Уравнение с двумя переменными
Уравнение с двумя переменными и его решение
Уравнение вида ax+by = c , где a,b,c — данные числа, называется линейным уравнением с двумя переменными x и y.
Например: 2x+5y = 6; -x+1,5y = 0; $\frac<1><2>$ x-8y = 7
Уравнение с двумя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x и y.
Например: $2x^2+y^2 = 3, x-5y^2 = 1, 7x^3+y = 7$
Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных (x,y), обращающая это уравнение в тождество.
О тождествах – см. §3 данного справочника
Например: для уравнения 2x+5y=6 решениями являются пары
x = -2, y = 2; x = -1,y = 1,6; x = -3,y = 2,4 и т.д.
Уравнение имеет бесконечное множество решений.
Свойства уравнения с двумя переменными
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными.
Уравнения с двумя переменными имеют такие же свойства, как и уравнения с одной переменной:
- если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую и изменить его знак, получится уравнение, равносильное данному;
- если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Например: $2x+5y = 6 ⟺5y = -2x+6 \iff y = -0,4x+1,2$
Примеры
Пример 1. Из данного линейного уравнения выразите y через x и x через y:
Алгоритм: рассмотрим 3x+4y=10
1) оставим слагаемое с выражаемой переменной с одной стороны, остальные слагаемые перенесем в другую сторону: 4y=-3x+10
2) разделим полученное уравнение слева и справа на коэффициент при выражаемой переменной: y=-0,75x+2,5 — искомое выражение y(x).
Аналогично для x(y): $3x+4y = 10 \iff 3x = -4y+10 \iff x = -1 \frac<1> <3>y+3 \frac<1><3>$
Сформулируйте свойства уравнений с двумя переменными
—>Просмотров : 1112 | —>Добавил : Ferst (04.11.2019) (Изменено: 04.11.2019)
Всего ответов: 2 | |
Обсуждение вопроса:1) Если к обеим частям данного уравнения прибавить (вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, имеющее те же решения, что и данное. 2) Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, имеющее те же решения, что и данное. 3) Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, имеющее те же решения, что и данное. 1. В уравнении можно перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. 2. Обе части уравнения можно множить или разделить на одно и то же отличное от нуля число. Линейные уравнения с двумя переменнымиЛинейные уравнения с двумя переменными Определение: Линейные уравнения с двумя переменными – это уравнение вида ax+by+c=0, где x, y — переменные, a, b,c – некоторые числа. Например: 5х + 2у = 10; -7х+у = 5; х – у =2 Определение: Решение уравнения с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство. Если х=4, у=1,5 , то 2 ∙ 4 – 3 ∙ 1,5 = 10 т. е. пара чисел (4; 1,5) не является решением уравнения. Определение: Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же решения или не имеющие их. 1. В уравнении можно перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. 2. Обе части уравнения можно множить или разделить на одно и то же отличное от нуля число. Выразить одну переменную через другую: 1) 2х +у = 5 2) 3) График линейного уравнения с двумя переменными Определение: График уравнения с двумя переменными – это множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения. 1. Пример: 3х + 2у = 6, где а=3, b=2, c=6 План 1) Выразить переменную у у = у = -1,5х +3 линейная функция вида y = kx + b, 2) Составить таблицу значений х и у 3) Построить график 2. Частные случаи построения графика ax + by = c у = x = х = 2 Графика не существует График – вся координатная плоскость Решение систем уравнений с двумя переменными. Графический способ. Определение: Система уравнений – это несколько уравнений, для которых находят общее решение. Определение: Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая каждое уравнение в верное равенство. Если х=7, у=5, то , , верно, т. е. (7; 5) – решение системы уравнений. Определение: Решить систему – это значит найти все ее решения или доказать, что решений нет. План решения системы уравнений графическим способом 1. Выразить переменную у в первом уравнении. 2. Выразить переменную у во втором уравнении. 3. В одной системе построить графики данных функций. 4. Координаты точки пересечения графиков и является решением системы уравнений. Пример: 1) х +у = 6 → у = 6-х линейная функция, график вида у = kx + b, k = -1, b = 6 источники: http://ingvarr.net.ru/otvet/18-1-0-56853 http://pandia.ru/text/78/230/76832.php |