Сборник показательных уравнений и неравенств

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Содержание:

Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:

Уравнения такого вида принято называть показательными.

Решении показательных уравнений

При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.

Пусть

Каждому значению показательной функции соответствует единственный показатель s.

Пример:

Решение:

Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению

Пример:

Решение:

а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению

Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:

Решив это уравнение, получим

Ответ:

При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.

Пример:

Решение:

а) Данное уравнение равносильно уравнению

Решая его, получаем:

Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. откуда находим

б) Разделив обе части уравнения на получим уравнение равносильное данному. Решив его, получим

Ответ:

При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Обозначим тогда

Таким образом, из данного уравнения получаем

откуда находим:

Итак, с учетом обозначения имеем:

При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Пример:

При каком значении а корнем уравнения является число, равное 2?

Решение:

Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство

Решив это уравнение, найдем

Ответ: при

Показательные уравнения и их системы

Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества:

Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.

1 Приведение к одному основанию.

Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду . Отсюда

Пример №1

Решите уравнение

Решение:

Заметим, что и перепишем наше уравнение в виде

Применив тождество (1), получим Зх — 7 = -7х + 3, х = 1.

Пример №2

Решить уравнение

Решение:

Переходя к основанию степени 2, получим:

Согласно тождеству (2), имеем

Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х.

2 Введение новой переменной.

Пример №3

Решить уравнение

Решение:

Применив тождество 2, перепишем уравнение как

Введем новую переменную: Получим уравнение

которое имеет корни Однако кореньне удовлетворяет условию Значит,

Пример №4

Решить уравнение

Решение:

Разделив обе части уравнения на получим:

последнее уравнение запишется так:

Решая уравнение, найдем

Значение не удовлетворяет условию Следовательно,

Пример №5

Решить уравнение

Решение:

Заметим что Значит

Перепишем уравнение в виде

Обозначим Получим

Получим

Корнями данного уравнения будут

Следовательно,

III Вынесение общего множителя за скобку.

Пример №6

Решить уравнение

Решение:

После вынесения за скобку в левой части , а в правой , получим Разделим обе части уравнения на получим

Системы простейших показательных уравнений

Пример №7

Решите систему уравнений:

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей

системе :Отсюда получим систему

Очевидно, что последняя система имеет решение

Пример №8

Решите систему уравнений:

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: Последняя система, в свою очередь, равносильна системе:

Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем Подставив полученное значение во второе уравнение, получим

Пример №9

Решите систему уравнений:

Решение:

Сделаем замену: Тогда наша система примет вид:

Очевидно, что эта система уравнений имеет решение

Тогда получим уравнения

Приближенное решение уравнений

Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть . Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое (читается как «кси»), что

Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.

Рассмотрим отрезок содержащий лишь один корень уравнения .

Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности

1. вычисляется значение f(х) выражения
2. отрезок делится пополам, то есть вычисляется значение
3. вычисляется значение выражения f(х) в точке
4. проверяется условие
5. если это условие выполняется, то в качестве левого конца нового отрезка выбирается середина предыдущего отрезка, то есть полагается, что (левый конец отрезка переходит в середину);
6. если это условие не выполняется, то правый конец нового отрезка переходит в середину, то есть полагается, что b=x;
7. для нового отрезка проверяется условие
8. если это условие выполняется , то вычисления заканчиваются. При этом в качестве приближенного решения выбирается последнее вычисленное значение х. Если это условие не выполняется, то, переходя к пункту 2 этого алгоритма, вычисления продолжаются.

Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:

Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения вычисляются значения

Оказывается, что для корня данного уравнения выполнено неравенство. Значит, данное уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий интервалу (-1 -А; 1+А). Для приближенного вычисления данного корня найдем целые и удовлетворяющие неравенству

Пример №10

Найдите интервал, содержащий корень уравнения

Решение:

Поделив обе части уравнения на 2 , получим,

Так как, для нового уравнения

Значит, в интервале, уравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при не имеет ни одного корня, так как,

выполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим Для проверим выполнение условия

Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0).

Нахождение приближенного корня с заданной точностью

Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство корень уравнения принадлежит интервалу

ПустьЕсли приближенный

корень уравнения с точностью . Если то корень лежит в интервале если то корень лежит в интервале . Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.

Пример №11

Найдите приближенное значение корня уравнения с заданной точностью

Решение:

Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале

(-1; 0). Из того, что заключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).

Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если

Пусть

Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Сборник для решения показательных уравнений

В курсе математики одно из важных мест отводится решению показательных уравнений. Впервые обучающиеся встречаются с показательными уравнениями в группах НПО на втором году обучения, а в группах СПО на первом году обучения. Показательные уравнения встречаются и в заданиях ЕГЭ. По этому изучению методов их решения должно быть уделено значительное внимание. При решении показательных уравнений часто возникают трудности, связанные со следующими особенностями: — приведения алгоритма решения показательных уравнений; — при решение показательных уравнений, обучающиеся производят преобразования, которые равносильно исходным уравнениям; — при решении показательного уравнения вводят новую переменную и забывают возвращаться к обратной замене. Предлагаемое пособие представляет с собой ответы на решение показательных уравнений для самостоятельных работ и успешной сдачи ЕГЭ.

