Сфера уравнение сферы геометрия 11 класс атанасян

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №8. Сфера и шар

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• что такое сфера, какие у неё есть элементы (центр, радиус, диаметр сферы);
• что такое шар и его элементы;
• уравнение сферы;
• формула для нахождения площади поверхности сферы;
• взаимное расположение сферы и плоскости;
• теорема о радиусе сферы, который проведён в точку касания и теорему обратную данной.

Глоссарий по теме:

Окружность – множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Данная точка называется центром окружности, расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом окружности.

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

– уравнение сферы радиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀).

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Сегмент шара — это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-142.

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений– М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Основные теоретические факты

По аналогии с окружностью сферу рассматривают как множество всех точек равноудалённых от заданной точки, но только всех точек не плоскости, а пространства.

Рисунок 1 – Сфера с центром в точке О и радиусом R

Данная точка О называется центром сферы, а заданное расстояние – радиусом сферы (обозначается R). Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром (обозначается D). D=2R.

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Сферу можно получить ещё одним способом — вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.

2. Уравнение сферы

Прежде чем вывести уравнение сферы введем понятие уравнения поверхности в пространстве. Для этого рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F. Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.

Пусть сфера имеет центром точку С (x₀; y₀; z₀) и радиус R. Расстояние от любой точки М (x; y; z) до точки С вычисляется по формуле:

МС=

Исходя из понятия уравнения поверхности, следует, что если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС 2 =R 2 , то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению:

.

Это выражение называют уравнением сферы радиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀).

3. Взаимное расположение сферы и плоскости

Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от соотношения между радиусом сферы R и расстояния от центра сферы до плоскости d.

1. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, тогда сфера и плоскость пересекаются, и сечение сферы плоскостью есть окружность.

2. Пусть d=R. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы тогда сфера и плоскость имеют только одну общую точку, и в этом случае говорят, что плоскость касается сферы.

3. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Рассмотрим случай касания более подробно.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Теорема (свойство касательной плоскости).

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Теорема (признак касательной плоскости):

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

4. Основные формулы

Соотношение между радиусом сферы, радиусом сечения и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения:

Формула для вычисления площади поверхности сферы и ее элементов:

S=4πR 2 – площадь сферы.

S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h.

– площадь поверхности сектора с высотой h.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Площадь сечения шара, проходящего через его центр, равна 9 кв. м. Найдите площадь поверхности шара.

Площадь круга вычисляется по формуле: S_кр=πR 2 .

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: S_сф=4πR 2 . Радиус шара и радиуса сечения, проходящего через центр шара, одинаковые. Поэтому площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его диаметрального сечения. То есть площадь поверхности шара равна 36.

2. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5.

Площадь сферы равна S_сф=4πR 2 . То есть S_сф=100π.

По условию площадь круга некоторого радиуса r также равна 100π. Значит, r 2 =100, то есть r=10.

3. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13, ВС=14, СА=15

Окружность, вписанная в треугольник, является сечением сферы.

Найдем ее радиус.

Площадь треугольника с известными сторонами можно вычислить по формуле Герона:

С другой стороны, S=p·r.

Теперь найдем расстояние от центра шара до секущей плоскости.

4. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10. Найти расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16.

Так как вершины прямоугольника лежат на сфере, то окружность, описанная около прямоугольника, является сечением сферы.

Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали, то есть r=8.

Урок геометрии в 11 классе на тему «Сфера и шар»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок геометрии в 11 классе.

Взаимное расположение сферы и плоскости.

Продолжительность урока: 45 минут

Учебник: «Геометрия, 10-11 классы», Л.С.Атанасян

На уроке применяются элементы следующих современных образовательных технологий:

Информационные компьютерные технологии

Цели урока:

— изучить основные понятия, связанные с шаром; виды взаимного расположения шара и плоскости (сечения шара плоскостью);
— формировать навыки решения задач.

— развивать способности к самостоятельному планированию и организации работы, к самоанализу и способности коррекции собственной деятельности

— воспитывать познавательный интерес к математике;
— воспитывать информационную культуру и культуру общения;
— воспитывать наблюдательность, самостоятельность, способность к коллективной работе.

Оборудование: циркуль; рисунки; компьютер, проекционный экран, проектор.

Формы работы: групповая работа, самостоятельная работа.

Тип урока: урок получения новых знаний.

формирование знаний, умений и навыков (урок – лекции)

закрепление (работа по рисункам, решение задач)

Организационный момент- 1 мин.

— приветствие, сообщение основных этапов урока.

Начать урок я хочу с вопроса: «Что самое ценное на Земле?» Этот вопрос волновал человечество не одну тысячу лет. Вот какой ответ дал известный учёный Ал — Бируни:

«Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит».

Пусть эти слова станут девизом нашего урока.

Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением, что геометрия – интересный и нужный предмет.

Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”.

