Определите с помощью графиков, сколько корней имеет уравнение: а) х2 = х-1; б) 2х2 = Зх + 5; в) Зх2 = х + 7; г) 1/x = -х + 1.?
Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,298
- гуманитарные 33,622
- юридические 17,900
- школьный раздел 607,232
- разное 16,830
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Применение производной для решения нелинейных уравнений и неравенств
п.1. Количество корней кубического уравнения
Кубическое уравнение $$ ax^3+bx^2+cx+d=0 $$ на множестве действительных чисел может иметь один, два или три корня.
С помощью производной можно быстро ответить на вопрос, сколько корней имеет данное уравнение. \begin
Если две точки экстремума найдены, но \(f(x_1)\cdot f(x_2)=0\), уравнение имеет два корня.
Во всех остальных случаях – у исходного уравнения 1 корень.
Пример 1. Сколько корней имеют уравнения:
1) \(x^3+3x^2-4=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0 (c=0) \) \(f(x)=x^3+3x^2-4 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=-4,\ f(x_2)=0 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)=0\Rightarrow\) два корня | 2) \(x^3+3x^2-1=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0 \) \(f(x)=x^3+3x^2-1 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=-1,\ f(x_2)=3 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)\lt 0\Rightarrow\) три корня |
3) \(x^3+3x^2+1=0\) \(b^2-3ac=9\gt 0\) \(f(x)=x^3+3x^2+1 \) \(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \) \(x_1=0,\ x_2=-2 \) \(f(x_1)=1,\ f(x_2)=5 \) \(f(x_1)\cdot f(x_2)\gt 0\Rightarrow\) один корень | 4) \(x^3+x^2+x+3=0\) \(b^2-3ac=1-3\lt 0 \) Один корень |
п.2. Количество корней произвольного уравнения
Задачи на подсчет количества корней решаются с помощью построения графиков при полном или частичном исследовании функций.
Пример 2. а) Найдите число корней уравнения \(\frac 1x+\frac<1>
б) Найдите число корней уравнения \(\frac 1x+\frac<1>
Построим график функции слева, а затем найдем для него количество точек пересечения с горизонталью \(y=1\). Это и будет ответом на вопрос задачи (а).
Исследуем функцию: $$ f(x)=\frac1x+\frac<1>
1) ОДЗ: \(x\ne\left\<0;1;3\right\>\)
Все три точки – точки разрыва 2-го рода. \begin
Функция непериодическая.
3) Асимптоты
1. Вертикальные \(x=0, x=1, x=3\) – точки разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные: \begin
На минус бесконечности функция стремится к 0 снизу, на плюс бесконечности – сверху.
3. Наклонные: \(k=0\), нет.
4) Первая производная $$ f'(x)=-\frac<1>
Функция убывает.
5) Вторую производную не исследуем, т.к. перегибы не влияют на количество точек пересечения с горизонталью.
6) Точки пересечения с OY – нет, т.к. \(x=0\) – асимптота
Точки пересечения с OX – две, \(0\lt x_1\lt 1,1\lt x_2\lt 3\)
7) График
Получаем ответ для задачи (а) 3 корня.
Решаем более общую задачу (б). Передвигаем горизонталь \(y=k\) снизу вверх и считаем количество точек пересечения с графиком функции. Последовательно, получаем:
При \(k\lt 0\) — три корня
При \(k=0\) — два корня
При \(k\gt 0\) — три корня
Ответ: а) 3 корня; б) при \(k=0\) два корня, при \(k\ne 0\) три корня.
Пример 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$ \sqrt
Исследуем функцию \(f(x)=\sqrt
ОДЗ: \( \begin
Функция определена на конечном интервале.
Поэтому используем сокращенный алгоритм для построения графика.
Значения функции на концах интервала: \(f(1)=0+\sqrt<8>=2\sqrt<2>,\ f(5)=\sqrt<4>+0=2\)
Первая производная: \begin
\(x\) | 1 | (1; 7/3) | 7/3 | (7/3; 5) | 5 |
\(f'(x)\) | ∅ | + | 0 | — | ∅ |
\(f(x)\) | \(2\sqrt<2>\) | \(\nearrow \) | max \(2\sqrt<3>\) | \(\searrow \) | 2 |
Можем строить график:
\(y=a\) — горизонтальная прямая.
Количество точек пересечения \(f(x)\) и \(y\) равно количеству решений.
Получаем:
$$ a\lt 2 $$ | нет решений |
$$ 2\leq a\lt 2\sqrt <2>$$ | 1 решение |
$$ 2\sqrt<2>\leq a\lt 2\sqrt <3>$$ | 2 решения |
$$ a=2\sqrt <3>$$ | 1 решение |
$$ a\gt 2\sqrt <3>$$ | нет решений |
По крайней мере одно решение будет в интервале \(2\leq a\leq 2\sqrt<3>\).
п.3. Решение неравенств с построением графиков
Пример 4. Решите неравенство \(\frac<2+\log_3 x>
Разобьем неравенство на совокупность двух систем.
Если \(x\gt 1\), то \(x-1\gt 0\), на него можно умножить слева и справа и не менять знак.
Если \(x\lt 1\), то \(x-1\lt 0\), умножить также можно, только знак нужно поменять.
Сразу учтем требование ОДЗ для логарифма: \(x\gt 0\)
Получаем совокупность: \begin
Точка разрыва: \(x=\frac12\) – вертикальная асимптота
Односторонние пределы: \begin
Первая производная: $$ f'(x)=\left(1-\frac<3><2x-1>\right)’=\frac<3><(2x-1)^2>\gt 0 $$ Производная положительная на всей ОДЗ, функция возрастает.
Вторая производная: $$ f»(x)=-\frac<6> <(2x-1)^3>$$ Одна критическая точка 2-го порядка \(x=\frac12\)
Определите с помощью графика сколько корней имеет уравнение √(1 — x) — x ^ 2 — x + 1 = 0?
Алгебра | 10 — 11 классы
Определите с помощью графика сколько корней имеет уравнение √(1 — x) — x ^ 2 — x + 1 = 0.
Корней уравнения 2 — а смотри график ниже
х1 = 0, 8 и х2 = — 2, 2.
С помощью графиков определите сколько корней имеет уравнение, и найдите эти корни : х ^ 3 + x — 2 = 0?
С помощью графиков определите сколько корней имеет уравнение, и найдите эти корни : х ^ 3 + x — 2 = 0.
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТААААААА?
/ / / / / / / / / / с помощью графиков определите сколько корней имеет уравнение cosx = x ^ 2 + 0.
С помощью графиков определите сколько корней имеет уравнение х ^ 2 + 2х — 4 = 3 / х?
С помощью графиков определите сколько корней имеет уравнение х ^ 2 + 2х — 4 = 3 / х.
C помощью схематических графиков выясните, сколько корней имеет уравнение x ^ 2 + 1 = — x?
C помощью схематических графиков выясните, сколько корней имеет уравнение x ^ 2 + 1 = — x.
УМОЛЯЮЮ ПОМОГИТЕЕ Завтра по этому контрольная, помогите пожалуйста?
УМОЛЯЮЮ ПОМОГИТЕЕ Завтра по этому контрольная, помогите пожалуйста.
С помощью графиков выясните, сколько корней имеет уравнение.
С помощью графиков выясните , сколько корней имеет уравнение 1 / x = — x ^ 2 + 4?
С помощью графиков выясните , сколько корней имеет уравнение 1 / x = — x ^ 2 + 4.
Сколько корней имеет уравнение без графиков?
Сколько корней имеет уравнение без графиков.
С помощью графика определите сколько решений имеет система уравнений?
С помощью графика определите сколько решений имеет система уравнений.
С помощью графиков определите сколько корней имеет уравнение x ^ 2 = 1, 5 + 1?
С помощью графиков определите сколько корней имеет уравнение x ^ 2 = 1, 5 + 1.
Сколько корней имеет уравнение (С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКА)?
Сколько корней имеет уравнение (С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКА).
Вы открыли страницу вопроса Определите с помощью графика сколько корней имеет уравнение √(1 — x) — x ^ 2 — x + 1 = 0?. Он относится к категории Алгебра. Уровень сложности вопроса – для учащихся 10 — 11 классов. Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ, можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Алгебра, воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.
Пусть Х км / ч — первоначальная скорость мотоциклиста, тогда (х + 20) км / ч — вторая скорость мотоциклиста. В первом случае АВ = 4х, а во втором АВ = (4 — 1)(х + 20) = 3(х + 20) по условию. Составим и решим уравнение : 4х = 3(х + 20)4х = 3х + 60 х..
Введём x : Пусть x — скорость легкового автомобиля. Тогда x — 42 — скорость грузового автомобиля. Легковое авто доехал за 2 часа. Грузовое за 5 часов. Решаем уравнение : 2x = 5(x — 42) ; 2x = 5x — 210 ; 2x — 5x = — 210 ; — 3x = — 210 | : ( — 3) ;..
Верныеутверждения : 1) В фирме N хотя бы пять человек знают и португальский, и французский языки. 4) Не более 50 человек из этой фирмы знают и португальский, и французский языки.
100 чел. — всего 70 чел. Владеют португальским языком 50 чел. Владеют французским языком (70 + 50) — 100 = 20 (чел. ) — одновременно владеют и португальским и французским языками. Из предложенных утверждений верны первое и четвёртое.
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/primenenie-proizvodnoj-dlya-resheniya-nelinejnyh-uravnenij-i-neravenstv/
http://algebra.my-dict.ru/q/2523412_opredelite-s-pomosu-grafika-skolko-kornej/