Сборник задач по показательным уравнениям

Сборник для решения показательных уравнений

В курсе математики одно из важных мест отводится решению показательных уравнений. Впервые обучающиеся встречаются с показательными уравнениями в группах НПО на втором году обучения, а в группах СПО на первом году обучения. Показательные уравнения встречаются и в заданиях ЕГЭ. По этому изучению методов их решения должно быть уделено значительное внимание. При решении показательных уравнений часто возникают трудности, связанные со следующими особенностями: — приведения алгоритма решения показательных уравнений; — при решение показательных уравнений, обучающиеся производят преобразования, которые равносильно исходным уравнениям; — при решении показательного уравнения вводят новую переменную и забывают возвращаться к обратной замене. Предлагаемое пособие представляет с собой ответы на решение показательных уравнений для самостоятельных работ и успешной сдачи ЕГЭ.

Просмотр содержимого документа
«Сборник для решения показательных уравнений»

Сборник для решения показательных уравнений

В курсе математики одно из важных мест отводится решению показательных уравнений. Впервые обучающиеся встречаются с показательными уравнениями в группах НПО на втором году обучения, а в группах СПО на первом году обучения. Показательные уравнения встречаются и в заданиях ЕГЭ. По этому изучению методов их решения должно быть уделено значительное внимание. При решении показательных уравнений часто возникают трудности, связанные со следующими особенностями: — приведения алгоритма решения показательных уравнений; — при решение показательных уравнений, обучающиеся производят преобразования, которые равносильно исходным уравнениям; — при решении показательного уравнения вводят новую переменную и забывают возвращаться к обратной замене. Предлагаемое пособие представляет с собой ответы на решение показательных уравнений для самостоятельных работ и успешной сдачи ЕГЭ.

Цель данного сборника : изучить теоретический материал по теме, проанализировать данную тему в учебниках по алгебре и начала анализа, систематизировать задания ЕГЭ на решение показательных уравнений, систематизировать и обобщить методические рекомендации по решению показательных уравнений. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

— изучить требования государственных стандартов по теме «Показательные уравнения»;

— проанализировать материал по теме в учебниках алгебры и начал анализа;

— систематизировать методы решения показательных уравнений ;

— систематизировать и обобщить методические особенности изучения данной темы. Пособие содержит два раздела. В первом разделе определяются показательное уравнение, свойства степеней, типы показательных уравнений и методы их решения с образцами решения. Во втором разделе представлены ряд примеров встречаемые в заданиях ЕГЭ. В конце предоставлены ответы к этим заданиям. Данное пособие можно использовать как на занятиях, так и для индивидуального обучения, а также для тех , кто хочет углубить свои знания по теме: «Показательные уравнения».

Определение. Уравнение, содержащее неизвестное в показателе степени, называется показательным.

Должны помнить! При решении показательных уравнений часто используется:.

Рассмотрим основные типы показательных уравнений и методы решения.

1. Простейшее показательное уравнение вида:

Пример 1. Решите уравнение 2 x = 3.

2. Для решения уравнений вида: a f ( x ) = b, где a0; b0, a ≠ 1, нужно представить основания а в виде степени одного и того же числа, после чего сравнить показатели.

Пример 2. Решите уравнение 5 2х+4 = 25.

3. Показательное уравнение вида

решается путём логарифмирования обеих частей уравнения по основанию а . Равносильное ему уравнение

Пример 3. Решите уравнение 6 2х – 8 = 216 х

Решение. 6 2х – 8 = 6 3х , т.к. 216 = 6 3 = 6 * 6 * 6

Пример 4. (ЕГЭ) Укажите промежуток, которому принадлежит корень

уравнения 0,1х-1 = 16.

Решение. Представим числа и 16 в виде степени числа 2:

Получим уравнение, равносильное данному:

(2 -5 ) 0,1х-1 = 2 4, т.е. 2 -5 (0,1х — 1) = 2 4 .

Такое уравнение равносильно уравнению

Число 2 содержится в промежутке (1;10], указанном в качестве одного из вариантов ответов. Следовательно , верный ответ 2.

Пример 4. (ЕГЭ) Найдите сумму квадратов корней уравнения -5 = 9 -2х .

1) 26 2) 25 3) 17 4)13.

