Самый сложное уравнение по математике

7 математических загадок тысячелетия. Просто о сложном

Только для мыслящих людей!

«Я знаю только то, что ничего не знаю, но другие не знают и этого»
(Сократ, древнегреческий философ)

НИКОМУ не дано владеть вселенским разумом и знать ВСЁ. Тем не менее, у большинства ученых, да и тех, кто просто любит размышлять и исследовать, всегда есть стремление узнать больше, разгадать загадки. Но остались ли еще неразгаданные темы у человечества? Ведь, кажется, все уже ясно и нужно только применять полученные веками знания?

НЕ стоит отчаиваться! Еще остались нерешенные проблемы из области математики, логики, которые в 2000 году эксперты Математического института Клэя в Кембридже (Массачусетс, США) объединили в список, так называемые, 7 загадок тысячелетия (Millennium Prize Problems). Эти проблемы волнуют ученых всей планеты. С тех пор и по сей день любой человек может заявить, что нашел решение одной из задач, доказать гипотезу и получить от бостонского миллиардера Лэндона Клэя (в честь которого и назван институт) премию. Он уже выделил на эти цели 7 миллионов долларов. К слову сказать, на сегодняшний день одна из проблем уже решена.

Итак, вы готовы узнать о математических загадках?

Уравнения Навье — Стокса (сформулированы в 1822 году)

Уравнения о турбулентных, воздушных потоках, а также течении жидкостей известны как уравнения Навье — Стокса. Если, к примеру, плыть по озеру на чем-либо, то неизбежно вокруг возникнут волны. Это касается и воздушного пространства: при полете на самолете в воздухе также будут образовываться турбулентные потоки.
Данные уравнения как раз производят описание процессов движения вязкой жидкости и являются стержневой задачей всей гидродинамики. Для некоторых частных случаев уже найдены решения, в которых части уравнений отбрасываются, как не влияющие на конечный результат, но в общем виде решения этих уравнений не найдены.
Необходимо найти решение уравнениям и выявить гладкие функции.

Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 году)

Область: теория чисел

Известно, что распределение простых чисел (Которые делятся только на себя и на единицу: 2,3,5,7,11…) среди всех натуральных чисел не подчиняется никакой закономерности.
Над этой проблемой задумался немецкий математик Риман, который сделал свое предположение, теоретически касающееся свойств имеющейся последовательности простых чисел. Уже давно известны так называемые парные простые числа — простые числа-близнецы, разность между которыми равна 2, например 11 и 13, 29 и 31, 59 и 61. Иногда они образуют целые скопления, например, 101, 103, 107, 109 и 113.
Если такие скопления будут найдены и выведен определенный алгоритм, то это приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к невиданному прорыву в области безопасности Интернета.

Проблема Пуанкаре (сформулирована в 1904 году. Решена в 2002 году.)

Область: топология или геометрия многомерных пространств

Суть проблемы заключается в топологии и состоит в том, что если натягивать резиновую ленту, к примеру, на яблоко (сферу), то будет теоретически возможным сжать ее до точки, медленно перемещая без отрыва от поверхности ленту. Однако если эту же ленту натянуть вокруг бублика (тора), то сжать ленту без разрыва ленты или разлома самого бублика не представляется возможным. Т.е. вся поверхность сферы односвязна, в то время как тора – нет. Задача состояла в том, чтобы доказать, что односвязной является только сфера.

Представитель ленинградской геометрической школы Григорий Яковлевич Перельман является лауреатом премии тысячелетия математического института Клэя (2010 г.) за решение проблемы Пуанкаре. От знаменитой Фильдсовской премии он отказался.

Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 году)

Область: алгебраическая геометрия

В реальности существуют множество как простых, так и куда более сложных геометрических объектов. Чем сложнее объект, тем труднее его изучать. Сейчас учеными придуман и вовсю применяется подход, основанный на использовании частей одного целого («кирпичики») для изучения этого объекта, как пример — конструктор. Зная свойства «кирпичиков», становится возможным подступиться и к свойствам самого объекта. Гипотеза Ходжа в данном случае связана с некоторыми свойствами как «кирпичиков», так и объектов.
Это очень серьезная проблема алгебраической геометрии: найти точные пути и методы анализа сложных объектов с помощью простых «кирпичиков».

