Серпинский о решении уравнений в целых числах

О решении уравнений в целых числах, Серпинский В., 1961

О решении уравнений в целых числах, Серпинский В., 1961.

В книге рассматривается решение уравнений в натуральных, целых или рациональных^ числах. Имея в виду широкий круг читателей, автор подобрал такие уравнения, решение которых удается получить, не прибегая к средствам теории чисел. Впрочем, иногда, чтобы обеспечить систематичность изложения, автор дает краткую информацию о результатах исследований, выполненных при помощи аппарата теории чисел. Наряду с классическими задачами в книгу вошли многие задачи, рассмотренные за последние 20—30 лет.
Книга может быть использована учащимися старших классов средней школы, имеющими склонность к математике, студентами и учителями. Последние найдут в этой книге большой материал для занятий математического кружка.

Уравнения высших степеней.
Перейдем теперь к уравнениям третьей степени. Здесь уже в случае уравнений с двумя неизвестными мы наталкиваемся на большие препятствия.
Возьмем, например, одно из простейших таких уравнений
х2 — у3 = 1. (47)

Уже давно известно, что оно не имеет других решений в натуральных числах, кроме х = 3, у = 2, однако все доказательства этого факта были неэлементарные. Лишь недавно А. Вакулич нашел элементарное доказательство, впрочем, довольно длинное.

Можно доказать, что теорема о том, что уравнение (47) не имеет других решений в натуральных числах x, у, кроме х = 3, у = 2, равносильна теореме, по которой ни одно треугольное число > 1 не является кубом натурального числа, а также равносильна теореме о том, что ни одно из уравнений u3 — 2v3 = 1, u3 — 2v3 = -1 не имеет решений в натуральных числах u и v, где v > 1.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчика
§1. Уравнения любой степени с одним неизвестным
§2. Линейные уравнения с любым числом неизвестных
§3. Китайская теорема об остатках
§4. Уравнения второй степени с двумя неизвестными
§5. Уравнение х2 + х — 2у2 = 0
§6. Уравнение х2 + х + 1 = 3у2
§7. Уравнение х2 — Dу2=1
§8. Уравнения второй степени с более чем двумя неизвестными
§9. Система уравнений х2 + ky2 = z2, х2 — ky2 = t2
§10. Система уравнений х2 + k = z2, х2 — k = t2. Согласные числа
§11. Некоторые другие уравнения второй степени или системы уравнений
§12. Об уравнении х2 + у2 +1 = хуz
§13. Уравнения высших степеней
§14. Показательные уравнения
§15. Решение уравнений в рациональных числах.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу О решении уравнений в целых числах, Серпинский В., 1961 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Поиск материала «О решении уравнений в целых числах, Серпинский В., 1961» для чтения, скачивания и покупки

Найденные материалы, документы, бумажные и электронные книги и файлы:

Ниже показаны результаты поиска поисковой системы Яндекс. В результатах могут быть показаны как эта книга, так и похожие на нее по названию или автору.

Search results:

1. Math.ru | Орешенииуравненийвцелыхчислах.

В книге рассматривается решение уравнений в натуральных, целых или рациональных числах . Имея в виду широкий круг читателей, автор подобрал такие уравнения , решение которых удается получить, не прибегая к средствам теории чисел . Впрочем, иногда, чтобы обеспечить систематичность изложения, автор дает краткую информацию о результатах исследований, выполненных при помощи аппарата теории чисел . Наряду с классическими задачами в книгу вошли многие задачи, рассмотренные за последние 20?30 лет.

В книге рассматривается решение уравнений в натуральных, целых или рациональных числах . Имея в виду широкий круг читателей, автор подобрал такие уравнения , решение которых удается получить, не прибегая к средствам теории чисел . Впрочем, многда, чтобы обеспечить систематичность изложения, автор дает краткую информацию о резальтатах исследований, выполненных при помощи аппарата теории чисел . Наряду с классическими задачами в книгу вошли многие задачи, рассмотренные за последние 20-30 лет.

