Схема для нелинейного уравнения теплопроводности

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ПРОИЗВОДНЫМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Бейбалаев В.Д., Давудова Ф.Ф., Ламетов А.Г.

В статье разработаны неявные разностные схемы для численного решения краевой задачи для нелинейного уравнения теплопроводности с производными дробного порядка. Доказаны достаточные условия устойчивости полученных разностных схем .The article develops implicit difference schemes for computational solution of the boundary problem for non-linear equation of heat conductivity with the derivatives of the fractional order. Sufficient conditions of stability of the obtained difference schemes have been proved.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Бейбалаев В.Д., Давудова Ф.Ф., Ламетов А.Г.

Текст научной работы на тему «ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ПРОИЗВОДНЫМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА»

В.Д. Бейбалаев, Ф. Ф. Давудова, А.Г. Ламетов

Численное решение краевой задачи для нелинейного уравнения теплопроводности

с производными дробного порядка

Дагестанский государственный университет; kaspij_03@mail.ru

В статье разработаны неявные разностные схемы для численного решения краевой задачи для нелинейного уравнения теплопроводности с производными дробного порядка. Доказаны достаточные условия устойчивости полученных разностных схем.

Ключевые слова: дробная производная, аппроксимация, разностная схема, устойчивость, сходимость.

The article develops implicit difference schemes for computational solution of the boundary problem for nonlinear equation of heat conductivity with the derivatives of the fractional order. Sufficient conditions of stability of the obtained difference schemes have been proved.

Keywords: fractional derivative, approximation, difference scheme, stability, convergence.

Изучение нелинейных математических моделей различных физико-химических процессов на данном этапе развития науки является одним из актуальных направлений современной математической физики. Это обусловлено использованием в современной физике и технике воздействий на вещество электрических полей большой интенсивности, пучков частиц высокой энергии, мощного лазерного когерентного излучения, ударных волн высокой интенсивности, мощных тепловых потоков.

Как известно, линейные математические модели являются всегда лишь определенными приближениями при описании различных процессов. Их можно использовать только в тех случаях, когда исследуемые физические величины в рассматриваемом процессе изменяются незначительно. Нелинейные модели позволяют описать процессы в более широком диапазоне изменения параметров. При этом нелинейности изменяют не только количественные характеристики процессов, но и качественную картину их протекания. В основе нелинейных моделей лежат нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, для которых в настоящее время не разработаны законченная теория и общие методы решения задач.

Большое количество реальных процессов не укладывается в представления механики сплошной среды и требует привлечения представлений о фрактальности среды, в которой они происходят. Для описания таких процессов используется математический аппарат интегродифференцирования дробного порядка [Нигматулин].

В настоящее время для решения краевых задач для дифференциальных уравнений с производными дробного порядка используют как аналитические, так и численные методы. Результаты моделирования при помощи метода конечных разностей имеют хорошую сходимость с экспериментальными данными.

Численным методам решения краевых задач посвящены работы 17.

Рассмотрим в области D = <(x, t>: 0 т ‘ п М NI с шагом п по х и т

Для дробной производной Caputo в случае 0 «+1 — 1 / \ _ 1 I п -^т+1 т /_п Ут Ут—1 I , Ал,п 1

— . ъ I «т+1/2 ъ кт—1/2 ^ 1 + I ^т >’

Полученную разностную схему можно свести к наиболее общему виду:

Ат ■ УПт++\ — Вт ■ уШ+1 + ^уШ— — ^т, (8)

кп кп 1 п 1 п (Л—а а Л

где А = т+1/2 , С = т—1/2 В — кт + 1/2 + кт — 1/2 + РС(11 — ?0 ) ,

т р! 2 т г, 2 -°т _ , 2 -|—I / л ч

1 (/ 1_a /1_а) V1 уm ym L 1_a *1_а)) У m V1 _ ‘о >_ ^-\n _i+1 _ ‘n _i Л»

Теорема. Неявная разностная схема (7) безусловна устойчива. Доказательство. Уравнение (8) можно записать в виде:

Ayn+1 = yn + Г(2-a)raf (yn).

Тогда S = A 1 — оператор перехода с одного временного слоя на другой. Условием устойчивости по начальным данным разностной схемы (7) является ||S|| Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Из этого равенства получим для оценки собственных значений оператора перехода

У0 = И1(гп ), ‘ УМ = М2(гп);

Теперь рассмотрим случай 0 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+ 0,942 • 1010 T3, 0 A,

где А = 0,942 • 1010

В этом случае с = 236

Рассмотрим пластину с размером L = 0,5 м. На границах поддерживаются постоянные температуры г|х=0 = 373K, Г* = 373 К и Г|х=^ = 363К . Начальная температура То =323К,ТШ — 323 К .

На рис. 1 приведено численное решение уравнения (11) при заданных начальных и граничных условиях, когда коэффициент теплопроводности Ы(Г) имеет зависимость вида (17).

Рис. 1. Результаты моделирования процессов теплопереноса в пластине нелинейным дифференциальным уравнением дробного порядка

1. Самко С.Г., Килбас А.А, Маричев О.И. Интегральные и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987. — 498 с.

