этого уравнения часть прямой (отрезок АВ), где А(2;0), В(0;2)

Аналогично строятся отрезки в трех оставшихся координатных углах. (рисунок 1)

Рисунок 1 – графика

2.Нелинейные неравенства с двумя переменными.

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Все неравенства, которые не являются линейными называются нелинейными.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное равенство.

Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой.

1. Некоторые из таких неравенств можно привести к виду у f(x), а нижняя – графиком неравенства у 0 удовлетворяют все те точки, которые находятся от точки А на расстоянии меньшем R, те все точки и только они, расположенные внутри окружности с радиусом R и центром в точке А(а;b). Аналогично, множество решений неравенства есть множество точек , лежащих вне окружности.

Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства .

1. Начертим график уравнения . Запишем уравнение в виде Множеством решения данного уравнения является окружность центром в точке (-1;4) и радиусом 3 единичных отрезка.
2. Искомое множество решения неравенства – множество точек, лежащих на окружности и внутри окружности с центром в точке (-1;4) и радиусом 3 единичных отрезка.

3. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными.

Система вида , где а,b,с,d,e,f – некоторые числа, называется линейной системой с двумя переменными х и у.

Все системы уравнений, которые не являются линейными называются нелинейными.

Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство называют решением системы.

Решить систему – значит найти множество ее решений.

Каждое решение уравнения с двумя переменными представляет координаты некоторой его точки его графика. Каждое решение системы есть координаты общих точек графиков уравнений системы. Построим графики этих уравнений и найдем координаты точек пересечения.
Например.

Решить систему уравнений

Первое уравнение системы задает параболу, второе – окружность с центром (-1;3) и радиусом . Окружность и парабола имеют две общие точки (0;1) (-1,3;5,3). Координаты второй точки приближенные (рисунок 2).

Рисунок 2 – решение системы

4. Системы нелинейных неравенств с двумя переменными.

Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.

Все системы неравенств, которые не являются линейными называются нелинейными.

Рассмотрим систему нелинейных неравенств с двумя переменными на примере:

Изобразить на координатной плоскости Оху фигуру Ф, заданную системой неравенств, и найти площадь фигуры:

Неравенство заменим равносильной системой которая задает множество точек, лежащих на полуокружности и вне ее. А неравенство заменим равносильной совокупностью систем или (рисунок 3)

Рисунок 3 – решение системы

1. Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению .(рисунок 4)

График уравнения х^2 можно получить из окружности сжатием к оси х в 2 раза.

Рисунок 4 – график уравнения

Заметим, что фигуру, которая получается сжатием окружности к одному из ее диаметров, называют эллипсом.

1. Уравнение вида — уравнение ромба , где точка (a;b) точка пересечения диагоналей; диагонали ромба соответственно равны .

Рассмотрим частный случай:

Если k=m, то диагонали ромба будут равны, значит заданная фигура – квадрат.

Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля

Графиком данного уравнения является парабола, показанная на рисунке.(рисунок 5)

Рисунок 5 – график

Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства (рисунок 6)

Начертим график уравнения . Графиком данного уравнения является парабола. Нижняя из образовавшихся областей является графиком неравенства

Проверим себя: Например, пара (0;0) является решением неравенства , и принадлежит нижней из образовавшихся областей, значит графиком неравенства 2х+3у Назад Вперёд

Решение неравенств

Шаг 1. Введите неравенство

Подробно решает любые неравенства онлайн с возможностью изобразить неравенство на рисунке.

Примеры

Неравенства с модулем

С кубом (неравество третьей степени)

С кубическим корнем

С натуральным логарифмом

Иррациональные с квадратным корнем

С четвёртой степенью

Решение с целыми числами

Правила ввода выражений и функций

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Решебник (ГДЗ) по учебнику Алгебра, 8 класс [Дидактические материалы] (В.И. Жохов, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк) 2013, 2014

Страница № 043

Содержание
Самостоятельные работы 4

С-1. Преобразование целого выражения

в многочлен (повторение) 4

С-2. Разложение на множители (повторение) 5

С-3. Целые и дробные выражения 6

С-4. Основное свойство дроби. Сокращение дробей . 7

С-5; Сокращение дробей (продолжение) 9

С-6. Сложение и вычитание дробей

с одинаковыми знаменателями 10

С-7. Сложение и вычитание дробей

с разными знаменателями 12

С-8. Сложение и вычитание дробей с разными

знаменателями (продолжение) 14

С-9. Умножение дробей 16

С-10. Деление дробей 17

С-11. Все действия с дробями 18

С-13. Рациональные и иррациональные числа 22

С-14. Арифметический квадратный корень 23

С-15. Решение уравнений вида х2=а 27

С-16. Нахождение приближенных значений

квадратного корня 29

С-17. Функция у=д/х 30

С-18. Квадратный корень из произведения.

