Самостоятельная работа с 25 показательные уравнения

Самостоятельная работа по алгебре и началам анализа (в форме ЕГЭ) Тема: Показательные уравнения (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6

Самостоятельная работа по алгебре и началам анализа (в форме ЕГЭ)

Тема: Показательные уравнения

Часть А (задания с выбором ответа)

К каждому заданию 1 – 3 приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих заданий в бланке ответов под номером выполняемого задания надо указать число выбранного вами ответа.

Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

Найдите произведение корней уравнения

Решите уравнение

Часть В (задания с кратким ответом)

При выполнении заданий части В надо в бланке ответов под номером выполняемого задания указать некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби.

Решите уравнение Решите уравнение Решите уравнение Решите уравнение . В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько. Решите уравнение: . В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.

Самостоятельная работа по алгебре и началам анализа (в форме ЕГЭ)

Тема: Показательные уравнения

Часть А (задания с выбором ответа)

К каждому заданию 1 – 3 приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих заданий в бланке ответов под номером выполняемого задания надо указать число выбранного вами ответа.

Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

Найдите произведение корней уравнения

Решите уравнение

Часть В (задания с кратким ответом)

При выполнении заданий части В надо в бланке ответов под номером выполняемого задания указать некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби.

Решите уравнение Решите уравнение Решите уравнение Решите уравнение . В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько. Решите уравнение: . В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.

Самостоятельная работа по алгебре и началам анализа (в форме ЕГЭ)

Тема: Показательные уравнения

Часть А (задания с выбором ответа)

К каждому заданию 1 – 3 приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих заданий в бланке ответов под номером выполняемого задания надо указать число выбранного вами ответа.

Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

Найдите произведение корней уравнения

Решите уравнение

Часть В (задания с кратким ответом)

При выполнении заданий части В надо в бланке ответов под номером выполняемого задания указать некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби.

Решите уравнение Решите уравнение Решите уравнение Решите уравнение . В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько. Решите уравнение: . В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.

Самостоятельная работа по алгебре и началам анализа (в форме ЕГЭ)

Тема: Показательные уравнения

Часть А (задания с выбором ответа)

К каждому заданию 1 – 3 приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих заданий в бланке ответов под номером выполняемого задания надо указать число выбранного вами ответа.

Самостоятельная работа по теме: «Показательные уравнения»

Самостоятельная работа по теме: «Показательные уравнения»

Решите уравнения: 1) 3 х =9, 2) 4 х = , 3) 5 х = , 4) 6 2х-8 =216 х , 5) , 6) 2 х · 3 х =6 3х-7 .

Самостоятельная работа по теме: «Показательные уравнения»

Решите уравнения: 1) 5 х =25, 2) 7 х = , 3) 4 2х+6 =64 х , 4) 9 х = , 5) , 6) 3 х · 5 х =15 5-3х .

Самостоятельная работа по теме: «Показательные уравнения»

Решите уравнения: 1) 3 х =9, 2) 4 х = , 3) 5 х = , 4) 6 2х-8 =216 х , 5) , 6) 2 х · 3 х =6 3х-7 .

Самостоятельная работа по теме: «Показательные уравнения»

Решите уравнения: 1) 5 х =25, 2) 7 х = , 3) 4 2х+6 =64 х , 4) 9 х = , 5) , 6) 3 х · 5 х =15 5-3х .

Самостоятельная работа по теме: «Показательные уравнения»

Решите уравнения: 1) 3 х =9, 2) 4 х = , 3) 5 х = , 4) 6 2х-8 =216 х , 5) , 6) 2 х · 3 х =6 3х-7 .

Самостоятельная работа по теме: «Показательные уравнения»

Решите уравнения: 1) 5 х =25, 2) 7 х = , 3) 4 2х+6 =64 х , 4) 9 х = , 5) , 6) 3 х · 5 х =15 5-3х .

Самостоятельная работа по теме: «Показательные уравнения»

Решите уравнения: 1) 3 х =9, 2) 4 х = , 3) 5 х = , 4) 6 2х-8 =216 х , 5) , 6) 2 х · 3 х =6 3х-7 .

Самостоятельная работа по теме: «Показательные уравнения»

Решите уравнения: 1) 5 х =25, 2) 7 х = , 3) 4 2х+6 =64 х , 4) 9 х = , 5) , 6) 3 х · 5 х =15 5-3х .

Самостоятельная работа по теме: «Показательные уравнения»

Решите уравнения: 1) 3 х =9, 2) 4 х = , 3) 5 х = , 4) 6 2х-8 =216 х , 5) , 6) 2 х · 3 х =6 3х-7 .

Самостоятельная работа по теме: «Показательные уравнения»

Решите уравнения: 1) 5 х =25, 2) 7 х = , 3) 4 2х+6 =64 х , 4) 9 х = , 5) , 6) 3 х · 5 х =15 5-3х .

Алгебра Самостоятельные и контрольные работы 10-11 класс Ершова Голобородько

, 4 sin^ л: + sin^ у = h к х-у cos л: sin у = 4 в) г) х + у 5п cos 2л: + sin у = 2; 1 X — у -^ 3 ctg ял: — ctg яг/ = -л/з. Самостоятельная работа С-18 43 I cos л: cos у — 0,75, I ctg xctgy = 3; О Найдите решение системы, используя а) подстановку и почленное сложение (вычитание) уравнений системы: sin X sin у tg л: tg = 1; б) разложение на множители и почленное деление уравнений системы: fsin X + sin у = 1, [cos л: — cos у = у/З; в) замену переменных: [sinjc -f- cosy = 1, [cos 2x + cos 2y = 2. sin X — sin у = 0,5, 2 ’ COSJC + cos у [cosjc + cos у = 0,5, [sin^ X + sin^ г/ = 1,75. c-18. простейшие тригонометрические НЕРАВЕНСТВА Вариант А1 Вариант А2 Решите неравенство: а) 2sinjc >1; а) V2cosjc 1; б) cos в) tg л: я ,3^3, ^я ^ —л: v6 у 5я 0. в) yfstg 3 л 2л:+ — V 4, ^ я —л: Зя > sin- -1 -2V2; а) 14 4 > 0,25; б) л: ^ > ^^3. в) 3 > 1. Самостоятельная работа С-19* 45 О Найдите значения х, при которых график функции график функции sin X + cos X у ———5— лежит 1 + ctg»X выше оси X. sin X — cos X у =———— лежит ниже 1 + tg X оси X. С-19*. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Решите неравенство: —3xl —; 8 в) sin3x (cos2x + 1) > 0. в) cos2x (sin8x — 1) -1; а) cos2x + 3cosx 2; г) sin^ X + sin2x — 3cos^ x > 0. 6) tg X — 3 0. 46 ТРИГОНОМЕТРИЯ е Используя метод интервалов, решите неравенство: a) cos3x + 2cosx > 0; а) sin3x — 2sinx cos3x cos5x; b) 1 — cosx б) ctg n а) 1 — 2 cos — > 0; 2 1 б) tg(Ti-x) 1. а) у[2 sin |^д: — ^ I + 1 > 0; б) ctg — д: 3

2 1; a) cos —2x — cos — + 2x U J J l3 J J 6) Jtg X ^ ^x я ^ 0,у>0): ^81л:У. л/ЗбТ/. б) Внесите множитель под знак корня (ж > 0) : 50 АЛГЕБРА 2х^. 4х^^. 0 Упростите выражение и найдите его значение при а = 3: ^2 + >/й j — 8>/й. (Та-l)(l +Va)-2(Va-l). Вариант Б1 Вариант Б 2 О Вычислите: а) Т-2%/2 + Т2 • Т2; б) • Т2-%/з. О Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) б) ViW5 а) б) а + -\/3 а — \fs а -1 а) б) +ТТ + 1 0 Упростите выражение: V2^_ л/2 + ь\ а + 1 + 1 а) + а) 7^-4^ б) л/^ • О б) Т27а’ ■ а) Вынесите множитель из-под знака корня: v°. Tsix^. Самостоятельная работа С-20 51 б) Внесите множитель под знак корня: -2а6 6 2г’ 1 16а»6 5. 10 ^^^243о^. За^Ь 0 Упростите выражение и найдите его значение при а = 0,8-‘ л/а ч—7=— [ у/а ч—7= ](а — 4) ч- lay/a + 1 ^ г- Л + гА V^-2j’ ч- а. Вариант В1 V л/а ч-1 Вариант В2 О Вычислите: а) ^3 + ^(-8) -^3-^(-8); б) • х/^/ТПЖ. 0 а) J4 + ^(-15) -J4-^(-15) ; б) ^1-Vs -7^ + 275. Избавьтесь от иррациональности в числителе дроби и сравните ее с нулем: V7 — V2 , У3-У12 2 ‘ а) 2-У2-УЗ б) г г- 2 + У2-Уз б) з-Уз + V2 3-V2-Уз’ © Упростите выражение: а) y^ -9Vl2a® : (зУбУ^); а) 2бУ^ • : (бУ^); 52 АЛГЕБРА L [l aVa 6) 3 2a4—- V Va Va 6) ъ\а\ 1 2aVa a) Вынесите множитель из-под знака корня (п — натуральное число) : «»^2″^^ • а»‘»* ■ если а > О, & > О. если а > О, Ь > О. б) Внесите множитель под знак корня: -За»&б- 27а 4 • 0,6аЬ^-16аЬ\ © Упростите выражение и найдите его значение при а = 6: \1а + 4л/а — 4 — — 4л/а — 4. -у/^^ — 2л/а — 1 + 7^^ + 2л/а — 1. С-21. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Вариант А1 О Решите уравнение: а) — 4х = л/б — Зх; Вариант А2 б) л/Зх+Т = л: — 1; в) 2\/х — 7^ = 1; г) \[х + 7л: — 3 = 3. а) 7л:^ — 10 = 7-Зл:; б) 72дс -ь 4 = л: — 2; в) зТх + 27^ = 5; г) 7^ — 7л: — 5 = 1. Самостоятельная работа С-21 53 0 Определите, при каких значениях х функция у = +2 прини- функция у = — 1 прини мает значение, равное 2. Вариант Б1 мает значение, равное 3. Вариант Б2 О Решите уравнение: а) -4×4-3 = Vl — х; б) Vl8x^ — 9 = х^ — 4; в) х^ — 8х — 2ух^ — 8х -3 = 0; а) Vx^ -н X — 3 = Vl — 2х; б) л/2х^ -I- 7 = х^ — 4; в) х^ -I- Зх — л/х^ -н Зх -2 = 0; г) л/х -ь 2 -I- -Ух — 3 = л/Зх -ь 4. 0 Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций: у = ^х — 1 и I/ = ^х -н 5, I/ = у[х

+3 и у = ^х + 1. г) л/х -ь 3 -I- л/х — 2 = V4x+T. Вариант В1 Вариант В2 О Решите уравнение: а) ‘Jx — 2 + 2у1х + 6 = 4; а) у]х-1 + -1-2=3; б) \/Зх -I-12 — л/х -н 1 = л/4х -н 13; б) л/2х — 1 — — 4 = л1х — 1; в) Зх^ + 15х -н 2л/х^ -н 5х -н 1 = 2; в) (х -н 4) (х -н 1) — — Зл/^ -I- 5х -н 2 =6; г) ^х-10 + ^х-17 = 3. г) ^4х + 3 — = 1. 54 АЛГЕБРА О Найдите точки пересечения графиков функций: у = yjx + 2 и у = ^Зх + 2. у = + 7 и г/ = л/х + 3. С-22. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Вариант А1 Вариант А2 а) б) Решите систему уравнений: Vx — Ту 1. л/хТ = 2; а) б) Тх — г/ + 8 = 2, -у/Зх — 2 0; а) (х — 5) Тх + 1 -4. в) Т2 + X — х^ > -2. Вариант Б1 Вариант Б2 Решите систему уравнений: а) [Тх +Ту = 4, [х — г/ = 8; а) [Тх- Ту = 1, [х — г/ = 3; Самостоятельная работа С-22 55 б) б) sj5x + у + yj5x-y = 4. О Х_ 1У ^3 у \х 2’ ■yjx — Зу + у]х + 5у = 4. Решите неравенство: а) (9 — ) yjx^ -4 0; в) л: -н у/х 4. Вариант В2 а) б) Решите систему уравнений: Ху[у +yyfx ^6, ^ х4х

Уу[у =2% х4х + Уу[у = 9; Ху[у — у4х = 6; л^х + у — yj2y -5х = X, 2^3^ + X — ^jQy — х = х, yjx + у + yj2y — 5х = у. ^JSy + X + yjQy — X — Sy. О Решите неравенство: а) (х -1) yjx^ — X -2 > 0; б) у12х + 4 л/Зх + 3; в) х^ — Зх — л/х^ — Зх X — 2; б) yj2x^ — Зл: — 5 X + 2; б) Vj х

2— 6 \1х — X 2л:^ -12 \1х^^ + X Вариант В 2 а) ^2б + 1б%/3 •(2-%/з); 1 Найдите значение выражения: а) ^7-5n/2-(i + n/I); / I х^

х^ б) «ТТ X + х^ X — 1 — х^-1 при X = 125. 0 Решите уравнение: а) \Js + у1ъ

^ = у[х; = 3; б) .3 8х^ -1 ? i ” л: + 1 х^-х^+1 при X = 64. а) Vl + \/ЗлТТ = у/х; 2/1 X* — X*

