Дифференциальное уравнение Эйлера и методы его решения
Более общее уравнение Эйлера имеет вид:
.
Это уравнение подстановкой t = ax+b приводится к более простому виду, которое мы и будем рассматривать.
Приведение дифференциального уравнения Эйлера к уравнению с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим уравнение Эйлера:
(1) .
Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:
x = e t .
Действительно, тогда
;
;
;
;
;
.
Таким образом, множители, содержащие x m , сокращаются. Остаются члены с постоянными коэффициентами. Однако на практике, для решения уравнений Эйлера, можно применять методы решения линейных ДУ с постоянными коэффициентами без использования указанной выше подстановки.
Решение однородного уравнения Эйлера
Рассмотрим однородное уравнение Эйлера:
(2) .
Ищем решение уравнения (2) в виде
.
;
;
.
.
Подставляем в (2) и сокращаем на x k . Получаем характеристическое уравнение:
.
Решаем его и получаем n корней, которые могут быть комплексными.
Рассмотрим действительные корни. Пусть ki – кратный корень кратности m . Этим m корням соответствуют m линейно независимых решений:
.
Рассмотрим комплексные корни. Они появляются парами вместе с комплексно сопряженными. Пусть ki – кратный корень кратности m . Выразим комплексный корень ki через действительную и мнимую части:
.
Этим m корням и m комплексно сопряженным корням соответствуют 2 m линейно независимых решений:
;
;
.
.
После того как получены n линейно независимых решений, получаем общее решение уравнения (2):
(3) .
Примеры
Решение неоднородного уравнения Эйлера
Рассмотрим неоднородное уравнение Эйлера:
.
Метод вариации постоянных (метод Лагранжа) также применим и к уравнениям Эйлера.
Сначала мы решаем однородное уравнение (2) и получаем его общее решение (3). Затем считаем постоянные функциями от переменной x . Дифференцируем (3) n – 1 раз. Получаем выражения для n – 1 производных y по x . При каждом дифференцировании члены, содержащие производные приравниваем к нулю. Так получаем n – 1 уравнений, связывающих производные . Далее находим n -ю производную y . Подставляем полученные производные в (1) и получаем n -е уравнение, связывающее производные . Из этих уравнений определяем . После чего интегрируя, получаем общее решение уравнения (1).
Пример
Неоднородное уравнение Эйлера со специальной неоднородной частью
Рассмотрим уравнение Эйлера со специальной неоднородной частью:
(4)
,
где – многочлены от степеней и , соответственно.
Наиболее простой способ решения такого уравнения заключается в том, чтобы сделать подстановку
,
и решать линейное уравнение с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 14-08-2013 Изменено: 24-10-2020
Задачи с начальными условиями для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений $$ \begin
Используя векторные обозначения, задачу (1), (2) можно записать как задачу Коши $$ \begin
Численные методы решения задачи Коши
Существует большое количество методов численного решения задачи (3), (4). Вначале рассмотрим простейший явный метод Эйлера и его программную реализацию. Затем будут представлены методы Рунге—Кутта и многошаговые методы.
При построении численных алгоритмов будем считать, что решение этой дифференциальной задачи существует, оно единственно и обладает необходимыми свойствами гладкости.
Идея численных методов решения задачи (3), (4) состоит из четырех частей:
1. Вводится расчетная сетка по переменной \( t \) (время) из \( N_t + 1 \) точки \( t_0 \), \( t_1 \), \( \ldots \), \( t_
2. Предполагаем, что дифференциальное уравнение выполнено в узлах сетки.
3. Аппроксимируем производные конечными разностями.
4. Формулируем алгоритм, который вычисляет новые значения \( \pmb
Явный метод Эйлера
Проиллюстрируем указанные шаги. Для начала введем расчетную сетку. Очень часто сетка является равномерной, т.е. имеет одинаковое расстояние между узлами \( t_n \) и \( t_
Затем, предполагаем, что уравнение выполнено в узлах сетки, т.е.: $$ \pmb^\prime (t_n) = \pmb
Заменяем производные конечными разностями. С этой целью, нам нужно знать конкретные формулы, как производные могут быть аппроксимированы конечными разностями. Простейший подход заключается в использовании определения производной: $$ \pmb^\prime(t) = \lim_ <\tau \to 0>\frac<\pmb(t+\tau) — \pmb(t)><\tau>. $$
В произвольном узле сетки \( t_n \) это определение можно переписать в виде: $$ \begin
Четвертый шаг заключается в получении численного алгоритма. Из (5) следует, что мы должны знать значение \( y^n \) для того, чтобы решить уравнение (5) относительно \( y^
При условии, что у нас известно начальное значение \( \pmb
Программная реализация явного метода Эйлера
Выражение (6) может быть как скалярным так и векторным уравнением. И в скалярном и в векторном случае на языке Python его можно реализовать следующим образом
При решении системы (векторный случай), u[n] — одномерный массив numpy длины \( m+1 \) (\( m \) — размерность задачи), а функция F должна возвращать numpy -массив размерности \( m+1 \), t[n] — значение в момент времени \( t_n \).
