Задания по теме «Тригонометрические уравнения»
Открытый банк заданий по теме тригонометрические уравнения. Задания C1 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Задание №1179
Условие
а) Решите уравнение 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left[ \frac<3\pi >2;\,3\pi \right].
Решение
а) Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Учитывая, что \cos x \neq 0, слагаемое 2 \sin x можно заменить на 2 tg x \cos x, получим уравнение 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0, которое способом группировки можно привести к виду (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.
1) 1-tg x=0, tg x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;
2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку \left[ \frac<3\pi >2;\, 3\pi \right].
x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac<9\pi >4,
x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac<7\pi >3,
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac<5\pi >3.
Ответ
а) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;
б) \frac<5\pi >3, \frac<7\pi >3, \frac<9\pi >4.
Задание №1178
Условие
а) Решите уравнение (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left( 0;\,\frac<3\pi >2\right] ;
Решение
а) ОДЗ: \begin
Исходное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений
\left[\!\!\begin
Решим первое уравнение. Для этого сделаем замену \cos 4x=t, t \in [-1; 1]. Тогда \sin^24x=1-t^2. Получим:
t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].
4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,
x=\pm \frac\pi <12>+\frac<\pi n>2, n \in \mathbb Z.
Решим второе уравнение.
tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.
При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.
Знаком «+» отмечены 1 -я и 3 -я четверти, в которых tg x>0.
Получим: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi <12>+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac<5\pi ><12>+\pi m, m \in \mathbb Z.
б) Найдём корни, принадлежащие промежутку \left( 0;\,\frac<3\pi >2\right].
Ответ
а) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi <12>+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac<5\pi ><12>+\pi m, m \in \mathbb Z.
Задание №1177
Условие
а) Решите уравнение: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;
б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку \left( \frac<7\pi >2;\,\frac<9\pi >2\right].
Решение
а) Так как \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, то \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, значит, заданное уравнение равносильно уравнению \cos^2x=\cos ^22x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению \cos^2x-\cos ^2 2x=0.
Но \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x) и
\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, поэтому уравнение примет вид
(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot (\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,
(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.
Тогда либо 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, либо 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.
Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно \cos x, получаем:
(\cos x)_<1,2>=\frac<1\pm\sqrt 9>4=\frac<1\pm3>4. Поэтому либо \cos x=1, либо \cos x=-\frac12. Если \cos x=1, то x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Если \cos x=-\frac12, то x=\pm \frac<2\pi >3+2s\pi , s \in \mathbb Z.
Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо \cos x=-1, либо \cos x=\frac12. Если \cos x=-1, то корни x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Если \cos x=\frac12, то x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.
Объединим полученные решения:
x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.
б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.
Получим: x_1 =\frac<11\pi >3, x_2=4\pi , x_3 =\frac<13\pi >3.
Ответ
а) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;
б) \frac<11\pi >3, 4\pi , \frac<13\pi >3.
Задание №1176
Условие
а) Решите уравнение 10\cos ^2\frac x2=\frac<11+5ctg\left( \dfrac<3\pi >2-x\right) ><1+tgx>.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу \left( -2\pi ; -\frac<3\pi >2\right).
Решение
а) 1. Согласно формуле приведения, ctg\left( \frac<3\pi >2-x\right) =tgx. Областью определения уравнения будут такие значения x , что \cos x \neq 0 и tg x \neq -1. Преобразуем уравнение, пользуясь формулой косинуса двойного угла 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Получим уравнение: 5(1+\cos x) =\frac<11+5tgx><1+tgx>.
Заметим, что \frac<11+5tgx><1+tgx>= \frac<5(1+tgx)+6><1+tgx>= 5+\frac<6><1+tgx>, поэтому уравнение принимает вид: 5+5 \cos x=5 +\frac<6><1+tgx>. Отсюда \cos x =\frac<\dfrac65><1+tgx>, \cos x+\sin x =\frac65.