г X® + X® б) 3,1^-2,5 = зЛ—; ‘х-1 V X 64 АЛГЕБРА в) yfpcTl — sfx + S; г) — 16 = ^х — 8. © в) six+ 2 = ^Zx + 2; г) ^х + 7 — ^ = ^2х — 1. Решите систему уравнений: хл-у — 2^^^ -sfx + ^Jy =2, six + у[у =S. X + у + 2.Jxy + six + ^Jy — 12, sjx — ^ = 1. Найдите значения a, при которых равносильны неравенства: (х — а) six — 2 > О и X > а. (х — 2) л/х — а > О и х > 2. а) 2 х—3х 1 С-25. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Вариант А1 Вариант А2 О Решите уравнение: а) 3″‘-» = 9; б) 2^-^ + 2″»^ = 36; в) 25^ + 10 • 5″-3 = 0; г) 2″ • 5″^» = 2500. е Решите систему уравнений: |2″+2″=6, |3″-3’^=6, ]з-2″-2″=10. Ь-З»+3^^ = 21. б) 5″ — 5″-» = 600; в) 9″ + 3″»‘ -4 = 0; г) 7″»^ • 2^ = 98. Самостоятельная работа С-25 65 Вариант Б1 Вариант Б2 О Решите уравнение: а) = 0,5″ -4″-“; б) 3″+3″ +3″»‘ =13 3″‘-‘; , 5″-4 3-5″-^ в) г) 2 а)(3’-’ГН5 п Зх-1 9..I; 2 5″ б) 2″^^ + 2″»® + 2″^^* = 7 • 2″ ; , 7″ — 1 7″»^ + 49 в) ^ = тХ-1-1 X +2х +2х = 216″»^. х‘-2х кх-2х г) 2″ ■ 5 = 1000″-«. О Решите систему уравнений: 14″ -4″ =15, \х + у = 2. Вариант В1 |5″ +5^^ = 30, [х + у — 3. Вариант В2 О Решите уравнение: а) ^ ; б) 6″ +6″»^ =2″ +2″^^ +2″^»; в) 10′»»‘ — 10’ = 99; г) 6″»»“ = 2″»® • 3″». О Решите систему уравнений: |3″-5*’=75, |2″‘3’^=12, |3″-5″=45. |2″-3″=18. а) ‘; б) 3″-‘ +3″ +3″»‘ =12″-‘ +12″; в) 5′»»‘ — 5’-«‘ = 24; г) 20″»»» = 4″»‘» • 5®»-«. 66 АЛГЕБРА С-26. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА Вариант А1 Вариант А2 Решите неравенство: а) 5 1-2* 125 а) 7 З-х 49 б) .4. х’+Зх 5; в) + 2″^8 26; г) 4′ — 2* > 2. О Решите графически неравенство: Вариант Б2 Решите неравенство: х^+х-20 а) (1,5) X 9′-^; а) (3,2)’ х^’+гх-з б) JX^+1 л в) 3″^^- — > 162; б) в) v2y Г1^ v2y |1-х >1; 5. г) 5^ + 5*-‘ > 6. О Решите графически неравенство: /lY v3y > 2\ 3″ >7-(0,4)^ г) 4″»^ -13 6″+ 9″»^ 0; у в) 4″^’ • 3′» — 4″ • 3’“» 0. 2′»‘ /5-27б| =10; ж) (\/з + 2л/2| — — (7з — 2л/2 j» = 4л/2; — применение свойств прогрессий: з) 2 -2″ -2® 2^»-‘ -512; и) • = 5; з) 5′ -5’ -5® -5^» -0,04″^®; и) 4*»“^ . 4 4 7″-^ + 34 3″ 2, у в) 3″ — 3″»“ 3″ — 9; >Г- д) (л/5 + 2р > (л/5 — 2р . Самостоятельная работа С-28* 69 С-28*. ПОКАЗАТЕЛЬНО-СТЕПЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 О Решите уравнение: а) (д: + 1)* = (д: -ь 1)^; а) 1; / ft ч2дг^+5д:+2 в) -Ь л: -Ь Ij 2 (l-Ь ) 0 Решите систему: а) д:» > д: > 0; б) |д:-1- 3| 1; г) (2д:’ + 1)'» + 4 > >5(2х^ sx^+2x-15 / о \д:^-5д:-6 [х +2х- 7) =1, (х — Зд: — 9 а) ■ а) ■ \ / \х + If» > |д:-Ы ; \х — If»‘ > д; -1]; б) ^ 1, б) ^ у^- -8д:+15 _ 1, х + у = 5. г/ = 3. 1, 70 АЛГЕБРА К-5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ Вариант А1 Вариант А2 О Решите уравнение: а) б) в) 2 = 125; кЧ б) 3^»» — 3″ = 78; а) = 9; 2х+1 _ 9.2″ + 4 = 0. О б) 5″»» +5″ = 130; в) 3″»»‘ — 28 • 3″ + 9 = 0. Решите неравенство: а) (0,4Г 0 1; б) 2″ -5″ 6^»‘ • -; а / л \ Х О 2 > / \ДГ + 4 в) 3″‘ ^ J2″) . е Решите систему уравнений: |3″ +3^ =12, ]л: + у = 3. О Найдите наибольшее значение , fl функции у =\- |2″ +2^ =10, [х + у = 4. наименьшее значение \81пд: функции у = .4 При каких значениях х оно достигается? Вариант Б1 Вариант Б2 О Решите уравнение: Контрольная работа К-5 71 чЗд:+2 а) -•8″ 4 32* б) 9* =4*»^; в) 5 • 4* + 3 • 10* = 2 • 25*. О Решите неравенство: а) \2д;+3 27 ‘2х+1 1 ж+1. б) 5″*»^ — 25* = 4 в) 3 • 4* + 6* = 2 • 9*. а) ( cos — 10 >д;^-2д:+2 l-cos^3; б) 7^ +*+^ — 7^-^* >6 -49* в) 9* + 3 -4 О Решите систему уравнений: 3’* — (о, 25)» = 5, |(0,2)» — 2“’®*’ = 3, 3*+(0,5)»=5. 1(0,04)*-2*^ = 21. У = Найдите область значений функций: ^ ЧС08Х+1 ‘s^oBx \3в1пд: v2y и г/ = + 1. i и г/ = 3 /1 V'»* Определите, у какой из данных функций областью значений является промежуток большей длины. Вариант В1 О Решите уравнение: а) (4*»»=)* -^/3^ = 64; б) 3’=*-^ -^ll»*-^ =121* -3″=*^^ в) 5″*»‘* -5“^* =4. Вариант В2 а) (9*)*^‘ -n/27*-® =3; б) 2″* -1-6″* =б»*^‘ -4*^^; gj _ 2281п‘=х ^ ^ 72 АЛГЕБРА О Решите неравенство: а) ^^^-9 1 а) \ Я и. > arccos -у=; 72 [2J х^-х-2 х^-А 0,6 ■225″^»; 1-1 , в) (V5-2) >2(75+2)» -1. в) (2-Тз) “ 0,5. О Среди нулей функции sin— , 4COS— У = 3 2-3 1/ = (0,5Г4-1 найдите точки, в которых функция f <х) = принима- ет наибольшее значение. f <х) = " принимает на- именьшее значение. С-29. ЛОГАРИФМ. СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ Вариант А1 Вариант А2 О Вычислите: а) log3 27-log^ 7; 7 б) а) log216 + logi 9; б) 5 logs 10-1. Самостоятельная работа С-29 73 в) Ig4-i-21g5; г) logs

logs О в) logs 9-1-2 logs 2; г) Ig л/ЗО — Ig \/3. Найдите значение х, если: а) 3″ = 7; б) log^ л: — logo S © а) 2″ — 11; б) logp 2 л: = log^ 5. С помощью логарифмических тождеств упростите выражение ( л > О, л ^ 1, Ь > О, Ь ^ 1): а) + —-log^b^ Ig а logs ^ б) a^‘°^»’’-(log„ О Сравните числа: а) logg 10 и lg3; К 71 б) logg tg—hlOggCtg— И 0. а) logs а’ — log, а loga ^ logs ^ б) logs&“ 8 8 а) loga и log^ 2; б) Igsin —- Igcos —и 0. 4 4 Вариант Б1 О Вычислите: а) logs —+ log^27; б) logi S log4 8; ^logjS+O.SlogjQ. Вариант Б2 a) logo s 4 + log^ 25; 6) logo ns log27 81; b) 74 АЛГЕБРА lg—lg 2 г) 10 » . logo 2-logo- г) 3 О Найдите значение х, если: а) 2″»= 9; б) log^ X = log^ 0 Сравните числа: а) logj 10 и logg 62; 1 Ig б) log2 9 ■ logg 4 и 16л/2 1 • ^ Ig sin — 6 а) 5′»»® =27; 1 б) log^ л: = logi 2^‘>*=^ а) logg 9 и Ig 900; б) logg 25 ■ logg л/2 и logs logg sin — Найдите значение выражения: а) Igtg31° + lgtg59°; б) log^6-log^2 logs 12 а) lgctg42° + lgctg48°; log^ 10 — log^ 2 logg 20 Вариант B1 О Вычислите: б) 12^^‘°®^’‘; в) logg sin ^ + logg 2 cos ^; r) log^ 2 • log^ 5 • logjgg 49. Вариант B2 a) 10 logg ^ + logg logg fM; a) log, log, #49 + 9 log, ®; l+log, 2 . 6) 18 b) logg tg— +logg 2 cos — r) log^5 1oggg6-logg27. Самостоятельная работа С-30 75 0 Найдите х, если: а) 4′» +15 = 0; б) log2 д: = + log^ 225. Ig 0,5 а) 9′» +14 = 0; б) Ig л: = + log^ 6. log- о, 1 О Найдите значение выражения: а) 5 _ 510843. б) Ig5 1g20 + lg»2. О Выразите: а) logg 9, если logg 2 = а; б) Ig 56, если lg2 = a и log2 7 -Ь. а) 2′»‘ -7‘«^ б) log^g 3 + logjg 5 • logjg 45 а) Ig 25, если lg2 = a; б) logg 54, если logg 3 = а и logg 2 = ft. С-30. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ Вариант А1 О Решите уравнение: а) log^A;^ — 15л:) = 2; б) lg(x^ — 9) = lg(4л: + 3); в) 2 logg (-л:) = 1 + logg (л: + 4); г) logg л: + logg л: — 2 = 0. Вариант А2 а) log2(л:^ — 2л:) = 3; б) lg(2л:’ + Зл:) = lg(6л: + 2); в) 2 logg (-л:) = 1 + logg (л: + 6); г) logf л: — 2 log^ д: — 3 = 0. 76 АЛГЕБРА 0 Решите систему: \\gx + \gy = 2-, [х^ + I/’ = 425. Вариант Б1 О Решите уравнение: а) loggCx + 3) = +2х- 3); б) log2(2^:-l)-2 = = log2(x + 2) — log2(j: +1); [log2 x-log2 г/ = 1; [x^-y^ =27. Вариант Б2 а) log2(2x — 4) = log2(x^ — Зл: + 2); б) log3(3;c-l)-l = = log3(x + 3) — log3(j: + 1); b) logs (2л: -x) = 0; log3(2x + 2) r) log2^(x^ + д: — 2) = 1. 0 Решите систему: jlog, t/ + 21og^j: = 3; \x + у = 12. Вариант В1 О Решите уравнение: а) log^_j(2j:^ — 5л: — 3) = 2; б) lg(x-2)-ilg(3^:-6) = = lg2; в) logjCQj:) + log3(3x) = 1; г) log2(9-2″) = 3‘”»’'» в) log,(2x +х) = 0; logs(2-2x) г) log_2,(2^:’ -д:-1) = 1. f21og, i/ + logj^j: = 3; [х + г/ = 6. Вариант В2 а) log^^i(2x^ + 5х — 3) = 2; б) lg5-l = = lg(x-3)-^lg(3x + l); в) log2(4x) + log2(2x) = 1; г) logs(5 + 6-«) = 10‘»^»»^\ Самостоятельная работа С-31* 77 е Решите систему: 1 -Ь logg л: -Ь logj у = = log^Cx» + 1/’ -4), log^Cx + у) + log^Cx — i/) = 3. log2(4-i/) + log2(4 +i/) = = logj x-blog2(x-b2i/), logaCx + y) + log^Cx — i/) = 3. C-31*. ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГАРИФМОВ В РЕШЕНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Решите показательное уравнение: а) 3″ ; 25 а) = 128; б) 16″ — 5 • 36″ + 4 • 81″ = 0; X в) 3″ • 8^ = 36. б) 2 25″ — 5 10″ + 2 4″ = 0; X в) 5″ • 8^»^ = 100. е Используя метод логарифмирования, решите уравнение: а) л:'»®»» = 64х; б) в) -X г) 3 1 1 —^Oglx ^ log4 _ 2^ • а) — 9л;; б) 111в- =0,01; в) 27л;‘°®^^» = 9’°®^’»‘; loga ^ ^ -|-л;‘»““-‘ = 6. е Решите систему: г) 2-б‘“®*» -л;^°«»» = 6. а) л; 21/ -1 _ X у^+2 3, 27; а) = 100, = 10; 78 АЛГЕБРА б) в) \х = 2 + log3 у, W = 3«; + =4, [log^ JC -log^ i/ = 1. o* 6) b) \y = l + log^ JC, [д:*» = 4®; + г/‘°»=» =50, llogg iz-logg JC = 1. Используя свойства логарифмической функции, решите уравнение: а) S'» = 10 — log2 х\ ( 1 ^ б) logi JC + logi 1 + -Т 2 2 X ) = 2х^ — 4л: + 1. а) 2″» = 18 — log2 х; б) -Зл^ + 6л — 2 = = log2(^^ + 1) — log2 X. С-32. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА Вариант А1 Вариант А2 Решите неравенство: а) log2(8 — л) logi(3-^); б) logo5(2^-4) > logogC^ + l); 3 3 в) log2 X + log2(^ — 1) > 21ogo 3(j:-f 2); в) logg X — log3 л; — 2 > 0. а) log3(x^ -f 2х) 0. О Найдите область определения фувкщтх У = ^(4-x^)logi(x-f-5). Вариант В1 у = ^(х^ -l)logi(3-x). Вариант В2 Решите неравенство: а) logi loggCx^ -4) > 0; а) logi ^og^ix^ — 5) > 0; б) 2 log2 (х — 2) -н logo 5 (^ — 3) > 2; б) 2 log^ (х — 2) -f в) logi X > log^ 3-2,5. 3 О -f log2(x -2х-1) 0; б) X -1 >0; в) X г) (2* -I- 3 • 2“* ^ 1 0; е) log^ logg(3* -9) > loggCSx^ — 4х -ь 2) — 1; з) * 16 -0,5+log4 X + il>. 16 logj -Jx log3(9-3^)-3 в) r) (4 • 3* -b 3-*)21og3(A;-l)-log3(2x+l) ^ Д) -Л-) > 1; е) log^ log2(4* -12) logo,2(3 — х); б) logi(x^ — 4) > log,(^: + 2) — 1. б) loggCx^-1) 4. О Решите систему уравнений: 3. gl+Iog3(j:^-j/^) _ lOggCX^ -У^)- lOggCX + у) = 0. t^2+\og2i^‘+y