Таким образом численное решение на отрезке \( [0, T] \) должно быть представлено двумерным массивом, инициализируемым нулями u = np.zeros((N_t+1, m+1)) . Первый индекс соответствует временному слою, а второй компоненте вектора решения на соответствующем временном слое. Использование только одного индекса, u[n] или, что то же самое, u[n, :] , соответствует всем компонентам вектора решения.
Функция euler решения системы уравнений реализована в файле euler.py:
Строка F_ = lambda . требует пояснений. Для пользователя, решающего систему ОДУ, удобно задавать функцию правой части в виде списка компонент. Можно, конечно, требовать чтобы пользователь возвращал из функции массив numpy , но очень легко осуществлять преобразование в самой функции решателе. Чтобы быть уверенным, что результат F будет нужным массивом, который можно использовать в векторных вычислениях, мы вводим новую функцию F_ , которая вызывает пользовательскую функцию F «прогоняет» результат через функцию assaray модуля numpy .
Неявный метод Эйлера
При построении неявного метода Эйлера значение функции \( F \) берется на новом временном слое, т.е. для решении задачи (5) используется следующий метод: $$ \begin
Таким образом для нахождения приближенного значения искомой функции на новом временном слое \( t_
Для решения уравнения (8) можно использовать, например, метод Ньютона.
Программная реализация неявного метода Эйлера
Функция backward_euler решения системы уравнений реализована в файле euler.py:
Отметим, что для нахождения значения u[n+1] используется функция fsolve модуля optimize библиотеки scipy . В качестве начального приближения для решения нелинейного уравнения используется значение искомой функции с предыдущего слоя u[n] .
Методы Рунге—Кутта
Одношаговый метод Рунге—Кутта в общем виде записывается следующим образом: $$ \begin
Одним из наиболее распространенных является явный метод Рунге-Кутта четвертого порядка: $$ \begin
Многошаговые методы
В методах Рунге—Кутта в вычислениях участвуют значения приближенного решения только в двух соседних узлах \( \pmb
Различные варианты многошаговых методов (методы Адамса) решения задачи с начальными условиями для систем обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть получены на основе использования квадратурных формул для правой части равенства $$ \begin
Для получения неявного многошагового метода используем для подынтегральной функции интерполяционную формулу по значениям функции \( \pmb
Для интерполяционного метода Адамса (15) наивысший порядок аппроксимации равен \( m+1 \).
Для построения явных многошаговых методов можно использовать процедуру экстраполяции подынтегральной функции в правой части (14). В этом случае приближение осуществляется по значениям \( \pmb
Для экстраполяционного метода Адамса (16) погрешность аппроксимации имеет \( m \)-ый порядок.
На основе методов Адамса строятся и схемы предиктор–корректор. На этапе предиктор используется явный метод Адамса, на этапе корректора — аналог неявного метода Адамса. Например, при использовании методов третьего порядка аппроксимации в соответствии с (18) для предсказания решения положим $$ \frac<\pmb
Жесткие системы ОДУ
При численном решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (3), (4) могут возникнуть дополнительные трудности, порожденные жесткостью системы. Локальные особенности поведения решения в точке \( u = w \) передаются линейной системой $$ \begin
Пусть \( \lambda_i(t) \), \( i = 1, 2, \ldots, m \) — собственные числа матрицы $$ \begin
Для численное решения жестких задач используются вычислительные алгоритмы, которые имеют повышенный запас устойчивости. Необходимо ориентироваться на использование \( A \)-устойчивых или \( A(\alpha) \)-устойчивых методов.