2. Нахушев А.М. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик, 2003. — 299 с.

3. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. — М.: Наука, 1989. — 430 с.

4. Кольцова Э.М., Василенко В.А., Тарасов В.В. Численные методы решения уравнений переноса во фрактальных средах // ЖТФ. — 2000. — № 2.

5. Головизнин В.М., Киселев В.П., Короткин И.А., Юрко Ю.И. Некоторые особенности вычислительных алгоритмов для уравнения дробной диффузии // Препринт № IBRAE-2002-01. — М.: ИБРАЭ РАН, 2002. — 57 с.

6. Головизнин В.М., Киселев В.П., Короткин И.А. Численне методы решения уравнения дробной диффузии в одномерном случае // Препринт № IBRAE-2002-10. — М.: ИБРАЕ РАН, 2002. — 35 с.

7. Головизнин В.М., Киселев В.П., Короткин И.А., Юрко Ю.И. Прямые задачи неклассического переноса радионуклидов в геологических формациях // Известия РАН. Энергетика. — 2004. — № 4. — С. 121-130.

8. Charles Tadjeran, Mark M. Meerschaert, Hana-Peter Scheeffler. A second-order accurate numerical approximation for the fractional diffusion equation // Journal of Computational Physics. — 2006. — № 213. — Р. 205-213.

9. Lynch V.E., Carreras B.A., del-Castill-Negrete D., Ferreira-Mejias K.M., Hicks H.R. Numerical methods for the solution of partial differential equations of fractional order // Journal of Computational Physics. — 2003. — № 192. — Р. 406-421.

10. Liu Q., Liu F., Turner I., Anh V. Approxmation of the Leavy-Feller advection-dispersion process by random walk and finite difference method. Journal of Computational Physics. — 2007. — № 222. — Р. 57-70.

11. Бейбалаев В.Д. Численный метод решения математической модели теплоперено-са в средах с фрактальной структурой // Фундаментальные исследования. — 2007. -№ 12. — С. 249-251.

12. Meerschaert M.M., Tadjeran C. Finite difference approximations for two-sides space-fractional partial differential equations // Applied Numerical Mathematics. — 2006. — № 56. -P. 80-90.

13. Meerschaert M.M., Tadjeran C. Finite difference approximations for fractional advec-tion-dispersion flow equations // J. Comput. Appl. Math. — 2004. — № 172. — P. 65-77.

14. Таукенова Ф.И., Шхануков-Лафишев М.Х. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка // Журнал вычислительная математика и математическая физика. — 2006. — Т. 46. — № 10. — С. 1871-1881.

15. Лафишева М.М., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка // Журнал вычислительная математика и математическая физика. — 2008. — Т. 48. — № 10. — С. 1878-1887.

16. Бейбалаев В.Д. Численный метод решения задачи переноса с двусторонней производной дробного порядка // Вестник Самарского гос. тех. ун-та. Серия физ.-мат. науки. — 2009. — Т. 1. — № 18. — С. 267-270.

17. Бейбалаев В.Д. Математическая модель переноса в средах с фрактальной структурой // Математическое моделирование. — 2009. — Т. 21. — № 5. — С. 55-62.

18. Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д. Численные методы решения краевой задачи для уравнения теплопереноса с производной дробного порядка // Вестник ДГУ. — 2008. -Вып. 6. — С. 46-53.

19. Бейбалаев В.Д. Одношаговые методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с производными дробного порядка // Вестник ДГУ. -2011. — Вып. 6. — С. 67-72.

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Брыков Н.А.

Ассистент кафедры плазмогазодинамика и теплотехника, Балтийский государственный технический университет «ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф. Устинова, Санкт-Петербург

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Аннотация

В статье рассмотрено численное решение нелинейной нестационарной задачи теплопроводности для определения температурного поля в многослойной пластине с внутренними источниками тепла. В модели учитывается зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, и моделируется излучение на границах пластины. Изложена неявная двухслойная схема для метода прогонки. Дискретизация нестационарного уравнения теплопроводности производится с помощью локально одномерной, абсолютно устойчивой схемы. Представлены результаты расчета.

Ключевые слова: нестационарная теплопроводность, излучение на границе, метод прогонки.

Brykov N.A.

Assistant of the Department of heat engineering and plasmagasdynamic, Baltic State Technical University«VOENMEH» named after D.F. Ustinov, St. Petersburg

SOLUTION OF NONLINEAR TRANSIENT HEAT CONDUCTION PROBLEM

Abstract

The article deals with the numerical solution of nonlinear transient heat conduction problem for the determination of the temperature field in a multilayer plate with internal heat sources. The model takes into account the dependence of thermal conduction coefficient on the temperature, and is modeled on the radiation plate boundaries. Presented is an implicit two-layer scheme for the sweep method. Discretization of transient heat equation is performed by locally-dimensional, absolutely stable scheme.

Keywords: transient heat conduction, radiation on the borders, sweep method.

Литература

1. Чиркин В.С. Теплофизические свойства материалов ядерной техники. М.: Атомиздат, 1968 г. – 484 с.
2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. – М.: Наука, 1989. – 432 с.