) _ 2Q -y^)-h(x-y) = 0. 0 Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций: fix) = х’°^^ ^ и g(x) =

х\ fix) = х‘°«^» и g(x) = 4- ^1 X 84 АЛГЕБРА Вариант В1 О Вычислите: а) log, 81 б) log^(log2 3 1og3 4). 0 Решите уравнение: а) log2(x-2) log3 2 + + log3(x + 3) = = 1 + lg(x — 1) logg 10; б) log^ (9л:^) logg X ^ 4. Вариант В2 а) 5 + lOgg 16 б) log^(log27 2 1og2 3). log, 2 ^ а) log3(jc-3) log2 3 + + log2(Jc + 2) = = l + logg(jc-l)log2 5; б) log^ (125jc)log25 X = 1. e Решите неравенство: а) log^(jc + 2) > 2; a) log^(6 — x) > 2; б) loggClogg 5 j: + logo,5 — 3) > 6) log2(logo,g X — logo,5 X — 2) > >1. >2. Решите систему уравнений: f 3’“«^ » — lOgg X = l, I lOgg X + ^ = 7, [x»‘ = 3^». [л:*’ = 5^1 © Решите уравнение: log2(JC^ — X-2) = = 1 + logglJC — 2) log2(Jt: + 1). log3(x^ — 2л: — 3) = = 1 + logз(л: + 1) logз(л: — 3). Самостоятельная работа С-34 85 С-34. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ МОДУЛЯ. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ Вариант А1 Вариант А2 О Раскройте модуль: а) V5-2 а) 1-V2 б) |3-7i|; в) |l -ь л:^|; г) -у/х — б) |4 — 7i|; в) [-л:’* — 2|; г) Х^ + у[х о Решите уравнение: а) \2х — 3| = 5; а) \2х + 4=6; б) — 4 = х» — 4; б) |лг^ — l| = 1 — х^; в) |л:^ + х^- |3л: + 3|; в) |лг^

^1 = |2л: — ^ г) х^ — \х\ -2 = 0. г) + 1×1 — 6 = 0. е Решите неравенство: а) |лг — 2| -3; б) 1 + X X -1 >-1; в) |л:^ “ > 16; г) |2 -ь л:| 12; г) |4 — лг| 3; в) — 4| -2; а) >-5; 4 — \1х -2 б) \4х — 3[ х; г) |jc + 2| /2 б) cos 20° — cos21° ; в) 2-х^——^ г) lx® + 3 — 2х® а) \^-Щ; б) |sin 1° — sin 2°|; в) г) |4х® — — 5|. л/х+4^-2 Vx О Решите уравнение: а) х^ — X — 1 = 1; а) х^ -I- X — 3 = 3; б) х^ -I- X — 3 = х; б) |х^ — X — в| = -х; в) ^25 — х^ = — -н 2х — 15|; г) X -1 н- X -I-1 = 4 в) л/э — х^ “ + 4х -ь з|; г) |х| -I- |х — 2| = 4. е Решите неравенство: а) |х^ -I- Зх| > 2 — х^; а) |х^ — 2х| > 12 — х^; б) |х^ — 2х| |х -ь 2|; в) |2х^ -ь х -1| > |х -н 1|; г) Vx + 3 — 1 х’ -1 > 0. г) Ух+ 5 — 2 4-х» > 0. НАЧАЛА АНАЛИЗА С-35. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ Вариант А1 Вариант А2 Найдите предел числовой последовательности: а) Ит б) Ит п» + 4 Зл — 5п + 2 л» +1 в) Ит(л/л + 2 — ^/л); 3″ +1 а) Ит „ б) Ит » л“ -2 л^ + л — 2 4л^ +1 в) Иm(^/л — \1п -Зу, г) Ит 2″ +2 О Вычислите предел: а) Ит-^— X + X б) Ит—— д: + 3 sin X в) Ит г) Ит ^^0 Зх х^ -1 2х^ + X 4 1- 2я: + 4 is б) lim