Метод называется \( A \)-устойчивым, если при решении задачи Коши для системы (3) область его устойчивости содержит угол $$ \begin
Курсовая работа: Решение дифференциальных уравнений по методу Эйлера
Название: Решение дифференциальных уравнений по методу Эйлера Раздел: Рефераты по математике Тип: курсовая работа Добавлен 20:43:28 26 декабря 2010 Похожие работы Просмотров: 1331 Комментариев: 21 Оценило: 3 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать |
Nk / y=y(x)
Мк Мк /
Yk+1
Yk
хк хк1/2 xk+h =xk1 X
Получаем точку Nk / . В этой точке строим следующую касательную:
Из точки Мк проводим прямую с угловым коэффициентом αк и определяем точку пересечения этой прямой с прямой xк1 . Получаем точку Мк / . В качестве ук+1 принимаем ординату точки Мк / . Тогда:
Эти формулы называются рекуррентными формулами метода Эйлера.
Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции yк+1/2 в точках xк+1/2 , затем находят значение правой части уравнения (1) в средней точке
3. Блок-схема алгоритма
где A — начальное значение x, B — конечное значение x, F(x) — значение функции в точке xn , N — количество промежутков, st – выбор операции, C1,C2,C3 – константы для формул, nom — сохраняет номер используемой функции.
На рисунке представлена блок-схема процесса решения дифференциального уравнения методом Эйлера
Подсчитывая каждый раз новое значение уравнения F(x), получаем последовательность значений xn yn , n=1,2,…
По этим значениям строим график.
4. Описание программы
Программа весьма проста. В ней много предусмотрено моментов неправильного ввода данных, о которых программа предупреждает пользователя и сразу же просит повторно ввести данные.
С самого начала программа предоставляет пользователю меню выполняемых функций, которые выделяются при помощи стрелок ↑ и ↓ выбор клавишей Enter:
После запуска программы нужно выбрать Formyla -> Enter, эта опция позволит из предложенного списка формул выбрать одну, по которой компьютер будет производить расчет и строить график. Все предложенные формулы имеют номерацию; чтобы выбрать интересующий вас пример нажмите на цифру равную номеру примера, и сразу же появится новое окно, в котором сверху будет записан ваш пример. Также в окне будет этот же пример но с нулями на месте констант. Под примером будет высвечена большая буква С, это используется для ввода констант. Для этого вам нужно нажать номер константы, он появится, и после знака равно запишите чему она равна (вводятся целые и вещественные значения). По окончании набора нажать Enter. Операцию повторять пока не будут введены все числа. По окончании нажать Esc. После появится строчка «уточните границы изменения Х, от A= до B= » здесь нужно занести данные на каком промежутке абсциссы будет рассматриваться функция. Следующая строчка попросит ввести начальные данные y(A)=. Следующей строчкой будет вопрос: «сохранить данные в файле? Да/Нет» ответить на этот вопрос с помощью клавиш Д и Н (рус), после чего программа вернется в первоначальное меню. Если данные были сохранены (в папке с программой появляется файл form.txt), то в следующий раз чтобы не набирать снова выберите в меню опцию Formyla -> Open in fails и на экране появятся введенные данные с пометкой снизу, сообщая что данные были прочитаны из файла.
Следующая опция Reshenie. После нажатия в окне просят ввести N(целое число) – число промежутков, на которые разделится рассматриваемый участок (ось ОХ). После появится таблица рассчитанных данных (номер точки, значение абсциссы, значение ординаты). При нажатии любой клавиши произойдет переход в меню.
Graphic эта опция позволяет визуально видеть решение, а так же на этом графике прописываются все данные: начальная формула, шаг и промежуток построения графика, масштаб, данные об его изменении(клавишами +(увеличить) и -(уменьшить), а также возможность определить точное значение функции в любой точке.
Опция Exit применяется для выхода из программы.
Результатом выполнения курсового проекта является готовый программный продукт, позволяющий решать дифференциальные уравнения по методу Эйлера, демонстрирующий возможности численного решения поставленной задачи с заданной степенью точности.
Данная программа решает заданную пользователем дифференциальное уравнение за минимальный промежуток времени. При этом пользователю предоставляется возможность визуально оценить решение, рассматривая график полученного решения.
К достоинствам программы можно отнести также удобный пользовательский интерфейс, возможность ввода пользовательских дифференциальных уравнений, а также давольно высокая стабильность работы. Однако имеются и некоторые недостатки. К недостаткам программы можно отнести: критичность к вводимым пользователем урававней, отсутствие обработки исключительных событий. Это, естественно, ограничивает возможности программы.
Список использованной литературы
1. Д. Мак-Кракен, У. Дорн. Численные методы и программирование на фортране. –М.: Мир,1977.-389,396-408 с.
2. А.А. Самарский. Введение в численные методы. – М.:Наука,1987.-176 с.