Просмотр содержимого документа
«Сборник для решения показательных уравнений»

Сборник для решения показательных уравнений

В курсе математики одно из важных мест отводится решению показательных уравнений. Впервые обучающиеся встречаются с показательными уравнениями в группах НПО на втором году обучения, а в группах СПО на первом году обучения. Показательные уравнения встречаются и в заданиях ЕГЭ. По этому изучению методов их решения должно быть уделено значительное внимание. При решении показательных уравнений часто возникают трудности, связанные со следующими особенностями: — приведения алгоритма решения показательных уравнений; — при решение показательных уравнений, обучающиеся производят преобразования, которые равносильно исходным уравнениям; — при решении показательного уравнения вводят новую переменную и забывают возвращаться к обратной замене. Предлагаемое пособие представляет с собой ответы на решение показательных уравнений для самостоятельных работ и успешной сдачи ЕГЭ.

Цель данного сборника : изучить теоретический материал по теме, проанализировать данную тему в учебниках по алгебре и начала анализа, систематизировать задания ЕГЭ на решение показательных уравнений, систематизировать и обобщить методические рекомендации по решению показательных уравнений. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

— изучить требования государственных стандартов по теме «Показательные уравнения»;

— проанализировать материал по теме в учебниках алгебры и начал анализа;

— систематизировать методы решения показательных уравнений ;

— систематизировать и обобщить методические особенности изучения данной темы. Пособие содержит два раздела. В первом разделе определяются показательное уравнение, свойства степеней, типы показательных уравнений и методы их решения с образцами решения. Во втором разделе представлены ряд примеров встречаемые в заданиях ЕГЭ. В конце предоставлены ответы к этим заданиям. Данное пособие можно использовать как на занятиях, так и для индивидуального обучения, а также для тех , кто хочет углубить свои знания по теме: «Показательные уравнения».

Определение. Уравнение, содержащее неизвестное в показателе степени, называется показательным.

Должны помнить! При решении показательных уравнений часто используется:.

Рассмотрим основные типы показательных уравнений и методы решения.

1. Простейшее показательное уравнение вида:

Пример 1. Решите уравнение 2 x = 3.

2. Для решения уравнений вида: a f ( x ) = b, где a0; b0, a ≠ 1, нужно представить основания а в виде степени одного и того же числа, после чего сравнить показатели.

Пример 2. Решите уравнение 5 2х+4 = 25.

3. Показательное уравнение вида

решается путём логарифмирования обеих частей уравнения по основанию а . Равносильное ему уравнение

Пример 3. Решите уравнение 6 2х – 8 = 216 х

Решение. 6 2х – 8 = 6 3х , т.к. 216 = 6 3 = 6 * 6 * 6

Пример 4. (ЕГЭ) Укажите промежуток, которому принадлежит корень

уравнения 0,1х-1 = 16.

Решение. Представим числа и 16 в виде степени числа 2:

Получим уравнение, равносильное данному:

(2 -5 ) 0,1х-1 = 2 4, т.е. 2 -5 (0,1х — 1) = 2 4 .

Такое уравнение равносильно уравнению

Число 2 содержится в промежутке (1;10], указанном в качестве одного из вариантов ответов. Следовательно , верный ответ 2.

Пример 4. (ЕГЭ) Найдите сумму квадратов корней уравнения -5 = 9 -2х .

1) 26 2) 25 3) 17 4)13.

Решение. Используя свойства степеней, преобразуем правую часть уравнения: 9 -2х = (3 2 ) -2х = 3 -4х

Данное уравнение примет вид: -5 = 3 -4 .

Из свойств монотонности показательной функции следует, что показательные уравнение равносильно уравнению

Решим квадратное уравнение х 2 + 4х -5 = 0

D = 4 2 – 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36 0, уравнение имеет два корня:

Так как квадратное уравнение равносильно исходному уравнению полученные корни являются конями и данного уравнения. В прочем можно проверить и непосредственной подстановкой, что числа -5 и 1 являются корнями данного уравнения. Таким образом, сумма квадратов корней уравнения -5 = 9 -2х равна (-5) 2 + 1 2 = 25 +1 = 26.

Номер верного ответа — 1

Решение. Пусть 2 x = y, тогда уравнение примет вид

D = (-1) 2 – 41 (-2) = 9 0, 2 корня

a) 2 x = 2; b) 2 x = -1, нет решения, т.к. -1

Пример 6. Решить уравнение 9 x – 3 x – 6 = 0

Решение. Первый член уравнения можно представить в виде 9 x = 3 2 x = (3 x ) 2 . Тогда исходное уравнение примет вид (3 x ) 2 – 3 x – 6 = 0. Обозначим 3 x = y, тогда имеем y 2 – y – 6 = 0

a) 3 x = 3 b) 3 x = -2 – нет решения, т.к. -2

5. Уравнение вида

Это уравнение решается путём вынесения общего множителя за скобки.

