Итоговое повторение темы «Решение уравнений» в курсе алгебры 11-го класса
Разделы: Математика
На первом, мотивационном этапе с учащимися обговорили, почему и для чего необходимо повторить эту тему. Дали оценку своих возможностей, составили план предстоящей работы:
- повторить тему за 6 уроков.
- повторить тему «Общие сведения об уравнениях»; (1 ч)
- обратить внимание на виды уравнений; (1 ч)
- повторить теоремы равносильности уравнений; (1 ч)
- повторить способы решений уравнений. (1 ч)
Способы решения уравнений, которые предлагаются учащимися в школьных учебниках, усваиваются достаточно хорошо. Поэтому при повторении мы решили пользоваться различными пособиями по элементарной математике.
В процессе повторения ученики должны последовательно перейти от одного уровня математической деятельности к следующему, более высокому, сделав для себя открытия в этой теме.
Какова мотивация учащихся? Готовиться к выпускным экзаменам и вступительным экзаменам в вузы, расширять и углублять знания по этой теме.
Учащиеся получили творческую работу: подобрать из разных источников такие уравнения, которые выходили бы за рамки традиционных уравнений, предлагаемых в школьных учебниках.
В результате выполнения этой работы мы решили рассмотреть 13 уравнений.
Учащиеся должны были поработать дома с этими уравнениями и выполнить задания.
- Задание №1.Провести классификацию уравнений по методам решения.
- Задание №2. Провести классификацию уравнений по виду.
- Задание №3. Решить уравнения (кто, сколько пожелает на выбор и объединиться в группы по методам решения уравнений).
Урок-семинар (2 часа)
Тема: «Решение уравнений».
- Повторить и расширить сведения об уравнениях и способах их решения;
- Формировать умения выполнять обобщения и конкретизацию, правильно отбирать способы решения уравнений;
- Развивать качества мышления, гибкость, целенаправленность, рациональность, воспитание чувства ответственности за коллектив в процессе творческой работы.
Формы организации познавательной деятельности:
по источнику приобретенных знаний:
по уровню познавательной активности:
- Организационный момент;
- Актуализация опорных знаний;
- Работа в творческих группах;
- Защита каждой группой своего способа решения уравнений;
- Зачетная работа;
- Домашнее задание;
- Итог урока.
Ход урока
1. Организационный момент: Девиз урока:
Посредством уравнений, теорем
Он уйму разрешал проблем.
И засуху предсказывал, и ливни
Поистине его познанья дивны.
Генрих Госсен.
2. Актуализация опорных знаний:
В результате выполнения первого задания получилась схема классификации уравнений.
Классификация уравнений по виду
При выполнении задания № 2 выяснили, что данные уравнения можно решить:
- Разложением на множители (№ 1, 2, 4);
- Заменой переменных (№ 4, 5, 6. 7, 10);
- Однородные (№ 8,13);
- Использование свойств функции(№ 3, 9. 11, 12)
3. Работа в творческих группах.
Класс разбивается на четыре группы (в каждой группе 5 учеников).
После того как каждой группе дано задание, идет обсуждение и поиск решения уравнений. Группа решает: какое уравнение, и кто представляет решение у доски для всего класса.
4. Представление и защита своего задания каждой группой.
Представили уравнение Решили методом разложения на множители.
Сгруппировали
Ответ:
Рассуждали так: Если раскрыть скобки получится уравнение 4-ой степени. Нужно найти делители свободного члена, разложить на множители левую часть и найти 4 корня уравнения, но это не рационально.
Предложили решить это уравнение способом замены переменной.
Пусть
Получили уравнение
Решим его как квадратное относительно t. Получим t =4x или t = x. Исходное уравнение распадается на совокупность двух уравнений:
Ответ: -1; 9;
Представили показательное уравнение, сводящееся к однородному.
.
Перепишем уравнение в виде
Получилось уравнение однородное относительно . Разделим обе части уравнения на
Пусть , причем >0. Получим , откуда
Вернемся к исходной переменной и решим уравнения
Ответ:
Представили уравнение: Это уравнение можно решить вполне стандартным способом. Но мы применили свойство монотонности функции. В левой части уравнения – возрастающая функция, в правой части — убывающая функция. Следовательно, данное уравнение не может иметь более одного корня. Число 5- корень уравнения, что проверяется подстановкой.
5. Зачетная работа:
6 Итог урока.
7. Задание на дом
№ 120 (1; 7;17) №129 (3;4)№130 (1; 3) учебник Алгебра и начала анализа. Н. Я. Виленкин и др.
С зачетной работой справились все 20 учащихся класса.