Произведение корней 31

С-19. Квадратный корень из дроби.

Частное корней 33

С-20. Квадратный корень из степени 34

С-21. Вынесение множителя из-под знака корня Внесение множителя под знак корня 37

С-22. Преобразование выражений,

содержащих квадратные корни 39

С-23. Уравнения и их корни 42

С-24. Определение квадратного уравнения.

Неполные квадратные уравнения 43

С-25. Решение квадратных уравнений 45

С-26. Решение квадратных уравнений

С-27. Теорема Виета 49

С-28. Решение задач с помощью

квадратных уравнений 50

С-29. Разложение квадратного трехчлена на

множители. Биквадратные уравнения 51

С-30. Дробные рациональные уравнения 53

С-31. Решение задач с помощью

рациональных уравнений 58

С-32. Сравнение чисел (повторение) 59

С-33. Свойства числовых неравенств 60

С-34. Сложение и умножение неравенств 62

С-35. Доказательство неравенств 63

С-36. Оценка значения выражения 65

С-37. Оценка погрешности приближения 66

С-38. Округление чисел 67

С-39. Относительная погрешность 68

С-40. Пересечение и объединение множеств 68

С-41. Числовые промежутки 69

С-42. Решение неравенств 74

С-43. Решение неравенств (продолжение) 76

С-44. Решение систем неравенств 78

С-45. Решение неравенств 81

С-46. Уравнения и неравенства, содержащие

переменную под знаком модуля 83

С-47. Степень с целым показателем 87

С-48. Преобразование выражений, содержащих
степени с целым показателем 88

С-49. Стандартный вид числа 91

С-50. Запись приближенных значений 92

С-51. Элементы статистики 93

С-52. Понятие функции. График функции

С-53. Определение квадратичной функции 99

С-54. Функция у=ах2 100

С-55. График функции у=ах2+Ьж+с 101

С-56. Решение квадратных неравенств 102

С-57. Метод интервалов 105

С-1. Преобразование целого выражения

в многочлен (повторение) 108

С-2. Разложение на множители (повторение) 109

С-3. Целые и дробные выражения 110

С-4. Основное свойство дроби.

Сокращение дробей 111

С-5. Сокращение дробей (продолжение) 112

С-6. Сложение и вычитание дробей

с одинаковыми знаменателями 114

С-7. Сложение и вычитание дробей

е разными знаменателями 116

С-8. Сложение и вычитание дробей с разными

знаменателями (продолжение) 117

С-9. Умножение дробей , 118

С-10. Деление дробей 119

С-11. Все действия с дробями 120

С-12. Функция 121

С-13. Рациональные и иррациональные числа 123

С-14. Арифметический квадратный корень 124

С-15. Решение уравнений вида х2—а 127

С-16. Нахождение приближенных значений квадратного корня 129
С-17. Функция у=\/х ‘ 130

С-18. Квадратный корень из произведения.

Произведение корней 131

С-19. Квадратный корень из дроби.

Частное корней 133

С-20. Квадратный корень из степени 134

С-21. Вынесение множителя из-под знака корня

Внесение множителя под знак корня 137

С-22. Преобразование выражений,

содержащих квадратные корни 138

С-23. Уравнения и их корни 141

С-24. Определение квадратного уравнения.

Неполные квадратные уравнения 142

С-25. Решение квадратных уравнений 144

С-26. Решение квадратных уравнений

С-27. Теорема Виета 148

С-28. Решение задач с помощью

квадратных уравнений 149

С-29. Разложение квадратного трехчлена на

множители. Биквадратные уравнения 150

С-30. Дробные рациональные уравнения 152

С-31. Решение задач с помощью

рациональных уравнений 157

С-32. Сравнение чисел (повторение) 158

С-33. Свойства числовых неравенств 160

С-34. Сложение и умножение неравенств 161

С-35. Доказательство неравенств 162

С-36. Оценка значения выражения 163

С-37. Оценка погрешности приближения 165

С-38. Округление чисел 165

С-39. Относительная погрешность 166

С-40. Пересечение и объединение множеств 166

С-41. Числовые промежутки 167
С-42. Решение неравенств 172