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Вынесем за скобки общий множитель 2 x -1 , получим

2 x -1 ( 2 2 + 3 – 52 ) = -6

6. Уравнение вида , где f(x) – выражение, содержащее неизвестное число; a 0; a ≠ 1.

Для решения таких уравнений надо:

1. заменить 1 = a 0 ; a f ( x ) = a 0 ;

2. решить уравнение f (x) = 0

Пример 8. Решить уравнение

По определению степени с нулевым показателем имеем:

x 2 – 7x + 12 = 0, ( т.к. 1 = 2 0 )

Решая квадратное уравнение, получим: x₁ = 3, x₂ = 4.

7. Уравнение вид

Это уравнение приводится к трёхчленному показательному уравнению путём деления обеих частей на a x или b x .

Решение. Перепишем уравнение в виде 3 2 x + 2 x 3 x – 22 2 x = 0.

Разделив обе части уравнения на 2 2 x ≠ 0, получим

. Пусть , тогда уравнение примет вид

y 2 + y -2 = 0 . Решая квадратное уравнение получим = -2 , = 1.

Подборка заданий по теме «Показательные уравнения и неравенства»
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс)

Подборка заданий по теме » Показательные уравнения и неравенства» Совместная разработка учителей Зайцевой Е.Б. ( ГБОУ гимназия № 526 )и Мальчиковой Н.М.(ГБОУ СОШ № 355)

Скачать:

Предварительный просмотр:

ГБОУ гимназия №526 Зайцева Е.Б. ГОУ СОШ №355 Мальчикова Н.М.

Подборка заданий по теме «Показательные уравнения и неравенства»

Основные типы задач Часть А

1. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Варианты ответов 1) (-2; -1) 2) (-1; 0) 3) (0; 1) 4) [-1; 2]

2. Решите уравнение

Варианты ответов 1) 2 2) 3) 4) 0,5

3. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Варианты ответов: 1) (0; 8) 2) (-8; 0) 3) (-15; -8) 4) (8; 10)

4. Решите уравнение

Варианты ответов 1) -3 2) 4 3) нет решений 4) -7

5. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Варианты ответов 1) (-15; -5) 2) (-5; 5) 3) (15; 25) 4) (5; 15)

6. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Варианты ответов 1) (-7; 0) 2) (0; 4) 3) (4; 10) 4) (10; 20)

7. Решить уравнение

Варианты ответов 1) 3,5 2) 3,75 3) 3,25 4) 2,5

8. Решите уравнение

Варианты ответов 1) 4.5 2) 4.6 3) 4,2 4)9

9. Решите уравнение

Варианты ответов 1) 2) 3) 4)

10. Решить уравнение

Варианты ответов 1) -2 2) -1,5; 0,5 3) -0,5; 1,5 4) -0,5; 2.

Основные типы задач Часть В

1. Решить уравнения ( способом логарифмирования )

х 1 =1 х 2 =2 Ответ: 1; 2.

2. Решить уравнения ( способом вынесения общего множителя либо замены переменной )

Вариант решения: х-4=0 х=4 Ответ: 4.

4) 10)

3. Решить уравнения ( способом подстановки )

Пусть , где , тогда , , (- не удовлетворяет условию )

Получаем х=1 или х=0. Ответ: 1; 0.

4. Решить уравнения ( способом подстановки и приведением к квадратному )

Вариант решения: . Пусть , где , тогда , откуда , (- не удовлетворяет условию ). Далее откуда Ответ: 1; -1.

5. Решить однородное показательное уравнение

Вариант решения: разделим все части уравнения на (это возможно, поскольку ), получим . Обозначим теперь , где . Имеем , , , , . х=0. Ответ: 0.

4) 8)

6. Решить уравнение методом оценок и свойств монотонности

Вариант решения: Заметим сразу, что х=1 корень предложенного уравнения и докажем, что других корней уравнение не имеет. Действительно. Перепишем уравнение в виде . Так как функция монотонно убывает, то она может принимать каждое своё значение (в том числе ) лишь в одной точке, таким образом, если уравнение имеет корень, то единственный. Такой корень нами указан х=1. других корней нет. Ответ: 1.

Задания более сложного уровня

1. Уравнения, возможный способ решения логарифмирование

Ответ: 100; 0,01. Ответ: 1.

2. Уравнения, возможный способ решения метод замены переменной

3. Уравнения, которые удается решить, представляя данные выражения в виде произведения

4. Уравнения, решаемые с использованием свойств соответствующих функций

Ответ: 1. Ответ: 0.

Ответ: 1; -1. Ответ: нет решений.

5. Неравенства, решаемые методом интервалов

Ответ:

3. Показательно-логарифмические неравенства решаемые методом интервалов

4. Задания с параметром

1) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение имеет хотя бы одно решение

Ответ:

2) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение имеет хотя бы одно решение

Ответ: а>0,5, a≠1, a≠0

3) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение имеет хотя бы один корень больший 2

4) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение имеет хотя бы один корень больший 2

5) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение не имеет корней меньших 2

6) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение не имеет корней меньших 2

7) Выяснить, при каких значениях параметра а неравенство

выполняется при всех значениях х . Ответ:

8) Выяснить, при каких значениях параметра а неравенство