Шапошников станислав валерьевич дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)-1,2

Данный курс представляет из себя углубленное введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. Структура курса построена таким образом, чтобы выявить глубокие связи теории дифференциальных уравнений со остальными фундаментальными разделами математики: анализом, геометрией и алгеброй. Помимо классических результатов без которых невозможен ни один курс по обыкновенным уравнениям, программа включает в себя начала трех дисциплин, естественно вытекающих из курса: теорию динамических систем, уравнения в частных производных и групповой анализ Ли. В курсе будет предложено большое важных примеров.

Необходимые базовые знания для прохождения курса

Анализ: пределы, непрерывность, дифференцируемость, интеграл Римана, функции многих переменных, равномерная сходимость. Для второй части также необходимы основы комплексного анализа.

Геометрия: метрические пространства, открытость/замкнутость/компактность/связность, непрерывность, полнота. Для второй части также необходимы гладкие многообразия, дифференциальные формы.

Алгебра: линейные пространства и линейные отображения, базис, определитель, сопряженные пространства, характеристический многочлен, жорданова нормальная форма.

Лекция 1. Определение обыкновенного дифференциального уравнения в конечномерном линейном пространстве V. Фазовое пространство, расширенное фазовое пространство. Разрешение относительно производной. Два определения решения: классическое и по Пикару, их эквивалентность в непрерывном случае. Инвариантность решения относительно замен координат. Примеры: одномерная экспонента, радиоактивные изотопы.

Лекция 2. Теорема о локальном существовании и единственности решения ОДУ (теорема Пикара для задачи Коши). Примеры: метод Эйлера, математический маятник, примеры отсутствия единственность или существования.

Лекция 3-4. Теорема о повышении гладкости решения ОДУ. Первые способы явного нахождения решений. (a) Разделение переменных: f(x) dx=g(y) dy. (b) Полный дифференциал: решение P(x,y) dx+Q(x,y) dy=0 и интегрирующий множитель. (c) Линейное однородное и неоднородные уравнения с одной переменной. (d) Метод интегрирующего множителя. (e) Обобщенно однородные уравнения. (f) Производная вдоль решений ОДУ. Первые интегралы. Примеры для каждого из методов.

Лекция 5. Теорема о глобальная единственности, включая решения вдоль границы (основанная на лемме Гронуолла). Теорема о непродолжимом решении.

Лекция 6. Теорема о продолжении решения ОДУ до границы замкнутой области или пока не убежит на бесконечность. Следствие: интегральные кривые не пересекаются и заполняют область в расширенном фазовом пространстве. Достаточное условие полноты векторного поля. Пример неполного векторного поля на плоскости.

Лекция 7-8. Линейные системы на линейном конечномерном пространстве. Теорема о структуре решений линейного однородного ОДУ (продолжимость решений на всю прямую, линейная структура пространства решений, его размерность). Поток такого уравнения и его свойства. Пример: вычисление ∫_(-∞)^(-∞)▒cos x⁄((1+x^2 ) ) dx.

Лекция 9. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского. Формулы Якоби и Остроградского–Лиувилля. Пример: линейные уравнения одного переменного высших порядков. Решение линейных неоднородных уравнений, за счет выпрямления поля в подвижном базисе, общая формула для решения. Линейные неоднородные уравнения и методы решения. Пример: вынужденные колебания.

Лекция 10-11. Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами. Операторная экспонента и ее свойства. Присоединенные действия ad и Ad и их связь с операторной экспонентой. Пример: формула Кэмпбелла-Хаусдорфа для простейшего случая [A,B]=A.

Лекция 12. Линейные ОДУ высшего порядка с одной неизвестной. Характеристический многочлен. Комплексификация такого уравнения. Общая формула решения в комплексном и действительном случаях. Общая формула для решений линейного не однородного уравнений высших порядков.

Лекция 13. Теорема сравнения Штурма: канонический вид, нахождение общего решения с помощью одного частного, теорема сравнения Штурма. Пример: малые стационарные колебания струны.

Лекция 14. Теорема о непрерывной зависимости решения ОДУ от правой части и начального условия. Теорема о непрерывности решения по параметру.