В результате проделанной работы ученики испытали радость победы над трудностями, преодоленными ими, познали новые (для них) приемы решений уравнений, дали самооценку своей деятельности и убедились, что только кропотливая самостоятельная работа приводит к формированию глубокого познавательного интереса к учебной деятельности.
Математика
52. Более сложные примеры уравнений.
Пример 1 .
5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)
Общий знаменатель есть x 2 – 1, так как x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Умножим обе части этого уравнения на x 2 – 1. Получим:
или, после сокращения,
5(x + 1) – 3(x – 1) = 15
5x + 5 – 3x + 3 = 15
Рассмотрим еще уравнение:
5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)
Решая, как выше, получим:
5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 или 2x = 2 и x = 1.
Посмотрим, оправдываются ли наши равенства, если заменить в каждом из рассмотренных уравнений x найденным числом.
Для первого примера получим:
Видим, что здесь нет места никаким сомнениям: мы нашли такое число для x, что требуемое равенство оправдалось.
Для второго примера получим:
5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) или 5/0 – 3/2 = 15/0
Здесь возникают сомнения: мы встречаемся здесь с делением на нуль, которое невозможно. Если в будущем нам удастся придать определенный, хотя бы и косвенный, смысл этому делению, то тогда мы можем согласиться с тем, что найденное решение x – 1 удовлетворяет нашему уравнению. До этой же поры мы должны признать, что наше уравнение вовсе не имеет решения, имеющего прямой смысл.
Подобные случаи могут иметь место тогда, когда неизвестное входит как-либо в знаменатели дробей, имеющихся в уравнении, причем некоторые из этих знаменателей, при найденном решении, обращаются в нуль.
(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
Можно сразу видеть, что данное уравнение имеет форму пропорции: отношение числа x + 3 к числу x – 1 равно отношению числа 2x + 3 к числу 2x – 2. Пусть кто-либо, в виду такого обстоятельства, решит применить сюда для освобождения уравнения от дробей основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). Тогда он получит:
(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)
2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.
Здесь может возбудить опасения, что мы не справимся с этим уравнением, то обстоятельство, что в уравнение входят члены с x 2 . Однако, мы можем от обеих частей уравнения вычесть по 2x 2 — от этого уравнение не нарушится; тогда члены с x 2 уничтожатся, и мы получим:
6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3
Перенесем неизвестные члены влево, известные вправо — получим:
Вспоминая данное уравнение
(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
мы сейчас же подметим, что найденное значение для x (x = 1) обращает в нуль знаменателей каждой дроби; от такого решения мы, пока не рассмотрели вопроса о делении на нуль, должны отказаться.
Если мы подметим еще, что применение свойства пропорции усложнило дело и что можно было бы получить более простое уравнение, умножая обе части данного на общий знаменатель, а именно на 2(x – 1) — ведь 2x – 2 = 2 (x – 1), то получим:
2(x + 3) = 2x – 3 или 2x + 6 = 2x – 3 или 6 = –3,
Это обстоятельство указывает, что данное уравнение не имеет таких, имеющих прямой смысл решений, которые не обращали бы знаменателей данного уравнения в нуль.
Решим теперь уравнение:
(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)
Умножим обе части уравнения 2(x – 1), т. е. на общий знаменатель, получим:
Найденное решение не обращает в нуль знаменатель и имеет прямой смысл:
или 11 = 11
Если бы кто-либо, вместо умножения обеих частей на 2(x – 1), воспользовался бы свойством пропорции, то получил бы:
(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) или
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.
Здесь уже члены с x 2 не уничтожались бы. Перенеся все неизвестные члены в левую часть, а известные в правую, получили бы
Это уравнение мы теперь решить не сумеем. В дальнейшем мы научимся решать такие уравнения и найдем для него два решения: 1) можно взять x = 2 и 2) можно взять x = 1. Легко проверить оба решения:
1) 2 2 – 3 · 2 = –2 и 2) 1 2 – 3 · 1 = –2
Если мы вспомним начальное уравнение
(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),
то увидим, что теперь мы получим оба его решения: 1) x = 2 есть то решение, которое имеет прямой смысл и не обращает знаменателя в нуль, 2) x = 1 есть то решение, которое обращает знаменателя в нуль и не имеет прямого смысла.
Найдем общего знаменателя дробей, входящих в это уравнение, для чего разложим на множители каждого из знаменателей:
1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),
2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),
3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).
Общий знаменатель равен (x – 3)(x – 2)(x + 1).
Умножим обе части данного уравнения (а его мы теперь можем переписать в виде:
на общего знаменателя (x – 3) (x – 2) (x + 1). Тогда, после сокращения каждой дроби получим:
3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) или
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.
Это решение имеет прямой смысл: оно не обращает в нуль ни одного из знаменателей.