^ 4-х в) Ит 15д: г) Ит о Ззшд: 1 + х^ х

^^ Зх + 5х Самостоятельная работа С-Зб 89 © Пользуясь определением непрерывности функции в точке, докажите, что функция f(x) = X + — непре- X рывна в точке = -1, но не является непрерывной в точке = О. Вариант Б1 X непре- функция ^(х) = х-2 рывна в точке = 3 , но не является непрерывной в точке Xj = 2. Вариант Б2 2п +2 8-Зп а) lim П—>оо б) lim п + 4 в) lim(Vn^ + п — п); П— 2″ +3″ Найдите предел числовой последовательности: а) lim б) lim г) lim 3″»^ + 4 ■ О Вычислите предел: а) lim-7=^=; «»О n/i + x= Зх^ — 5х -I- 2 б) ;—’ X -1 — ,. X -I- sin 2х в) lim———-; ^^0 sin X г) lim X -ь 2 cos(x -I- 2) п Зп^ -1 2п -1- 3 5 — 4л ) lim(n — — 2л); 1 + 5″»‘ г) lim -I- 4 п+1 • а) lim у1х^ +2 б) lim х^2 в) lim х-^0 г) lim х^ — 4 2х^ — 5х -ь 2 Зх — sin X ^^0 sin 2х X -1 sin(x -1) 90 НАЧАЛА АНАЛИЗА е Определите, является ли непрерыв- ной функция: X — 1 а) f(x) = в точке Хц = 1; а) f(x) — ^ ^ ^ в точке х„ — -2; 2-х “ б) в(х) = 1^’’ [Зх + 4, при X > -1 [2х-3, при X 1 в точке Хц = -1. в точке Хц = 1. Вариант В1 Вариант В2 Найдите предел числовой последовательности: а) Ит sin — cos п; л б) Ит 2п -п-1 -1 в) Ит(^ — + 1); (1 — п)п! г) Ит (п + 1)!- п! О Вычислите предел: а) ItaMzf); ^-2 2 + х ,, -2х-3 б) Ит—5;—; ^ sin7x-sin3x в) Ит———-: х^о 4х а) Ит cos [ — + — (^2 п sin п; б) Ит + п — 2 2п® -2 в) lim(^n + 2 — ^); (п + 1) 1+ п! г) Ит п-^- (2 — п)п! а) б) Ит -1 х-1 X® -8 -»2 X — X — 2 ^ ,. C08 Зх — cos X ——7

2——— х-*о 4х Самостоятельная работа С-36 91 г) lim—. г) lim -7—-• tg л: л: ctg л: е Найдите значение а, при котором функция f/х + 1) х^ а) fix) = Зх^ + —; X® б) fix) = (зТх-2) х». 92 НАЧАЛА АНАЛИЗА О Решите уравнение f'(x) — О, если: а) fix) х^ -3 х^ +5 X + 2 б) fix) = 4х + — — Vs. X О Решите неравенство fix) > О, если: а) fix) = , X — 2 б) fix) = —9x + ^. fix) о, если: а) f(x) = х^ — 2х — 3; ^ 2 — л: б) f(x) =——- л: -I- 3 f(x) ■ f\x) О, если: Составьте и решите неравенство fix) fix) а) fix) = х’‘ — 4х^; ^0 Зя, sin — 2 в) fix) = Vt^, Xq = ^; 4 г) fix) = arccos X X =0 г) fix) = arctg-, Xo = 1. X Самостоятельная работа С-38 97 О Решите уравнения (^))) = О и (^(fM)) =0, если: f(x) = -X и g(x) = — . X fix) = х^ -4х и g(x) — ‘Лс. е Докажите, что при всех допустимых значениях х верно равенство: а) для fix) = 2tg X X и а) для fix) = 2tg X 1 + tr ^ g'(jc) 2 1-tg^ 1-tg’ X и sin X gix) = 1 + tg’ /'(JC) • g’ix) = -fix) ■ gix); 1 — cos X fix) g’ix) = 1; 6) для fix) = 1 + — X 6) для fix) = 1—- X (f(f

3 sin X, Xf, = к. б) Т(х) = 4 cos X + X, Xq = -. / / V / >0 6 О Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) в точке М: а) fix) = 2х^ +- х\ М(-3; 9); а) f(x) = -х^ — 2х, М(3; 3); 3 3 б)Пх) = ^^, М(2;3). X -1 0 Тело движется по закону б)Пх) = ^, М(-2;3). х + 1 x(t) = +0,5t^ -3t x(t) = t^-2t^+5 (x — в метрах, t — в секундах). Найдите скорость и ускорение тела через 2 с после начала движения. На графике функции f(x) найдите точку, в которой касательная к f(x) наклонена к оси абсцисс под углом а, если: f(x) = \l2x -1, а = 45°. fix) — \j4x + 8, а = 45°. Вариант Б1 Вариант Б2 Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции fix) в точке дГц, если: а) fix) = ix^ — IKx® + х), Xq = —1; б) fix) = sin^ X, ^0^^’ a) fix) = ix^ + l)ix^ — x). Xn — 1; 6) fix) = cos^ X, Xg = n 12 Самостоятельная работа С-38 99 О Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) в точке а) fix) +1 1 ^0 х‘^ -I б) fix) = cos(l + 4д;), дГд = -0,25. © а) fix) = ——^, дго = -2; X б) fix) — sin(l — 2д;), дго = 0,5. Тело массой т кг движется по закону xit) ix — в метрах, t — в секундах). Найдите силу, действующую на тело в момент времени t^, если: т = 3, = 2, xit)^0,25t^ +-t^ -It+ 2. 3 m = 2, = 3, xit) = 2t^ -6t^ +t + 3. Ha графике функции Я(л:) = \ISx — x^ gix) — yl-x^ — lOx найдите точку, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс. Вариант В1 Вариант В 2 Найдите угол между осью абсцисс и касательной к графику функции fix) в точке дСр, если: а) fix) = yjx^ + 6, дгц = ^/3; б) fix) = -xcos2x, Xq = 0. а) fix) = yjx^ — 6, X(, = 3; я б) fix) — -X sin 2x, Xq = — 4 100 НАЧАЛА АНАЛИЗА 0 Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) в точке х^, если: а) fix) л: -1 х^ +1 точка лгц — точка пересечения графика с осью абсцисс; б) fix) = (7 — Зл:)^, Xq — точка пересечения графика с прямой I/ = 1. , , 3x^+2 а) fix) =—— X -1 пересечения графика с осью ординат; б) fix) = (4л: + 3)^, Xq — точка пересечения графика с прямой у = -1. © Из точки А вдоль координатных осей Ох и Оу движутся два тела по законам: л:(^) — + 3, yit) = + 1, A(^/3;l) л:(^) = \j3t* + 4t^, yit) = ylt*+h A(0;1) ix, у — в метрах, f — в секундах). Определите, с какой скоростью они удаляются друг от друга. fix) = у = х-3. На графике функции л: -Н 1 л: -Н 2 fix) = л: -1 л: -Н 1 найдите точки, в которых касательная параллельна прямой у = 2х + 3. Контрольная работа К-7 101 к-7. ПРОИЗВОДНАЯ Вариант А1 Вариант А2 Найдите производную функции: а) у = 2х — — + 4; б) у — 2 cos д; — 3 tg д:; . X — 3 в) I/ = х + 2 а) (/ = 4х +—2; / у 3 б) у = 4 sin X -б ctg х; х-2 У = —^ • X + 3 0 Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) в точке х^, если: fix) = 4—Х, Xq = -1. fix) = — + 2х, Xq = 1. X 0 Составьте и решите уравнение: f’ix) = g’ix), если f’ix) = -g’ix), если fix) = (2х -1)^ gix) = lOx + 7. fix) = (3x — 6)\ gix) = 96x -17. Материальная точка движется по закону x(i) = +1 x(i) = t* +3t (x — в метрах, t — в секундах). Определите скорость точки в момент, когда ее координата равна 9 м. координату точки в момент, когда ее скорость равна 7 м/с. 102 НАЧАЛА АНАЛИЗА О Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции 1 . л 2 в точке с орди- ё'(х) =—- в точке с орди- натой -1. Вариант Б1 1-х натой 1. Вариант Б 2 Найдите производную функции: X а) у = ——-г + 8л/х; 4 X б) у = (х^ + l)cos х; х^ + Зх в) у = , 3 х» р а) у = —+ —-6л/х; X о б) i/ = (4 — х^) sin х; х^ — 6х X -1 в) у X -н 2 0 Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) в точке х^, если: fix) = 1 ■ , Xq 1 . fix) = (Зх — 8) 2 ’ ^0 8. (2х -1)’ О Составьте и решите уравнение: f’ix) = -g’ix), если fix) = ^'(х), если fix) = sin^ X, fix) = cos^ X, g’(x) = cos X + cos к 12 к g(x) = sin X — sin —. 10 Материальная точка движется по закону f х(0 = 5t + 6f — f (x — в метрах, t — в секундах). х(0 ^ — -f+2t-4 3 Контрольная работа К-7 103 Определите скорость точки в момент, ког- ускорение точки в момент, да ее ускорение равно нулю. когда ее скорость равна 1 м/с. © Найдите острый угол, который образует с осью ординат касательная к графику функции f(x) в точке если f