Лекция 15-16. Теорема о производной решения ОДУ по параметру. Уравнение в вариациях. Пример: фазовый портрет физического маятника и его линеаризации в окрестности обоих положений равновесия. Теорема о гладкой зависимости решения от параметра.

Лекция 17. Автономные системы и векторные поля. Теорема об изменении векторного поля при замене координат. Отображение потока и его свойства (групповое свойство, гладкость, связь с уравнением в вариациях). Пример: система Лотки-Вольтерра.

Лекция 18-19. Теорема о выпрямлении поля и следствие о существовании полного набора первых интегралов. Примеры выпрямления поля. Невозможность выпрямления в окрестности неподвижной точки.

Лекция 20. Пример: классификация неподвижных точек двумерной системы (седло, узел, фокус, центр, и вырожденные).

Лекция 21. Неподвижные точки векторных полей. Устойчивости (по Ляпунову, асимптотическая). Пример диполя на сфере. Теорема о необходимых и достаточных условиях устойчивости/асимптотической устойчивости линейной системы x=Ax.

Лекция 22. Функция Ляпунова и теоремы Ляпунова (об устойчивости и асимптотической устойчивости). Одномерные и двумерные примеры.

Лекция 23. Теорема об асимптотической устойчивости неподвижной точки по линейному приближению. Пример: положения равновесия математического маятника.

Лекция 24-26. Начала теории динамических систем. α- и ω- предельные множества и их простейшие свойства для ограниченной полутраектории (непустота, компактность, связность, инвариантность относительно потока). Примеры: неподвижные точки, циклы. Отображение последования Пуанкаре. Теория Пуанкаре-Бендиксона о структуре предельных множеств на плоскости. Теорема об изолированных циклах на плоскости (с помощью исследования отображения последования Пуанкаре).

Лекция 27-28. Начала аналитической теории дифференциальных уравнений. Аналитичная правая часть. Комплесификация. Теорема Коши об аналитичности решения ОДУ. Изолированные особые точки аналитических ОДУ. Монодромия. Метод Фробениуса. Пример: уравнение Эйлера.

Лекция 29-30. Начала теории уравнений в частных производных. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно первой производной. Пространство 1-струй и контактная геометрия. Дискриминантная кривая. Пример: уравнения Клеро и преобразование Лежандра. Уравнения в частных производных первого порядка F(x,u(x),u'(x))=0. Характеристики. Общий вид решения. Пример: уравнений эйконала, каустика эллипса.

Лекция 31-32. Начала группового анализа Ли. Группа симметрий, ее инфентизимальный генератор, теорема о полном наборе инвариантов группы. Дифференциальное продолжение действия группы. Группа Галилея. Применение к уравнениям первого и второго порядков.

1. Филиппов, А.Ф. «Введение в теорию дифференциальных уравнений».
2. Арнольд, В.И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения».
3. Арнольд, В.И. «Геометрические методы в теории обыкновенные дифференциальных уравнений».
4. Ибрагимов, Н.Х. «Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений».
5. Капустина, Т.О., Чечкин Г.А., Чечкина, Т.П. «Конспекты лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям».

Отчетность по курсу (-ам): в течении курса студентам будет предложен ряд теоретических заданий, необходимых для усвоения материала. Примеры заданий:

1. ПустьP_n– пространство многочленов от t степени меньше n. Вычислить экспоненту от оператора d/dt:P_n→P_n

2. Постройте фазовый портрет на плоскости (x,p) системы x ˙=sgnpp ˙=x. Опишите все решения, проходящие через начало координат.

3. Дано линейное ОДУ x ˙=A(t)xна линейном пространствеV.Выписать линейное ОДУ на сопряженном пространстве, созраняющее операцию спаривания векторов и ковекторов.

4. Найдите асимптотику собственных значенийλуравнения Штурма x ¨+(q(t)+λ)x=0с краевыми условиями x(0)=x(1)=0

5. Верно ли, что решения уравненияx ˙(t)=x(a-t)гладко зависят от параметра a?

6. В условиях теоремы об ω-предельном множестве, верно ли что ω-предельное множество является линейно связным?

