Самостоятельная работа уравнение в целых числах

Основные методы решения уравнений в целых числах

Введение

Существует множество математических задач, ответами к которым служат одно или несколько целых чисел. В качестве примера можно привести четыре классические задачи, решаемые в целых числах – задача о взвешивании, задача о разбиении числа, задача о размене и задача о четырёх квадратах. Стоит отметить, что, несмотря на достаточно простую формулировку этих задач, решаются они весьма сложно, с применением аппарата математического анализа и комбинаторики. Идеи решения первых двух задач принадлежат швейцарскому математику Леонарду Эйлеру (1707–1783). Однако наиболее часто можно встретить задачи, в которых предлагается решить уравнение в целых (или в натуральных) числах. Некоторые из таких уравнений довольно легко решаются методом подбора, но при этом возникает серьёзная проблема – необходимо доказать, что все решения данного уравнения исчерпываются подобранными (то есть решений, отличных от подобранных, не существует). Для этого могут потребоваться самые разнообразные приёмы, как стандартные, так и искусственные. Анализ дополнительной математической литературы показывает, что подобные задания достаточно часто встречаются в олимпиадах по математике разных лет и различных уровней, а также в задании 19 ЕГЭ по математике (профильный уровень). В то же время в школьном курсе математики данная тема практически не рассматривается, поэтому школьники, участвуя в математических олимпиадах или сдавая профильный ЕГЭ по математике, обычно сталкиваются со значительными трудностями при выполнении подобного рода заданий. В связи с этим целесообразно выделить систему основных методов решения уравнений в целых числах, тем более что в изученной математической литературе этот вопрос явно не оговаривается. Описанная проблема определила цель данной работы: выделить основные методы решения уравнений в целых числах. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1) Проанализировать олимпиадные материалы, а также материалы профильного ЕГЭ по математике;

2) Обозначить методы решения уравнений в целых числах и выделить преобладающие;

3) Полученные результаты проиллюстрировать примерами;

4) Составить несколько тренировочных заданий по данной теме;

5) Применяя разработанные задания, определить степень готовности учащихся девятых классов МБОУ СОШ №59 к решению подобного рода задач и сделать практические выводы.

Основная часть

Анализ разнообразной математической литературы показывает, что среди методов решения уравнений в целых числах в качестве основных можно выделить следующие:

1. Представление уравнения в виде произведения нескольких множителей, равного некоторому целому числу;
2. Представление уравнения в виде суммы квадратов нескольких слагаемых, равной некоторому целому числу;
3. Использование свойств делимости, факториалов и точных квадратов;
4. Использование Малой и Великой теорем Ферма;
5. Метод бесконечного спуска;
6. Выражение одной неизвестной через другую;
7. Решение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных;
8. Рассмотрение остатков от деления обеих частей уравнения на некоторое число.

Сразу же нужно оговорить, что мы понимаем под основными методами решения уравнений. Основными будем называть наиболее часто применяющиеся методы, что, конечно, не исключает возможности периодического применения новых «неожиданных» приёмов. Кроме того, причём в подавляющем большинстве случаев, применяют их различные сочетания, то есть проводят комбинирование нескольких методов.
В качестве примера сочетания методов рассмотрим уравнение, предлагавшееся на ЕГЭ по математике в 2013 году (задание С6).

Задача. Решить в натуральных числах уравнение n! + 5n + 13 = k 2 .

Решение. Заметим, что оканчивается нулём при n > 4. Далее, при любых n ∈ N оканчивается либо цифрой 0, либо цифрой 5. Следовательно, при n > 4 левая часть уравнения оканчивается либо цифрой 3, либо цифрой 8. Но она же равна точному квадрату, который не может оканчиваться этими цифрами. Поэтому нужно перебрать только четыре варианта: n = 1, n = 2, n = 3, n = 4.

Значит, уравнение имеет единственное натуральное решение n = 2, k = 5.

