Символьное решение уравнений и систем

Символьное решение уравнений и систем

В этом разделе обсуждается, как в символьном виде решать уравнения и системы уравнений. Команда Решить относительно переменной из меню Символика позволяет решить уравнение относительно некоторой переменной и выразить его корни через остальные параметры уравнения.

В этом разделе описывается также, как в символьном виде решить систему уравнений, используя блоки решения уравнений. Для этого требуется Mathcad PLUS.

Решать уравнение символьно гораздо труднее, чем численно. Может оказаться, что в символьном виде решение не существует. Это может быть вызвано рядом причин, обсуждаемых в разделе “Ограничения символьных преобразований”.

Решение уравнения относительно переменной

Чтобы решить уравнение относительно переменной:

• Напечайте уравнение. Убедитесь, что для выведения знака равенства использована комбинация клавиш [Ctrl]=.
• Выделите переменную, относительно которой нужно решить уравнение, щёлкнув на ней мышью.
• Выберите Решить относительно переменной из меню Символика

Mathcad решит уравнение относительно выделенной переменной и вставит результат в рабочий документ. Обратите внимание, что, если переменная возводилась в квадрат в первоначальном уравнении, при решении можно получить два ответа. Mathcad отображает их в виде вектора. Рисунок 20 показывает соответствующий пример.

Рисунок 20: Преобразование выражения для решения уравнения.

Можно также решать неравенство, использующее символы , и . Решения для неравенств будут отображаться в терминах булевых выражений Mathcad. Если имеется более одного решения, Mathcad помещает их в вектор. В Mathcad булево выражение типа x

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Решение систем уравнений в MathCad

Для решения уравнений в Mathcad можно воспользоваться двумя способами. Эти способы были частично рассмотрены в разделе «Решение уравнений»:

Использование метода Given — Find:

В рабочем поле mathcad записываем слово Given. Это служебное слово. Оно подключает определенные программные модули mathcad для обработки исходных данных, необходимых для решения системы уравнений численными методами.

Затем указывается начальное приближение для искомых переменных. Это нужно для увеличения скорости и точности решения системы. Если начальное приближение не задать, то mathcad по умолчанию примет его равным нулю для всех переменных, при этом, если окажется, что система имеет несколько решений, то есть риск не определить все корни. Поэтому лучше всегда задавать приближение

Рис. 1. Ввод исходных данных в поле mathcad

Далее вводятся уравнения. Их можно записать в явном или неявном виде. Само уравнение набирается с клавиатуры вручную с использованием панели Calculator. Из этой панели можно взять основные математические операции: дроби, тригонометрию, факториалы и прочее. Уравнение нужно записывать с использованием логического символа «ровно». На панели Boolean он выделен жирным шрифтом (см. рис. 2)

Рис. 2. Панели Boolean и Calculator

Когда уравнения записаны вводится функция Find(x, y, z. ) (где х, y, z. — переменные). Это функция, которая возвращает результат решения системы. Значение функции Find() можно присвоить какой-либо переменной с помощью символа «:=» и использовать ее далее в расчетах (см. рис. 3). При решении систем уравнений в mathcad результатом всегда будет являтся матрица значений

Рис. 3. Ввод функции Find()

Для того чтобы увидеть результат решения системы уравнений, после Find(x, y, z. ) следует поставить символ «→» либо «=» из панели Evaluation (см. рис. 4).

Рис. 4. Панель «Evaluation»

В зависимости от сложности системы через определенное время MathCad выведет результат. На рис. 5 можно рассмотреть синтаксис и результат решения системы уравнений. Обратите внимание, что можно присваивать результат решения системы матричной переменной и можно работать с отдельными ее элементами

Рис. 5. Результат численного решения системы уравнений

Mathcad позволяет решать системы уравний в символьном виде. Обычно это полезно, когда требуется получить не точное значение переменных, а их выражения через константы. Например, если мы заменим все числовые константы на неизвестные параметры и решим уравнение относительно x, y и z, то результат выведется в символьном виде (см. рис. 6). Причем, обратите внимание, что в данном случае нам не нужно вводить начальное приближение и мы должны использовать символ «→» для вывода результата. Как правило, символьное решение получается громоздким, поэтому не всегда рекомендуется использовать этот метод

Рис. 6. Результат символьного решения системы уравнений

Использование метода Solve:

Как показывает практика, методом solve иногда удается решить системы уравнений, которые не поддаются решению с помощью функции Find()