Обыкновенные дифференциальные уравнения (Лектор: С.В. Шапошников)

Листки с заданиями

Объявление: .Учебные ассистенты по предварительной договоренности готовы принимать задачи листков в неурочное время.
Контакты ассистентов:
Ксения Сырцева e-mail: mlleKsucha@yandex.ru (предпочтительное время: вторник 17.00-18.15, пятница 15.30-17.00)
Анастасия Матвеева e-mail: mtvnastya@gmail.com (предпочтительное время: среда 13.30-15.30, четверг после 15.30)
Алдонин Феликс e-mail: fela95@mail.ru vk: Алдонин Феликс (на фотографии — черепаха)
(предпочтительное время: четверг, пятница после 14:00)

Оценки

Важные пояснения:
— задачи листков, сданные до 16 декабря включительно, будут учтены и могут повлиять на накопленную оценку или оценку-автомат.
— на экзамене Ваш ответ будет оцениваться по 5-балльной системе и к нему будет добавлена Ваша накопленная оценка.
— получившие оценку-автомат и желающие ее улучшить могут попробовать это сделать на экзамене.

Качественные свойства стационарных распределений и переходных вероятностей диффузионных процессов. Шапошников, Станислав Валерьевич

480 руб. | 150 грн. | 7,5 долл. ‘, MOUSEOFF, FGCOLOR, ‘#FFFFCC’,BGCOLOR, ‘#393939’);» onMouseOut=»return nd();»> Диссертация, — 480 руб., доставка 1-3 часа, с 10-19 (Московское время), кроме воскресенья

Автореферат — бесплатно , доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников

Шапошников, Станислав Валерьевич. Качественные свойства стационарных распределений и переходных вероятностей диффузионных процессов. : диссертация . доктора физико-математических наук : 01.01.05 / Шапошников Станислав Валерьевич; [Место защиты: Математический институт РАН].- Москва, 2011.- 196 с.: ил.

Введение к работе

Актуальность темы. Пусть x_t — диффузионный процесс с производящим оператором L, заданным формулой

Хорошо известно,что переходные вероятности P(x,t,s,U) удовлетворяют уравнению Фоккера-П лапка-Колмогорова d_tP = L*P, где L* — формально сопряженный оператор к L. Более того, если д — инвариантная мера процесса то д удовлетворяет стационарному уравнению Колмогорова L*д = 0. Исследование таких уравнений восходит к классическим работам А.Н. Колмогорова’, в которых выводятся и исследуются дифференциальные уравнения для переходных вероятностей и стационарных распределений диффузионных процессов как в R d , так и в компактном многообразии (современное изложение см., например, в книг^). Однако в этих работах коэффициенты предполагались гладкими и глобально ограниченными. Достаточные условия существования диффузионного процесса в R d в случае неограниченных локально липшицевых коэффициентов получены в работе Р.З. Хасьминского, в которой также указаны достаточные условия существования стационарного распределения. В работе Д. Струка и С.Р. Вирили ни»‘ изучаются глубокие связи между уравнениями Фоккери Плинки Колмогоров,! и мартингаль- ными задачами. В теории дифференциальных уравнений с частными производными такие уравнения исследовались в работах Д. Аронсона,

А. Фридмана, С.Д. Эйдельмана, Ф.О. Порпера и многих других авторов (см. работы»»). Перечисленные работы касаются в основном случая ограниченных коэффициентов оператора L или коэффициентов, имеющих линейный рост. Однако хорошо известно (см., например, работы 4 ‘ 5 ), что диффузионный процесс существует, даже если коэффициенты имеют значительный рост при |x| —^ +то. Достаточно, например, чтобы существовала функция Ляпунова. Кроме того, коэффициенты могут быть локально неограничены. Отметим также, что необходимость в исследовании уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова с неограниченными и даже с неинтегрируемыми относительно меры Лебега коэффициентами появляется при изучении бесконечномерных диффузионных процессов.

Итак, в настоящей работе исследуются вероятностные меры д на R d или R d х (0,1), удовлетворяющие эллиптическому уравнению

понимаемому в смысле интегрального тождества

[ Ludii = 0 Vu є C r Q 00 (R d ),

или параболическому уравнению

которое также понимается в смысле интегрального тождества [ ( [dtu + Lu] di = 0 Vu є C₀ TO (R d х (0,1)).

Такие уравнения интенсивно изучались В.И. Богачевым, Н.В. Крыловым, М. Рёкнером, В. Штаннатом, Г. Метафуне, Д. Паллара, А. Ранди,

Дж. Да Прато, К. JIe Бри, П.Л. Лионсом, А. Фигалли и другими математиками разных стран (см. работы»»»»). Основные проблемы, которые являются предметом исследования при изучении вероятностных мер, удовлетворяющих эллиптическим или параболическим уравнениям, состоят в следующем.

1. При каких условиях (возможно более общих) на коэффициенты решение д имеет плотность Q относительно меры Лебега? Когда можно утверждать, что у плотности есть непрерывная по Гёльдеру версия или что плотность лежит в соболевском классе? Хорошо известны классические результаты Вейля, Хёрмандера, Маллявэна о гладкости решения уравнения с гладкими коэффициентами. Если мера уже обладает соболевской плотностью q то уравнения Ь*д = 0 и Ot^ = Ь*д мож-

ты о регулярности решений эллиптических и параболических уравнений для функций. Такого рода результаты о регулярности решений эллиптических и параболических уравнений для мер можно найти в работе В.И. Богачева, Н.В. Крылова, М. Рёкнера 12 , в которой, в частности, доказано, что в случае невырожденной матрицы диффузии A = (a ij ) решение д имеет плотность относительно меры Лебега, а если Anb достаточно регулярны, то плотность лежит в соболевском классе и имеет непрерывную версию.

Когда можно утверждать, что у непрерывной версии плотности решения нет нулей? Если матрица A не вырождена и a ij Є WOf, а коэффициент сноса & интегрируем относительно меры Лебега в степени p, где p > d в эллиптическом случае и p > d + 2 в параболическом случае, то для плотности q выполняется неравенство Харнака, из которого немедленно вытекает строгая положительность функции q. Однако если коэффициент & не интегрируем относительно меры Лебега, то неравенство Харнака, вообще говоря, может не выполняться.

Как оценить поведение плотности решения при |x| ^ то? Хорошо известны гауссовские оценки плотности в случае ограниченных коэффициентов 8 ‘ 10 ‘ 5 , а также в случае коэффициента сноса специального вида. Представляет интерес получение оценок плотности в случае неограниченных коэффициентов. Основная идея состоит в применении метода функций Ляпунова в сочетании с локальными оценками соболевской нормы решения через L p -HopMy коэффициентов относительно самого решения, а не меры Лебега.

Единственны ли решение стационарного уравнения Колмогорова и решение задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова в классе вероятностных мер? Этот вопрос тесно связан с корректностью мартингальной задачи. Исследованию единственности в различных классах решений посвящены работы 6 ‘ 9 ‘ 5 ‘ 16 ‘ 17 ‘ 18 ‘ 19 . Хорошо известно, что единственность нарушается в случае вырождающегося коэффициента диффузии и недостаточно гладкого коэффициента сноса. Оказывается, что неединственность может иметь место даже в случае единичной матрицы диффузии и бесконечно гладкого коэффициента сноса. Типичные условия, при которых доказана единственность в классах, близких к классу вероятностных решений (например, интегрируемые решения или неотрицательные решения), состоят в ограничении роста |&| или предположениях об интегрируемости |b|. Интересно, что для единственности вероятностного решения не требуется ограничений абсолютной величины коэффициента сноса, а достаточно, например, оценить сверху величину (b(x), x). В более общем виде такие условия формулируются в терминах функции Ляпунова. Кроме того, если говорить о единственности решения задачи Копій, то важно получить достаточные условия единственности, допускающие в качестве начального распределения произвольные вероятностные меры, а не только те, у которых есть плотность относительно меры Лебега.

5. При каких условиях вероятностное решение стационарного уравнения Колмогорова или задачи Коши для уравнения Фоккери Плинки Колмогорова является единственным интегрируемым решением (в терминах мер: решение с ограниченной вариацией)? Единственность в классе интегрируемых решений исследовалась в работах 6 ‘ 9 ‘ 18 . Отметим также статью, где в случае единичной матрицы диффузии, локально ограниченного сноса и начального условия, заданного плотностью, было показано, что для единственности интегрируемого решения достаточно потребовать, чтобы величина (b(x), x) не слишком быстро стремилась к —ж при |x| ^ ж. Представляет интерес получение достаточных условий единственности интегрируемого решения в терминах функции Ляпунова, по аналогии с вероятностным случаем. Отметим также, что классы вероятностных, интегрируемых и неотрицательных решений действительно различны.

Цель работы. Получение достаточных условий положительности плотностей и вывод нижних оценок плотностей стационарных и переходных вероятностей диффузионного процесса без предположения локальной и глобальной регулярности коэффициента сноса относительно меры Лебега и ограничений на рост коэффициента сноса. Вывод верхних оценок для плотностей переходных вероятностей в случае неограниченного коэффициента сноса. Получение достаточных условий единственности вероятностного и интегрируемого решения стационарного уравнения Колмогорова и уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Построение примеров неединственности в классах вероятностных, неотрицательных и интегрируемых решений.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

Получены нижние оценки плотности стационарного распределения диффузионного процесса без предположения локальной и глобальной регулярности коэффициента сноса относительно меры Лебега и ограничений на рост этого коэффициента.

Получены нижние оценки плотностей переходных вероятностей диффузионного процесса без предположения локальной и глобальной регулярности коэффициента сноса относительно меры Лебега и ограничений на рост этого коэффициента.

Исследована единственность вероятностного и интегрируемого решения стационарного уравнения Колмогорова: получены достаточные условия единственности и построены примеры неединственности.

Исследована единственность вероятностного и интегрируемого решения задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова: построены примеры неединственности и получены достаточные условия единственности.

Получены верхние оценки плотностей переходных вероятностей диффузионного процесса без предположений об ограниченности коэффициента сноса.

Методы исследования. В работе применяются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, в частности итерационная техника Мозера и метод функций Ляпунова, теории диффузионных процессов, теории меры, теории пространств Соболева, используются средства функционального анализа, а также некоторые оригинальные конструкции.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы в теории случайных процессов, теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории меры. Результаты диссертации могут найти применение в научных исследованиях, проводимых в МГУ имени М.В. Ломоносова, Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН, ПОМИ им. В.А. Стеклова РАН, ИПИ РАН, Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирском государственном университете, Владимирском Гуманитарном государственном университете.

Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре «Бесконечномерный анализ и стохастика» под руководством В.И. Богачева и Н.А. Толмачева (МГУ, 2005-2011); на научно-исследовательском семинаре по теории функций под руководством член-корр. РАН B.C. Кашина (МГУ, 2007), на семинаре «Операторные модели математической физики» под руководством А.А. Шка- ликова, А.А. Владимирова, A.M. Савчука, Н.А. Шейпака, (МГУ, 2011); на семинаре «Уравнения с частными производными» под руководством В.А. Кондратьева (МГУ, 2008); на семинаре «Уравнения с частными производными» под руководством В.В. Жикова, Е.В. Радкевича, А.С. IIIa- маева, Т.А. Шапошниковой (МГУ, 2011); на семинаре «Теория функций многих действительных переменных и ее приложения к задачам математической физики» под руководством академика РАН С.М. Никольского и член-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева (МИАН, 2011); на семинаре «Бесконечномерный стохастический анализ» в университете Билефельда (Германия, 2005-2011); на семинаре университета Гейдельберга (Германия, 2009); на семинаре в Пекинском Нормальном университете (Китай, 2007); на семинаре в Институте Миттаг-Леффлера (Швеция, 2007). Кроме того, результаты диссертации докладывались на международной конференции им. И.Г. Петровского «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Москва, МГУ, 2007, 2011), российско-японской конференции по теории вероятностей (МИАН, 2007); на международной конференции «Stochastic Analysis of Advanced Statistical Models» и на международной конференции «Recent Developments in Statistics and Econometrics» (Хиросима, Киото, Япония, 2008); на Российской школе-конференции «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Москва, РУДН, 2009); на международной научной конференции «Современные проблемы анализа и преподавания математики», посвященной 105-летию академика С.М. Никольского (Москва, МГУ, 2010), на семинаре Отдела теории вероятностей Математического института им. В.А. Стеклова РАН (2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 статьях автора в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разделенных на параграфы, и списка литературы из 87 наименований. Общий объем диссертации составляет 196 страниц.