0 6) x„ = 2, lim fix) = 1, д:—>2-0 lim fix) = -1; x^2-»-0 b) x„ = 0, lim fix) = 0, ^ x-^

i к 2 0-^ dx; 2 г) |(sin2x + cos2jc)^djc. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: Самостоятельная работа С-46 119 у = — 4jc -ь 4, ^ = 4 — JC. Вариант В1 у — + Ах + А, у — х + А. Вариант В2 » Зх^ -2x^+6 а) I 1 2к I Вычислите интеграл: dx; а) I ^ Л 2 О Л 2 К X 2

^’; в) fix) = ; X г) fix) — In sin X’, д) fix) = In^ jc; е) /(л:) = log2(4JC-JC^). a) fix) = ^x^ — x; 6) fix) = x^e^^; b) fix) = ; In X r) fix) = In cos X’, д) fix) JC In jc; е) fix) = logJ4-x^). О Найдите неопределенный интеграл, используя при решении указанный способ: — замена переменной: а) J хе’^ dx; б) ]^; в) J ctgxdx; x^dx + l’ sin 2xdx Г) J e) J (jc + l)\Jx^ + 2xdx\ r a) \-dx-, f xdx 6) ——— •’ X b) J tgxdx-, 2xdx +3’ sin 2xdx Г) J + cos X . t sin,ijcajc h;— 1 + sm X e) J ix^ — V)y!x^ — Зх + 2dx\ — интегрирование no частям: ж) J xe^»‘dx\ ж) J xe^^’dx; з) J dx\ з) J x^’ In xdx\ и) J sin X In cos xdx‘, и) J cos x In sin xdx-, — комбинирование предыдущих методов: к) J arcsin xdx\ к) J arccos xdx-. Контрольная работа К-10 139 2х dx 2 2 COS X л) •* С1 2x^dx 2 2 Sin X м*) I sin(ln x)dx. л) I м*) I е»‘ cos xdx. © Найдите решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным условиям: а) у’ — Зг/, г/(0) = 2; а) у’ = -Ау, у<0) = 3; б) у’ = -Ау, г/(0) = 1, г/'(0) - -2л/3; б) у’ - -Зг/, г/(0) = 2, г/'(0) = 6; У , 1/(0) = 3; в) г/' = 1-х г) г/' = Ах^у, у<0) = -2. г/ , У(0) = А; в) у' = 1 + X г) у' = Зх^у, у(0) = -1. К-10. ПРОИЗВОДНАЯ и ПЕРВООБРАЗНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ, ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ И СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИЙ Вариант А1 Вариант А2 Найдите производную функции: а) f/х, у = \, x^Q. у = у = 1, X ^8. Ф Для функции 1 gix) = + Я(л:) = е -Зх 2х + 1 Зх + 1 найдите первообразную, которая в точке Xq = о принимала бы такое же значение, как и производная g(x) в этой точке. Вариант Б1 Вариант Б2 Найдите производную функции: а) f(x) = + logg х; а) f(x) = log^ х — ; б) fix) = х’^^^ -1п-. X б) fix) — + In >/х. 0 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке: Контрольная работа К-10 141 /(Jc) = JcV^ [-2;1]. О т = —, [-1;2]. Для функции f 0) : а + 16. а+ 49. Самостоятельная работа С-52 145 а) (3 + 2if — (1 — iV3)(l + iVS); 6-4i б) (1 + if + 3i(l — 2/)j b) + 0 Вычислите: a) (2 — 30″ + (1 + iV2)(l — iV2); B) (20®+p. О Решите уравнение: а) — 2z + 5 = 0; б) (1 + 02 = 6 — 2L © Найдите действительные x и у из равенства: (5 -I- 3i)x + (2 — i)y = -1 — 5i. (4 — 3i)x + (1 + 2i)y = 2 — 7L а) z + 42 + 13 — Oj б) (1 — O2 = 8 + 6i. Вариант B1 Вариант В 2 Даны комплексные числа а = —2i н Ь = 2^ — 2i, где 2j и 22 — корни уравнения: 2^ + 42 + 5 = о 2^ — 22 + 2 = о (Im2j 0). (Im2j 0). Найдите: а) число, сопряженное к сумме а + Ь; б) число, противоположное разности а — Ь; 146 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА в) произведение данных чисел аЬ; а г) частное —. Ь 0 Разложите двумя способами на комплексные множители по формуле разности квадратов число 17. число 10. 0 Вычислите: а) <2 + if-1; 2-1 г) \г — if + I2 + if = 10. 2+1 I |2 1 |2 г) 2 + t + 2 — t = 16. 0 Выведите с помош;ыо формулы Муавра тригонометрические формулы, выражаюпще: а) cos За через cos а; а) sin За через sin а; б) sin 4а через sin а и cos а. б) cos 4а через cos а. 0 Для любых комплексных чисел и 2g докажите неравенство: ||2i|-|22|1^|2i1 + |22|. ||2i|-|22|| 1, 2I — Im 2. [Re 2 |г +1 — i|, — |г — 1 — i| — —, В : cos а > — 2 2 С ; tga >0,D: ctga = -1. А : sin а . + пС: — б) Cl- 2Cf + 8Cl — . + = rt-2″»\ +(-i)»-^rtc; = 0. 0 Подставляя в разложение (х + а)» подходящие значения а и дс, найдите сумму: 1 + 2с1 + 2^с1 +. + 2″с;. 1 + 1ос^ + loocf +. + 10″с;. 0 Найдите коэффициент ри в разложб жения (1 + 2д; + при в разложении выра- при х“* в разложении выражения (1 -t- 2х^ — 30;“*)^°. О Найдите рациональные члены в разложении бинома: (V4+V7)^^ (^ + ^2)’ 0 0 Сколькими способами можно рассадить за круглым Сколькими способами можно построить в одну шерен Контрольная работа К-12 171 столом 8 мужчин и 8 женщин так, чтобы лица одного пола не сидели рядом? О гу игроков двух футбольных команд, чтобы игроки одной команды не стояли рядом? Какое минимальное количество жителей должно быть в населенном пункте, чтобы наверняка утверждать, что по крайней мере двое из них имеют одинаковые инициалы фамилии и имени? фамилии, имени и отчества? К-12. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ Вариант А1 О Найдите: а) б) третий член разложения бинома (х + 2)’^. О Вариант А2 а) Л^+Р,; б) четвертый член разложения бинома (2л: На плоскости даны 8 точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. а) Сколько существует отрезков с концами в этих точках? б) Сколько существует лучей с началом в любой из данных точек, проходящих а) Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках? б) Сколько существует векторов с началом и концом в любых двух из данных точек? 172 КОМБИНАТОРИКА через любую другую из данных точек? О в разложении бинома (-il второй и третий биномиаль- второй и четвертый биноми-ные коэффициенты равны. альные коэффициенты равны. Найдите п и запишите формулу этого разложения. О Сколькими способами можно осуществить перестановку десяти различных шкафов вдоль двух стен, если вдоль одной стены поместится 6 шкафов, а вдоль другой — 4? 0 Решите уравнение: а! — СГ^ = 24. Сколькими способами можно организовать размещение тургруппы из 7 человек в два гостиничных номера на три и четыре человека? aL + с! — 24. Вариант Б1 О Найдите: а) Вариант Б2 а) б) средний член разложения б) средний член разложения бинома (2х -1)® 0 бинома (Зл:-1-1)’‘. На окружности выбрано 8 различных точек. Контрольная работа К-12 173 а) Сколько существует вписанных выпуклых четырехугольников с вершинами в данных точках? б) Сколько существует ненулевых векторов с началом и концом в данных точках? а) Сколько существует вписанных треугольников с вершинами в данных точках? б) Сколько существует вписанных углов с вершиной в одной из данных точек и сторонами, проходящими через две другие точки? О Найдите сумму биномиальных коэффициентов бинома (Vx-1-Vx)», если четвертый коэффициент разложения в 5 раз больше второго. V X -ь Vx , если второй коэф- фициент разложения в 7 раз меньше четвертого. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 10 карт так, чтобы среди выбранных карт было ровно два валета? ровно три туза? Ф Найдите все значения п, удовлетворяющие неравенству: с:’ О, если п —+ 7Ш 4 ‘ п 5п / X е — + пп; — + пп [8 8 J ♦ X е V у О, если А ^ А I —-+ 4тш;—н 4тш ; 3 3 ‘ у 5. Зтг ^тах = Y + ’ У = 0,5 ^ max * 4л ^min = у + 4ЛЛ , Ушш = — 2. 2л ^шах =-у +4ЛП , у =2 » max Ду); л 2лп, нечетная Четная, Т = п Нечетная, Т = 2п За) [- 2; 2]. Т^п [- 2; 2], возрастает на 2я — л О — + 2яп; — + 2ят1 3 3 убывает на — + 2яп; — + 2яп 3 3 [-V2;V2], возрастает на — — + 2ят1; — + 2яп 4 4 убывает на — + 2ял; — + 2яга 4 4 36) Ду) = = (2ят1; 2я + 2ят1); убывает на каждом промежутке D(y) х = п + 4пп‘, нули: дс = — я + 4лл я ш X = — + — ; 9 3 5я пп нули: X = — + — 18 3 X ^ — + пп; 2 (0;1] У = 2 С08 л:, С08 л: ^ О, О, С08 X 2 а ) (1;2);(2; 1) (1;3);(3;1) 3; — + 2пп 2 1 _ я 3’2 + 2пп ;1 ; у второй К-5 Б2 В1 В2 ^ 3 , 23 11 1а) “3; — 1;-^ 4 6 4 16) 0 0,5 0 1в) 1 к — + пп 2 жп 194 ОТВЕТЫ К-5 Б2 В1 В2 2а) (-1; 2) (- 3; 3) U (3; +оо) (- 2; 2) и(2; +^) 26) (

со;-4]и [5; +со) [-1; 3] (-оо;-2]и [6; +оо) 2в) [0; 1] (-«;-!] [1;+®) 3 (-1;2) -1 1 4 ^;27 ;[1;9]; у первой ^ 1 — 3 и 5 — 2 la) А1 А2 30 Б1 Б2 24 В1 24,5 В2 1,5 16) -2 2а) -2;1 -2; 5 26) 2; il2 3;^ 625 :5 За) [-1;2) ■;1 (2;3] (-4; 2] (1;2) (1;2) 36) (2; 4) (1;4) (0;0,04)и U (5; +оо) ( О 0;- U fo;- u fo;- 1 sJ 1 4j l 8J и(2;+оо) и [16; +о°) U и[4; +оо) (7; 2) (9;1) (2;-1) (3;2) (27; 4) (125;4); (625; 3) ■;27 3; 27 ■:2 6 K-7 A1 A2 Б1 3 16 4 la) 6x^-x 20x^ + ^ + -Г + -7= 16) 9 • 3 -2 sin X 5— cos X , 5 4 cos X + —X— sin X 2x cos X — [x^ + l) sin X 1b) 5 5 x^-2x-3 (x -b 2)^ (x^3f (x-lf Ответы к контрольным работам 195 К-7 А1 А2 Б1 2 г/ = Зл: + 6 !/ = — 7х+ 12 г/ = — 4х + 5 3 0; 1 1 ; ± — + 2л/г 3 4 12 м/с 4 м 17 м/с 5 3 1 71 2 3 к-7 Б2 В1 В2 1а) (л: + 1) (Зх — 1) (х — 1) (Зх + 1) 16) -2л: sin л: —(4 — л:^)со8л: 2cosx „ . „ г— + 2 sin 2х sin X 1 X 2sinx 3 3 cos’^ X 1в) +4л:-12 X + 1 4х-8 (. + 2f + 1) л/х^ + 1 (х^ — 8) л/л:^ — 8 2 у = — 6х + 19 1 5 г/ = — X + — 3 3 2 5 у = — X + — 3 3 3 7t / -1 \А+1 Я — + Я71; (-1) — + nk 2 6 (-со;4,5] <0,5>U [5,5; +00) 4 0 м/с^ 16 м/с 0 м/с^ 5 я 6 (2; 2,5) (-2; -1,5) К-8 А1 А2 Б1 1а) — 1; 0; 1 — 3; 0; 3 Возрастает на (-°о;-4], [2;+»°); убывает на [-4;-1), (-1;2] 16) — 6; — 2 2; 6 Возрастает на 0; ^ убывает на -;+-= [4 > / 196 ОТВЕТЫ А1 I У = У, О — Зл:» -4 W — 0,5 А2 Б1 г/ = — ^ + 4х У, 16 3 л\ -2/3,- 2 А / ^ 2/3 «» 1 16 Q у = 4х 1 + х^ Vi 1 2 *УР*ч. -1 г 0 *х 0,5 12 = 9 + 3 К-8 Б2 В1 В2 1а) Возрастает на (-°°;-2], [4;+=«); убывает на [-2;1), (1;4] = 0. max —и 0 л: . = — 1, min X =1 max 16) Возрастает на [4;+ ’2 — е» 2хе»»’ + ^ X In 3 16) 4Мп4 х^ +1 ^ +8″ In 8 8 — Зх х‘»»(1п2 + 1) + — 2 i;i е 1;е^ е^; 0 3 3 In |х + 2| + 1 21п X — 3| + 3 х^ — — 1п|4х — 5 — 1 4 17^ 3 lli 4 2 3 5 -е»» +iln|2x + 11 —2 2 ‘ ‘2 1 -Зх __е Зх _ 3 —In Зх + 1| + -3 3 1 ч — (Зх — 2)з + -4 ^ ‘4 К-10 Б2 В1 В2 1а) ^ + Зх’е»»»’ х1п2 3 sin^ X cos хе®'»» + —- — In 10 sin2xe““'» + In 2 16) х‘»®(1пЗ + 1) + — 2х 2^-‘ In 2 1 3^-‘ 1пЗ > V? 4х 1п(х^ -1) 6х 1п^ (9 — х^) х» -1 ^ 9-х^ 2 е^; 0 In 2; 0 — In 3; — In 2 3 X® + 21п Зх -1+3 -21n|7-3xj + 3 41n|0,5х — l| — 2 4 1,5 2^ 3 2^ 3 Ответы к контрольным работам 199 К-10 Б2 В1 В2 5 1 5 4 — (4х + 5)’* + — ъ ъ 1п(х^ + 1) + е'»‘ + 2 1п(х‘‘ +1) + е»‘ +3 К-11 А1 — 2 А2 — 3 Б1 3 + t 1а) 16) — i — 3i — 4 2 У, Г — S У^ \ О X ^ 1 -61 -3V О 1 Г ■Л 6 За) — 64 ы 212 36) ±4i ±ы 2 2 4а) 4 + 3i 3 + 5i 3 ± 4г 46) — 2 ± 3i 1 ± 3i ±2-1 5 а = 2 а = 1 Re 2 = — Im 2 200 ОТВЕТЫ К-11 Б2 ^fз^/2 3^/2 Л 2 2 V У В1 [з i [з i \2^V2’ \l2