В этой задаче использовались свойства точных квадратов, свойства факториалов, и остатки от деления обеих частей уравнения на 10.

Теперь приведём комплекс авторских задач.

Задача 1. Решить в целых числах уравнение n 2 — 4y! = 3.

Решение. Сначала перепишем исходное уравнение в виде n 2 = 4y! + 3. Если посмотреть на это соотношение с точки зрения теоремы о делении с остатком, то можно заметить, что точный квадрат, стоящий в левой части уравнения, даёт при делении на 4 остаток 3, что невозможно. Действительно, любое целое число представимо в одном из следующих четырёх видов:

Таким образом, точный квадрат при делении на 4 даёт в остатке либо 0, либо 1. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ключевая идея – применение свойств точных квадратов.

Задача 2. Решить в целых числах уравнение 8z 2 = (t!) 2 + 2.

Решение. Непосредственная проверка показывает, что t = 0 и t = 1 не являются решениями уравнения. Если t > 1, то t! является чётным числом, то есть, оно представимо в виде t! = 2s. В таком случае уравнение можно преобразовать к виду 4z 2 = 2s 2 + 1. Однако, полученное уравнение заведомо не имеет решений, ибо в левой части стоит чётное число, а в правой – нечётное.

Ключевая идея – применение свойств факториалов.

Задача 3. Решить в целых числах уравнение x 2 + y 2 – 2x + 6y + 5 = 0.

Решение. Исходное уравнение можно переписать следующим образом: (x – 1) 2 + (y + 3) 2 = 5.

Из условия следует, что (x – 1), (y + 3) – целые числа. Следовательно, данное уравнение эквивалентно следующей совокупности:

Теперь можно выписать всевозможные целые решения уравнения.

Задача 4. Решить в целых числах уравнение zt + t – 2z = 7.

Решение. Исходное уравнение можно преобразовать к виду (z + 1) (t – 2) = 5. Числа (z + 1), (t – 2) являются целыми, поэтому имеют место следующие варианты:

Итак, уравнение имеет ровно четыре целых решения.

Ключевая идея – представление уравнения в виде произведения, равного целому числу.

Задача 5. Решить в целых числах уравнение n(n + 1) = (2k + 1)‼

Решение. Число (2k + 1)‼ нечётно при всех неотрицательных значениях k согласно определению (при отрицательных k оно вообще не определено). С другой стороны, оно равно числу n(n + 1), которое чётно при всех целых значениях k. Противоречие.

Ключевая идея – использование чётности/нечётности частей уравнения.

Задача 6. Решить в целых числах уравнение xy + x + 2y = 1.

Решение. Путём преобразований уравнение можно свести к следующему:

Данное преобразование не изменило ОДЗ неизвестных, входящих в уравнение, так как подстановка y = –1 в первоначальное уравнение приводит к абсурдному равенству –2 = 1. Согласно условию, x – целое число. Иначе говоря, тоже целое число. Но тогда число обязано быть целым. Дробь является целым числом тогда и только тогда, когда числитель делится на знаменатель. Делители числа 3: 1,3 –1, –3. Следовательно, для неизвестной возможны четыре случая: y = 0, y = 2, y = –2, y = –4. Теперь можно вычислить соответствующие значения неизвестной x. Итак, уравнение имеет ровно четыре целых решения: (–5;0), (–5;2), (1;–2), (1;–4).

Ключевая идея – выражение одной неизвестной через другую.

Задача 7. Решить в целых числах уравнение 5 m = n 2 + 2.

Решение. Если m = 0, то уравнение примет вид n 2 = –1. Оно не имеет целых решений. Если m 0. Тогда правая часть уравнения (как и левая) будет кратна 5. Но в таком случае n 2 при делении на 5 должно давать остаток 3, что невозможно (это доказывается методом перебора остатков, который был изложен при решении задачи 1). Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ключевая идея – нахождение остатков от деления обеих частей уравнения на некоторое натуральное число.

