Шубин лекции уравнениях математической физики

Шубин М. А. Лекции об уравнениях математической физики. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2003. — 303 с.

В книге изложено почти без изменений содержание годового курса лекций по уравнениям математической физики, прочитанных автором на экспериментальном потоке механико-математического факультета МГУ. По сравнению с имеющимися математическими курсами акцент делается на связи и взаимодействия с геометрией и физикой, а также на физическую интерпретацию результатов. Книга содержит элементы теории основных уравнений математической физики, изложенные на основе функционального анализа и теории обобщённых функций. В частности, в книге дано нетрадиционное изложение простейших аспектов теории потенциала, а также обсуждаются коротковолновые асимптотики решений гиперболических уравнений, связывающие волновую оптику с геометрической.

В конце каждого параграфа книги имеются задачи, помогающие усвоению материала и дополняющие основное содержание книги. Для студентов, аспирантов, научных работников — математиков и физиков.

Предисловие
§ 1. Линейные дифференциальные операторы
1.2. Полный и главный символы
1.3. Замена переменной
1.4. Приведение к каноническому виду операторов 2-го порядка с постоянными коэффициентами
1.5. Характеристики. Эллиптичность и гиперболичность
1.6. Характеристики и приведение к каноническому виду операторов и уравнении 2-го порядка при n = 2
1.7. Общее решение однородного гиперболического уравнения с постоянными коэффициентами при n = 2
§ 2. Одномерное волновое уравнение
2.1. Уравнение колебании струны
2.2. Неограниченная струна. Задача Каши. Формула Даламбера
2.3. Полуограниченная струна. Отражение волн от конца струны
2.4. Ограниченная струна. Стоячие волны. Метод Фурье (метод разделения переменных)
Задачи
§ 3. Задача Штурма-Лиувилля
3.2. Простейшие свойства собственных значении и собственных функций
3.3. Коротковолновая асимптотика
3.4. Функция Грина и полнота системы собственных функций
Задачи
§ 4. Обобщённые функции
4.1. Мотивировка определения. Пространства основных функций
4.2. Пространства обобщённых функции
4.3. Топология и сходимость в пространствах обобщённых функций
4.4. Носитель обобщённой функции
4.5. Дифференцирование обобщённых функции и их умножение на гладкую функцию
4.6. Общее понятие транспонированного оператора. Замена переменных. Однородные обобщённые функции
Задачи
§ 5. Свёртка и преобразование Фурье
5.1. Свёртка и прямое произведение обычных функций
5.2. Прямое произведение обобщённых функций
5.3. Свёртка обобщённых функций
5.4. Дальнейшие свойства свертки. Носитель и носитель сингулярности свёртки
5.5. Связь между свойствами гладкости фундаментального решения и решений однородного уравнения
5.6. Решения с изолированными особенностями. Теорема об устранимой особенности для гармонических функций
5.7. Преобразование Фурье обобщённых функций умеренного роста
5.8. Схема применения преобразования Фурье для нахождения фундаментальных решении
5.9. Теорема Лиувилля
Задачи
§ 6. Уравнение теплопроводности
6.1. Физический смысл уравнения теплопроводности
6.2. Простейшие краевые задачи для уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа
6.3. Пример обоснования гармоничности предельной функции
6.4. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона
6.5. Фундаментальное решение для оператора теплопроводности. Формула Дюамеля
6.6. Оценка производных решения гипоэллиптического уравнения
6.7. Принцип Хольмгрена. Единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности
6.8. Схема решения первой и второй краевых задач методом Фурье
Задачи
§ 7. Пространства Соболева. Обобщённое решение задачи Дирихле
7.2. Пространства
7.3. Интеграл Дирихле. Неравенство Фридрихса
7.4. Задача Дирихле (обобщённое решение)
Задачи
§ 8. Собственные значения и собственные функции оператора Лапласа
8.1. Симметрические и самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве
8.2. Расширение по Фридрихсу
8.3. Дискретность спектра оператора Лапласа в ограниченной области
8.4. Фундаментальное решение оператора Гельмгольца и аналитичность собственных функции оператора Лапласа во внутренних точках области. Уравнение Бесселя
8.5. Вариационные принципы. Поведение собственных значений при изменении области. Оценки собственных значений
Задачи
§ 9. Волновое уравнение
9.1. Физические задачи, приводящие к волновому уравнению
9.2. Плоские, сферические и цилиндрические волны
9.3. Волновое уравнение как гамильтонова система
9.4. Сферическая волна от мгновение» вспышки и решение задачи Коши для трехмерного волнового уравнения
9.5. Фундаментальное решение трёхмерного волнового оператора и решение неоднородного волнового уравнения
9.6. Двумерное волновое уравнение (метод спуска)
Задачи
§ 10. Свойства потенциалов и их вычисление
10.2. Функции, гладкие вплоть до Г с каждой стороны, и их производные
10.3. Скачки потенциалов
10.4. Вычисление потенциалов
Задачи
§ 11. Волновые фронты и коротковолновое приближение для гиперболических уравнений
11.1. Характеристики, как поверхности разрывов
11.2. Уравнение Гамильтона — Якоби. Волновые франты, бихарактеристики и лучи
11.3. Характеристики гиперболического уравнения
11.4. Быстро осциллирующие решения. Уравнение эйконала и уравнения переноса
11.5. Задача Коши с быстро осциллирующими начальными данными
Задачи
Ответы и указания
Список литературы

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

Лекции об уравнениях математической физики, Шубин М.А., 2003

Лекции об уравнениях математической физики, Шубин М.А., 2003.