Уравнения Янга — Миллса (сформулированы в 1954 году)

Область: геометрия и квантовая физика

Физики Янг и Миллс описывают мир элементарных частиц. Они, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения в области квантовой физики. Тем самым был найден путь к объединению теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий.
На уровне микрочастиц возникает «неприятный» эффект: если на частицу действуют несколько полей сразу, их совокупный эффект уже нельзя разложить на действие каждого из них поодиночке. Это происходит по причине того, что в этой теории друг к другу притягиваются не только частицы материи, но и сами силовые линии поля.
Хотя и уравнения Янга — Миллса приняты всеми физиками мира, экспериментально теория, касающаяся предсказывания массы элементарных частиц, не доказана.

Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (сформулирована в 1960 году)

Область: алгебра и теория чисел

Гипотеза связана с уравнениями эллиптических кривых и множеством их рациональных решений. В доказательстве теоремы Ферма эллиптические кривые заняли одно из важнейших мест. А в криптографии они образуют целый раздел имени себя, и на них основаны некоторые российские стандарты цифровой подписи.
Задача в том, что нужно описать ВСЕ решения в целых числах x, y, z алгебраических уравнений, то есть уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами.

Проблема Кука (сформулирована в 1971 году)

Область: математическая логика и кибернетика

Ее еще называют «Равенство классов P и NP», и она является одной из наиболее важных задач теории алгоритмов, логики и информатики.
Может ли процесс проверки правильности решения какой-либо задачи длиться дольше, чем время, затраченное на само решение этой задачи (независимо от алгоритма проверки)?
На решение одной и той же задачи, порой, нужно разное количество времени, если изменить условия и алгоритмы. К примеру: в большой компании вы ищете знакомого. Если вы знаете, что он сидит в углу или за столиком — то вам понадобится доли секунд, чтобы его увидеть. Но если вы не будете знать точно, где находится объект, то затратите больше времени на его поиски, обходя всех гостей.
Основным вопросом является: все или не все задачи, которые можно легко и быстро проверить, можно также легко и быстро решить?

Математика, как может показаться многим, не так далека от реальности. Она является тем механизмом, с помощью которого можно описать наш мир и многие явления. Математика всюду. И прав был В.О. Ключевский, который изрек: «Не цветы виноваты, что слепой их не видит».

Нерешаемые задачи: уравнения Навье-Стокса, гипотеза Ходжа, гипотеза Римана. Задачи тысячелетия

Нерешаемые задачи — это 7 интереснейших математических проблем. Каждая из них была предложена в свое время известными учеными, как правило, в виде гипотез. Вот уже много десятилетий над их решением ломают головы математики во всем мире. Тех, кто добьется успеха, ждет вознаграждение в миллион американских долларов, предложенное институтом Клэйя.

Предыстория

В 1900 году великий немецкий математик-универсал Дэвид Гильберт, представил список из 23-х проблем.

Исследования, осуществленные с целью их решения, оказали огромное влияние на науку 20 века. На данный момент большинство из них уже перестали быть загадками. В числе нерешенных или решенных частично остались:

• проблема непротиворечивости арифметических аксиом;
• общий закон взаимности на пространстве любого числового поля;
• математическое исследование физических аксиом;
• исследование квадратичных форм при произвольных алгебраических числовых коэффициентах;
• проблема строгого обоснования исчислительной геометрии Федора Шуберта;
• и пр.

Институт Клэйя

Под таким названием известна частная некоммерческая организация, штаб-квартира которой находится в Кембридже, штат Массачусетс. Она была основана в 1998 году гарвардским математиком А. Джеффи и бизнесменом Л. Клэйем. Целью деятельности института является популяризация и развитие математических знаний. Для ее достижения организация выдает премии ученым и спонсирует многообещающие исследования.

В начале 21 столетия Математический институт Клэйя предложил премию тем, кто решит проблемы, которые известны, как самые сложные нерешаемые задачи, назвав свой список Millennium Prize Problems. Из «Списка Гильберта» в него вошла только гипотеза Римана.

Задачи тысячелетия

В список института Клэйя изначально входили:

• гипотеза о циклах Ходжа;
• уравнения квантовой теории Янга — Миллса;
• гипотеза Пуанкаре;
• проблема равенства классов Р и NP;
• гипотеза Римана;
• уравнения Навье Стокса, о существовании и гладкости его решений;
• проблема Берча — Свиннертон-Дайера.

Эти открытые математические проблемы представляют огромный интерес, так как могут иметь множество практических реализаций.

Что доказал Григорий Перельман

В 1900 году известный ученый-философ Анри Пуанкаре предположил, что всякое односвязное компактное 3-мерное многообразие без края гомеоморфно 3-мерной сфере. Ее доказательство в общем случае не находилось в течение века. Лишь в 2002-2003 годах петербургский математик Г. Перельман опубликовал ряд статей с решением проблемы Пуанкаре. Они произвели эффект разорвавшейся бомбы. В 2010 году гипотеза Пуанкаре была исключена из списка «Нерешенные задачи» института Клэйя, а самому Перельману было предложено получить полагающееся ему немалое вознаграждение, от которого последний отказался, не объяснив причин своего решения.

Самое понятное объяснение того, что удалось доказать российскому математику, можно дать, представив, что на бублик (тор), натягивают резиновый диск, а затем пытаются стянуть края его окружности в одну точку. Очевидно, что это невозможно. Другое дело, если произвести этот эксперимент с шаром. В таком случае вроде бы трехмерная сфера, получившаяся из диска, окружность которого стянули в точку гипотетическим шнуром, будет трехмерной в понимании обычного человека, но двумерной с точки зрения математики.

Пуанкаре предположил, что трехмерная сфера является единственным трехмерным «предметом», поверхность которой можно стянуть в одну точку, а Перельману удалось это доказать. Таким образом, список «Нерешаемые задачи» сегодня состоит из 6 проблем.

Теория Янга-Миллса

Эта математическая проблема была предложена ее авторами в 1954-м году. Научная формулировка теории имеет следующий вид: для любой простой компактной калибровочной группы квантовая пространственная теория, созданная Янгом и Милльсом, существует, и при этом имеет нулевой дефект массы.

Если говорить на языке, понятном для обычного человека, взаимодействия между природными объектами (частицами, телами, волнами и пр.) делятся на 4 типа: электромагнитное, гравитационное, слабое и сильное. Уже много лет физики пытаются создать общую теорию поля. Она должна стать инструментом для объяснения всех этих взаимодействий. Теория Янга-Миллса — это математический язык, с помощью которого стало возможно описать 3 из 4-х основных сил природы. Она не применима к гравитации. Поэтому нельзя считать, что Янгу и Миллсу удалось создать теорию поля.

Кроме того, нелинейность предложенных уравнений делает их крайне сложными для решения. При малых константах связи их удается приближенно решить в виде ряда теории возмущений. Однако пока непонятно, как можно решить эти уравнения при сильной связи.

Уравнения Навье-Стокса

С помощью этих выражений описываются такие процессы, как воздушные потоки, течение жидкостей и турбулентность. Для некоторых частных случаев аналитические решения уравнения Навье-Стокса уже были найдены, однако сделать это для общего пока никому не удалось. В то же время, численное моделирование для конкретных значений скорости, плотности, давления, времени и так далее позволяет добиться прекрасных результатов. Остается надеяться, что у кого-нибудь получится применить уравнения Навье-Стокса в обратном направлении, т. е. вычислить с их помощью параметры, либо доказать, что метода решения нет.

Задача Берча — Свиннертон-Дайера

К категории «Нерешенные задачи» относится и гипотеза, предложенная английскими учеными из Кембриджского университета. Еще 2300 лет назад древнегреческий ученый Эвклид дал полное описание решений уравнения x2 + y2 = z2.

Если для каждого из простых чисел посчитать количество точек на кривой по его модулю, получится бесконечный набор целых чисел. Если конкретным образом «склеить» его в 1 функцию комплексной переменной, тогда получится дзета-функция Хассе-Вейля для кривой третьего порядка, обозначаемая буквой L. Она содержит информацию о поведении по модулю всех простых чисел сразу.

Брайан Берч и Питер Свиннертон-Дайер выдвинули гипотезу относительно эллиптических кривых. Согласно ей, структура и количество множества ее рациональных решений связаны с поведением L-функции в единице. Недоказанная на данный момент гипотеза Берча — Свиннертон-Дайера зависит от описания алгебраических уравнений 3 степени и является единственным сравнительно простым общим способом расчета ранга эллиптических кривых.

Чтобы понять практическую важность этой задачи, достаточно сказать, что в современной криптографии на эллиптических кривых основан целый класс асимметричных систем, и на их применении основаны отечественные стандарты цифровой подписи.

Равенство классов p и np

Если остальные «Задачи тысячелетия» относятся к чисто математическим, то эта имеет отношение к актуальной теории алгоритмов. Проблема, касающаяся равенства классов р и np, известная также, как проблема Кука-Левина, понятным языком может быть сформулирована следующим образом. Предположим, что положительный ответ на некий вопрос можно проверить достаточно быстро, т. е. за полиномиальное время (ПВ). Тогда правильно ли утверждение, что ответ на него можно довольно быстро отыскать? Еще проще эта задача звучит так: действительно ли решение задачи проверить не труднее, чем его найти? Если равенство классов р и np будет когда-либо доказано, то все проблемы подбора можно будет решать за ПВ. На данный момент многие специалисты сомневаются в истинности этого утверждения, хотя не могут доказать обратное.