3. Алгоритмы вычислительной математики: Лабораторный практикум по курсу «Программирование» для студентов 1 — 2-го курсов всех специальностей БГУИР/А.К. Синицын, А.А. Навроцкий.- Мн.: БГУИР, 2002.- 65-69 с.
4. ГОСТ 2.105-95. Общие требования к текстовым документам.
5. ГОСТ 7.32-91. Система стандартов по информации, библиотечному и издательскому делу. Отчет о НИР. Структура и правила оформления.
Приложение 1. Текст программы.
void formyl(int p)
if(p==1) printf(«\n 1. C1*y’ = C2*y + C3*x + C4*x*y»);
else if(p==2) printf(«\n 2. y’/(C1-100) = C2*y + C3*x + (C4+x)*y»);
else if(p==3) printf(«\n 3. pow(e,C1)*y’ = C2*y + C3*cos(x) + (C4+x+y)»);
else if(p==4) printf(«\n 4. C1*sin(x)*y’ = e*C2*y + C3*arcsin(x) + C4*y/x»);
else if(p==5) printf(«\n 5. C1*y’ = sin(C2)*y + tg(C3*x) + C4*ln(x)*y»);
else if(p==6) printf(«\n 6. C1*y’ = y*C2 + C3*sin(x) + C4*cos(x)*y»);
else if(p==7) printf(«\n 7. (C1+C2+C3+C4)*y’ = C2*y + (C3-x) + lg(C4*x)*y»);
else if(p==8) printf(«\n 8. y’/C1 = y/C2 + C3*sin(x) + C4*x*y»);
else if(p==9) printf(«\n 9. sin(C1)*y’ = C2*y + |C3|*x + x*y/C4»);
void formyl2(int p,double C1,double C2,double C3,double C4)
else if(p==2) printf(«y’/(%.2f-100)=%.2f*y+%.2f*x+(%.2f+x)*y»,C1,C2,C3,C4);else if(p==3) printf(«pow(e,%.2f)*y’=%.2f*y+%.2f*cos(x)+(%.2f+x+y)»,C1,C2,C3,C4);
else if(p==4) printf(«%.2f*sin(x)*y’=e*%.2f*y+%.2f*arcsin(x)+%.2f*y/x»,C1,C2,C3,C4);
else if(p==5) printf(«%.2f*y’=sin(%.2f)*y+tg(%.2f*x)+%.2f*ln(x)*y»,C1,C2,C3,C4);
else if(p==6) printf(«%.2f*y’=y*%.2f+%.2f*sin(x)+%.2f*cos(x)*y»,C1,C2,C3,C4);
else if(p==8) printf(«y’/%.2f=y/%.2f+%.2f*sin(x)+%.2f*x*y»,C1,C2,C3,C4);
else if(p==9) printf(«sin(%.2f)*y’=%.2f*y+|%.2f|*x+x*y/%.2f»,C1,C2,C3,C4);
double formyl3(int p,double h,double x,double y,double C1,double C2,double C3,double C4)
else if(p==2) Y=h*(C1-100)*(y*C2+C3*x+(C4+x)*y)+y;
else if(p==3) Y=h*(C2*y+C3*cos(x)+C4+x+y)/exp(C1)+y;
else if(p==4) Y=h*(exp(1)*C2*y+C3*asin(x)+C4*y/x)/(C1*sin(x))+y;
else if(p==5) Y=h*(sin(C2)*y+tan(C3*x)+C4*log10(x)*y)/C1+y;
else if(p==6) Y=h*(y*C2+C3*sin(x)+C4*cos(x)*y)/C1+y;
else if(p==7) Y=h*(C2*y+(C3-x)+log10(C4*x)*y)/(C1+C2+C3+C4)+y;
else if(p==8) Y=h*(y/C2+C3*sin(x)+C4*x*y)*C1+y;
else if(p==9) Y=h*(C2*y+abs(C3)*x+x*y/C4)/sin(C1)+y;
int vv=0,vv1=0; // руководит операциями
int N=0,W; // кол промежутков
int i,j,k; // используются во всех «for»
int nom; // номер примера
int st=4,vst=0; // строчка в меню
double C1,C2,C3,C4; // константы
double M; // масштаб
double xtoch,ytoch; // считает y(x) по графику
double A=0,B=0,ii,jj,kk; // пределы интегрирования
double x[102],y[102]; // главные переменные x,y
int g_driver=9,g_mode=2, g_error;
printf(«\n error=%d, reason=%s\n», g_error, grapherrormsg(g_error));
http://slemeshevsky.github.io/num-mmf/ode/html/._ode-FlatUI001.html
http://www.bestreferat.ru/referat-238024.html