2. Преобразуем \sin x+\cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left( x-\frac\pi 4\right) = \frac65.
Отсюда \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac<3\sqrt 2>5. Значит, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac<3\sqrt 2>5+2\pi k, k \in \mathbb Z,
или x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac<3\sqrt 2>5+2\pi t, t \in \mathbb Z.
Поэтому x=\frac\pi 4+arc\cos \frac<3\sqrt 2>5+2\pi k,k \in \mathbb Z,
или x =\frac\pi 4-arc\cos \frac<3\sqrt 2>5+2\pi t,t \in \mathbb Z.
Найденные значения x принадлежат области определения.
б) Выясним сначала куда попадают корни уравнения при k=0 и t=0. Это будут соответственно числа a=\frac\pi 4+arccos \frac<3\sqrt 2>5 и b=\frac\pi 4-arccos \frac<3\sqrt 2>5.
1. Докажем вспомогательное неравенство:
Заметим также, что \left( \frac<3\sqrt 2>5\right) ^2=\frac<18> <25>значит \frac<3\sqrt 2>5
2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем:
Отсюда \frac\pi 4+0
Аналогично, -\frac\pi 4
0=\frac\pi 4-\frac\pi 4 \frac\pi 4
При k=-1 и t=-1 получаем корни уравнения a-2\pi и b-2\pi.
\Bigg( a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac<3\sqrt 2>5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac<3\sqrt 2>5\Bigg). При этом -2\pi
-2\pi Значит, эти корни принадлежат заданному промежутку \left( -2\pi , -\frac<3\pi >2\right).
При остальных значениях k и t корни уравнения не принадлежат заданному промежутку.
Действительно, если k\geqslant 1 и t\geqslant 1, то корни больше 2\pi. Если k\leqslant -2 и t\leqslant -2, то корни меньше -\frac<7\pi >2.
Ответ
а) \frac\pi4\pm arccos\frac<3\sqrt2>5+2\pi k, k\in\mathbb Z;
б) -\frac<7\pi>4\pm arccos\frac<3\sqrt2>5.
Задание №1175
Условие
а) Решите уравнение \sin \left( \frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; \pi ];
Решение
а) Преобразуем уравнение:
\cos x+2 \sin x \cos x=0,
x =\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;
x=(-1)^
б) Корни, принадлежащие отрезку [0; \pi ], найдём с помощью единичной окружности.
Указанному промежутку принадлежит единственное число \frac\pi 2.
Ответ
а) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^
б) \frac\pi 2.
Задание №1174
Условие
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[ -\frac<3\pi ><2>; -\frac<\pi >2 \right].
Решение
а) Найдём ОДЗ уравнения: \cos 2x \neq -1, \cos (\pi +x) \neq -1; Отсюда ОДЗ: x \neq \frac \pi 2+\pi k,
k \in \mathbb Z, x \neq 2\pi n, n \in \mathbb Z. Заметим, что при \sin x=1, x=\frac \pi 2+2\pi k, k \in \mathbb Z.
Полученное множество значений x не входит в ОДЗ.
Значит, \sin x \neq 1.
Разделим обе части уравнения на множитель (\sin x-1), отличный от нуля. Получим уравнение \frac 1<1+\cos 2x>=\frac 1<1+\cos (\pi +x)>, или уравнение 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Применяя в левой части формулу понижения степени, а в правой — формулу приведения, получим уравнение 2 \cos ^2 x=1-\cos x. Это уравнение с помощью замены \cos x=t, где -1 \leqslant t \leqslant 1 сводим к квадратному: 2t^2+t-1=0, корни которого t_1=-1 и t_2=\frac12. Возвращаясь к переменной x , получим \cos x = \frac12 или \cos x=-1, откуда x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.
б) Решим неравенства
1) -\frac<3\pi >2 \leqslant \frac<\pi >3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,
2) -\frac<3\pi >2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi
3) -\frac<3\pi >2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, n, k \in \mathbb Z.
1) -\frac<3\pi >2 \leqslant \frac<\pi >3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32 \leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac<11>6 \leqslant 2m \leqslant -\frac56 , -\frac<11> <12>\leqslant m \leqslant -\frac5<12>.
Нет целых чисел, принадлежащих промежутку \left [-\frac<11><12>;-\frac5<12>\right] .
2) -\frac <3\pi>2 \leqslant -\frac<\pi >3+2\pi n \leqslant -\frac<\pi ><2>, -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1<6>, -\frac7 <12>\leqslant n \leqslant -\frac1<12>.
Нет целых чисел, принадлежащих промежутку \left[ -\frac7 <12>; -\frac1 <12>\right].
3) -\frac<3\pi >2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac<\pi >2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.
Этому неравенству удовлетворяет k=-1, тогда x=-\pi.
Ответ
а) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z;
Сборник по решению тригонометрических уравнений
1. Решить уравнение cos2x = 1/2.
Используем метод решения простейших тригонометрических уравнений и получаем:
2x = ±arccos(1/2) + 2πn = ±π/3 + 2πn (здесь и далее, n ∈ Z).
Откуда x = ±π/6 + πn.
Ответ: x = ±π/6 + πn.
2. Решить уравнение sin(3 — 2x) = -1/2.
Используем формулу из методов решений, имеем:
3 — 2x = (-1)n(arcsin(-1/2)) + πn = (-1)n(-π/6) + πn (здесь и далее n ∈ Z).
Делаем преобразование и получаем x = 3/2 + π/12(-1)n — πn/2.
Ответ: x = 3/2 + π/12(-1)n — πn/2.
3. Решить уравнение cos2x — 3sinx = 2.
Воспользуемся формулой удвоенного угла косинуса (cos2a = 1 — 2sin2a) и получим:
1 — 2sin2x — 3sinx = 2.
Воспользуемся методом замены, обозначим sinx = y. Уравнение примет вид:
Находим его корни: y1 = -1, y2 = -1/2.
Возвращаемся к исходной переменной и получаем совокупность sinx = -1 и sinx = -1/2.
Из первого получаем решение — x = -π/2 + 2πn, из второго — x = (-1)m(-π/6) + πm (m, n ∈ Z).
Ответ: x = -π/2 + 2πn или x = (-1)m(-π/6) + πm.
4. Решить уравнение 2tgx — 3ctgx = 1.
Так как ctgx = 1/tgx при x ≠ πn/2 (n ∈ Z) получаем уравнение
2tgx — 3/tgx = 1 или 2tg2x — tgx — 3 = 0.
Вводим новую переменную tgx = y и решаем квадратное уравнение 2y2 — y — 3 = 0 относительно y.
Оно имеет два решения y1 = 3/2, y2 = -1.
Возвращаемся к исходной переменной и решаем два уравнения:
tgx = 3/2, откуда x = arctg(3/2) + πn, n ∈ Z.
tgx = -1, откуда x = arctg(-1) + πm = -π/4 + πm, m ∈ Z.
Ответ: x = arctg(3/2) + πn или x = -π/4 + πm.
5. Решить уравнение 3cosx — sin2x = 1 — sin3x.
Сделаем следующее преобразование 3(cosx + sinx) = 1 + sin2x.
Замена cosx + sinx = t приведет к уравнению 3t = t2. Оно имеет корни t1 = 0, t2 = 3.
Берем первый корень, возвращаем замену и получаем cosx + sinx = 0, делим на cosx ≠ 0, откуда tgx = -1, x = -π/4 + πn (n ∈ Z).
Второй корень t2 дает уравнение cosx + sinx = 3. Это уравнение не имеет решений, т.к. и cosx, и cosx меньше равны 1, в сумме меньше равны 2.
Ответ: x = -π/4 + πn.
6. Решить уравнение cos2x + cos4x + cos6x = 0.
Проделаем следующие преобразования
(cos2x + cos6x) + cos4x = 0;
2cos4xcos2x + cos4x = 0;
cos 4 x (2 cos 2 x + 1) = 0.
Имеем два случая:
cos4x = 0, откуда 4x = π/2 + πn, x = π/8 + πn/4 (n ∈ Z).
2cos2x + 1 = 0 или cos2x = -1/2, откуда 2x = ±2π/3 + 2πm, x = ±π/3 + πm (m ∈ Z).
Ответ: x = π/8 + πn/4 или x = ±π/3 + πm.
7. Решить уравнение cos5x = cos2x.
Переносим в одну сторону и применяем формулу разницы косинусов:
sin (7 x /2) sin (3 x /2) = 0;
Откуда либо sin(7x/2) = 0, либо sin(3x/2) = 0.
Из первого: 7x/2 = πn или x = 2πn/7 (n ∈ Z).
Из второго: 3x/2 = πn или x = 2πm/3 (m ∈ Z).
Ответ: x = 2πn/7 или x = 2πm/3.
8. Решить уравнение sin3x — 2cos2xsinx = 0.
Для начала отметим, что можно вынести sinx за скобки:
sinx(sin2x — 2cos2x) = 0.
Уравнение распадается на два случая:
sinx = 0, откуда x = πn (n ∈ Z).
sin2x — 2cos2x = 0. Заметим, что данное уравнение однородное. Делим его на cos2x ≠ 0 и получаем:
Ответ: x = πn или x = ±arctg√2 + πm
9. Решить уравнение 4sin2x — 3sinxcosx + 5cos2x = 3.
Заметим, что если бы в правой части был ноль, данное уравнение было бы однородным и мы знали как его решить. Проведем преобразование и сделаем его таковым:
sin2x — 3sinxcosx + 2cos2 + 3(sin2x + cos2x) = 3;
sin2x — 3sinxcosx + 2cos2x = 0.
А вот это уравнение является однородным, потому делим обе его части на sin2x ≠ 0 (ведь, если sinx = 0, то и cosx = 0, что одновременно невозможно).
1 — 3ctgx + 2ctg2x = 0;
2ctg2x — 3ctgx + 1 = 0.
Теперь мы можем использовать замену переменной, а именно ctgx = t и решать квадратное уравнение относительно t:
Уравнение имеет корни t1 = 1, t2 = 1/2.
Возвращаемся к неизвестному x и получаем
из t1: ctgx = 1, откуда x = π/4 + πn (n ∈ Z);
из t2: ctgx = 1/2, откуда x = arcctg(1/2) + πm (m ∈ Z).
Ответ: x = π/4 + πn или x = arcctg(1/2) + πm.
10. Решить уравнение sinx + tg(x/2) = 2.
Заметим, что числа π + 2πn (n ∈ Z) не являются корнями данного уравнения, потому можно воспользоваться универсальной заменой tg(x/2) = t. Тогда уравнение примет вид:
t3 — 2t2 + 3t — 2 = 0;
t2(t — 1) — (t2 — 3t + 2) = 0;
t2(t — 1) — (t — 2)(t — 1) = 0;
(t — 1)(t2 — t + 2) = 0;
Так как второй множитель всегда положителен, то решение одно t = 1. Возвращаясь к исходному неизвестному получаем:
x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.
Ответ: x = π/2 + 2πn.
11. Решить уравнение 4sinx — 3cosx = 3.
Применим универсальную замену tg(x/2) = y. Отметим, что числа π + 2πn (n ∈ Z) являются корнями указанного уравнения, потому добавляем их к ответу.
Замена же приводит к следующему уравнению:
Делая преобразования получаем 8y = 6;
Возвращаемся к исходной переменной tg(x/2) = 3/4, откуда
x = 2arctg(3/4) + 2 π n (n ∈ Z).
Ответ : x = 2arctg(3/4) + 2 π n или x = π + 2 π n.