Гипотеза Римана

Вплоть до 1859 года не было выявлено какой-либо закономерности, которая описывала бы, как распределяются простые числа среди натуральных. Возможно, это было связано с тем, что наука занималась другими вопросами. Однако к середине 19 столетия ситуация изменилась, и они стали одними из наиболее актуальных, которыми начала заниматься математика.

Гипотеза Римана, появившаяся в этот период — это предположение о том, что в распределении простых чисел существует определенная закономерность.

Сегодня многие современные ученые считают, что если она будет доказана, то придется пересмотреть многие фундаментальные принципы современной криптографии, составляющие основу значительной части механизмов электронной коммерции.

Согласно гипотезе Римана, характер распределения простых чисел, возможно, существенно отличается от предполагаемого на данный момент. Дело в том, что до сих пока не было обнаружено какой-либо системы в распределения простых чисел. Например, существует проблема «близнецов», разность между которыми равна 2. Этими числами являются 11 и 13, 29. Другие простые числа образуют скопления. Это 101, 103, 107 и др. Ученые давно подозревали, что подобные скопления существуют и среди очень больших простых чисел. Если их найдут, то стойкость современных криптоключей окажется под вопросом.

Гипотеза о циклах Ходжа

Эта нерешенная до сих пор задача сформулирована в 1941 году. Гипотеза Ходжа предполагает возможность аппроксимации формы любого объекта путем «склеивания» вместе простых тел большей размерности. Этот способ был известен и успешно применяется достаточно давно. Однако не известно, до какой степени можно производить упрощение.

Теперь вы знаете, какие нерешаемые задачи существуют на данный момент. Они являются предметом исследования тысяч ученых во всем мире. Остается надеяться, что в ближайшее время они будут решены, а их практическое применение поможет человечеству выйти на новый виток технологического развития.

топ 5 самых сложных уравнений и неравенств ЕГЭ

Линейные уравнения

Линейные уравнения – уравнения типа ax=bax=b a x = b .

Например, 103x+18=4103x+18=4 1 3 x + 1 8 = 4 .

Для решения таких уравнений необходимо перенести неизвестные в одну сторону, числовые значения в другую, затем привести подобные и выразить неизвестное.

Решить уравнение 4x–8=2+3x+44x – 8 = 2 + 3x + 4 4 x – 8 = 2 + 3 x + 4

Решение

1. Перенесем неизвестные в левую часть, числа – в правую (с противоположными знаками):

4x–3x=2+4+84x – 3x = 2 + 4 + 8 4 x – 3 x = 2 + 4 + 8

1. Приведем подобные (сложим и вычтем неизвестные и числа):

x=14x = 14 x = 1 4

Ответ: x=14x = 14 x = 1 4

Противоположный знак – знак обратный исходному при переноси числа или выражения через знак =. Для знака плюс, противоположным будет знак «–» и наоборот, для частного произведение и соответственно для произведения — частное.

Выразить xx x в уравнении 18x+2x–4=10x+1618x + 2x – 4 = 10x + 16 1 8 x + 2 x – 4 = 1 x + 1 6

Решение

1. Перенесем неизвестные в левую часть, числа – в правую

18x+2x–10x=16+418x + 2x – 10x = 16 + 4 1 8 x + 2 x – 1 x = 1 6 + 4

10∗x=2010*x = 20 1 ∗ x = 2

x=20/10=2x = 20/10 = 2 x = 2 / 1 = 2

Ответ: x=2x = 2 x = 2 .

Примеры решения задач

Задание Решить уравнение Решение Расставим порядок действий: Отметим, что выражение, определяющее неизвестную в данном уравнении — . В данном случае последним действием является вычитание, поэтому необходимо найти неизвестное уменьшаемое: к разности надо прибавить вычитаемое: Получили простейшее уравнение с неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение поделить на известный множитель: Ответ

Также некоторые сложные уравнения можно решать следующим образом, который основывается на свойствах арифметических действий.

Задание Решить уравнение Решение Упростим выражение, стоящее в левой части заданного уравнения, используя свойства вычитания: чтобы от суммы отнять число, необходимо это число вычесть из одного из слагаемых суммы и результат прибавить к другому слагаемому. То есть вначале отнимем от пяти два и результат прибавим ко второму слагаемому : Далее определяем порядок выполнения операций: Чтобы найти неизвестное слагаемое , необходимо от суммы 27 отнять известное слагаемое 3: Далее найдем решение простого уравнения, используя правило нахождения неизвестного множителя: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение поделить на известный множитель. Тогда или . Ответ