Самостоятельная работа биквадратные уравнения 8 класс никольский

Самостоятельные работы по алгебре 8 кл
материал по алгебре (8 класс)

Самостоятельные работы по алгебре 8 кл к учебнику «Алгебра 8» С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Ре­шетников, А. В. Шевкин

Скачать:

Предварительный просмотр:

М. К. Потапов А. В.

С—1 Числовые неравенства.

1. вариант

1. Укажите три числа, заключенные между числами 4,3(57) и 4,(357).
2. Изобразите на координатной оси числовой промежуток, соответствующий неравенствам:

а) — 1 x x х > 4; г) x

1. С помощью знаков ∈ и ∉ запишите, принадлежит ли данное число указанному числовому промежутку:

а) 15; (- ∞ ; 0); б) -1; [-2; 0); в) 0; (0; 9); г) 7; [2; 7].

1. Изобразите на координатной оси числовые промежутки ( − 4; 3] и [-1; 6); укажите объединение и пересечение этих промежутков.
2. Для чисел а и b справедливы неравенства 15 а b а + b ; б) а • b ; в) а − b ; г) а : b ?
3. Докажите свойство числовых неравенств: если а b и с то а + с

1. вариант

1. Укажите три числа, заключенные между числами 5,4(16) и 5,(416).
2. Изобразите на координатной оси числовой промежуток, соответствующий неравенствам:

а) − 2 − 1 ; б) − 4 х х >8.

1. С помощью знаков ∈ и ∉ запишите, принадлежит ли данное число указанному числовому промежутку:

а) 5; (4; + ∞) ; б) -2; [-1; 3); в) 4; (1; 4); г) 3; [3; 8].

1. Изобразите на координатной оси числовые промежутки (—3; 4] и [3; 7); укажите объединение и пересечение этих промежутков.
2. Для чисел а и b выполняются неравенства 20 а 3 b а + b ; б) а • b ; в) а − b ; г) а : b ?
3. Докажите свойство числовых неравенств: если с 0 и а by то ас > bc.

С—2 Функция. График функции

1. Дан график некоторой функции (рис. 34). Определите:

а) ординату точки графика, имеющей абсциссу 4;

б) абсциссу точки графика, имеющей ординату 5;

в) промежуток, на котором эта функция возрастает (убывает).

1. Дана функция у = . Вычислите:

а) y (2); б) у(- 3); в) y( ).

1. Дана функция у = х 2 . Сравните:

а) y(3) и y(2); б) у(- 5) и y (5); в) у(- 2) и у( 3).

1. Постройте график функции у = х 2 на промежутке [0; + ∞).

а) Возрастающей или убывающей является данная функция на этом промежутке?

б) С помощью определения докажите свое утверждение в пункте «а».

1. Дан график некоторой функции (рис. 35). Определите:

а) ординату точки графика, имеющей абсциссу 2;

б) абсциссу точки графика, имеющей ординату 1;

в) промежуток, на котором эта функция возрастает (убывает).

1. Дана функция у = . Вычислите:

а) y (-2); б) у(4 ); в) y( ).

1. Дана функция у = х 2 . Сравните:

а) y(4) и y(3); б) у ( — 3) и y (-2); в) у ( 2) и у ( -5).

1. Постройте график функции у = на промежутке (0; + ∞).

а) Возрастающей или убывающей является данная функция на этом промежутке?

б) С помощью определения докажите свое утверждение в пункте «а».

С − 3 Квадратный корень из числа

1. вариант

1. Найдите значение выражения + •
2. Сравните числа:

a) и 4; б) и ; в) 2 и 3 .

1. Освободитесь от знака модуля:

a) | — 3|; б) | – 3 | ; в) | — 3|.

1. Найдите значение выражения
2. Докажите, что число является рациональным.
3. Найдите значение выражения

1. вариант

1. Найдите значение выражения + •
2. Сравните числа:

a) и 3; б) и ; в) 2 и 3 .

1. Освободитесь от знака модуля:

a) | — 2|; б) | – 2 | ; в) | — 2|.

1. Найдите значение выражения
2. Докажите, что число является рациональным.
3. Найдите значение выражения

С − 4 Преобразование выражений,

содержащих квадратные корни

1. 1. Сократите дробь:

1. ; б)

1. 2. Сравните числа:
2. а) + и + ;
3. б) + и + ;
4. в) + и + .
5. 3.Вынесите множитель из-под знака корня:

a) ; б) , если a > 0; в) , если a

1. 4. Внесите множитель под знак корня:

а) 3 ; б) 2 b , если b > 0; в) 3 b , если b

1. 5. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) б) ;

6. Докажите, что число целое.