Канцтовары. Письменные принадлежности. Бумажные канцтовары. Ранцы, рюкзаки, сумки. Канцелярские мелочи. И многое другое.

В книге рассматривается решение уравнений в натуральных, целых или рациональных числах . Имея в виду широкий круг читателей, автор подобрал такие уравнения , решение которых удается получить, не прибегая к средствам теории чисел . Впрочем, иногда, чтобы обеспечить систематичность изложения, автор дает краткую информацию о результатах исследований, выполненных при помощи аппарата теории чисел . Наряду с классическими задачами в книгу вошли многие задачи, рассмотренные за последние 20-30 лет.

Название: О решении уравнений в целых числах Автор: Вацлав Серпинский Издательство: Физматлит Год: 1961 Формат: pdf Страниц: 86 Размер: 12,3 Mb Язык: Русский В книге рассматривается решение уравнений в натуральных, целых или рациональных числах .

Имея в виду широкий круг читателей, автор подобрал такие уравнения , решение которых удается получить, не прибегая к средствам теории чисел . Впрочем, иногда, чтобы обеспечить систематичность изложения, автор дает краткую информацию о результатах исследований.

В книге рассматривается решение уравнений в натуральных, целых и рациональных числах . Имея в виду широкий круг читателей, автор подобрал такие уравнения , решение которых удается получить, не прибегая к средствам теории чисел . Впрочем, иногда, чтобы обеспечить систематичность изложения, автор дает краткую информацию о результатах исследований, выполненных при помощи аппарата теории чисел . наряду с классичесими задачами в книгу вошли многие задачи, рассмотренные за последние 20-30 лет.

Читать онлайн книгу О решении уравнений в целых числах автора Серпинский В .

В книге рассматривается решение уравнений в натуральных, целых или рациональных числах . Имея в виду широкий круг читателей, автор подобрал такие уравнения , решение которых удается получить, не прибегая к средствам теории чисел . Впрочем, иногда, чтобы обеспечить систематичность изложения, автор дает краткую информацию о результатах исследований, выполненных при помощи аппарата теории чисел . Наряду с классическими задачами в книгу вошли многие задачи, рассмотренные за последние 20-30 лет. Книга может быть использована.

В. СЕРПИНСКИЙ О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Перевод с польского И. Г. МЕЛЬНИКОВА ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1961. АННОТАЦИЯ В книге рассматривается решение уравнений в

Нетрудно убедиться, что из них только числа 1, 5, —1 удовлетворяют уравнению ; следовательно, они дают все решения нашего уравнения в целых числах . В качестве второго примера возьмем уравнение Здесь мы должны вместо х подставлять в уравнение только.

О решении уравнений в целых числах ( Серпинский В ).

Вацлав Серпинский О решении уравнений в целых числах Редактор Г. П. Акилов Техн. редактор А. А. Лукьянов Корректор В. С. Иванова Сдано в набор 28/IV 1961 г. Подписано к печати 1/VI1 1961 г. Бумага 84х1087я’ Фнэ. печ. л. 2,75 Усл. печ. л. 4,51 Уч. изд. л. 3,10 Тираж 30 000 экз.

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА В этой книге выдающегося польского математика Вацлава Серпинского рассматриваются уравнения и системы уравнений с целыми коэффициентами, которые нужно решить в натуральных, целых или рациональных числах .

Серпинский . О решении уравнений в целых числах .djvu В книге рассматривается решение уравнений в натуральных, целых или рациональных числах . Имея в виду широкий круг читателей, автор подобрал такие уравнения , решение которых удается получить, не прибегая к

Вацлав Серпинский 250 задач по элементарной теории чисел . — Просвещение, 1968. 168 с., Тираж 75000 экз. Задачи, рассматриваемые в данной книге, принадлежат элементарной теории чисел и, как правило, являются элементарными и в обычном смысле этого слова.

Перевод с польского И. Г. Мельникова. — Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — 88 с. В книге рассматривается решение уравнений в натуральных, целых или рациональных числах. Имея в виду широкий круг читателей, автор подобрал такие уравнения, решение которых удается получить, не прибегая к средствам теории чисел. Впрочем, иногда, чтобы обеспечить систематичность изложения, автор дает краткую информацию о результатах исследований, выполненных при помощи аппарата теории чисел.

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах . Наиболее известное уравнение в целых числах .

Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. Алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами, имеющее более одного неизвестного, когда стоит задача найти его целые или рациональные решения называется неопределенным или диофантовым, по имени древнегреческого математика Диофанта, который занимался проблемой решения таких

7. Яковлев, Г. Н. Всесоюзные математические олимпиады школьников. М., 1992. 8. Серпинский , В . О решении уравнений в целых числах . – М, 1961.

Решение уравнений в целых числах является важной задачей и для современной математики. Теоретический интерес уравнений в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел , что и определило актуальность

Впервые в восьмом классе я встретился с решением уравнений в целых числах , решая задания Межрегиональной заочной математической олимпиады для школьников Всероссийской школы математики и физики «Авангард». Появилось желание узнать решаемы ли такие уравнения , и.

Загрузка . Закладок нет. Вы можете добавить закладку, нажав на иконку в правом верхнем углу страницы.

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач и не достаточно глубоко представлена в школьном курсе математики. В своей работе я представлю достаточно полный анализ уравнений в целых числах , классификацию данных уравнений по способам их решения , описание алгоритмов их решения , а также практические примеры применения каждого способа для решения уравнений в целых числах .

Основным методом для решения уравнений в целых числах является использование свойств делимости целых (натуральных) чисел : если одна часть равенства делится на некоторое целое число , то и другая часть должна на него делиться. Задание 1. Решить уравнение в целых числах

Таким образом, уравнение не будет иметь решений в целых числах . Ответ: не существует двузначных чисел , которые равны сумме квадратов своих цифр. Решение логических задач.

Решение уравнений в целых числах. математика Скачать бесплатно. Так как 2х²-четное число, а 7-нечетное число, то 5у²- должно быть нечетным, т.е. у –нечетное число Пусть у=2z+1, где z-целое, тогда данное уравнение можно записать в виде: х²-10z²-10z=6. Отсюда видно,что х должно быть четным. Пусть х=2m, тогда последнее уравнение примет вид 2m²-5z(z+1)=3, что невозможно, так как z(z+1)-четно, а разность двух четных чисел не может быть равна нечетному числу.

Алгебра 10 классУрок№9 — Решение уравнений в целых числах.мы узнаем: что такое диофантовы уравнения и способы их решения;мы научимся: применять.

Уравнения в целых числах – уравнения с двумя и более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями таких уравнений являются целые числа . Также такие уравнения называются диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который изучал такие уравнения еще до нашей эры. При решении уравнений в целых и натуральных числах можно выделить следующие способы. 1 способ. Метод перебора вариантов.

Введение. Существует множество математических задач, ответами к которым служат одно или несколько целых чисел. В качестве примера можно привести четыре классические задачи, решаемые в целых числах – задача о взвешивании, задача о разбиении числа, задача о размене и задача о четырёх квадратах. Стоит отметить, что, несмотря на достаточно простую формулировку этих задач, решаются они весьма сложно, с применением аппарата математического анализа и комбинаторики.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны с многими проблемами теории чисел . Кроме того, элементарные части теории таких уравнений , изложенные в данной книге, могут быть с успехом использованы для расширения математического кругозора

Однако решение уравнений в целых числах имеет и практический интерес — такие уравнения иногда встречаются в физике. В книге изложены некоторые основные результаты, полученные в теории решения уравнений в целых числах .

Решение уравнений в целых числах 1.Метод прямого перебора. Имеются детали массой 8 кг и 3 кг . Сколько необходимо взять тех и других деталей, чтобы получить груз 30 кг?

Решите уравнение 3x − 4y = 1 в целых числах . Решение . Перепишем уравнение в виде 3x = 4y +1. Поскольку левая часть уравнения делится на 3, то должна делиться на 3 и правая часть.

Ставим задачу о решении линейного уравнения в целых числах на конкретном примере. Находим общее решение однородного уравнения . По одному из решений исходного (неоднородного) уравнения находим его общее решение .

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач. Этими задачами много занимались самые выдающиеся математики древности, например, греческий математик

Теоретический интерес уравнений в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел . Ещё в начальной школе на уроках математики перед нами часто ставили задачу выяснить, при каких допустимых.

В данной работе представлены различные способы решения уравнений в целых числах . Работа может быть использована при подготовке к олимпиадам, на кружковых и факультативных занятиях.

Актуальность этой темы обусловлена тем, что задачи, основанные на решении уравнений в целых числах , часто встречаются на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и на олимпиадах по математике и на ЕГЭ в старших классах. В школьной программе эта тема рассматривается в ознакомительном порядке.

Решение уравнений в целых числах является важной задачей и для современной математики. Теоретический интерес уравнений в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел, что и определило актуальность нашей работы «Решение уравнений в целых числах».

Решение уравнений в целых числах . Уланова Т.Н. Учитель математики.

Замечание 1. Если ( x 0, y 0 )- целочисленное решение уравнения ax+by=1, то (cx 0 ,cy 0 ) — целочисленное решение уравнения ax+by=c. Пример3 : Решить в целых числах уравнение : 3x-5y=11.

Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений с одним неизвестным, для уравнений первой степени и для уравнений второй степени с двумя неизвестными.

Просмотр содержимого документа « Решение уравнений в целых числах ». Задачи с целочисленными неизвестными. Павловская Нина Михайловна, учитель математики МБОУ «СОШ № 92. г. Кемерово. Алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющими число неизвестных, превосходящее.

[ Уравнения в целых числах . ] Сложность: 2 Классы: 6,7. Фишка стоит на одном из полей бесконечной в обе стороны клетчатой полоски бумаги. Она может сдвигаться на m полей вправо или на n полей влево. При каких m и n она сможет переместиться в соседнюю справа клетку?

[ Уравнения в целых числах . ] [ Системы линейных уравнений . ] [ Перебор случаев.

Решение уравнений в целых числах . Уланова Т.Н. Учитель математики «Лицей №21» Г.Дзержинск Нижегородской области.

Пример1 : Решить в целых числах уравнение : 7x+9y=32 НОД(7 ; 9)=1, целочисленное решение (2;2), значит x=2+9t, y=2-7t, t ∊Z . Ответ: x=2+9t.

На данной странице Вы можете найти лучшие результаты поиска для чтения, скачивания и покупки на интернет сайтах материалов, документов, бумажных и электронных книг и файлов похожих на материал «О решении уравнений в целых числах, Серпинский В., 1961»

Для формирования результатов поиска документов использован сервис Яндекс.XML.

Нашлось 18 млн ответов. Показаны первые 32 результата(ов).

Решение уравнений в целых числах

Математика, 9 класс

, ДВГГУ

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач.

Алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами, имеющее более одного неизвестного, когда стоит задача найти его целые или рациональные решения называется неопределенным или диофантовым, по имени древнегреческого математика Диофанта, который занимался проблемой решения таких уравнений. По некоторым данным Диофант жил до 364 года н. э. Достоверно известно лишь своеобразное жизнеописание Диофанта, которое по преданию было высечено на его надгробии и представляло задачу-головоломку: «Бог ниспослал ему быть мальчиком шестую часть жизни; добавив к сему двенадцатую часть, Он покрыл его щеки пушком; после седьмой части Он зажег ему свет супружества и через пять лет после вступления в брак даровал ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры половины полной жизни отца, он был унесен безжалостным роком. Через четыре года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он [Диофант] завершил свою жизнь».

Цель настоящей статьи рассмотреть методы решения некоторых диофантовых уравнений. Многие из этих методов предполагают применение некоторых понятий и алгоритмов теории делимости, в связи с этим, напомним их.

Определение 1. Наибольшим общим делителем (НОД) целых чисел a1, a2,…, an называется такой их положительный общий делитель, который делится на любой другой общий делитель этих чисел.

Теорема 2. Если , то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство .

Замечание. Это равенство называется линейной комбинацией или линейным представлением НОД через эти числа.

Определение 3. Числа а и b называются взаимно простыми, если НОД этих чисел равен 1.

Теорема 4. (теорема о делении с остатком) Для любого целого а и целого существуют и единственные целые q и r, такие что .

Замечание. Если то q называется неполным частным, а r – остатком от деления a на b. В частности, если , то и делится на .

Из теоремы 4 следует, что при фиксированном целом m > 0 любое целое число а можно представить в одном из следующих видов:

При этом если то будем иметь , если и

, если .

На следующей теореме основан способ нахождения наибольшего общего делителя целых чисел.

Теорема 5. Пусть a и b – два целых числа, 0 и , тогда .

Этот способ называется алгоритмом Евклида. Задача нахождения НОД чисел a и b сводится к более простой задаче нахождения НОД b и r, . Если r = 0, то . Если же , то рассуждения повторяем, отправляясь от b и r. В результате получаем цепочку равенств:

, ,

, ,

, , ……………………(**)

, ,

.

Мы получим убывающую последовательность натуральных чисел

которая не может быть бесконечной. Поэтому существует остаток, равный нулю: пусть . На основании теоремы 10 из (**) следует, что .

1. Решение неопределенных уравнений первой степени от двух переменных в целых числах

Рассмотрим два метода решения диофантовых уравнений первой степени от двух переменных.

Алгоритм этого метода рассмотрим на примере решения конкретного уравнения. Шаги алгоритма, которые необходимо применять при решении любого такого уравнения выделим курсивом.

Пример 1. Решить уравнение в целых числах 5x + 8y = 39.

1. Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент (в нашем случае это х), и выразим его через другое неизвестное: .

2. Выделим целую часть: . Очевидно, что х будет целым, если выражение окажется целым, что, в свою очередь, будет иметь место тогда, когда число 4 – 3y без остатка делится на 5.

3. Введем дополнительную целочисленную переменную z следующим образом: 4 –3y = 5z. В результате получим уравнение такого же типа, как и первоначальное, но уже с меньшими коэффициентами.

4. Решаем его уже относительно переменной y, рассуждая точно также как в п.1, 2: . Выделяя целую часть, получим:

5. Рассуждая аналогично предыдущему, вводим новую переменную u: 3u = 1 – 2z.

6. Выразим неизвестную с наименьшим коэффициентом, в этом случае переменную z: = . Требуя, чтобы было целым, получим: 1 – u = 2v, откуда u = 1 – 2v. Дробей больше нет, спуск закончен (процесс продолжаем до тез пор, пока в выражении для очередной переменной не останется дробей).

7. Теперь необходимо «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z, потом y и затем x:

z = = = 3v – 1; = 3 – 5v.

= = 3+8v.

8. Формулы x = 3+8v и y = 3 – 5v, где v – произвольное целое число, представляют общее решение исходного уравнения в целых числах.

Замечание. Таким образом, метод спуска предполагает сначала последовательное выражение одной переменой чрез другую, пока в представлении переменной не останется дробей, а затем, последовательное «восхождение» по цепочке равенств для получения общего решения уравнения.

Это уравнение и любое другое линейное уравнение с двумя неизвестными может быть решено и другим методом, с использованием алгоритма Евклида, более того можно доказать, что уравнение, рассмотренное выше всегда имеет единственное решение. Приведем здесь формулировки теорем, на основании которых может быть составлен алгоритм решения неопределенных уравнений первой степени от двух переменных в целых числах.

Теорема 1.1. Если в уравнении , , то уравнение имеет, по крайней, мере одно решение.

Теорема 2.2. Если в уравнении , и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 3.3. Если в уравнении , и , то оно равносильно уравнению , в котором .

Теорема 4.4. Если в уравнении , , то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

где х0, у0 – целое решение уравнения , — любое целое число.

Как уже отмечалось выше, сформулированные теоремы позволяют составить следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида .

1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b,

если и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет;

если и , то

2. Разделить почленно уравнение на , получив при этом уравнение , в котором .

3. Найти целое решение (х0, у0) уравнения путем представления 1 как линейной комбинации чисел и ;

4. Составить общую формулу целых решений данного уравнения

где х0, у0 – целое решение уравнения , — любое целое число.

Пример 2. Решить уравнение в целых числах 407х – 2816y = 33.

Воспользуемся составленным алгоритмом.

1. Используя алгоритм Евклида, найдем наибольший общий делитель чисел 407 и 2816:

2816 = 407·6 + 374;

33 = 11·3. Следовательно (407,2816) = 11, причем 33 делится на 11

2. Разделим обе части первоначального уравнения на 11, получим уравнение 37х – 256y = 3, причем (37, 256) = 1

3. С помощью алгоритма Евклида найдем линейное представление числа 1 через числа 37 и 256.

Выразим 1 из последнего равенства, затем, последовательно поднимаясь по цепочке равенств, будем выражать 3; 34 и полученные выражения подставим в выражение для 1.

1 = 34 – 3·11 = 34 – (37 – 34·1) ·11 = 34·12 – 37·11 = (256 – 37·6) ·12 – 37·11 =

– 83·37 – 256·(–12). Таким образом, 37·(– 83) – 256·(–12) = 1, следовательно пара чисел х0 = – 83 и у0 = – 12 есть решение уравнения 37х – 256y = 3.

4. Запишем общие формулы решений первоначального уравнения

где t — любое целое число.

Замечание. Можно доказать, что если пара (х1,y1) — целое решение уравнения , где , то все целые решения этого уравнения находятся по формулам: .

2. Методы решения некоторых нелинейных диофантовых уравнений

Общие подходы к решению нелинейных диофантовых уравнений достаточно сложны и предполагают серьезную подготовку по теории чисел. Мы рассмотрим здесь некоторые уравнения и элементарные методы их решения.

Метод разложения на множители

Первоначальное уравнение путем группировки слагаемых и вынесения общих множителей приводится к виду, когда в левой части уравнения стоит произведение сомножителей, содержащих неизвестные, а справа стоит некоторое число. Рассматриваются все делители числа, стоящего в правой части уравнения. Проводится исследование, в котором каждый сомножитель, стоящий в правой части уравнения приравнивается к соответствующему делителю числа, стоящего в правой части уравнения.

Пример 3. Решить уравнение в целых числах y3 — x3 = 91.

Решение. 1) Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители:

2) Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

3) Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число

следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение (1) равносильно совокупности систем уравнений:

; ; ;

4) Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья (-3; 4),(-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют.

Ответ: уравнение (1) имеет четыре решения (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

Пример 4. Решить в целых числах уравнение x + y = xy.

Решение. 1) Перенесем все члены уравнения влево и к обеим частям полученного уравнения прибавим (–1): x + y – xy – 1 = – 1

Сгруппируем первое – четвертое и второе – третье слагаемые и вынесем общие множители, в результате получим уравнение: (x — 1)(y — 1) = 1

2) Произведение двух целых чисел может равняться 1 в том и только в том случае, когда оба этих числа равны или 1, или (–1).

3) Записав соответствующие системы уравнений и решив их, получим решение исходного уравнения. Ответ: (0,0) и (2,2).

Пример 5. Доказать, что уравнение (x — y)3 + (y — z)3 + (z — x)3 = 30 не имеет решений в целых числах.

Решение. 1) Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение:

2) Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения (2) равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Метод испытания остатков

Этот метод основан на исследовании возможных остатков левой и правой частей уравнения от деления на некоторое фиксированное натуральное число.