Если бы мы взяли уравнение:
то, поступая совершенно так же, как выше, получили бы
3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2
3x + 3 – 2x + 6 = x – 2
3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,
откуда получили бы
что невозможно. Это обстоятельство показывает, что нельзя найти для последнего уравнения решения, имеющего прямой смысл.
План- конспект открытого урока по математике в 11 Б классе «Подготовка к ЕГЭ. Решение сложных комбинированных уравнений»
план-конспект урока по алгебре (11 класс)
Тип урока: семинарское занятие.
Цели урока:
Познавательные: повторить и обобщить изученный за курс средней школы материал по математике, закрепить навыки решения сложных уравнений различными методами.
Развивающие: развивать ключевые коммуникативные компетенции, речь, внимание, память, логическое мышление, умение обобщать, делать выводы, развивать навыки самоконтроля и творческие способности учащихся.
Воспитательные: совершенствовать навыки этичного межличностного общения, сознательное отношение к математике; активизировать познавательную деятельность в коллективе, формировать навыки сотрудничества в решении поисковых задач, воспитывать у учащихся морально-ценностные чувства.
Задачи урока:
- Систематизировать теоретические знание по теме.
- Развивать умение работать с заданиями ЕГЭ.
Совершенствовать навыки решения сложных уравнений различными методами.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
otkrytyy_urok_11_kl.docx | 160.67 КБ |
Предварительный просмотр:
МАОУ «Свердловская СОШ №2»
План- конспект открытого урока
по математике в 11 Б классе
« Подготовка к ЕГЭ. Решение сложных комбинированных уравнений »
Урок разработала и провела:
МАОУ «Свердловская СОШ №2»
Тип урока: семинарское занятие.
Познавательные: повторить и обобщить изученный за курс средней школы материал по математике, закрепить навыки решения сложных уравнений различными методами.
Развивающие: развивать ключевые коммуникативные компетенции, речь, внимание, память, логическое мышление, умение обобщать, делать выводы, развивать навыки самоконтроля и творческие способности учащихся.
Воспитательные: совершенствовать навыки этичного межличностного общения, сознательное отношение к математике; активизировать познавательную деятельность в коллективе, формировать навыки сотрудничества в решении поисковых задач, воспитывать у учащихся морально-ценностные чувства.
- Систематизировать теоретические знание по теме.
- Развивать умение работать с заданиями ЕГЭ.
Совершенствовать навыки решения сложных уравнений различными методами.
I Организационный момент:
а) готовность класса к уроку;
б Слово учителя : Ребята, сегодня у нас необычный урок. Мы проверим наши знания, уровень нашей подготовки к сдаче ЕГЭ. И я хочу начать сегодняшний урок с притчи.
— Учитель, я уже целый год живу у тебя, но до сих пор выполняю только работы по хозяйству. Когда ты будешь меня учить? Разве я для этого пришёл к тебе в ученики, скажи?
— Имей терпение, — ответил учитель, — ещё не пришло время. Иди в нижнюю долину и посади дерево, вырасти его, а я подумаю.
Долгий и тяжёлый путь проделал ученик, пока спустился в долину. По дороге он выкопал маленький саженец и посадил его. С той поры, дважды в день он проходил опасный путь, между хижиной и долиной, чтобы полить деревце. Изо дня в день, он присматривал за деревом. Так прошёл год. Усилия его не пропали даром. Дерево выросло высоким и крепким. Однажды на рассвете, он вышел из хижины и увидел своего учителя, сидящего у ручья под деревом.
— Учитель! – обрадовался юноша. – Как я счастлив вновь увидеть тебя! Я должен извиниться перед тобой, что не смог стать твоим учеником, обманув твоё доверие! Ты подумал, что я слаб, когда я остался жить в долине. Но я должен был заботиться о своём деревеИ теперь, ты вряд ли возьмёшь меня обратно…
Выслушав пылкую речь юноши, старик сказал ему: — Именно в этот год, ты вместе с деревом взращивал такие качества своего характера, которые тебе помогут постигать знания.
Твоё дерево говорит о твоей готовности. Посмотри!
Ответственность ты имел, но только по необходимости, Был нетерпелив и эмоционален, как переплетенные побеги саженца. Чтобы обрести знания, нужна, прежде всего, дисциплина.
Ибо корни дерева – твоя ответственность,
ствол дерева – твоё терпение,
ветви дерева – спокойствие,
а листья – знания!
И вам я желаю такого же упорства и терпения, чтобы хорошо подготовиться к ЕГЭ и успешно его сдать.
А теперь приступим к выполнению заданий.
Дать определение уравнения и его корня, равносильности двух уравнений.
Арифметическое выражение, содержащее неизвестную переменную и знаки равенства называют уравнением. Значение переменной, превращающее уравнение в верное равенство, называют корнем уравнения. Два уравнения называют равносильными, если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения и любой корень второго уравнения является корнем первого уравнения.
Дать определение равносильности преобразования уравнения и перечислить основные равносильные преобразования.
Замену одного уравнения другим, равносильным ему уравнением называют равносильным преобразованием уравнения.
Равносильными преобразованиями уравнения являются:
- перенос члена уравнения с противоположным знаком из одной части уравнения в другую;
- умножение (деление) обеих частей уравнения на отличную от нуля число;
- возведение уравнения в нечетную степень;
- извлечение корня нечетной степени с обеих частей уравнения:
- логарифмирование показательного уравнения;
- применение тождеств, т. е равенств, справедливых для любого числа.
Рассказать, какие равносильные преобразования нужно выполнить, чтобы решить следующие уравнения
;
Дайте определение уравнения – следствия и перечислите преобразования, приводящие к уравнению следствия.
Пусть даны два уравнения. Если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называют уравнением- следствием первого.
Замену уравнения другим уравнением, которое является его следствием, называют переходом к уравнению- следствию.
При переходе к уравнению- следствия возможно появление лишних корней, посторонних для исходного уравнения, поэтому проверка полученных корней является обязательной частью решения уравнения.
Преобразованиями, приводящими к уравнению- следствия является:
- возведение уравнения в четную степень;
- потенцирование логарифмического уравнения;
- освобождение уравнения от знаменателя;
- приведение подобных членов;
- применение формул (тригонометрических, логарифмических и других).
- Расскажите, каким способом приводится следующие уравнения к уравнению – следствия.
;
;
.
Карточки имеются у каждого ученика на парте.
Сложные уравнения можно решить, приводя их к системам. Правила перехода от уравнений к равносильным системам:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
М-область существования
8.
9.
10.
11.
Работа в группах.
Запишите системы, равносильные уравнениям. (Работы выполняют на листочках)..
1.
2.
3.
4 .
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Очень часто можно встретить уравнение, которое имеет дополнительное условие, например:
Как можно упростить решение такого типа уравнения?
Разбор решения на доске.
Учитывая, что левая часть уравнения неотрицательное число получаем значит, множество решений данного уравнения есть . Левая часть уравнения для любого есть отрицательное число, значит, рассматривается только одно уравнение . Решается квадратное уравнение, находим и выбираем те, которые принадлежат множеству М.
Самыми сложными считаются уравнения с параметром. Дайте определение уравнения с параметром. Давайте рассмотрим несколько таких уравнений с использованием свойств функций:
а)
имеет ровно три корня.
Для каждого значения a рассмотрим функцию
Она определена на множестве R, четная, поэтому, если — корень уравнения, то — тоже является корнем уравнения.
Уравнение (1) имеет три корня тогда и только тогда, когда оно имеет и еще два отличных от нуля корня, отличающихся знаками.
получаем:
При уравнение примет вид у уравнения только один корень.
При уравнение имеет вид . Это уравнение имеет три корня Ответ:3
Максимум за выполнение данного задания(18 задание) можно получить 4 балла.
В задачах с параметром допускают весьма разнообразные способы решений. Наиболее распространенными из них являются;
Чисто алгебраический способ решения;
-способ решения,основанный на построении и исследовании геометрической модели данной задачи;
-функциональный способ, в котором могут быть и алгебраические, и геометрические моменты, но базовым является исследование некоторой функции.
Обоснованно получен верный ответ
С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но
-или в ответ включены и одно-два неверных значения;
-или решение недостаточно обосновано.
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра
Задача сведена к исследованию:
-или взаимного расположения трех окружносей;
-или двух квадратных уравнений с параметром.
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Выполнения тренировочных упражнений на закрепление навыков и умений решать уравнения.
- ;
VI Домашнее задание:
Разбор заданий типа С с индивидуальных карточек с сайта www.ege.edu.ru Банк заданий на доске.
С1.(В13)
C1.(B1)
C1.(B12)
C1.(B19)
С5. Найти все значения a, такие, что уравнение имеет единственное решение:
С5. Найти все значения a, такие, что уравнение имеет единственное решение:
Найти наибольший корень уравнения:
.
Найти значение р, при которых уравнение
не имеет решений.
Решить уравнение
- Повторить теорию по темам:
- Уравнения-следствия.
- Равносильность уравнений системам.
- Равносильность уравнений на множествах.
VII Подведение итогов урока.
- Оцените вашу работу на уроке.
http://maths-public.ru/algebra1/equations-examples
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2021/08/20/plan-konspekt-otkrytogo-uroka-po-matematike-v-11-b-klasse