Давайте последуем совету писателя на сегодняшнем уроке: будьте активны, внимательны, поглощайте с большим желанием знания, которые пригодятся вам в дальнейшей жизни.

Актуализация знаний обучающихся – 5 мин.

— работа по вопросам

а) определение окружности

б) определение радиуса окружности

в) определение диаметра окружности

г) определение круга

III . Формирование знаний, умений и навыков обучающихся-15 мин.

3.1. В этот этап входит обсуждение новой темы, в ходе которой ученики сами определяют тему урока. После обсуждения весь класс для дальнейшей работы разбивается на группы.

— определение сферы (ω )

— определение центра, радиуса и диаметра (2R) сферы

— определение шара (Φ)

— определение шаровой поверхности

— определение центра, радиуса и диаметра шара

— определение диаметрально противоположных точек

(x-xₒ)² + ( y — y ₒ)² + ( z — z ₒ)² = R ²

3.2. взаимное расположение сферы и плоскости:

Ребята, посмотрите на проекционный экран. Вы видите три чертежа, на каждом из которых изображены шар и плоскость. Скажите, пожалуйста, каково расположение шара и плоскости относительно друг друга на каждом чертеже? (ученики отвечают )

а) d > R , тогда R ² — d ² x ² + y ² = R ² — d ² не удовлетворяют координаты никакой точки.

– если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

б) d = R , тогда R ² — d ² =0 и уравнению x ² + y ² = R ² — d ² удовлетворяют только значения х=0, у=0

– если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

в) d R , тогда R ² — d ² >0 и уравнение x ² + y ² = R ² — d ² является уравнением окружности радиуса r = √ R ² — d ² с центром в точке О на плоскости Оху

– если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность.

— сечение шара плоскостью есть круг.

— большой круг – круг, радиус которого равен радиуса шара.

3.3. Как вы думаете, какая фигура является сечением шара плоскостью, удалённой от центра шара на расстоянии, меньшем радиуса шара? (Круг).

Запишем в тетрадь формулировку теоремы о сечении шара плоскостью, удалённой от центра шара на расстоянии, меньшем радиуса шара “Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость”.

IV . Follow the leader «Следуй за лидером» — физминутка- 2 мин.

(под музыку) — Наступает время для физкультминутки. Встаньте, задвиньте стулья. Сейчас я включаю музыку, лидер у нас – Анжелла, и вы все должны выполнять движения за ней. Итак, начинаем. (Включается музыка «Кто, если не мы?»)

— Закончили. Молодцы, отдохнули немного? Теперь снова за работу.

V .Закрепление изученного материала – 19 мин.

5.1 . ФИНК – РАЙТ РАУНД РОБИН – по часовой стрелки – работа на листочках ( подумай-запиши-обсуди)

— Сейчас, задание выполняем на листочках. Сначала подумайте, запишите и обсудите в команде свои полученные ответы.

— Начинают участники под номером 2 и по кругу вы проговариваете каждый свой ответ.

(повторить формулу Герона, площадь треугольника через высоту, площадь круга, теорема Пифагора)

Задание: На карточках к словам из левого столбика подберите нужную формулу из правого столбика и проведите стрелочки.

Треугольник — S = a ∙ h .

Формула Герона — S =

Площадь круга — S = πR ²

Теорема Пифагора — с² = а² + в²

Закончили, положите листочки в центр стола.

5.2. Решение задач: №№576(а), 580 — (учащиеся + учитель +компьютер)

(№580 — ∆ АВС – прямоугольный т.к. ООₒ перпендикулярен плоскости сечения, по теореме Пифагора АВ = √ОВ² — ОА² = √41² — 9² = 40 дм; Sсеч = πR ² = π ·40² = 1600 π дм² = 16 π м²)

5.3. Работа в группах (элемент применения здоровьесберегающих технологий – работа по профилактике стрессов): каждой группе выдается задание для работы.

Сфера, радиус которой равен 10 см, пересечена плоскостью. Расстояние от центра сферы до этой плоскости равно 8 см. Найдите длину окружности, получившейся в сечении.

Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга. (3/4)

Два ученика (по одному от каждой группы) представляют решение своей задачи у доски, остальные ученики оформляют решение в тетрадях.

5.4. Вопросы для закрепления (задается по два-три вопроса, ученику, отвечающему у доски; при возникновении затруднений своему представителю может помогать группа):

Что такое шар? (тело, ограниченное сферой)

Что такое шаровая поверхность или сфера? (поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки)

Что такое радиус, диаметр, хорда шара? (любой отрезок, соединяющий центр и любую точку (шара) сферы; отрезок, две точки сферы (шара) и проходящий через ее центр; диаметр, не проходящий через центр шара)

Записать уравнение сферы ((x-xₒ)² + ( y — y ₒ)² + ( z — z ₒ)² = R ² )

Что является сечением шара плоскостью, удалённой от центра шара на расстояние, меньшее радиуса шара?

Назовите три случая взаимного расположения сферы и плоскости. ( d > R , d = R , d R )

Что такое большой круг? (если секущая плоскость проходит через центр шара, то d=0 и в сечении получается круг радиуса R, т.е.круг, радиус которого равен радиусу шара.)

VI . Подведение итога урока – 1 мин

Истекли 45 минут урока. Я надеюсь, что после сегодняшнего урока наши обычные уроки математики будут проходить еще лучше.

— Вот закончился урок,

Подведём сейчас итог,

Мы много вспомнили, друзья,

Без этого никак нельзя.

Правила мы повторили,

На практике их применили.

Задачи, находя решенье,

Память и внимание,

А теперь, внимание,

VII . Домашнее задание – 2 мин

— Инструкции по выполнению домашнего задания

= Урок окончен, спасибо за урок, до свидания, увидимся завтра! =

Презентация по геометрии «Сфера. Уравнение сферы» (11класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Понятие сферы и её элементов Уравнение сферы в заданной системе координат Решение задач по данной теме Учитель математики Дементьева И.В. МБОУ СОШ № 160 г.Новосибирск

Социальная сфера — это система социальных отношений, т.е. отношений между группами людей, занимающими различное положение в социальной структуре общества. Политическая сфера – это система политических и правовых отношений, возникающих в обществе.

Духовная сфера – это система отношений между людьми, отражающая духовно-нравственную жизнь общества, представленную такими подсистемами, как культура, наука, религия, мораль, идеология, искусство.

4 сферы Земли — литосфера, гидросфера, биосфера и атмосфера. Небесная сфера.

Окружность-множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки. т.О — центр окружности ОА – радиус окружности (обозначение: R; r ) СД – диаметр окружности ( d=2r) Дуга СД — полуокружность А С Д О

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. т.О — центр сферы ОА – радиус сферы. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы называется радиусом сферы. ВС – диаметр сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы d=2r

? Какие из тел, изображенных на рисунках, являются сферой? 1 2 3 4 5 6

№573(а) Точки А и В лежат на сфере с центром О, не принадлежащем АВ, а точка М лежит на отрезке АВ. Докажите, что: а) если М – середина отрезка АВ, то ОМ ┴ АВ.

№574(а) Точка М – середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере радиуса R с центром О. Найдите: а) ОМ, если R = 50 см, АВ = 40 см

ФИПИ, 2011 В9 Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 4. Найдите его объем. Ответ: 512 (устно)

Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии Уравнение с тремя переменными х,у,z называется уравнением поверхности, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности

М(х;у) х у х у z (х;у;z) С

Частные случаи 1.Уравнение окружности с центром в т.О(0;0) и радиусом r 1.Уравнение сферы с центром в т.О(0;0;0) и радиусом R

Выбрать из предложенных уравнений – уравнение сферы: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 1.Ур-е окружности 2.Ур-е сферы 3.Ур-е прямой 4.Ур-е сферы 5.Ур-е параболы 6.Ур-е сферы 7.Ур-е сферы 8. ?

В данных уравнениях определите координаты центра сферы и радиус 1. 2. 3. 4.

Составьте уравнение сферы по следующим данным центра и радиуса сферы: Дано: С(-2;8;1); R=11 Дано: А(3;-2;0); R=0,7 Дано: О(0;0;0); R=1 Проверяем ответы:

Задача Определить принадлежит ли т.А сфере, заданной уравнением если: а) т.А(5;-2;6) б) т.А(-5;2;6) Решение: Равенство верное, следовательно А(5;-2;6) принадлежит сфере Равенство неверное, следовательно А(5;-2;6) не принадлежит сфере

№577 Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку N, если А(-2;2;0); N(5;0;-1)

№579 (а ,г ) Докажите, что каждое из следующих уравнений является уравнением сферы. Найдите координаты центра и радиус этой сферы: а) г)

Домашнее задание: 1. В тетради «Теория»: а)Выучить определение сферы и её элементов; уравнение сферы. б)Изобразить шар, сформулировать определение шара и его элементов. (Помощь в учебнике на стр.129 п.58) 2. Выполнить упражнения: № 573(б); № 576(в); 577(в) Дополнительно (по желанию): найти информацию о теле вращения – тор.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 591 240 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Геометрия. Учебник 10-11 класс », Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 20.04.2019
• 605
• 4

• 15.04.2019
• 1868
• 70

• 15.04.2019
• 2924
• 89

• 14.04.2019
• 304
• 1

• 12.04.2019
• 2691
• 13

• 12.04.2019
• 4208
• 73

• 08.04.2019
• 2570
• 75

• 05.04.2019
• 448
• 3

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 24.04.2019 3382
• PPTX 1.3 мбайт
• 328 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Дементьева Ирина Валерьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 2 месяца
• Подписчики: 2
• Всего просмотров: 40098
• Всего материалов: 28

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.