Рассмотрим примеры, которые раскрывают сущность данного метода.

Пример 6. Решить в целых числах уравнение x2 + 1 = 3y.

Решение. 1) Заметим, что правая часть уравнения делится на 3 при любом целом y.

2) Исследуем какие остатки может иметь при делении на три левая часть этого уравнения.

По теореме о делении с остатком целое число х либо делится на 3, либо при делении на три в остатке дает 1 или 2.

Если х = 3k, то правая часть уравнения на 3 не делится.

Если х = 3k+1, то x2 + 1= (3k+1)2+1=3m+2, следовательно, опять левая часть на 3 не делится.

Если х = 3k+2, то x2 + 1= (3k+2)2+1=3m+2, следовательно, и в этом случае левая часть уравнения на три не делится.

Таким образом, мы получили, что ни при каких целых х левая часть уравнения на 3 не делится, притом, что левая часть уравнения делится на три при любых значениях переменной y. Следовательно, уравнение в целых числах решений не имеет.

Пример 7. Решить в целых числах x³ — 3y³ — 9z³ = 0.

Решение. 1) Очевидно, что решением уравнения будет тройка чисел (0; 0; 0).

2) Выясним, имеет ли уравнение другие решения. Для этого преобразуем уравнение к виду

Так как правая часть полученного уравнения делится на 3, то и левая обязана делится на три, следовательно, так как 3 — число простое, х делится на 3, т. е. х = 3k, подставим это выражение в уравнение (3): 27k3 = 3y³ + 9z³, откуда

следовательно, y³ делится на 3 и y = 3m. Подставим полученное выражение в уравнение (4): 9k3 = 27m³ + 3z³, откуда

В свою очередь, из этого уравнения следует, что z3 делится на 3, и z = 3n. Подставив это выражение в (5), получим, что k3 должно делиться на 3.

Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие первоначальному уравнению, кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3, опять должны получаться числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0) является единственным.

Контрольное задание №1

Представленные ниже задачи являются контрольным заданием №1 для учащихся 9 классов. Решения необходимо оформить в отдельной тетради и выслать по адресу 8, ХКЦТТ, ХКЗФМШ. Для зачета нужно набрать не менее 15 баллов (каждая правильно решенная задача оценивается в 3 балла).

М.9.1.1. Решив задачу, помещенную вначале статьи, определить сколько лет прожил Диофант.

М.9.1.2. Решить уравнения в целых числах

М.9.1.3. Найдите день моего рождения, если сумма чисел равных произведению даты рождения на 12 и номера месяца рождения на 31 равна 380.

М.9.1.4. Кусок проволоки длиной 102 см нужно разрезать на части длиной 15 см и 12 см, так чтобы была использована вся проволока. Как это сделать?

М.9.1.5. Решить уравнения в целых числах

М.9.1.6. Докажите, что уравнение x2 – y2 = 30 не имеет решений в целых числах.

М.9.1.7. Существуют ли целые числа m и n, удовлетворяющие уравнению m2 + 1994 = n2

1. Башмакова, И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. – М.: Наука, 1972.

2. Фоминых, Ю. Ф. Диофантовы уравнения //Математика в шк. – 1996. — №6.

3. Школьная энциклопедия. Математика. / под редакцией – М.: Издательство «Большая российская энциклопедия», 1996.

4. Бабинская, И. Л. Задачи математических олимпиад. – М., 1975.

5. Васильев, Н. Б. Задачи Всесоюзных математических олимпиад. – М., 1998.

6. Курляндчик, Л. Метод бесконечного спуска // Приложение к журналу «Квант». 1999. – №3.

7. Яковлев, Г. Н. Всесоюзные математические олимпиады школьников. М., 1992.

8. Серпинский, В. О решении уравнений в целых числах. – М, 1961.

9. Перельман, Я. И. Занимательная алгебра. – М.: Наука, 1975.