Синтаксис следующий: на панели matrix нажимаем иконку Matrix or Vector и в появившемся окне указываем количество уравнений входящих в систему. В нашем примере их будет три (см. рис. 7)

Рис. 7. Создание матрицы для метода SOLVE

Заполняем систему, вводя последовательно все уравнения используя логический символ «ровно» из панели Boolean. Каждый элемент матрицы-столбца содержит одно уравнение (см. рис. 8)

Рис. 8. Ввод системы уравнений для метода SOLVE

Когда все уравнения введены, убедитесь, что курсор ввода находится в вашей матрице и затем нажмите кнопку «solve» из панели Symbolic. Появится служебное слово (функция) solve. Далее поставте запятую и введите последовательно все переменные, относительно которых необходимо решить систему уравнений (см. рис. 9)

Рис. 9. Синтаксис метода SOLVE для решения систем

Уведите курсор в свободное поле mathcad и дождитесь окончания решения системы. Обратите внимание, что мы не вводили начальные приближения. Даный метод их назначает автоматически. Обратите так же внимание, что для решения системы в символьном виде синтаксис аналогичен (см. рис. 10)

Рис. 10. Синтаксис метода SOLVE для решения систем

Как показывает моя инженерная практика, решение систем в символьном виде сопряжено с большими вычислительными трудностями. То есть иногда решение системы занимает массу времени, и в итоге mathcad выдает выражение для одной переменной непомерной длины, которое нельзя использовать. Поэтому рекомендуется прменять эту возможность лишь в крайних случаях и по возможности «помогать» mathcad, заменяя константы известными числовыми значениями

Donec eget ex magna. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fergiat. Pellentesque in mi eu massa lacinia malesuada et a elit. Donec urna ex, lacinia in purus ac, pretium pulvinar mauris. Curabitur sapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Duis dapibus rutrum facilisis. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos himenaeos. Etiam tristique libero eu nibh porttitor fermentum. Nullam venenatis erat id vehicula viverra. Nunc ultrices eros ut ultricies condimentum. Mauris risus lacus, blandit sit amet venenatis non, bibendum vitae dolor. Nunc lorem mauris, fringilla in aliquam at, euismod in lectus. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. In non lorem sit amet elit placerat maximus. Pellentesque aliquam maximus risus, vel venenatis mauris vehicula hendrerit.

Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fersapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique lorem ipsum dolor.

Символьное решение уравнений и систем уравнений

Для решения уравнений в символьном виде в MathCad используется специальный оператор символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства, который может быть также введен с рабочей панели “Символика”. Например,

Аналогичные действия можно выполнить, используя меню “Символика”. Для этого необходимо записать вычисляемое выражение. Затем выделить переменную, относительно которой решается уравнение, войти в меню Символика, Переменная, Разрешить. Например,

35. Базы данных и знаний: назначение и общая характеристика. Модели баз данных.

Базами данных называют совокупность данных, совместно используемых различными задачами в рамках единой автоматизированной информационной системы.

Основными понятиями теории баз данных являются:

— предметная область – часть реального мира, подлежащая изучению с целью организации управления в этой сфере и последующей автоматизации процесса управления;

— объект – элемент информационной системы, сведения о котором хранятся в базе данных.

— атрибут – это информационное отображение свойств объекта;

— ключевой атрибут – это такой атрибут (или группа атрибутов), который позволяет определить значения других атрибутов;

— запись данных – совокупность значений связанных элементов данных;

— первичный ключ — это атрибут (или группа атрибутов), который уникальным образом идентифицирует каждый экземпляр объекта (запись).

Процедуры хранения данных в базе должны подчиняться некоторым общим принципам, среди которых в первую очередь выделить следующие:

— целостность и непротиворечивость данных, под которым понимается как физическая сохранность данных, так и предотвращение неверного использования данных, поддержка допустимых сочетаний их значений, защита от структурных искажений и несанкционированного доступа;

— минимальная избыточность данных обозначает, что любой элемент данных должен храниться в базе данных в единственном виде, что позволяет избежать дублирования операций, проводимых над ними.

Программное обеспечение, осуществляющее операции над базами данных получило название система управления базами данных (СУБД).

Возможны три модели баз данных: сетевые, иерархические и реляционные. Сетевые и иерархические СУБД по­лучили наибольшее распространение на больших- и мини-ЭВМ. На ПК ис­пользуется преимущественно реляционная модель данных.

В ие­рархических СУБД (рис.15.1) данные представляются в виде древовидной структуры. В этой модели все записи, агрегаты и атрибуты образуют иерархически организованный набор, то есть такую структуру, в которой все элементы связаны отношением подчиненности, и при этом любой элемент может подчиняться только одному какому-нибудь элементу.

Сетевые СУБД (рис.15.2) ис­пользуют модель представления данных в виде произвольного графа. Сетевой подход является развитием иерархической модели. В сетевой модели запись-потомок может зависеть не от одного прародителя, а от многих.

Реляционная модель ориентирована на представление данных в виде табли­цы. Таблица реляционной БД (рис. 15.3) представляет собой двухмерный мас­сив и обладает следующими свойствами:

— каждый элемент таблицы — это один элемент данных, повторяющиеся группы отсутствуют;

— все столбцы (колонки) в таблице однородные. Это означает, что все элементы одного столбца имеют одинаковую природу. Например: марка бензонасоса или раз­мер заработной платы;

— столбцам присвоены уникальные имена;

— в таблице нет одинаковых строк;

— в операциях с таблицей ее строки и столбцы могут просматриваться в лю­бом порядке и в любой последовательности безотносительно к их информа­ционному содержанию и смыслу.

Основные понятия реляционных баз данных.

Таблица на экране дисплея соответствует файлу данных на диске, строка таблицы — записи файла, колонка таблицы — полю записи.

Строка таблицы с данными представляет собой один конкретный экземпляр отношения данного типа или его кортеж, а всю таблицу в целом называют отношением. Таким обра­зом, при описании реляционной модели данных отношением называют всю таблицу в целом как совокупность конкретных экземпляров отношения. Слова «отношения» и «реляционный» (от латинского relation — отношение) представляют собой синонимы.

Совокупность значений элементов данных, размещенных в одном столбце таблицы и определяющих некоторую характеристику или свойство объектов, описываемых строками таблицы, называют атрибутом отношения. Количество элементов данных в кортеже (количество столбцов в таблице) определяет степень отношения. Если таблица включает n столбцов, то она представляет собой отношение степени n. Количество кортежей в отноше­нии (число строк в таблице) определяют его мощность — m. Тогда общее количество элементов данных в отношении степени n будет равно n х m.

Атрибут, значение которого идентифицирует кортеж, то есть позволяет однозначно выделить его из других кортежей данного отношения, называ­ется ключевым атрибутом или просто ключом. Ключ может включать нес­колько атрибутов — составной ключ или представлять собой только часть значения атрибута — частичный ключ. В приведенном выше примере в ка­честве ключа может быть марка автомобиля, что позволяет однозначно вы­делить кортеж из всего отношения. Часто степень отношения БД может быть достаточно большой. Пользоваться такой базой данных неудобно, по­этому она может быть разбита на несколько самостоятельных частей — несколько отношений. В таком случае возникает потребность установления логической связи между различными кортежами, обеспечивающей непротиво­речивость и полноту базы данных. Логическая связь между кортежами раз­ных отношений в целях их совместной обработки реализуется различными способами:

а) использованием в отношениях одинаковых ключей;

б) вклю­чение в отношение внешнего ключа;

в) использование связующего отноше­ния.

Основными операциями над отношениями реляционной базы данных являются объединение отношений, их пересечение, декартово произведение, проекция, деление, соединение и выбор.

Для выполнения операций над отношениями реляционной базы данных используются языки реляционной алгебры и языки реляционного исчисления.

Языки реляционной алгебры основаны на реляционной алгебре (алгебра Кодда). Записывая последовательно операции над отношениями в соответствующем порядке можно получить желаемый результат.

Примеры операций над отношениями:

Объединение. Операция выполняется над двумя совместимыми отношениями (отношения совместимы, если они имеют одинаковую степень и одинаковые типы соответствующих атрибутов). Результат объединения включает все кортежи первого отношения и недостающие кортежи из второго отношения.

Пересечение.Результат пересечения содержит только те кортежи первого отношения, которые есть во втором отношении.

Разность. Результат включает только те кортежи первого отношения, которых нет во втором отношении.

Декартово произведение. Здесь отношения- операнды могут иметь разные схемы:

Степень результирующего отношения равна сумме степеней отношений операндов, а мощность – произведению их мощностей: