С помощью графика функции найти корни уравнения cosx

С помощью графика функции y = cos(x) найти корни уравнения

Формулировка задания: С помощью графика функции y = cos(x) найти корни уравнения cos(x) = √2/2 на отрезке [-3π/2; 0].

Построим график функции y = cos(x):

Определим границы отрезка, на котором нужно найти корни уравнения:

Проведем прямую y = √2/2 (≈ 1,4/2 = 0,7) на этом же графике:

И найдем точки пересечения графиков:

Такая точка лишь одна, следовательно, уравнение имеет один корень x = –π/4.

Поделитесь статьей с одноклассниками «С помощью графика функции y = cos(x) найти корни уравнения – решение и ответ».

Презентация к уроку алгебры по теме « y=cos x@

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Функция определена на всей числовой прямой; Множество значений функции – отрезок [- 1; 1]

cos(x + 2π) = cos x, Функция y=cos x -периодическая с периодом 2π ( строим график на промежутке длиной 2π , например [- π; π])

o y x x Р (0;1) -1 cos x cos x 1 x на рис. видно, что функция y= cos x убывает на отрезке [0; π]

III II I IY p — шесть клеток Ось косинусов II Построение графика функции y = cosx с применением тригонометрического круга

1.Область определения – множество R всех действительных чисел y x График расположен вдоль всей оси OX

2. Множество значений функции 1 -1 График ограничен линиями У=-1 и У=1

3.Функция у= cos x периодическая с периодом 2π

4.Функция y= cos x – четная

5. У=0 при х= π/2 + πп, пє Z Наибольшее значение у=1, если х= 2 πп, пє Z Наименьшее значение у=-1, если х= Наибольшее значение у=1, если х= π+2 πп, пє Z У>0 на интервале (-π/2 ; π/2 ) и на интервалах со сдвигом на 2 πп У — ½, принадлежащие отрезку [-. » onclick=»aa_changeSlideByIndex(18, 0, true)» >

Пример 2: Найти все решения неравенства cos x > — ½, принадлежащие отрезку [- π; 2π] Решение: Из рисунка видно, что график функции y=cos x лежит выше графика функции у=-1/2 на промежутках (- 2π/3; 2π/3) и (4π/3; 2π) Ответ : — 2π/3 cos 8π/9 2) cos 8π/7 и cos 10π/7 Ответ: на интервале ( π; 2π ) функция возрастает, значит т.к. 8π/7 -9π/7, то cos(- 8π/7) cos 3 6) cos 4 и cos 5 Ответ: на интервале ( π; 2π) функция возрастает, значит т.к. 4 cos 3π/10, а значит cos π/5 > sin π/5 Ответ : cos π/5 > sin π/5 2) sin π/7 и cos π/7 Решение: sin π/7= sin (π/2 — π/7)= cos 5π/14. Сравним cos π/7 и cos 5π/14; π/7 cos 5π/14, а значит cos π/7 > sin π/7 Ответ : sin π/7

№ 714 Выразите синус через косинус по формулам приведения , сравните числа: 3) cos 3π/8 и sin 5π/8 Решение: sin 5π/8= sin (π/2 + π/8)= cos π/8. Сравним cos 3π/8 и cos π/8; π/8 π/10, значит cos 3π/5 π/7, значит cos π/6 cos π/5, а значит cos π/8 > sin 3π/10 Ответ : cos π/8 > sin 3π/10

№ 715 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [ -π/2; 3π/2] : 1) cos 2x= ½ Решение: На отрезке [ -π/2; 3π/2] корнем уравнения cos 2x = 1/2 является число 2х=arccos (1/2) = π/3. Решая уравнение 2х = π/3, получим х = π/6 Ответ : х = π/6

№ 715 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [ -π/2; 3π/2] : 2) cos 3x= /2 Решение: На отрезке [ -π/2; 3π/2] корнем уравнения cos 3x = /2 является число 3х=arccos ( /2) = π/6. Решая уравнение 3х = π/6, получим х = π/18 Ответ : х = π/18

№ 716 Найти все решения неравенства , принадлежащие отрезку [ -π/2; 3π/2] : 1) cos 2x /2 Решение: На отрезке [ -π/2; 3π/2] корнем уравнения cos 3x = /2 является число 3х=arccos ( /2) = π/6. Решая неравенство 0

Краткое описание документа:

Данный материал предназначен для учителей , работающих в 10 классе , а также для учащихся, пропустивших урок по данной теме. Презентация выполнена в полном соответствии с учебником. Данная презентация поможет учителю при повторении и при подготовке учащихся к итоговой аттестации. Используя решенные задания как образец, можно решать более сложные задачи. Кроме того, данная презентация может быть использована как материал для устного счета при изучении последующих тем: решение тригонометрических уравнений и неравенств, преобразование графиков функций.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 920 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 582 502 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 29.03.2014
• 1309
• 2

• 29.03.2014
• 526
• 0

• 29.03.2014
• 4096
• 4

• 29.03.2014
• 3555
• 62

• 29.03.2014
• 2821
• 42

• 29.03.2014
• 6632
• 10

• 29.03.2014
• 1797
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 29.03.2014 6349
• PPTX 2.6 мбайт
• 26 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Костомахова Ирина Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 8 лет и 2 месяца
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 122436
• Всего материалов: 7

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Функция y = cos x, её свойства и график

п.1. Развертка ординаты движения точки по числовой окружности в функцию от угла

Рассмотрим, как изменяется косинус, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=cosx на этом отрезке.

Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривая продолжится вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x косинусоидой .
Часть косинусоиды для –π≤x≤π называют волной косинусоиды .
Часть косинусоиды для \(-\frac\pi2\leq x\leq\frac\pi2\) называют полуволной или аркой косинусоиды .

Заметим, что термин «косинусоида» используется достаточно редко. Обычно, и в случае косинуса, говорят о «синусоиде».

п.2. Свойства функции y=cosx⁡

1. Область определения \(x\in\mathbb\) — множество действительных чисел.

2. Функция ограничена сверху и снизу $$ -1\leq cosx\leq 1 $$ Область значений \(y\in[-1;1]\)

3. Функция чётная $$ cos(-x)=cosx $$

4. Функция периодическая с периодом 2π $$ cos(x+2\pi k)=cosx $$

5. Максимальные значения \(y_=1\) достигаются в точках $$ x=2\pi k $$ Минимальные значения \(y_=-1\) достигаются в точках $$ x=\pi+2\pi k $$ Нули функции \(y_<0>=cosx_0=0\) достигаются в точках \(x=\frac\pi2 +\pi k\)

6. Функция возрастает на отрезках $$ -\pi+2\pi k\leq x\leq 2\pi k $$ Функция убывает на отрезках $$ 2\pi k\leq x\leq\pi+2\pi k $$

7. Функция непрерывна.

п.3. Примеры

Пример 1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=cosx на отрезке:

a) \(\left[\frac\pi6; \frac<3\pi><4>\right]\) $$ y_=cos\left(\frac<3\pi><4>\right)=-\frac<\sqrt<2>><2>,\ \ y_=cos\left(\frac\pi6\right)=\frac<\sqrt<3>> <2>$$ б) \(\left[\frac<5\pi><6>; \frac<5\pi><3>\right]\) $$ y_=cos(\pi)=-1,\ \ y_=cos\left(\frac<5\pi><3>\right)=\frac12 $$

Пример 2. Решите уравнение графически:
a) \(cosx=\frac\pi2-x\)

Один корень: \(x=\frac\pi2\)

б) \(cosx-x=1\)
\(cosx=x+1\)

Один корень: x = 0

в) \(cosx-x^2=1\)
\(cosx=x^2+1\)

Один корень: x = 0

г*) \(cosx-x^2+\frac<\pi^2><4>=0\)
\(cosx=x^2-\frac<\pi^2><4>\)
\(y=x^2-\frac<\pi^2><4>\) – парабола ветками вверх, с осью симметрии \(x_0=0\) (ось OY) и вершиной \(\left(0; -\frac<\pi^2><4>\right)\) (см. §29 справочника для 8 класса)

Два корня: \(x_<1,2>=\pm\frac\pi2\)

Пример 3. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=cosx,\ \ y=-cosx,\ \ y=2cosx,\ \ y=cosx-2 $$

\(y=-cosx\) – отражение исходной функции \(y=cosx\) относительно оси OX. Область значений \(y\in[-1;1]\).
\(y=2cosx\) – исходная функция растягивается в 2 раза по оси OY. Область значений \(y\in[-2;2]\).
\(y=cosx-2\) — исходная функция опускается вниз на 2. Область значений \(y\in[-3;-1]\).

Пример 4. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=cosx,\ \ y=cos2x,\ \ y=cos\frac <2>$$

Амплитуда колебаний у всех трёх функций одинакова, область значений \(y\in[-1;1]\).
Множитель под косинусом изменяет период колебаний.
\(y=cosx\) – главная арка косинуса соответствует отрезку \(-\frac\pi2\leq x\leq\frac\pi2\)
\(y=cos2x\) — период уменьшается в 2 раза, главная арка укладывается в отрезок \(-\frac\pi4\leq x\leq\frac\pi4\).
\(y=cos\frac<2>\) — период увеличивается в 2 раза, главная арка растягивается в отрезок \(-\pi \leq x\leq \pi\).