Задача 8. Решить в целых числах уравнение (x!) 4 + (y – 1) 4 = (z + 1) 4 .

Решение. Заметим, что в силу чётности показателей степеней уравнение эквивалентно следующему: (x!) 4 + |y – 1| 4 = |z + 1| 4 . Тогда x!, |y – 1|, |z + 1| – натуральные числа. Однако, согласно Великой теореме Ферма, эти натуральные числа не могут удовлетворять исходному уравнению. Таким образом, уравнение неразрешимо в целых числах.

Ключевая идея – использование Великой теоремы Ферма.

Задача 9. Решить в целых числах уравнение x 2 + 4y 2 = 16xy.

Решение. Из условия задачи следует, что x – чётное число. Тогда x 2 = 4x₁ 2 . Уравнение преобразуется к виду x₁ 2 + y 2 = 8x₁y. Отсюда вытекает, что числа x₁, y имеют одинаковую чётность. Рассмотрим два случая.

1 случай. Пусть x₁, y – нечётные числа. Тогда x₁ = 2t + 1, y = 2s + 1. Подставляя эти выражения в уравнение, получим:

Выполним соответствующие преобразования:

Сокращая обе части полученного уравнения на 2, получим?

В левой части стоит нечётное число, а в правой – чётное. Противоречие. Значит, 1 случай невозможен.

2 случай. Пусть x₁, y – чётные числа. Тогда x₁ = 2x₂ + 1, y = 2y₁. Подставляя эти значения в уравнение, получим:

Таким образом, получилось уравнение, точно такое же, как на предыдущем шаге. Исследуется оно аналогично, поэтому на следующем шаге получим уравнение и т.д. Фактически, проводя эти преобразования, опирающиеся на чётность неизвестных, мы получаем следующие разложения: . Но величины n и k не ограничены, так как на любом шаге (со сколь угодно большим номером) будем получать уравнение, эквивалентное предыдущему. То есть, данный процесс не может прекратиться. Другими словами, числа x, y бесконечно много раз делятся на 2. Но это имеет место, только при условии, что x = y = 0. Итак, уравнение имеет ровно одно целое решение (0; 0).

Ключевая идея – использование метода бесконечного спуска.

Задача 10. Решить в целых числах уравнение 5x 2 – 3xy + y 2 = 4.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде 5x 2 – (3x)y + (y 2 – 4) = 0. Его можно рассмотреть как квадратное относительно неизвестной x. Вычислим дискриминант этого уравнения:

Для того чтобы уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы , то есть Отсюда имеем следующие возможности для y: y = 0, y = 1, y = –1, y = 2, y = –2.

Итак, уравнение имеет ровно 2 целых решения: (0;2), (0;–2).

Ключевая идея – рассмотрение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных.

Составленные автором задачи были использованы при проведении эксперимента, который состоял в следующем. Всем учащимся девятых классов были предложены разработанные задания с целью выявления уровня подготовки детей по данной теме. Каждому из учеников необходимо было предложить метод нахождения целочисленных решений уравнений. В эксперименте приняли участие 64 ученика. Полученные результаты представлены в таблице 1.

ТАБЛИЦА 1

Количество учащихся, справившихся с заданием (в процентах)

Организация учащихся к учебно-исследовательской деятельности по теме «Решение уравнений в целых числах»
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Актуальность исследования:

В школьном курсе математики диофантовы уравнения практически не изучаются, эта тема затрагивается вскользь в восьмом классе, хотя задачи, основанные на решении уравнений в целых числах, имеются в заданиях группы С6 в ЕГЭ и математических олимпиадах. Учащимся эта тема интересна тем, что имеется практическая направленность области этой темы, позволяет успешно сдать Единый Государственный Экзамен и принимать участие в олимпиадах и конкурсах. Этот материал может быть интересен и полезен учащимся, материал данной работы можно использовать для изучения на элективных занятиях, при подготовке к олимпиадам и к ЕГЭ, а также для самостоятельного изучения.