Уравнение колебании струны.
Мы приведём здесь вывод уравнения малых колебаний струны. Отметим сразу, что этот вывод не является математическим, а относится к физике или механике, однако понимание его существенно для осознания физического смысла, во-первых, самого волнового уравнения, во-вторых, что не менее существенно, начальных и граничных условий. Знание вывода и физического смысла помогает также нахождению различных математических приёмов исследования уравнения (интеграл энергии, стоячие волны и т. д.). Таким образом, выводы уравнений, отвечающих различным физическим и механическим задачам, важны для понимания математической физики и по существу являются её частью.

Итак, займемся выводом уравнения малых колебаний струны. Речь идёт о поперечных колебаниях натянутой струны. При этом мы считаем, что всеми силами, возникающими в струне, можно пренебречь по сравнению с натяжением, направленным вдоль струны (в частности, будем считать струну абсолютно гибкой, т.е. не сопротивляющейся изгибу).

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Лекции об уравнениях математической физики, Шубин М.А., 2003 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Шубин М.А.. Книги онлайн

Михаил Александрович Шубин (19 декабря 1944, Куйбышев — 13 мая 2020, Бостон) — профессор математики Северо-Восточного университета, член Американского математического общества.

В 1966 окончил механико-математический факультет МГУ и в 1969 после окончания аспирантуры (научный руководитель — Марко Иосифович Вишик) был оставлен на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ, где проработал до 1989. Читал оригинальный курс уравнений с частными производными для студентов «экспериментального потока» и различные специальные курсы.

Тематика научных работ М.А.Шубина охватывает целый ряд разделов теории уравнений с частными производными, функционального анализа, математической физики. В 1978 защитил докторскую диссертацию по псевдодифференциальным операторам. С 1994 — в США, профессор Северо-Восточного университета (Бостон, США). М.А.Шубиным написано около 140 печатных работ, под его руководством защитилось 20 кандидатов наук и PhD студентов.

Основные результаты М.А.Шубина связаны с уравнениями в свертках, факторизацией матричных функций и уравнений Винера — Хопфа, он изучал голоморфные семейства подпространств в банаховых пространствах, псевдодифференциальные операторы, методы приближенной спектральной проекции, операторы с почти периодическими коэффициентами, случайные эллиптические операторы, трансверсально эллиптические операторы, псевдодифференциальные операторы на группах Ли, псевдоразностные операторы и их функции Грина, построил полное асимптотическое разложение спектральных инвариантов, применял нестандартный анализ и сингулярные возмущения для обыкновенных дифференциальных уравнений, также изучал эллиптические операторы на многообразиях ограниченной геометрии, нелинейные уравнения, формулы типа Лефшеца, алгебры фон Неймана, идемпотентный анализ, спектры магнитного оператора Шрёдингера.

Известен также по инвариантам Новикова-Шубина и замечательным монографиям: «Уравнение Шрёдингера», написанной в соавторстве с Феликсом Александровичем Березиным, «Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории и Элементы современной теории», написанной совместно с Юрием Владимировичем Егоровым. Его учебник по уравнениям с частными производными является образцом современного и доступного для студентов. В 2012 был награждён Американским математическим обществом за научные результаты.

Книги (4)

По сравнению с имеющимися математическими курсами акцент делается на связи и взаимодействия с геометрией и физикой, а также на физическую интерпретацию результатов. Книга содержит элементы теории основных уравнений математической физики, изложенные на основе функционального анализа и теории обобщённых функций. В частности, в книге дано нетрадиционное изложение простейших аспектов теории потенциала, а также обсуждаются коротковолновые асимптотики решений гиперболических уравнений, связывающие волновую оптику с геометрической.

Эти лекции были прочитаны первым из авторов в 1964-65 учебном году на механико-математическом факультете МГУ.

В них излагались лишь самые основные сведения из квантовой механики (элементарные свойства решений уравнения Шредингера, теория рассеяния в простейших вариантах, связь квантовой и классической механики). При этом далеко не всегда приводились полные математические доказательства всех утверждений и их восстановление представляло собой нелёгкую работу даже для достаточно продвинутых студентов. Большая часть этих доказательств включена в предлагаемый вариант этих лекций.

Эта брошюра основана на лекциях, дважды прочитанных автором в Красноярской краевой летней школе по естественным наукам школьникам, окончившим 10-й класс. В ней кратко объясняются основные понятия математического анализа (производная и интеграл) и даются простейшие приложения к физическим задачам, основанные на составлении и решении дифференциальных уравнений.

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей: школьников, студентов, учителей.

В книге дается систематическое изложение теории В книге дается систематическое изложение теории псевдодифференциальных операторов и ее приложений в спектральной теории дифференциальных операторов. Псевдодифференциальные операторы играют важную роль в современных методах исследования уравнений с частными производными и в математической физике. Изложение сопровождается упражнениями и задачами и рассчитано на лиц, впервые знакомящихся с предметом.

Книга может быть полезна специалистам по дифференциальным уравнениям, функциональному анализу и математической физике, а также студентам старших курсов и аспирантам математических и физических специальностей.

источники:

http://obuchalka.org/2013062872167/lekcii-ob-uravneniyah-matematicheskoi-fiziki-shubin-m-a-2003.html

http://www.koob.ru/shubin_m/

Шубин лекции уравнениях математической физики