6.3. Эллипсоид
Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид , где – положительные числа (полуоси эллипсоида), которые в общем случае различны. Эллипсоидом называют как поверхность, так и тело, ограниченное данной поверхностью. Тело задаётся неравенством и координаты любой внутренней точки (а также любой точки поверхности) обязательно удовлетворяют этому неравенству. Конструкция симметрична относительно координатных осей и координатных плоскостей:
Происхождение термина «эллипсоид» тоже очевидно: если поверхность «разрезать» координатными плоскостями, то в сечениях получатся три различных (в общем случае) эллипса. В зависимости от значений эллипсоид может быть вытянут вдоль любой оси, причём вытянут достаточно далеко.
Если две полуоси совпадают, то данную поверхность / тело называют эллипсоидом вращения. Так, например, эллипсоид получен вращением эллипса вокруг оси (представьте мысленно).
Небольшая задачка для самостоятельного решения:
Задача 173
Построить эллипсоид . Записать уравнение порождающего эллипса и ось, вокруг которой осуществляется его вращение.
Чертеж с комментариями в конце книги.
В случае равенства всех полуосей , эллипсоид вырождается в сферу:
– данное уравнение задаёт сферу с центром в начале координат радиуса .
Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Неравенство определяет шар с центром в начале координат радиуса . И, соответственно, противоположному условию удовлетворяют координаты любой внешней точки.
Разделаемся с аппетитным Колобком:
Задача 174
Построить поверхность . Найти функции, задающие верхнюю и нижнюю полусферу, указать их области определения. Записать аналитическое выражение шара, ограниченного данной сферой и проверить, принадлежат ли ему точки .
Решение: уравнение задаёт сферу с центром в начале координат радиуса 2. Здесь, как и в примерах с параболическими цилиндрами, удобно уменьшить масштаб чертежа:
Выразим «зет»: , после чего уравнение распадается на две функции:
– задаёт верхнюю полусферу;
– задаёт нижнюю полусферу.
Область определения функции – это её ортогональная проекция на плоскость . Очевидно, что областью определения наших функций является круг с центром в начале координат радиуса 2.
Неравенство определяет шар с центром в начале координат радиуса 2. Подставим координаты точек в данное неравенство:
1)
– получено неверное неравенство, следовательно, точка «дэ» лежит вне шара.
2)
– получено верное неравенство, значит, точка «эф» принадлежит шару, а конкретнее – его границе (сфере).
Следующее задание для самостоятельного решения:
Задача 175
Найти область определения функции двух переменных и построить соответствующую поверхность.
Решение и ответ в конце книги.
Кстати, наша планета, кто не знает, имеет форму эллипсоида. Чуть-чуть-чуть, но Земля – таки не шар.
Поверхности второго порядка. Поверхности вращения.
Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси OZ, если для любой точки M0(x0,y0,z0)
этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z=z0 с центром в (0,0,z0) и радиусом
, целиком принадлежит этой поверхности.
Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением
F(x 2 +y 2 ,z)=0, то S — поверхность вращения вокруг оси OZ.
Эллипсоид:
Мнимый эллипсоид.
где a > 0, b > 0, c > 0. Эта поверхность не имеет ни одной вещественной точки.
Свойства эллипсоида.
1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что
2. Эллипсоид обладает:
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно начала координат.
3. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается
Однополостной гиперболоид.
Свойства однополостного гиперболоида.
1. Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что
2. Однополостной гиперболоид обладает:
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно всех координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается
эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.
Двуполостной гиперболоид.
Свойства двуполостного гиперболоида.
1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует,
что и неограничен сверху.
2. Двуполостный гиперболоид обладает
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно всех координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при
получается эллипс, при – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям
Ox и Oy, – гипербола.
В случае, если a=b≠0, перечисленные выше (эллипсоид, однополостной гиперболоид, двуполостной
гиперболоид, эллиптический параболоид) поверхности являются поверхностями вращения.
Эллиптический параболоид.
Свойства эллиптического параболоида.
1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует,
что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.
2. Эллиптический параболоид обладает:
- осевой симметрией относительно оси Oz,
- плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.
3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а
плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.
Уравнение эллиптического параболоида имеет вид:
Если a=b, то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную
вращением параболы, параметр которой , вокруг вертикальной оси, проходящей через
вершину и фокус данной параболы.
Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью z=z0>0 является эллипсом.
Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью x=x0 или y=y0 является параболой.
Эллипсоиды
Определение эллипсоида
Эллипсоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат каноническим уравнением
где — положительные параметры, удовлетворяющие неравенствам .
Если точка принадлежит эллипсоиду (4.46), то координаты точек при любом выборе знаков также удовлетворяют уравнению (4.46). Поэтому эллипсоид (4.46) симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат. Начало координат называют центром эллипсоида (4.46). Шесть точек пересечения эллипсоида с координатными осями называются его вершинами, а три отрезка координатных осей, соединяющих вершины, — осями эллипсоида. Оси эллипсоида, принадлежащие координатным осям , имеют длины соответственно. Если b>c» png;base64,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» />, то число называется большой полуосью, число — средней полуосью, число — малой полуосью эллипсоида. Если полуоси не удовлетворяют условиям , то уравнение (4.46) не является каноническим. Однако при помощи переименования неизвестных можно всегда добиться выполнения неравенств .
Плоские сечения эллипсоида
Подставляя в уравнение (4.46), получаем уравнение линии пересечения эллипсоида с координатной плоскостью . Это уравнение в плоскости определяет эллипс Линии пересечения эллипсоида с другими координатными плоскостями также являются эллипсами. Они называются главными сечениями (главными эллипсами) эллипсоида.
Рассмотрим теперь сечение эллипсоида плоскостью, параллельной какой-нибудь координатной плоскости, например . Подставляя , где — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.46), получаем
При c» png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADoAAAAVBAMAAADlb+D4AAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADnRSTlMAg0KoBP0QXdEhwHEx4v6hyb4AAADaSURBVCjPY2DAD/ZAae4D2GSFGBiqlgNpRgUcsofD8ckyh+GT5W2Ay1piyk4VgMtOXoQhW1q9WAFm8uTlMAn2VWZgWdMm5gtweye3Q2i25mkXwbJXJzDGIFyVCJHOaGAMBMlyBjIwByC5OfEiiBQtYFMAybKHM7AaIMmmN4LIUKirgN49ugHJ5O4EEBUFleVtYBHNMYDJToS6KpiBgRMkmyrAsIL5AMxHUEkGCwY2c5CsqgLDXnOM0MhaaAx2FQ/QjASILJsRIpiSEiBhBQY4Y4Fs2U2wlINFFgCrpSqpbSiUhgAAAABJRU5ErkJggg==» style=»vertical-align: middle;» /> уравнение не имеет действительных решений (правая часть уравнения отрицательная, а левая неотрицательная), т.е. плоскость не пересекает эллипсоид. При уравнение (4.47) имеет нулевое решение . Следовательно, плоскости касаются эллипсоида в его вершинах . При , разделив обе части уравнения (4.47) на 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />, получаем уравнение эллипса полуосями . Следовательно, сечение эллипсоида плоскостью при представляет собой эллипс.
Плоские сечения дают возможность составить полное представление о виде эллипсоида (рис.4.40,а).
Эллипсоиды вращения
Эллипсоид, у которого две полуоси равны, называется эллипсоидом вращения (или сфероидом ). Такой эллипсоид является поверхностью вращения. Например, если , то линии (4.47) при являются окружностями. Следовательно, сечения эллипсоида плоскостями представляют собой окружности с центрами на оси аппликат. Такую поверхность можно получить, вращая вокруг оси эллипс заданный в плоскости (рис.4.41,а).
Если , то все сечения эллипсоида (4.46) плоскостями при эллипс (рис.4.41,б).
Если все полуоси эллипсоида равны , то он представляет собой сферу радиуса , которую можно получить, например, вращая окружность такого же радиуса вокруг любого диаметра.
Эллипсоид, у которого полуоси попарно различны b>c)» png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />, называется трехосным (или общим).
1. Плоскости определяют в пространстве основной прямоугольный параллелепипед , внутри которого находится эллипсоид (см. рис.4.40,б). Грани параллелепипеда касаются эллипсоида в его вершинах.
2. Эллипсоид можно определить, как геометрическое место точек, получаемое в результате трех сжатий (растяжений) сферы единичного радиуса к трем взаимно перпендикулярным плоскостям.
3. Начало канонической системы координат является центром симметрии эллипсоида, координатные оси — осями симметрии эллипсоида, координатные плоскости — плоскостями симметрии эллипсоида.
В самом деле, если точка принадлежит эллипсоиду, то точки с координатами при любом выборе знаков также принадлежат эллипсоиду, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.46).
http://www.calc.ru/Poverkhnosti-Vtorogo-Poryadka-Poverkhnosti-Vrashcheniya.html
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=ellipsoid