12. Решить уравнение sin3x cos8x = 1.
Используем формулу произведения синуса и косинуса:
(sin(3x + 8x) + sin(3x — 8x))/2 = 1;
sin11x — sin5x = 2.
Отметим, что |sin11x| ≤ 1 и |sin5x| ≤ 1, а потому левая часть может равняться 2 лишь в случае, когда sin11x = 1 и sin5x = -1.
Решая первое уравнение sin11x = 1 приходим к ответу x = π/22 + 2πn/11 (n ∈ Z).
Решая второе уравнение sin5x = -1 приходим к ответу x = -π/10 + 2πm/5 (m ∈ Z).
Найдем те случаи, когда оба условия выполняются, т.е.
π/22 + 2πn/11 = -π/10 + 2πm/5;
(4n + 1)π/22 = (4m — 1)π/10;
5n = 11m — 4 (n, m ∈ Z).
Данное уравнение называется диофантовым и имеет следующие решения: m = 4 + 5t, n = 8 + 11t (n, t, m ∈ Z).
Откуда x = -π/10 + 2πm/5 = -π/10 + 2π(4 + 5t)/5 = 3π/2 + 2πt (t ∈ Z).
Ответ: x = 3π/2 + 2πt.
13. Решить уравнение ctg2x = cos22x — 1.
Сделаем преобразование cos22x — 1 = -sin22x и получим:
Отметим, что ctg2x ≥ 0, а -sin22x ≤ 0. Равенство выполняется, когда ctg2x = 0 и sin22x = 0.
Первое уравнение ctg2x = 0 имеет решение x = π/2 + πn (n ∈ Z).
Второе уравнение sin22x = 0 имеет решение x = πm/2 (m ∈ Z).
Найдем общее решение:
n = 3 + 2t, m = 1 + t (m, n, t ∈ Z).
Откуда x = π m/2 = (1 + t) π /2 = 3 π /2 + π t (t ∈ Z).
Ответ: x = 3π/2 + πt.
14. Решить уравнение sin3x cos5x = 1.
Используем формулу произведения синуса и косинуса:
(sin8x — sin2x)/2 = 1;
sin8x — sin2x = 2.
Уравнение будет иметь решения лишь тогда, когда sin8x = 1, а sin2x = -1.
Первое уравнение sin8x = 1 имеет решения x = π/16 + πn/4 (n ∈ Z) (*).
Второе уравнение sin2x = -1 имеет решения x = -π/4 + πm (m ∈ Z) (**).
Найдем решения, удовлетворяющие оба случая:
π/16 + πn/4 = -π/4 + πm;
Левая часть уравнения делится на 4, правая — нет. Потому данное уравнение не имеет решения в целых числах. А значит и общих решений у (*) и (**) нет.
Сборник заданий на тему «Тригонометрические функции»
Пособие содержит задачи и теоретический материал по всем основным темам раздела «Тригонометрические функции».
Единичная тригонометрическая окружность. Тригонометрические функции числового аргумента. Основные формулы тригонометрии
Тригонометрические функции, их свойства и графики. Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических
преобразований графиков
Тригонометрические функции, их свойства и графики
Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований графиков
Обратные тригонометрические функции
Простейшие тригонометрические уравнения
Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным
Однородные тригонометрические уравнения
Решение тригонометрических уравнений, введением вспомогательного угла
Решение тригонометрических уравнений, используя формулы преобразования произведения в сумму и обратно
Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной подстановки
Неравенства вида sin x > a , sin x a, cos x a, tgx a , ctgx
Тест «Эукариотическая клетка. Прокариотическая клетка. Ядро»
Проверочная работа по трём темам: строение эукариотической клетки, строение прокариотической клетки, клеточное ядро.
http://www.sites.google.com/site/cortimoi/zadaci-s-reseniem-1
http://4ege.ru/trening-matematika/62238-sbornik-zadanij-na-temu-trigonometricheskie-funkcii.html