Решение. Используя свойства степеней, преобразуем правую часть уравнения: 9 -2х = (3 2 ) -2х = 3 -4х

Данное уравнение примет вид: -5 = 3 -4 .

Из свойств монотонности показательной функции следует, что показательные уравнение равносильно уравнению

Решим квадратное уравнение х 2 + 4х -5 = 0

D = 4 2 – 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36 0, уравнение имеет два корня:

Так как квадратное уравнение равносильно исходному уравнению полученные корни являются конями и данного уравнения. В прочем можно проверить и непосредственной подстановкой, что числа -5 и 1 являются корнями данного уравнения. Таким образом, сумма квадратов корней уравнения -5 = 9 -2х равна (-5) 2 + 1 2 = 25 +1 = 26.

Номер верного ответа — 1

Решение. Пусть 2 x = y, тогда уравнение примет вид

D = (-1) 2 – 41 (-2) = 9 0, 2 корня

a) 2 x = 2; b) 2 x = -1, нет решения, т.к. -1

Пример 6. Решить уравнение 9 x – 3 x – 6 = 0

Решение. Первый член уравнения можно представить в виде 9 x = 3 2 x = (3 x ) 2 . Тогда исходное уравнение примет вид (3 x ) 2 – 3 x – 6 = 0. Обозначим 3 x = y, тогда имеем y 2 – y – 6 = 0

a) 3 x = 3 b) 3 x = -2 – нет решения, т.к. -2

5. Уравнение вида

Это уравнение решается путём вынесения общего множителя за скобки.

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Вынесем за скобки общий множитель 2 x -1 , получим

2 x -1 ( 2 2 + 3 – 52 ) = -6

6. Уравнение вида , где f(x) – выражение, содержащее неизвестное число; a 0; a ≠ 1.

Для решения таких уравнений надо:

1. заменить 1 = a 0 ; a f ( x ) = a 0 ;

2. решить уравнение f (x) = 0

Пример 8. Решить уравнение

По определению степени с нулевым показателем имеем:

x 2 – 7x + 12 = 0, ( т.к. 1 = 2 0 )

Решая квадратное уравнение, получим: x₁ = 3, x₂ = 4.

7. Уравнение вид

Это уравнение приводится к трёхчленному показательному уравнению путём деления обеих частей на a x или b x .

Решение. Перепишем уравнение в виде 3 2 x + 2 x 3 x – 22 2 x = 0.

Разделив обе части уравнения на 2 2 x ≠ 0, получим

. Пусть , тогда уравнение примет вид

y 2 + y -2 = 0 . Решая квадратное уравнение получим = -2 , = 1.

Карточки для самостоятельной работы по теме «Показательные уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

из открытого банка заданий ЕГЭ

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения:

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения:

Найдите корень уравнения:

Найдите решение уравнения:

Решите уравнение .

Решите уравнение .

Решите уравнение .

из открытого банка заданий ЕГЭ

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения:

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения:

Найдите корень уравнения:

Найдите решение уравнения:

Решите уравнение .

Решите уравнение .

Решите уравнение .

из открытого банка заданий ЕГЭ

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения:

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения:

Найдите корень уравнения:

Найдите решение уравнения:

Решите уравнение .

Решите уравнение .

Решите уравнение .

из открытого банка заданий ЕГЭ

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения:

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения:

Найдите корень уравнения:

Найдите решение уравнения:

Решите уравнение .

Решите уравнение .

Решите уравнение .

Ответы к проверочной работе «Показательные уравнения»

из открытого банка заданий ЕГЭ

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения:

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения .

Найдите корень уравнения:

Найдите корень уравнения:

Найдите решение уравнения:

Решите уравнение .

Решите уравнение .

Решите уравнение .

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 569 200 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

§ 40. Показательные уравнения и неравенства

Другие материалы

• 11.02.2018
• 382
• 6

• 11.02.2018
• 552
• 1

• 28.01.2018
• 415
• 2

• 15.01.2018
• 6171
• 1

• 24.12.2017
• 1117
• 2

• 21.12.2017
• 1010
• 3

• 20.12.2017
• 1070
• 24

• 13.12.2017
• 801
• 8

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 11.02.2018 18005
• DOCX 83.4 кбайт
• 1332 скачивания
• Рейтинг: 4 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Лимарева Людмила Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 44560
• Всего материалов: 12

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Подборка заданий по теме «Показательные уравнения и неравенства»
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс)

Подборка заданий по теме » Показательные уравнения и неравенства» Совместная разработка учителей Зайцевой Е.Б. ( ГБОУ гимназия № 526 )и Мальчиковой Н.М.(ГБОУ СОШ № 355)

Скачать:

Предварительный просмотр:

ГБОУ гимназия №526 Зайцева Е.Б. ГОУ СОШ №355 Мальчикова Н.М.

Подборка заданий по теме «Показательные уравнения и неравенства»

Основные типы задач Часть А

1. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Варианты ответов 1) (-2; -1) 2) (-1; 0) 3) (0; 1) 4) [-1; 2]

2. Решите уравнение

Варианты ответов 1) 2 2) 3) 4) 0,5

3. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Варианты ответов: 1) (0; 8) 2) (-8; 0) 3) (-15; -8) 4) (8; 10)

4. Решите уравнение

Варианты ответов 1) -3 2) 4 3) нет решений 4) -7

5. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Варианты ответов 1) (-15; -5) 2) (-5; 5) 3) (15; 25) 4) (5; 15)

6. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Варианты ответов 1) (-7; 0) 2) (0; 4) 3) (4; 10) 4) (10; 20)

7. Решить уравнение

Варианты ответов 1) 3,5 2) 3,75 3) 3,25 4) 2,5

8. Решите уравнение

Варианты ответов 1) 4.5 2) 4.6 3) 4,2 4)9

9. Решите уравнение

Варианты ответов 1) 2) 3) 4)

10. Решить уравнение

Варианты ответов 1) -2 2) -1,5; 0,5 3) -0,5; 1,5 4) -0,5; 2.

Основные типы задач Часть В

1. Решить уравнения ( способом логарифмирования )

х 1 =1 х 2 =2 Ответ: 1; 2.

2. Решить уравнения ( способом вынесения общего множителя либо замены переменной )

Вариант решения: х-4=0 х=4 Ответ: 4.

4) 10)

3. Решить уравнения ( способом подстановки )

Пусть , где , тогда , , (- не удовлетворяет условию )

Получаем х=1 или х=0. Ответ: 1; 0.

4. Решить уравнения ( способом подстановки и приведением к квадратному )

Вариант решения: . Пусть , где , тогда , откуда , (- не удовлетворяет условию ). Далее откуда Ответ: 1; -1.

5. Решить однородное показательное уравнение

Вариант решения: разделим все части уравнения на (это возможно, поскольку ), получим . Обозначим теперь , где . Имеем , , , , . х=0. Ответ: 0.

4) 8)

6. Решить уравнение методом оценок и свойств монотонности

Вариант решения: Заметим сразу, что х=1 корень предложенного уравнения и докажем, что других корней уравнение не имеет. Действительно. Перепишем уравнение в виде . Так как функция монотонно убывает, то она может принимать каждое своё значение (в том числе ) лишь в одной точке, таким образом, если уравнение имеет корень, то единственный. Такой корень нами указан х=1. других корней нет. Ответ: 1.

Задания более сложного уровня

1. Уравнения, возможный способ решения логарифмирование

Ответ: 100; 0,01. Ответ: 1.

2. Уравнения, возможный способ решения метод замены переменной

3. Уравнения, которые удается решить, представляя данные выражения в виде произведения

4. Уравнения, решаемые с использованием свойств соответствующих функций

Ответ: 1. Ответ: 0.

Ответ: 1; -1. Ответ: нет решений.

5. Неравенства, решаемые методом интервалов

Ответ:

3. Показательно-логарифмические неравенства решаемые методом интервалов

4. Задания с параметром

1) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение имеет хотя бы одно решение

Ответ:

2) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение имеет хотя бы одно решение

Ответ: а>0,5, a≠1, a≠0

3) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение имеет хотя бы один корень больший 2

4) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение имеет хотя бы один корень больший 2

5) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение не имеет корней меньших 2

6) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение не имеет корней меньших 2

7) Выяснить, при каких значениях параметра а неравенство

выполняется при всех значениях х . Ответ:

8) Выяснить, при каких значениях параметра а неравенство