1. 1. Сократите дробь:

1. ; б)

1. 2. Сравните числа:
2. а) + и + ;
3. б) + и + ;
4. в) + и + .
5. 3.Вынесите множитель из-под знака корня:

a) ; б) , если b > 0; в) , если b

1. 4. Внесите множитель под знак корня:

а) 5 ; б) 3 b , если b > 0; в) 2 b , если b

1. 5. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) б) ;

6. Докажите, что число целое.

1. вариант

1. Вычислите дискриминант квадратного трехчлена: а) 2 х 2 — 9 х + 5; б) х 2 – 14 x + 49.
2. Разложите квадратный трехчлен на линейные множители:

а ) х 2 + 5 х – 6; б) 3 х 2 –4 х –7.

1. Докажите, что для любого действительного числа х справедливо неравенство х 2 — 6 х + 10 > 0.
2. Упростите выражение | х 2 – 2 х + 3| + |- х 2 — 5|.
3. При каком значении а число 2 является корнем квадратного трехчлена х 2 -3х + а ?

1. вариант

1. Вычислите дискриминант квадратного трехчлена: а) 3х 2 – 8x + 5; б) x 2 – 16x + 64.
2. Разложите квадратный трехчлен на линейные множители:

а) х 2 -4х + 3; б) 3х 2 — 2х — 5.

1. Докажите, что для любого действительного числа х справедливо неравенство х 2 – 8х + 17 > 0.
2. Упростите выражение |х 2 — 3 х + 5| +|– х 2 – 4|.
3. При каком значении а число 3 является корнем квадратного трехчлена х 2 – 2 х + а

С—6 Квадратные уравнения

а) х 2 – 9 = 0; б) х 2 + 4х = 0; в) х 2 + 10 = 0;

г) х 2 + 5 х – 6 = 0; д) 3 х 2 – 5 х – 8 = 0.

1. При каких значениях с уравнение х 2 – 6 х + с = 0 имеет единственный корень?
2. Числа х 1 и х 2 являются корнями уравнения х 2 – 4 х + 2 = 0. Найдите значение выражения:

а) х 1 + х 2 ; б ) х 1 ⋅ х 2 ; в) х 1 2 + 3 x 1 x 2 + х 2 2 »

1. Пусть х 1 и х 2 — корни квадратного уравнения х 2 – 4х + 2 = 0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 2 х 1 и 2 х 2 .
2. Решите уравнение: .

а) ( х — 5) 2 + ( х -3) 2 = 2; б) — =0 .

а) х 2 – 4 = 0; б) х 2 + 3 х = 0; в) х 2 + 11 = 0;

г) х 2 + 4 х – 5 = 0; д) 2 х 2 – 5 х – 7 = 0.

1. При каких значениях с уравнение х 2 – 8 х + с = 0 имеет единственный корень?
2. Числа х 1 и х 2 являются корнями уравнения х 2 – 5х + 2 = 0. Найдите значение выражения:

а) х 1 + х 2 ; б) х 1 х 2 ; в) х 1 2 + 4х 1 х 2 + х 2 2 .

1. Пусть х х и х 2 — корни квадратного уравнения х 2 – 5х + 2 = 0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 3х 1 и 3х 2 .
2. Решите уравнение:

а) ( х – 4) 2 + ( х – 6) 2 = 2; б) – =0 .

С—7 Решение задач при помощи

1. Разность двух чисел равна 14, а произведение 120. Найдите эти числа.
2. Одна сторона прямоугольника на 14 см больше другой, а площадь прямоугольника равна 240 см 2 . Определите длины сторон прямоугольника.
3. Одна дама сказала: «Если мой возраст возвести в квадрат и из полученного результата вычесть мой возраст, умноженный на 33, то получится 70». Определите возраст дамы.
4. Зарплата сотрудника составляла 5500 р. Зарплату увеличили на несколько процентов, потом новую зарплату увеличили еще на столько же процентов. Получилось 7920 р. Определите, на сколько процентов увеличилась зарплата в первый раз.

1. Разность двух чисел равна 16, а произведение 132. Найдите эти числа.
2. Одна сторона прямоугольника на 15 см больше другой, а площадь прямоугольника равна 250 см 2 . Определите длины сторон прямоугольника.
3. Одна дама сказала: «Если мой возраст возвести в квадрат и из полученного результата вычесть мой возраст, умноженный на 21, то получится 100». Определите возраст дамы.
4. Зарплата сотрудника составляла 6000 р. Зарплату увеличили на несколько процентов, потом новую зарплату увеличили еще на столько же процентов. Получилось 7260 р. Определите, на сколько процентов увеличилась зарплата в первый раз.

