Сборник задач по дифференциальным уравнениям решение задач

Сборник задач по дифференциальным уравнениям решение задач

Задачник по математике

В данном разделе опубликованы бесплатные решения для учебника Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Cборник содержит материалы для упражнений по курсу дифференциальных уравнений для университетов и технических вузов с повышенной математической программой.
Для студентов высших технических учебных заведений.

Примеры решений задач по дифференциальным уравнениям

Теперь, когда вы научились находить производные и интегралы, самое время перейти к более сложной теме: решению дифференциальных уравнений (они же дифуры, диффуры и диф.уры :)), то есть уравнений, которые вместе с самой функцией (и/или аргументом), содержат и производную или даже несколько.

Как же решать дифференциальные уравнения? Главное, что понадобится, это а) умение правильно определить тип дифференциального уравнения и б) умение хорошо интегрировать — это существенная часть работы. А дальше следовать алгоримам для каждого из типов уравнений, которые подробно описаны в учебниках и ниже в примерах.

В этом разделе вы найдете решенные задачи на составление и решение дифференциальных уравнений. Примеры решений дифуров выложены бесплатно для вашего удобства и отсортированы по темам — изучайте, ищите похожие, решайте свои. Есть трудности в выполнении заданий? Мы готовы оказать помощь по дифференциальным уравнениям

Как решить дифференциальное уравнение онлайн?

Да ладно, неужели только вручную? Мучиться, определять тип, переносить, интегрировать, заменять, снова интегрировать, подставлять, выводить? Наверняка ведь есть онлайн-калькуляторы, которые позволяют решать дифференциальные уравнения?

У меня две новости, хорошая и плохая. Хорошая в том, что действительно самые распространенные типы дифференциальных уравнений математические программы умеют решать. Плохая в том, что обычно они выводят ответ (для научных расчетов этого достаточно), а не полное решение.

Есть известный математический сервис www.wolframalpha.com, которые представляет полные решения множества математических задач, в том числе диффуров онлайн (на английском языке) за 7 долларов в месяц. Ответы же доступны всем и могут помочь проверять правильность своего решения (см. ниже на скриншоте обведено само уравнение и его решение). Подробнее об этом сайте и типичных задачах, решаемых на нем, вы можете узнать тут.

Если вы забьете в поисковик что-то вроде «решить дифференциальное уравнение онлайн», то получите десятки ссылок на сайты, обещающие именно это.

Я проверила все сайты с первых страниц Яндекса и Гугла. Большая часть сайтов использует результаты расчетов www.wolframalpha.com (см. выше) и показывает вам ответ (и рекламу :)). Некоторые при этом не показывают даже ответа или говорят, что уравнение введено некорректно (хотя это вполне стандартное решаемое вручную линейное уравнение с постоянными коэффициентами). Полное решение не выдал ни один сайт.

Выводы? Бесплатно и полно и онлайн — не бывает. Хотите получать полные решения — используйте платную подписку на ВольфрамАльфа (или проконсультируйтесь у нас). Хотите ответы — там же бесплатно. Хотите научиться решать? Придется засучить рукава. Примеры на этой странице и ссылки внизу помогут вам. Удачи!

Общий интеграл, семейство кривых

Задача 1. Показать, что функция $y^2-x^2-Cy=0$ является общим интегралом дифференциального уравнения $y'(x^2+y^2)-2xy=0.$

Задача 2. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых $C_1 x+(y-C_2)^2=0.$

Решения дифференциальных уравнений 1 порядка

Задача 3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка $ xy’+x^2+xy-y=0.$

Задача 4. Решить однородное дифференциальное уравнение $y’=-y/x \quad (x \ne 0).$

Задача 5. Решить дифференциальное уравнение $(y^4-2x^3y)dx+(x^4-2xy^3)dy=0.$

Задача 6. Решить однородное дифференциальное уравнение $(2x+y+1)dx+(x+2y-1)dy=0.$

Задача 7. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка $y’-2xy=3x^2-2x^4.$

Задача 8. Решить дифференциальное уравнение $(x+y^2)y’=y-1.$

Решение задачи Коши для ДУ

Задача 9. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $(1+x^2)dy-2xydx=0.$ Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию $y(0)=1$.

Задача 10. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка $2y y» +1 =(y’)^2, \, y(1/3)=1, \, y'(1/3)=2$.