Скачать:

Предварительный просмотр:

ГБОУ СОШ с Новодевичье м.р. Шигонский Самарская область

Организация учащихся к учебно-исследовательской деятельности

по теме «Решение уравнений в целых числах»

Копытина Елена Алексеевна,

учитель физики и математики ГБОУ СОШ с. Новодевичье

В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления.

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач. Этими задачами много занимались самые выдающиеся математики древности, например, греческий математик Пифагор (VI век до н.э.), александрийский математик Диофант (III век н.э.), П.Ферма(XVII в.), Л.Эйлер(XVIII век), Ж.Л.Лагранж(XVIII век), П.Дирихле(XIX век), К.Гаусс(XIX век), П.Чебышев(XIX в.) и многие другие.

Решение уравнений в целых числах является важной задачей и для современной математики. Теоретический интерес уравнений в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел, что и определило актуальность нашей работы «Решение уравнений в целых числах» Ещё в начальной школе на уроках математики перед нами часто ставили задачу выяснить, при каких допустимых значениях буквы обе части того или иного равенства принимают одинаковые числовые значения. На равенство в этом случае мы смотрели как на уравнение относительно указанной неизвестной величины. В восьмом классе мы познакомились с решением квадратных уравнений с одной переменной. Но, готовясь к олимпиадам, рассматривая контрольно- измерительные материалы Единого государственного экзамена встречаемся с заданиями, в которых предлагали уравнения с двумя переменными. Появилось желание узнать решаемы ли такие уравнения, и какие способы используются для их решения, все ли они имеют алгоритм решения и где применяются. Отсюда определена

Гипотеза исследования — общего способа быть не может, не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, но изучив типы, классифицировав диофантовы уравнения по способам решения можно успешно справиться с решением текстовых задач, задач с практическим содержанием и с частью заданий С6 ЕГЭ.

В школьном курсе математики диофантовы уравнения практически не изучаются, эта тема затрагивается вскользь в восьмом классе, хотя задачи, основанные на решении уравнений в целых числах, имеются в заданиях группы С6 в ЕГЭ и математических олимпиадах. Учащимся эта тема интересна тем, что имеется практическая направленность области этой темы, позволяет успешно сдать Единый Государственный Экзамен и принимать участие в олимпиадах и конкурсах. Этот материал может быть интересен и полезен учащимся, материал данной работы можно использовать для изучения на элективных занятиях, при подготовке к олимпиадам и к ЕГЭ, а также для самостоятельного изучения.

Предметная областью этого исследования является математика.

Объект работы- диофантовы уравнения,типы и способы их решения.

1. Повышение уровня математической культуры;
2. Развитие навыков исследовательской деятельности в области математики;
3. Формирование умений и навыков решать диофантовы уравнения эффективными методами;
4. Применение этих методов решения к задачам из повседневной жизни человека, а также к задачам, предлагаемым на вступительных экзаменах в ВУЗы и в олимпиадных заданиях;
5. Умение классифицировать методы решений дифференциальных уравнений;

1. изучить исторические корни;
2. научиться пользоваться научной литературой, быстро и грамотно находить информацию в интернете;
3. разобрать основные приёмы и методы решения уравнений в целых числах, приводимых к уравнениям первой степени с двумя переменными, выбрав самые удобные и простые;
4. выполнить сопоставительно – аналитическую работу с контрольно – измерительными материалами ЕГЭ и заданий олимпиад разных лет,
5. научиться решать уравнения в целых числах, применив изученные ранее методы;
6. Составить презентацию «Методы решения уравнений в целых числах» и сборник задач с решениями в помощь ученикам нашей школы.

Методы исследования : анализ, синтез, сравнение, противопоставление, ранжирование, прогнозирование, наблюдение.

1. Изучение истории появления диофантовых уравнений, основной литературы по этой теме;
2. Изучение способов и методов решения диофантовых уравнений;
3. Попытка их классификации;
4. Поиск практической значимости данной темы.

Деятельность педагога и учащихся на каждом этапе исследовательской работы можно представить в виде таблицы:

Этапы исследовательской работы

Формулирование проблемы, обоснование актуальности выбранной темы

Анализируют проблему. Выявляют, что известно. Вживаются в ситуацию.

Подбор и изучение информации

Предлагаю организовать группы, распределить в группах роли, спланировать деятельность.

Разбиваются на группы, распределяют роли, планируют работу. Составляют список изданий. Собирают, изучают, анализируют, сопоставляют информацию. «добывают» недостающие знания.

Помогаю сформулировать гипотезу.

Выдвигают и формулируют гипотезу.

Постановка цели и конкретных задач исследования.

Помогаю сформулировать цель и задачи.

Формулируют цель и задачи, осуществляют корректировку цели и задач.

Составление плана исследовательской работы

Консультирую, помогаю выбрать оптимальный вариант плана исследовательской работы.

Работают самостоятельно, в группах и сообща. Выбирают оптимальный план исследовательской работы.

Выбор методов проведения исследования.

Консультирую, помогаю выбрать оптимальные методы, необходимые для проведения исследования.

Изучают, анализируют, сопоставляют информацию. «добывают» недостающие знания.

Написание текста исследовательской работы

Консультирую, ненавязчиво контролирую.

Работают самостоятельно в группах и сообща.

Оформление приложений к исследовательской работе

Консультирую, ненавязчиво контролирую.

Работают самостоятельно в группах и сообща.

Обсуждение результатов исследования

Консультирую, обобщаю результаты.

Обсуждают результаты исследования.

Формулирование выводов и оценка полученных результатов

Консультирую, обобщаю результаты.

Обобщают и делают выводы. Оценивают полученный результат.

Подготовка и защита презентации и выпуск сборника задач с решениями в помощь учащимся нашей школы

Консультирую, обобщаю результаты, подвожу итоги, оцениваю умения обосновывать свое мнение, работать в группе на общий результат.

Консультируются, защищают исследовательскую работу, представляют готовый продукт, проводят рефлексию деятельности, дают оценку ее результативности.

Данная учебно-исследовательская работа раскрывает творческий потенциал учащихся, способствует формированию их исследовательских умений, повышает учебную мотивацию, создает условия каждому участнику для саморазвития и самореализации через сознательное и активное присвоение нового социального опыта. Таким образом, учебно-исследовательская деятельность учащихся работает на реализацию современных целей образования, а именно способствует формированию универсальных учебных действий учащихся.

— осуществление расширенного поиска информации с использованием ресурсов Интернета, библиотек, собственного опыта;

— потребность в самовыражении и самореализации, социальном признании;

— умение вести диалог на основе равноправных отношений уважения и принятия;

— целеполагание, включая постановку новых целей

— установление и сравнение различных точек зрения перед принятием решения, формулировка вывода.

Самостоятельная работа по теме «Решение простейших уравнений и уравнений с целыми числами»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 566 987 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика», Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.

8.5. Что такое уравнение

Другие материалы

• 16.10.2020
• 923
• 100

• 16.10.2020
• 234
• 5

• 16.10.2020
• 206
• 5

• 16.10.2020
• 102
• 0

• 16.10.2020
• 123
• 3

• 12.10.2020
• 91
• 4

• 12.10.2020
• 116
• 8

• 10.10.2020
• 291
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 16.10.2020 327
• DOCX 23.4 кбайт
• 31 скачивание
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Заж Анатолий Ханненович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года
• Подписчики: 6
• Всего просмотров: 3190
• Всего материалов: 10

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ

Время чтения: 2 минуты

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.