Симметрия корней в уравнениях с параметром

Симметрия в задачах с параметром

Существует множество задач с параметром, в которых задание ставится следующим образом: «Найдите все значения параметра, при которых уравнение имеет единственное решение». Главным словом здесь будет «единственное». Стоит обратить внимание, что в таких задачах очень часто уравнение не меняется при замене знака одной или нескольких переменных, или при перестановке переменных местами. Этим необходимо пользоваться. Разберем на примерах:

Найдите все значения параметра \(b\), при которых уравнение \(-4x^2+b*cos⁡(sin⁡x )-2b^2\)=0 имеет единственное решение.

Пусть \(_<0>\) корень исходного уравнения, тогда, замечаем, что корнем будет и \(<-x>_<0>\). Чтобы решение было единственным необходимо \(_<0>=<-x>_<0>\). Данное условие будет выполняться только при условии, что \(_<0>=0.\)

Итак, при \(x=0\) наше уравнение принимает вид \(b-2b^2=0\) ⇔ \(b=0;\) \(b=2;\) Мы нашли значения параметра, при которых у нас возможно единственное решение. Но еще нужно проверить, а будет ли при этих значениях параметра решение единственным. Просто подставим в исходное уравнение.

При \(b=0\) получаем: \(-4x^2=0\) ⇔ \(x=0\) – решение единственное.

$$ -4x^2+2 cos⁡(sin⁡x )-8= 0,$$ $$ 4x^2+8=2cos⁡(sin(x)).$$

Левая часть данного уравнения больше 8, а так как область значения \(cos(x ∈[-1;1])\), то максимальное значение правой части равно 2. Получившееся уравнение не будет иметь корней. При \(b=2\) корней нет.

Найдите все значения параметра \(a\), при которых система

имеет единственное решение.

Заметим интересную особенность:

Наша система симметрична относительно переменной \(y\). А значит, если \((_<0>;_<0>)\) – решение системы, то и \((_<0>;<-y>_<0>)\) также будет решением. Решение будет единственным при условии, что \(_<0>=<-y>_<0>\) ⇔ \(_<0>=0\). Подставим y=0 в исходную систему:

Решив систему, найдем значения параметра \(a\):

Проверим каждое значение параметра, подставив в условие задачи.

При \(a=-1\) наша исходная система имеет вид:

Попробуем оценить первое уравнение. Напомним, что сумма двух взаимно обратных величин всегда больше равна 2: \((3-2\sqrt<2>)^y+(3+2\sqrt<2>)^y≥2. \)

\(x^2+6x+2≤2\), при \(-6≤x≤0\). (см. рис. 20)

Задача 18: метод симметричных корней

Очень часто в задаче C5 требуется найти такие значения параметра a , при которых уравнение или неравенство имеет строго один корень. И если вам попалась такая задача, но вы смотрите на уравнение и не понимаете, как к нему подступиться, то вполне возможно, что вам поможет метод, изложенный в этом видеоуроке.

В двух словах: уравнение может быть специально составлено таким образом, чтобы корни были симметричными. Например, если x ₁ = 5 является корнем, то и противоположное ему значение x ₂ — тоже корень. Таким образом, корни всегда идут парами, как бы симметрично относительно нуля. И лишь в одном случае у корня не будет пары: когда x ₁ = 0.

Таким образом, если вам удастся доказать, что единственный допустимый корень — это ноль (ну, или любое другое число — зависит от задачи), то исходная формула упрощается на порядок, и вам остается решить обычное уравнение относительно параметра. Взгляните на видео:

А теперь попробуйте решить аналогичные задачи самостоятельно. Будьте осторожны: это настоящие C5 из ЕГЭ по математике! Впрочем, теперь, когда вы все знаете, эти задачи не представляют для вас сложности.:)

Симметрия в задачах с параметром

Рассмотрены задачи с параметром, имеющие «симметрию» относительно знака или «симметрию» относительно перестановки переменных. Материал полезен при подготовке к ЕГЭ по математике.

Просмотр содержимого документа
«Симметрия в задачах с параметром»

«Симметрия» в задачах с параметром

Определенную группу задач с параметром составляют задачи, в формулировке которых ключевым является слово «единственное». В этих задачах требуется найти все значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) имеет единственное решение. Эти задачи имеют особенность: их условия не изменяются при замене знака одной или нескольких переменных («симметрия» относительно знака) или при перестановке нескольких переменных («симметрия» относительно перестановки переменных). Эта особенность – ключ к решению задачи.

Найти все значения параметра a, при которых уравнение
имеет единственное решение.

Если число x₀ является решением данного уравнения, то и число также является его решением. Поэтому для единственности решения необходимо, чтобы x₀ = , то есть

При исходное уравнение примет вид: ,
Эти значения 0 и 2sin1 являются допустимыми значениями параметра. Проверим, являются ли условия достаточными для единственности решения.

Пусть тогда исходное уравнение примет вид: , x = 0 – единственный корень. Следовательно, удовлетворяет условию задачи.

Пусть . Тогда исходное уравнение примет вид:

Оценим обе части полученного уравнения. Так как при любом х, а на отрезке функция sin t является возрастающей, то

при любом х.

Левая часть

Поэтому уравнение равносильно системе:

Единственным решением этой системы является х = 0. Значит, также удовлетворяет условию задачи.

Ответ:

Найти все значения параметра , при которых система

имеет единственное решение.

, так как

Поэтому, если пара является решением исходной системы, то и пара также является ее решением. Значит, для того чтобы решение было единственным, необходимо равенство , то есть При y = 0 исходная система примет вид:

Решая второе уравнение системы, имеем:

или ,

Подставим х = 0 в первое уравнение:

Итак, допустимые значения параметра:

Проверим, какие из этих допустимых значений удовлетворяют условию задачи.

При исходная система примет вид:

Оценим обе части первого уравнения системы. как сумма взаимно обратных положительных величин.

Поэтому последняя система равносильна следующей:

Значит, при исходная система имеет единственное решение (0; 0).

Пусть . Тогда исходная система примет вид:

Следовательно, при система имеет единственное решение (-3; 0).

При исходная система примет вид:

Система не имеет решения.

Найти значения параметра t, при которых система имеет два решения.

Если – решение системы, то , также будут решениями системы. Два решения будут в случае или .

При x = y исходная система примет вид: Из уравнения найдем допустимые значения параметра t: t = 1; t = 3.

При исходная система примет вид: Из уравнения
найдем допустимые значения параметра t: t = 1; t = 3.

При t = 1 исходная система примет вид: Система не имеет решения при t = 1. Значение t = 1 не удовлетворяет условию задачи.

При t = 3 исходная система примет вид: Прибавим к первому уравнению системы второе уравнение, умноженное на 2. Затем вычтем из первого уравнения второе уравнение, умноженное на 2.

Система примет вид: или

При t = 3 исходная система имеет два решения:

При t = 3 исходная система примет вид: Система не имеет решений при t = 3. Значит, t = 3 не удовлетворяет условию задачи.

При t = 1 исходная система примет вид:

При t = 1 система (исходная) имеет два решения:

Найти значения параметра , при которых система имеет единственное решение.

Пусть решение системы, тогда также решение системы.

Система будет иметь единственное решение при , то есть

При исходная система примет вид: откуда найдем допустимые значения параметра

При исходная система примет вид:

или или три решения.

Значит, не удовлетворяет условию задачи.

При исходная система примет вид: Из первого уравнения системы , из второго уравнения Следовательно, , тогда Система имеет единственное решение (0; 1).

При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение.

Если решение данного уравнения, то и также является его решением в силу четности функции в левой части уравнения. Следовательно,

При исходное уравнение примет вид: Таким образом, 0 и допустимые значения параметра.

Проверка. При уравнение примет вид: (три решения). Следовательно, не удовлетворяет условию задачи.

При исходное уравнение примет вид: Левая часть уравнения правая Следовательно, решением уравнения является решение системы: х=0 – единственное решение.

Найти значения параметра при которых система имеет два решения.

Если – решение данной системы, то , также являются решениями этой системы. Два решения будут, если или .

При x = y система примет вид:

Допустимое значение параметра равно 2,5.

При система примет вид: и не имеет решения.

Проверка: при = 2,5 исходная система примет вид:

Ответ: = 2,5.

Найти все значения параметра при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.

Уравнение не изменится, если заменить числом . Следовательно, уравнение имеет четное число ненулевых решений, а нечетное число решений будет только тогда, когда одно из них 0.

Подставим в исходное уравнение:

Если , то исходное уравнение примет вид:

Значит, исходное уравнение имеет три решения: -2; 0; 2.