С—8 Рациональные уравнения

Решите уравнение (1- 4):

1. а) х 4 — 3 х 2 — 4 = 0; б) ( х 2 — 1)( х 2 + 4 х + 3) = 0.

1. = 0; б) = 0;

в) —

1. (х 2 + 2х) 2 + 13(х 2 + 2х) +12 = 0.
2. 2 х 3 + 7 х 2 + 7 х + 2 = 0.

1. вариант

Решите уравнение (1—4):

1. а) х 4 — 8х 2 — 9 = 0; б) ( х 2 — 4)( х 2 + х- 2) = 0.
2. = 0; б) = 0; в) —
3. ( х 2 — 2х) 2 + 12( х 2 – 2 х ) +11 = 0.
4. 2 х 3 -3 х 2 -3 х + 2 = 0.

Решение задач при помощи рациональных уравнений

1. вариант

1. Товарный поезд должен пройти с постоянной скоростью расстояние между станциями, равное 420 км. Когда он прошел половину этого расстояния, то был задержан у светофора на 30 мин, поэтому, чтобы наверстать опоздание, машинист увеличил скорость поезда на 10 км/ч. С какой скоростью поезд шел до остановки?
2. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух сел А и В. Первый прибыл в В через 16 мин после встречи, а второй прибыл в А через 25 мин после встречи. Через сколько минут после выезда из своих сел они встретились?
3. Пассажир преодолел 170 км. При этом на автобусе он ехал 1 ч, а на поезде 2 ч. Найдите скорость автобуса, если каждые 10 км он преодолевал на 2 мин медленнее, чем поезд.

1. вариант

1. Товарный поезд должен пройти с постоянной скоростью расстояние между станциями, равное 300 км. Когда он прошел половину этого расстояния, то был задержан у светофора на 30 мин, поэтому, чтобы наверстать опоздание, машинист увеличил скорость поезда на 10 км/ч. С какой скоростью поезд шел до остановки?
2. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух сел А и В. Первый прибыл в В через 25 мин после встречи, а второй прибыл в А через 36 мин после встречи. Через сколько минут после своего выхода пешеходы встретились?
3. Две трубы наполнили бассейн объемом 17 м 3 . При этом первая труба была открыта 2 ч, а вторая 3 ч. Сколько кубометров заполнила первая труба, если 1 м 3 она заполняла на 5 мин быстрее, чем вторая?

1. вариант

1. Пассажирский поезд должен пройти с постоянной скоростью расстояние между станциями, равное 312 км. Когда он прошел половину этого расстояния, то был задержан у светофора на 12 мин, поэтому, чтобы наверстать опоздание, машинист увеличил скорость поезда на оставшемся участке пути на 5 км/ч. С какой скоростью поезд шел после остановки?
2. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух сел А и В. Первый прибыл в В через 12 мин после встречи, а второй прибыл в А через 27 мин после встречи. Через сколько минут после выезда из своих сел они встретились?

3. Пассажир преодолел 150 км. При этом на электричке он ехал 2 ч, а на поезде 1 ч. Найдите скорость электрички, если каждые 9 км она преодолевала на 3 мин медленнее, чем поезд.

1. Пассажирский поезд должен пройти с постоянной скоростью расстояние между станциями, равное 448 км. Когда он прошел половину этого расстояния, то был задержан у светофора на 24 мин, поэтому, чтобы наверстать опоздание, машинист увеличил скорость поезда на оставшемся участке пути на 10 км/ч. С какой скоростью поезд шел после остановки?
2. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух сел А и В. Первый прибыл в В через 32 мин после встречи, а второй прибыл в А через 50 мин после встречи. Через сколько минут после своего выхода пешеходы встретились?
3. Два туриста, сменяясь, перенесли рюкзак на расстояние 11 км. При этом каждый нес рюкзак по одному часу. Какова скорость второго туриста, если 3 км он проходил на 6 мин медленнее, чем первый турист проходил 2 км?

С—10 Замена неизвестного

при решении рациональных уравнений

Решите уравнение (1–4):

1. (2 х 2 + 4 х + 1)( х 2 + 2 х +1) – 5 х 2 – 10 x — 13 = 0.
2. ( х + 2)( х + 3)( х + 4)( х + 5) = 24.
3. ( х – 5) 4 + ( х – 9) 4 = 32.
4. х 4 –3 х 3 + 4 х 2 –3 х +1 = 0.

1. вариант

Решите уравнение (1—4):

1. (2 х 2 — 4 х- 3)( x 2 — 2 х + 3) — 5 х 2 + 10 x – 3 = 0.
2. ( х –2)( х –3)( х –4)( х –5) = 24.
3. ( х – 4) 4 + ( х –8) 4 = 32.
4. х 4 + 3 х 3 + 4 х 2 + 3 x + 1 = 0.

С—11* Делимость многочленов

1. вариант

1. Разделите многочлен х 3 — 7х 2 + 17 x — 12 на двучлен х — 3 с остатком.
2. Не выполняя деления многочленов, определите остаток от деления многочлена 3 х 5 — 4 х 4 + 5 х 3 — 6 х+ 7 х -8 на двучлен х – 1.
3. При каких значениях а и b многочлен х 4 -2х 3 -х 2 +ах+ b делится на х – 2 без остатка, а при делении на х — 3 дает остаток 21?
4. При делении многочлена ах 3 + bх + с на х — 3 получился остаток 11. Вычислите сумму 27 a + 3 b + c.
5. Решите уравнение:

а) – 2 x 2 + 3 x – 2 = 0; б) х 3 + 3 х 2 — 3 х+ 4 = 0.

1. вариант

1. Разделите многочлен х 3 — 7 х 2 + 14 х — 4 на двучлен х — 2 с остатком.
2. Не выполняя деления многочленов, определите остаток от деления многочлена 8х 5 – 7x 4 + 6х 3 – 5х 2 + 4 х – 3 на двучлен х — 1.
3. При каких значениях а и b многочлен х 4 – 3 x 3 + 2 x 2 +ах+b делится на х –3 без остатка, а при делении на х –2 дает остаток –15?
4. При делении многочлена ax 3 + bx 2 + c на х- 2 получился остаток 12. Вычислите сумму 8 a + 4 b + с.
5. Решите уравнение:

а) х 3 — 3 х 2 + 4 х- 2 = 0; б) x 3 – 2 x 2 – 2 х — 3 = 0.

С—12* Линейные уравнения с параметром

1. При каждом значении параметра а решите уравнение

1. При каждом значении параметра а решите уравнение

а 2 х — 6 = 3 а + 4 х .

1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых число 5 является единственным корнем уравнения

ах – 5 а = 10 — 2 х .

1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнения ах=х – 2 и х+а= 2 ах имеют общий корень.

1. При каждом значении параметра а решите уравнение

2 ах –3 = 5 а – 4 х .

1. При каждом значении параметра а решите уравнение

а 2 х –2 а = 4( х –1).

1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых число – 3 является единственным корнем уравнения

1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнения ах= 2 -х и ах+ 2 =х-а имеют общий корень.

С—13* Квадратные уравнения с параметром

1. вариант

1. При каких значениях параметра а уравнение

ах 2 + ( а 2 + 1) х + а = 0:

а) имеет единственный корень; б) имеет два корня?

1. При каждом значении параметра k решите уравнение

х 2 — (2 k — 2)х – 4 k = 0.

1. При каждом значении параметра k решите уравнение

x 2 + ( k – 2) x +l = 0.

1. Найдите все значения параметра 6, при каждом из которых корни х х и х 2 уравнения х 2 — (6 — 1)х + 6 + 2 = 0 различны и удовлетворяют условию х 2 + х 2 + 6 x 1 x 2 = 13.

1. вариант

1. При каких значениях параметра а уравнение

ах 2 — (а 2 + 1) х + а = 0:

а) имеет единственный корень; б) имеет два корня?

1. При каждом значении параметра k решите уравнение

х 2 – (3 k – 3) х –9 k = 0.

1. При каждом значении параметра k решите уравнение

х 2 – ( k + 2) х +1 = 0.

Найдите все значения параметра Ь, при каждом из которых корни х 1 и х 2 уравнения х 2 – (6 + 1 )х+ 6 + 2 = 0 различны и удовлетворяют условию х\ + х\ + 5x^2 = 33.

С—14 Уравнения, содержащие модули

Решите уравнение (1–6):

1. |x-5| = 6. 2. | х 2 -2х- 1| = 2.

3. | 3x + 4| = \4х + 3|. 4. | х 2 -3х + 2 | = | х 2 — 4 х + 5|.

1. ||х + 2| — 7| = 4. 6. || x 2 — 4 х + 1| — 1| = 2.

1. вариант

Решите уравнение (1—6):

1. |x-6| = 5. 2. | х 2 + 2х- 1 | = 2.

3. \ | 3х — 1| = \ | 2х — 6|. 4. | х 2 — Зх + 2| = | х 2 -2х + 3|.

5. ||x — 3| — б| = 5. 6. ||x 2 + 4 х + 1| — 1| = 2.

С—15 Линейная функция

1. Постройте график функции у = 3х – 2.
2. Определите, принадлежит ли графику функции у = 3х-2 точка: а) А(33; -97); б) В(100; 300).
3. Дан график линейной функции y = kx + b (рис. 38). Определите по графику, при каких значениях х функция:

а) обращается в нуль (у = 0);

б) принимает положительные значения (у > 0);

в) принимает отрицательные значения (у 0).

1. Дан график линейной функции у = kx + b (см. рис. 38). Определите числа k и b .
2. Определите координаты точек пересечения графиков функций у = 4 х- 20 и у = 5 х — 30.

1. вариант

1. Постройте график функции у = 0,5x+ 1.
2. Определите, принадлежит ли графику функции у = 0,5 x + 1 точка:

а) А(100; 50); б) В(80; 41).

1. Дан график линейной функции у = kx + b (рис. 39). Определите по графику, при каких значениях х функция:

а) обращается в нуль (у = 0);

б) принимает положительные значения (у > 0);

в) принимает отрицательные значения (у

1. Дан график линейной функции у = kx + b (см. рис. 39). Определите числа k и b.
2. Определите координаты точек пересечения графиков функций у = 5 x — 20 и у = 10 х — 70.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Набор тематических контрольных и самостоятельных работ по алгебре

В работе представлены самостоятельные и контрольные работы по отдельным темам школьного курса алгебры.

Самостоятельная работа по алгебре 9 класс»График квадратичной функции»

Работа состоит из двух вариантов. Содержит разнообразные задания и вопросы по теме «Постороение графика квадратичной функции», для ответов на которые требуется глубокое понимание материала. Количество.

самостоятельная работа по алгебре 9 класс по теме «Квадратичные неравенства»

Данная самостоятельная работа охватывает сразу несколько вопросов по теме «Квадратичные неравенства» и «Квадратный трехчлен», поэтому может быть использована на уроках итогового контроля. Задания пред.

Самостоятельная работа по алгебра для 11-го класса по теме «Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке»

Самостоятельная работа составлена в шести вариантах одинаковой сложности по материалам для экзаменов, 2-е и 3-е задание из материалов Открытого банка заданий ЕГЭ по математике.

Самостоятельная работа по алгебре для 7-го класса по теме «Координаты»

Самостоятельная работа содержит варианты одинаковой сложиности и включает задания на построение точек по координатам, построение точек, симметричных данным относительно осей координат и начала координ.

Самостоятельные работы по алгебре для 7 класса

Материал подобран по всем темам курса.

Сообщение.Устно-письменные самостоятельные работы по алгебре в 8 классе при подготовке к ГИА.

Выступление на заседании круглого стола «Разнообразие форм и методов подготовки выпускников школы к ГИА и ЕГЭ» .

Биквадратные уравнения

Обучающая карточка по теме «Решение биквадратных уравнений». Образцы решений и задания для самостоятельной работы. Можно использовать для самостоятельного изучения.

Просмотр содержимого документа
«Биквадратные уравнения»

Решение биквадратных уравнений

Уравнение ax 4 + bx 2 +c=0, где a0 называют биквадратным.

Решить уравнение х 4 – 5х 2 – 36 = 0.

Пусть x 2 = t, тогда х 4 = t 2 , уравнение примет вид

t 2 – 5 t – 36 = 0,

D = (-5) 2 – 4 . 1 . (-36) = 25–(-144) = 169,

t_1,2=,

t₁=,

t₂=,

Возвращаемся к замене

1) x 2 = 9 2) x 2 = –4

х_1,2= корней нет

х_1,2=3

Решить уравнение 2х 4 – 19х 2 + 9 = 0.

Пусть x 2 = t, х 4 = t 2 ,

2t 2 – 19 t + 9 = 0,

D = (-19) 2 – 4 . 2 . 9 = 361–72 = 289,

t_1,2=,

t₁=,

t₂=,

1) x 2 = 9 2) x 2 =

х_1,2= х_1,2=

х_1,2=3 х_1,2=

Ответ: х₁= –3, х₂=3, х₃= –, х₄ =

Задания для самостоятельного решения

ГДЗ: Алгебра 8 класс Потапов, Шевкин — Дидактические материалы

Дидактические материалы по алгебре для 8 класса под редакцией Потапова — это сборник заданий для самостоятельных, контрольных и итоговых работ. В качестве дополнения здесь даются задачи повышенной сложности, которые можно использовать при подготовке к школьным и городским олимпиадам. Задания усложняются постепенно и делятся на 2 уровня – базовый и высокий. В результате у учителя есть возможность корректно оценить каждого ученика.

Структура тетради с дидактическими материалами