V2 В2 2 + i; — 2 — i 36) 4а) + 3 + 4j — 1; — 2i 3; i 46) ± 4 + 2i 0; — 1 + i 0; + 1 5 Re 2 = Im 2 Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон Сумма квадратов диагоналей ромба в 4 раза больше квадрата его стороны К-12 А1 А2 Б1 Б2 В1 В2 1а) 32 162 0 0 0 0 16) 24х=» 40×2 — 160х® 54х^ 512; 1 256; 1 2а) 28 56 70 56 20 20 26) 56 56 56 168 70 60 3 X® — Зл: -ь 3 1 3 X х^ X* — 4х^ -I-X X 128 256 1 2^^ ■ С® ^38 о19 ^60 ‘ ^ 4 210 1 35 С! ■ cl, 240 120 5 1 i 6 4 3,4, 5, 6 1, 2, 3 (6; 3) (18; 8) К-13 А1 А2 Б1 Б2 1а) 1 9 1 9 0,2 0,1 16) 1 4 1 4 0,1 0,2 2а) 0,35 0,15 0,54 0,36 26) 0,85 0,65 0,12 0,18 3 0,972 0,032 0,388 0,997 Ответы к контрольным работам 201 К-13 А1 А2 Б1 Б2 4 Нет Да Нет Нет 5 C^ (0,4)’ 0,6 0,4 (0,6)’ 1 — 0,6-* — 4 0,4 • 0,6^ 1 — 0,4′ — 4 • 0,6 • 0,4″ К-13 В1 В2 1а) 1 15 8 15 16) 0,2 1 3 2а) 28 11 4^ 26) 12 11 10-ь8 7 6-ь5 4 3 _ 113 12 11-ь8 7-ь5-4 _ 104 30 29 28 2030 30 29 «435 О 7 1 О 40 8 4 Нет Нет 5 C^5^ C^5^ 6® 6® 202 ОТВЕТЫ ОТВЕТЫ К ДОМАШНИМ САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ С-6* Вариант 1 Вариант 2 1а) 1 1 4 4 16) 1 1 2 2 2а) sin 2а 72 sin 2а 72 26) 1 1 За) R R 36) (sin3; — sin 4) (cos 7; cos 6) 4а [- 2; 2] [-72; 72] 46) Г- 13; 131 [- 25; 25] За) — 0,8 0,6 56) -i;2 3 Л 3 с-12* Вариант 1 Вариант 2 1а) [-1 : 1] [-1; 1] 16) (- сю; 0) U (0; оо) (- со; 0) U (0; оо) 1в) (-1 ; 1) [- 1; 0) U (0; 1] 1г) R R 1д) С ; 1] R 2а) 120 5 169 7^ 26) 5 7 24 2в) 1 7 «71 572 За) 4тг — 10 6 — 2я Ответы к домашним самостоятельным работам 203 4а) [- 2; — 1] U [0; 1] [-2;-V2]u[V2;2] 46) [1;2] (-со; 0] U [2; +со) 5а) £»(Л = [-1;0]; £(/) = О-Л 2 ДЛ = [-1;0)и(0;1]; 36) Вариант 1 п 10 Вариант 2 5л т 56) £>(/) = [0;+-), £(/) = [0;л) £»(/) = [0;+-), £(/) Зл _ 5л Т’Т 6а) 1 3 66) 2^Уз-1 1,5 6в) 6г) ctg2 tg0,5 с-16* Вариант 1 Вариант 2 1а) л ± arccos — + 2лл 6 (-1J arcsin — + пп; (-1J arcsin — + тслг 16) ± — + лл 6 Корней нет 1в) КП пп — 10 т 1г) 1 п КП 1 к КП — + — 1 6 2 1 18 3 2а) 2лл ^ i. 1 I. — + кп; arctg — + кк 4 2 26) 2лл; + 2кк: — + кт 2лл; — — + 2пк 2 4 2 2в) л КП л — + лл 1 4 2 1 4 to и I я + 3 to I + a to I s + 3 1 + 3 to c\ 0^ I + 3 I p ►1 о о c+- № to + Я 3 I P ►1 о r+- СП5 я 0^ I + я 3 to » 05 I ?4 + to 3 05 5^ + to я 3 00 I я + to я 3 00 on 5^ + to я 3 o\ 05 I я + ^^|з со I я + tol§ 00 I I 3 I 5^ + 3 CO to CO to to я + CO ?4 3 00 ?4 + CO я 3 05 u 4X 00 I 5^ + to 3- 1+ CO I 5^ + to я 3 + 05 54 3- 05 0\ 00 I 54 + to 54 3 1+ 05 I 54 + 54 3 05 P »(:- I 54 + 54 3 »(:- I 54 + 54 on o\

^|з- гг ■Н -4 3 I СЛ p I 54 + tolg 00 5Г Ч CO to I 54 + I t’C to 54 I 3 3 4 to + >(>- I to -4 54 I 3“ 5Г Ч -4 CO Ed ‘^la to I 54 + 54 5Г tt:- 1 54 + to I a I 3“ CO o\ I 54 + 54 a to 54 гг tt:- 1 54 + 54 3 I to I 54 + to 54 гг I 54 + 54 3 54 + to 54 5r ‘*l’ to I 54 + to 54 I 54 + 54 3 to I 54 + to 54 3- to 54 Ш 0) «D S 0) X Ш Ш ■a s Ш X H to to © о Co t4 Co Ответы к домашним самостоятельным работам 205 2г) Вариант 1 — + 7ш; — arctg 3 + пп 2 U f ^ к У ( ^ ТС / U — + кп; —кп U — + кп; — + кп 4 2 4 2 V Вариант 2 — + кп; — arctg 2 + кп U За) 2’^ л ^ л » + 2кп; — + 2кп и К — + 2кп;2кп 1 3 2 6 U л „ я „ ‘тс л 5л „ U — + 2кп;— + 2кп L 3 3 U U + 2кп;— + 2кп 6 J U ^ л 2л „ — + 2кп;— + 2кп и к + 2кп; — + 2лл 2 3 6 U 36) —1″ Tin 6 U к 5к — + кп; — + кп 2 6 ^ к к — + кп; — + кп 4 2 и к Зк

+ кп; — + кп 2 4 Зв) <2;cn>U к к —h кп; — + кп 4 2 — — + 2кп I U кп; — + кп 2 4 С-23* Вариант 1 Вариант 2 1а) -7; 8 0; 5 16) 1 4 1в) 2-273;2 1 +7б 1г) 3 1; 2; 10 1д) 8 — 15; 1 1е) 4 9 1ж) 4 — 1 1з) ±2 ±6 1и) [3; 8] Корней нет 1к*) 0,5 1 2а) (_оо;_1] U (8;+°о) <-ос; -4] 26) [2,5; 3) [2; 3) 2в) [5; 6) U (9; 10] 206 ОТВЕТЫ С-23* Вариант 1 Вариант 2 | 2г) [- 2; - 1] U <3>(-3)w[-la 2д) [1; +*) L 2 ) ( 2_ За) (3; 1) 36) (10; 6) (5; 4) Зв) (1; 81); (81; 1) (64; 1) С-27* Вариант 1 Вариант 2 1а) 0; 1 0; 3 16) -1;-4 -2;-3 1в) 3;2^ 4 1,5 1г) ± 1 ± 1 1д) пп 2 71 кп ±— + 6 2 1е) 71 ± — + кп; ± arctg 2-\- кк кп 1ж) ± 2 2 1з) 3 7 1и) (-1)» — + кп ^ ‘ 6 + — + 2тт 3 1к) 2 1 1л) Корней нет 2 2а) (-V7;-V3]u[V3;V7) 26) (3; +сс) (2; +оо) 2в) [- 2; 0] U [2; -ь=о) [-оо;-9]и[0; 9] 2г) (2;^.) [0; -ь=о) э1 к домашним самостоятельным работам 207 1 Вариант 1 Вариант 2 (- 1;2] u[3;+co) [- 2;-l)u[l;+oo) задач данной работы предполагается, что основа-может принимать неположительные значения jaHT 1 Вариант 2 1;0;2 — 3; 0; 1; 2 .±72 -2;-1 + 7i0 4 1: 3 5 0; 3 0;iju(l;H -4; 1)и(3; +оо) (- 4;-2)и(1;4) 1 f 1] u <0>u [l; ±o°) u [1;+oo) (-со; 2] 4; 2; 3 5; 6 — 1; 6) ; (3; 2) (4; 1) ; (5; 2) ариант1 Вариант 2 — ± Jlog; 25 1 ± ^log, 640 1 log, 2,5 0; log2 2; lg5 2; — logj 6 9; 0; —;10^ 10 1 10; —;10 ^ 10 208 ОТВЕТЫ С-31* Вариант 1 Вариант 2 2в) 3; 3« 2г) 4 За) (3; 1); (3; 1) (1; 10); (- 1; 10) 36) Зв) (И] (Л 1 N 4а) 2 4 46) 1 1 С-33* Вариант 1 Вариант 2 la) 21 24 16) 12 9 1в) 16 8 1г) 0; 1,75 -1; 0,75 1д) 10; 100 1е) 7Г — + КП 4 к — + пп 4 1ж) 1;^;4 V2 73;3 1з*) — ;3 81 1и*) 2 16 2а) (-4;-3]и[8;+ос) (2;3]и[5;+оо) 26) [ 2 ^ Г 4 log2-;0 U log2-;+oo V ^ J ^ у* [1;2) 2в) (0;1)и(2;8) (0;0,1)и(1;1000) 2г) (3;+о°) (4;+о°) Ответы к домавтним самостоятельным работам 209 2д) Вариант 1 (4- ^/2;3)u(4 + ^У2;+ooj Вариант 2 (-1,5;-1)и(4;+-) 2е) (logg 10; +с«) (log, 13; 2] 2ж) ( 11 Г 1 «1 -1;- U 1;2- 1 L з) (-“ 0 Точки вне кольца, образованного окружностями х^ + = 1 и х