Задача 11. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения $$ y’= \frac<2y-x><2x+y>, y(1)=1. $$

Задача 12. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения третьего порядка $$ y»’=x+\cos x, \quad y(0)=0, y'(0)=0, y»(0)=0. $$

Решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Задача 13. Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами $y»+4y’+4y=xe^<2x>.$

Задача 14. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации: $$ y»-3y’=\frac<9e^<-3x>><3+e^<-3x>>, \quad y(0)=4\ln 4, y'(0)=3(3\ln 4-1). $$

Cоставление дифференциальных уравнений

Задача 15. Скорость остывания нагретого тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. За 10 минут тело охладилось от 100 до 60 градусов. Температура среды постоянна и равна 20 градусам. Когда тело остынет до 25 градусов?

Задача 16. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 5 м/сек. На полном ходу ее мотор выключается и через 40 сек после этого скорость лодки уменьшается до 2 м/сек. Определить скорость лодки через 2 минуты после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

Решения нелинейных дифференциальных уравнений

Задача 17. Решить дифференциальное уравнение $y^2 ^2 -2xyy’+2y^2-x^2=0.$

Задача 18. Решить дифференциальное уравнение $^2-4xyy’+8y^2=0.$

Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Матвеев Н.М., 1987

Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Матвеев Н.М., 1987.

Содержится более полутора тысяч задач и упражнений по всем разделам университетского курса обыкновенных дифференциальных уравнений. Приводятся краткие сведения из теории, типовые примеры, ответы и указания для решения наиболее трудных задач.
Для студентов вузов, обучающихся по специальности «Математика».

Примеры.
Материальная точка М массой т находится в состоянии равновесия в произвольном положении на абсолютно твердой и несгибаемой нити AВ. Найти уравнение кривой AВ, если на точку М действуют две силы: одна параллельна положительному направлению оси Ох и пропорциональна абсциссе точки, другая параллельна положительному направлению оси Оу и пропорциональна ординате точки.

Доказать, что касательные к интегральным кривым линейного уравнения, проведенные в точках пересечения этих кривых с прямой, параллельной оси Оу, или пересекаются в одной точке, или параллельны.

Какой вид имеет уравнение Риккати? Какова степень произвола выбора начальных данных решений этого уравнения? Гарантируется ли существование решения во всем интервале непрерывности коэффициентов уравнения? Может ли уравнение Риккати иметь особые решения? Как найти общее решение уравнения Риккати, если известно одно частное решение его?

ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора
I. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной
1. Введение
2. Уравнение, не содержащее искомой функции
3. Уравнение, не содержащее независимой переменной
4. Уравнение с разделяющимися переменными
5. Однородное уравнение и простейшее уравнение, приводящееся к однородному
6. Обобщенное однородное уравнение
7. Линейное уравнение
8. Уравнение Бернулли
9. Уравнение Дарбу
10. Уравнение Риккати
11. Уравнение в полных дифференциалах
12. Интегрирующий множитель
13. Вопросы н задачи для повторения
II. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной
1. Введение
2. Уравнение n-й степени
3. Неполные уравнения
4. Уравнения Лагранжа и Клеро
5. Уравнения, разрешимые относительно у или х
6. Задача о траекториях
7. Вопросы и задачи для повторения
III. Уравнения высших порядков
1. Введение
2. Уравнение, содержащее только независимую переменную н производную порядка n
3. Уравнение, не содержащее искомой функции, и уравнение, не содержащее искомой функции и последовательных первых производных
4. Уравнение, не содержащее независимой переменной
5. Уравнение, однородное относительно искомой функции и ее производных
6. Обобщенное однородное уравнение
7. Уравнение, левая часть которого есть точная производная
8. Вопросы и задачи для повторения
IV. Линейные уравнения высших порядков
1. Введение
2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами
4. Понижение порядка линейных уравнений
5. Интегрирование с помощью степенных и обобщенных степенных рядов
6. Колебательный характер решений однородных линейных уравнений второго порядка
7. Вопросы и задачи для повторения
V. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
1. Введение
2. Общие методы интегрирования систем дифференциальных уравнений
3. Вопросы и задачи для повторения
VI. Линейные системы дифференциальных уравнений
1. Введение
2. Линейные системы с постоянными коэффициентами
3. Интегрирование линейных систем с помощью степенных рядов
4. Матричный метод интегрирования линейных систем
5. Вопросы и задачи для повторения
VII. Уравнения с частными производными первого порядка
1. Введение
2. Однородное линейное уравнение
3. Неоднородное линейное уравнение
4. Нелинейные уравнения
5. Вопросы и задачи для повторения
VIII. Разные задачи
Ответы
Литература.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Матвеев Н.М., 1987 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу