Семинары по уравнениям математической физики

Уравнения математической физики

3 зачётных единицы

для зачета в своем вузе

О курсе

Курс ориентирован на бакалавров, магистров и специалистов, специализирующихся по математическим, инженерным или естественнонаучным дисциплинам, а также на преподавателей ВУЗов. Цель курса – познакомить слушателя с кругом классических вопросов из области уравнений с математической физикой и научить слушателя основным методам исследования таких уравнений.
Курс охватывает классический материал по уравнениям математической физики (уравнениям в частных производных) в рамках одного семестра обучения. Будут представлены разделы «Линейные и квазилинейные уравнения первого порядка», «Классификация линейных уравнений», «Волновое уравнение», «Параболическое уравнение», «Фундаментальные решения», «Уравнение Лапласа».
Мы познакомимся с классическими постановками задач – задача Коши, краевая задача. Освоим основные методы исследования уравнений – непосредственное интегрирование, метод продолжения решений, метод Фурье, метод фундаментальных решений, метод потенциалов. Мы часто будем вспоминать о выводе этих уравнений в задачах математической физики и о границах применимости наших моделей.
Курс направлен на решение практических задач (в математической их постановке). Здесь будет не так много доказательств теорем, но будет много методов решения этих задач.

Формат

Форма обучения заочная (дистанционная).

Еженедельные занятия будут включать просмотр тематических видео-лекций и выполнение тестовых заданий с автоматизированной проверкой результатов.
Важным элементом изучения дисциплины является самостоятельное (аналитическое) решение практических задач.

Требования

Для освоения курса необходимо свободное владение слушателями понятиями и навыками математического анализа (дифференцирование, интегрирование, исследование функций) и умение решать обыкновенные дифференциальные уравнения.

Программа курса

1. Первое знакомство.
Вводное слово. Основные принципы работы с уравнениями математической физики. Примеры простейших уравнений. Классификация. Решение простых уравнений сведением к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Замена переменных в уравнении.

2. Уравнения первого порядка – линейные и квазилинейные.
Линейные уравнения. Поиск подходящей замены – составление и решение систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Первые интегралы системы. Характеристики. Квазилинейные уравнения. Поиск решения в неявном виде.

3. Задача Коши. Классификация линейных уравнений второго порядка.
Постановка задачи Коши. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Классификация линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Приведение к каноническому виду.

4. Гиперболические, параболические и эллиптические уравнения.
Классификация линейных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами на плоскости. Гиперболический, параболический и эллиптический тип. Решение гиперболических уравнений. Задачи с начальными и краевыми условиями.

5. Уравнение струны.
Одномерное волновое уравнение на всей оси. Прямая и обратная волна. Формула Даламбера. Интеграл Дюамеля. Краевые условия для уравнения на полуоси. Основные типы краевых условий. Продолжение решения. Случай конечного отрезка.

6. Метод Фурье на примере уравнения струны.
Идея метода Фурье. Первый шаг – поиск базиса. Второй шаг – получение обыкновенных дифференциальных уравнений на коэффициенты Фурье. Третий шаг – учет начальных данных. Сходимость рядов.

7. Уравнение диффузии (конечный отрезок).
Вывод уравнения. Постановка задач (начальные и краевые условия). Метод Фурье. Учет правой части и неоднородности в краевых условиях. Сходимость рядов.

8. Уравнение диффузии (вся ось).
Преобразование Фурье, формула обращения. Решение уравнения с помощью преобразования Фурье. Теорема – обоснование метода (два случая). Формула Пуассона. Случай уравнения с правой частью.

9. Обобщенные функции.
Запись формулы Пуассона в виде свертки. Запись в виде свертки решения уравнения теплопроводности на конечном отрезке. Класс Шварца. Примеры функций из класса. Определение обобщенных функций, связь с классическими функциями. Умножение обобщенной функции на основную, дифференцирование. Сходимость обобщенных функций. Примеры обобщенных функций.

10. Работа с обобщенными функциями.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в обобщенных функциях. Преобразование Фурье обобщенных функций. Свертка. Прямое произведение. Носитель обобщенной функции. Решение неоднородного одномерного уравнения теплопроводности с помощью фундаментального решения. Фундаментальное решение обыкновенного дифференциального оператора на отрезке.

11. Фундаментальные решения.
Вывод формулы Пуассона для многомерного уравнения теплопроводности. Вывод формулы Киркгофа. Вывод формулы Пуассона для волнового уравнения. Решение задач методом разделения переменных, методом суперпозиции.

12. Уравнение Лапласа.
Вывод уравнения Лапласа. Векторное поле – потенциал, поток через поверхность. Объемный потенциал. Потенциал простого слоя. Потенциал двойного слоя. Логарифмический потенциал.

13. Задача Дирихле, Неймана и функции Грина.
Гармонические функции. Слабый принцип экстремума. Теорема Гарнака. Строгий принцип максимума. Теорема единственности. Теорема о среднем. Бесконечная гладкость. Теорема Лиувилля. Формула Грина. Функция Грина, ее свойства. Решение задачи Пуассона с условиями Дирихле с помощью функции Грина. Другие краевые задачи. Построение функции Грина методом отражений.

14.Многомерный метод Фурье.
Решение задач методом Фурье. Различные краевые условия. Функции Бесселя. Полиному Лежандра. Обзор пройденного курса. Подведение итогов.

Направления подготовки

Знания

Знать:

• основные типы уравнений математической физики;
• постановку основных начальных и краевых задач;
• основные методы решения задач математической физики

Умения

Уметь:

• классифицировать нелинейное уравнение;
• сделать замену в уравнении;
• решить уравнение, сводящееся к одномерному;
• решить линейное уравнение первого порядка;
• решить квазилинейное уравнение первого порядка;
• классифицировать линейное уравнение с постоянными коэффициентами, привести его к каноническому виду;
• классифицировать линейное уравнение с переменными коэффициентами на плоскости, привести его к каноническому виду;
• найти решение гиперболического уравнения на плоскости в виде прямой и обратной волны;
• решить уравнение струны на оси по формуле Даламбера и Дюамеля;
• решить уравнение струны на полуоси и на отрезке методом продолжения решения;
• решить уравнение струны на отрезке методом Фурье;
• решить уравнение теплопроводности на отрезке методом Фурье;
• решить уравнение теплопроводности на полуоси по формуле Пуассона;
• взять производную обобщенной функции, умножить ее на гладкую, решить дифференциальное уравнение в обобщенных функциях;
• найти предел обобщенных функций, взять преобразование Фурье обобщенной функции, вычислить свертку;
• найти фундаментальное решение обыкновенного дифференциального оператора;
• решить многомерное уравнение теплопроводности в пространстве;
• решить двумерное волновое уравнение на плоскости;
• решить волновое уравнение в пространстве;
• найти решение уравнения Лапласа по формуле объемного потенциала, потенциала простого слоя, потенциала двойного слоя, плоского потенциала площади, плоского логарифмического потенциала;
• построить функцию Грина методом отражений;
• решить задачу Пуассона для уравнения Лапласа с помощью функции Грина;
• решить задачу Пуассона для уравнения Лапалса с помощью метода Фурье.

3 зачётных единицы

для зачета в своем вузе

Савчук Артем Маркович

Доктор физико-математических наук, Профессор
Должность: Профессор кафедры фундаментальной и прикладной математики, факультета космических исследований МГУ имени М.В.Ломоносова

Сертификат

По данному курсу возможно получение сертификата.

Стоимость прохождения процедур оценки результатов обучения с идентификацией личности — 1800 Р .

Семинары по уравнениям математической физики

На этой странице нашего сайта размещены учебно-методические пособия по уравнениям математической физики (классический курс) в форме презентаций, которые использовались при проведении дистанционных занятий со студентами МФТИ в марте-мае 2020 года во время самоизоляции, вызванной коронавирусной инфекцией.

Каждое из учебно-методических пособий содержит теоретические сведения и примеры решения типовых задач по изучаемому разделу уравнений математической физики. Практически все разобранные в учебно-методических пособиях задачи ранее предлагались для решения студентам МФТИ в заданиях для самостоятельной работы и на письменных экзаменационных контрольных работах. В справочной форме приводится необходимая для решения задач теория.

Мы надеемся, что эти учебные материалы будут полезными не только студентам МФТИ, осваивающим классический курс уравнений математической физики, но и студентам других ВУЗов.

Дистанционное занятие на тему «Функция Грина оператора Штурма-Лиувилля»

Дистанционное занятие посвящено решению задач, связанных с построением функции Грина оператора Штурма-Лиувилля.

Содержание

1. Оператор Штурма-Лиувилля
2. Задача Штурма-Лиувилля
3. Построение функции Грина оператора Штурма-Лиувилля
4. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению
5. Примеры решения задач

Учебно-методическое пособие на тему «Функция Грина оператора Штурма-Лиувилля»

Дистанционное занятие на тему «Уравнения Лапласа и Пуассона в круговых областях»

Дистанционное занятие посвящено решению задач Дирихле и Неймана в круговых областях на плоскости.

Содержание

1. Уравнения Лапласа и Пуассона на плоскости
2. Задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона в круге
3. Задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона вне круга
4. Задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона в кольце
5. Задача Неймана для уравнений Лапласа и Пуассона в круге. Необходимое условие разрешимости
6. Задача Неймана для уравнений Лапласа и Пуассона вне круга. Необходимое условие разрешимости
7. Задача Неймана для уравнений Лапласа и Пуассона в кольце. Необходимое условие разрешимости
8. Общий вид гармонических функций в круговых областях
9. Примеры решения задач

Учебно-методическое пособие на тему «Уравнения Лапласа и Пуассона в круговых областях»

Дистанционное занятие на тему «Сферические функции»

Дистанционное занятие посвящено решению задач Дирихле и Неймана в сферически симметричных областях в пространстве.

Содержание

1. Уравнения Лапласа и Пуассона в пространстве
2. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в сферически симметричных областях в пространстве
3. Оператор Лапласа в сферических координатах
4. Оператор Лапласа-Бельтрами
5. Сферические функции
6. Полиномы Лежандра
7. Присоединенные полиномы Лежандра
8. Общий вид сферических функций
9. Общий вид гармонических функций в сферически симметричных областях в пространстве
10. Примеры решения задач

Учебно-методическое пособие на тему «Сферические функции»

Дистанционное занятие на тему «Функция Грина задачи Дирихле»

Дистанционное занятие посвящено решению задач на построение методом отражений функций Грина задач Дирихле и решению задачи Дирихле для уравнения Пуассона в пространстве при помощи функции Грина.

Содержание

1. Определение функции Грина задачи Дирихле
2. Применение функции Грина для решения задачи Дирихле
3. Примеры решения задач. Метод отражений

Учебно-методическое пособие на тему «Функция Грина задачи Дирихле»

Дистанционное занятие на тему «Объемный потенциал»

Дистанционное занятие посвящено двум способам вычисления объемного потенциала: по определению и при помощи использования свойств объемного потенциала.

Содержание

1. Определение объемного потенциала
2. Физический смысл объемного потенциала
3. Свойства объемного потенциала
4. Пример вычисления объемного потенциала для шара двумя способами: по определению и при помощи использования свойств объемного потенциала

Учебно-методическое пособие на тему «Объемный потенциал»

Дистанционное занятие на тему «Потенциалы простого и двойного слоя»

Дистанционное занятие посвящено двум способам вычисления потенциалов простого и двойного слоя: по определению и при помощи использования свойств потенциалов простого и двойного слоя.

Уравнения математической физики-1, 2

Годовой курс «Уравнения математической физики» состоит из двух частей. Первая часть представляет собой сжатое изложение ряда классических результатов теории линейных уравнений с частными производными второго порядка и необходимых конструкций из теории обобщённых функций, и пространств Соболева. Вторая часть должна познакомить студентов с более современными результатами для квазилинейных и нелинейных задач. В качестве приложений рассматриваются задача Коши для систем законов сохранения и задача о двойной пористости.

Лекция 1. Волновое уравнение (задача Коши и смешанная задача). Л инейные замены переменных. Представление решения в виде суммы двух волн. Формула Даламбера. Смешанная задача для полуограниченной струны. Метод нечётного продолжения. Сферическая симметрия и уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу. Формула Кирхгофа. Формула Пуассона. Интеграл энергии, конус зависимости, единственность.

Лекция 2. Параболика (классика). Ядро Пуассона как решение с симметриями. Существование классического решения задачи Коши (с непрерывными и ограниченными начальными данными) и его гладкость. Теоремы о стабилизации. Принцип максимума в «стакане» и в полосе (техника суб- и суперрешений). Единственность для задачи Коши и для первой смешанной задачи.

Лекция 3. Эллиптика (классика). Гармонические функции и их свойства: три теоремы о среднем, принцип максимума, единственность. Свертка с усредняющим ядром и ее гладкость. Гладкость гармонических функций. Неравенство Харнака без точных констант (по книге [5]), теорема Лиувилля.

Лекция 4. Обобщённые функции. Пространства D и D’, S и S’. Ограничение обобщённой функции на множество. Операции над обобщёнными функциями: общая схема, дифференцирование, домножение на гладкую функцию. Преобразование Фурье. Образ Фурье быстро убывающей функции — быстро убывающая. Формула обращения преобразования Фурье. Преобразование Фурье обобщённых функций умеренного роста. Равенство Парсеваля. Преобразование Фурье функций, интегрируемых с квадратом по Лебегу. Принцип Дюамеля для эволюционных уравнений (через преобразование Фурье).

Лекция 5. П ространства Соболева. Шкала пространств Соболева H^s(R^n). Простейшие теоремы вложения. H^s(R^n) гильбертово. H^s(\Omega) и H^s_0(\Omega). Неравенства Фридрихса и Пуанкаре. След функции на многообразии. Функции с нулевым следом.

Лекция 6. Эллиптика (обобщённые постановки). Обобщённые решения краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона в ограниченной области: существование и единственность. Вариационная постановка краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Метод Ритца.

Лекция 7. Нелинейные УрЧП первого порядка. Обобщённая задача Коши для нелинейного УрЧП первого порядка. Локальная теорема существования классического решения. Частный случай: нестационарное уравнение Гамильтона-Якоби. Несуществование глобального гладкого решения. Обобщенное решение в смысле интегрального тождества. Условия Рэнкина-Гюгонио. Неединственность. Регуляризация вязкостью (выпуклый случай) и условие Лакса устойчивой ударной волны. Формулы Хопфа-Лакса и Лакса-Олейник.

Лекция 8. Задача Римана и схема Годунова. Выпуклый случай: ударная волна и волна разрежения. Случай произвольной функции потока: геометрическое решение как многозначное решение, получаемое методом характеристик. Условие Введенской-Олейник и построение обобщённого решения по геометрическому. Схема Годунова.

Лекция 9. Системы законов сохранения. Строгая и нестрогая гиперболичность. Алгебра: гладкость собственных векторов и собственных значений в строго гиперболическом случае. Простые волны, линейная вырожденность и существенная нелинейность. Волна разрежения, контактный разрыв и ударная волна. Существование решения задачи Римана для малых скачков. Инварианты Римана.

Лекция 10. Д вухмасштабная сходимость. Метод монотонности для нелинейных эллиптических уравнений. По книге [8]

Практические занятия и семинары.

Корректность. Основные постановки линейных задач. Решения в виде волнового пакета. Корректность.

Гиперболические уравнения: классические решения. Характеристики по Годунову. Общее решение для гиперболического УрЧП с двумя независимыми переменными. Четырехточечное соотношение как точная разностная схема для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера. Метод падающей и отраженной волн. Волновые фронты. Частные случаи возможности точного решения задачи Коши: сферическая симметрия, ортогональные замены, принцип Дюамеля, конечномерные инвариантные подпространства оператора Лапласа.

Параболические и эллиптические уравнения: классическая теория. Случаи точного решения задачи Коши для уравнения теплопроводности: интеграл с квадратичной фазой, ортогональные замены, принцип Дюамеля, конечномерные инвариантные подпространства оператора Лапласа. Параболическая теорема о среднем (формулировка). Задачи о линиях уровня. Теоремы о стабилизации. Задачи об аналогах принципа максимума. Задачи на теорему Лиувилля и неравенство Харнака.

Обобщённые функции. Сходимость пробных функций. Её неметризуемость. Секвенциальная непрерывность и аналог ограниченности. Теорема о дифференцировании кусочно-гладкой функции. ОДУ в обобщенных функциях. Линейная замена переменных в обобщённой функции. Свёртка обобщённой и гладкой функций. Фундаментальное решение для ОДУ. Функция Грина краевой задачи на отрезке. Обобщение на случай произвольной размерности. Фундаментальное решение оператора Лапласа. Электростатическая интерпретация. Преобразование Кельвина и формула Пуассона. Функция Грина для задачи Дирихле для областей на плоскости. Уточнённое неравенство Харнака.

Метод Фурье. Задача Штурма-Лиувилля. Метод Фурье для колебаний ограниченной струны. Свойства коэффициентов Фурье и пространства Соболева (сходимость рядов \sum\limits_kk^2\phi_k^2, ряд для обобщенной производной, критерий того, что \phi\in H^1((0;\pi)) в терминах коэффициентов Фурье, вложение H^1((0;\pi)) в C([0;\pi])). Решения с конечной энергией и группа сдвигов начальных данных на время t для волнового уравнения. Ряд Фурье гармонической функции в кольце и круге как аналог ряда Лорана.

Законы сохранения и нелинейные волны. Классические решения задачи Коши для нестационарного уравнения Гамильтона-Якоби. Допустимые обобщённые решения задачи Коши для скалярного закона сохранения (выпуклый случай). Взаимодействие волновых фронтов. Задача Римана (невыпуклый случай). Сохранение среднего. Выравнивание. Инварианты Римана. Энтропия.

Двухмасштабная сходимость. Слабая сходимость в L_2 и слабая двухмасштабная сходимость. Сильная двухмасштабная сходимость. Потенциальные и соленоидальные векторы. Классическое усреднение.

Владимиров В.С., «Уравнения математической физики.» М.: Наука, 1981.

Годунов С.К., «Уравнения математической физики.» М.: Наука, 1979

Жиков В.В., Иосифьян Г.А., «Введение в теорию двухмасштабной сходимости» Тр. сем. им. Петровского, 2013, вып. 29, 281-332.

Комеч А.И., «Практическое решение задач математической физики.» М.: МГУ, 1993.

Либ Э., Лосс М., «Анализ: Учебное пособие для студентов мат. и физ. специальностей вузов.» Пер. с англ. Т. Н. Рожковской, Новосибирск, Науч. кн., 1998.

Михлин С.Г., «Курс математической физики.» М.: Наука, 1968

Петровский И.Г., «Лекции об уравнениях с частными производными.» изд.-3, дополненное. М.: Наука, 1961.

Эванс Л.К.,» Уравнения с частными производными.» Пер. с англ. Т.Н. Рожковской, Новосибирск, Тамара Рожковская, 2003.