Sin x cos x 0 однородные уравнения

Sin x cos x 0 однородные уравнения

Однородное тригонометрическое уравнение – это уравнение двух видов:

a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени)

a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (однородное уравнение второй степени).

Алгоритм решения однородного уравнения первой степени a sin x + b cos x = 0:

1) разделить обе части уравнения на cos x

2) решить получившееся выражение

Пример : Решим уравнение 2 sin x – 3 cos x = 0.

Разделим обе части уравнения на cos x:

Алгоритм решения однородного уравнения второй степени a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.

Условие: в уравнении должно быть выражение вида a sin 2 x.
Если его нет, то уравнение решается методом разложения на множители.

1) Разделить обе части уравнения на cos 2 x

2) Ввести новую переменную z, заменяющую tg x (z = tg x)

3) Решить получившееся уравнение

Пример : Решить уравнение sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0.

Разделим обе части уравнения на cos 2 x:

tg 2 x – 3 tg x + 2 = 0.

Вместо tg x введем новую переменную z и получим квадратное уравнение:

Значит:
либо tg x = 1,
либо tg x = 2.

Сначала найдем x при tg x = 1:
x = arctg 1 + πn.
x = π/4 + πn.

Теперь найдем x при tg x = 2:
x = arctg 2 + πn.

Ответ : x = π/4 + πn; x = arctg 2 + πn.

Уравнение. Однородные тригонометрические уравнения относительно sin и cos.

Уравнение считаются однородным относительно sin и cos, когда все его члены одинаковой степени относительно sin и cos и одинакового угла.

Рассмотрим несколько примеров однородных тригонометрических уравнений:

sin 2 х — 5 sin х cos х + 6 cos 2 х = 0,

cos 2 х — sin х cos х = 0.

К примеру, у членов первого уравнения общая степень 1, а у членов других двух уравнений — общая степень 2

Для решения подобных уравнений требуется:

— переместить все его компоненты в левую часть;

— переместить общие множители за скобки;

— приравнять все множители и скобки к нулю;

— скобки, равные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое необходимо поделить на cos ( или sin ) в большей степени;

— найти корни образовавшегося уравнения относительно tg ( или ctg)..

Найдем корни уравнения sin х — cos х = 0.

В рассматриваемом варианте cos x не допустимо приравнять к нулю. Если допустить что cos х = 0, то тогда и sin х = 0. И в таком случаем не осуществилось бы соотношение sin 2 х +cos 2 х = 1. Значит, в этом выражении cos х ≠ 0.

Следовательно, обе части указанного выражения можем поделить на cos 2 х. Тогда получим tg x — 1 = 0, далее:

Сходным образом решаем и уравнение sin 2 х — 5 sin х cos х + 6 cos 2 х = 0.

Поделим обе части этого выражения на cos 2 х:

tg 2 х — 5 tg х + 6 = 0;

x = arctg 2 + nπ х = arctg 3 + kπ .

Вычислим корни уравнения cos 2 х — sin х cos х = 0.

В этом случае тождество cos х = 0 допустимо, и следовательно, поделить обе части выражения на cos 2 х невозможно. Однако, возможно, что sin х ≠ 0. В противоположном случае из выражения получалось бы, что cosх = 0. Но тогда не осуществилось бы равенство sin 2 х +cos 2 х = 1. Итак, sin х ≠ 0. Значит обе части данного выражения возможно поделить на sin 2 х.

После проведения преобразований имеем:

Согласно этому формируются две группы корней:

Некоторые тригонометрические уравнения, не будучи однородными, просто преобразуются в однородные.

Так, когда в уравнении:

представим 0,5 как 0,5 (sin 2 х +cos 2 х), и получим однородное уравнение sin х cos x = 0,5 sin 2 х + 0,5 cos 2 х.

Однородные тригонометрические уравнения

Примерами однородных тригонометрических уравнений могут служить уравнения:

sin х — cos х = 0,
sin 2 х — 5 sin х cos х + 6 cos 2 х = 0,
cos 2 х — sin х cos х = 0.

Это такие уравнения, все члены которых имеют одну и ту же общую степень относительно sin x и cos x. Например, все члены первого уравнения имеют общую степень 1, а все члены других двух уравнений — общую степень 2.

Решим уравнение sin х — cos х = 0. Для этого заметим, что в данном случае cos x не может быть равен нулю. Если бы было cos х = 0, то должно было бы быть и sin х = 0. Но тогда не выполнялось бы тождество sin 2 х +cos 2 х = 1. Итак, в данном случае
cos х =/= 0. Поэтому обе части данного уравнения можно разделить на
cos 2 х. В результате получим tg x — 1 = 0, откуда

Аналогично решается и уравнение sin 2 х — 5 sin х cos х + 6 cos 2 х = 0. Разделив обе части этого уравнения на cos 2 х, получим:

x = arctg 2 + nπ х = arctg 3 + kπ.

Теперь решим уравнение cos 2 х — sin х cos х = 0.

Здесь уже равенство cos х = 0 возможно, поэтому делить обе части уравнения на
cos 2 х нельзя. Зато можно утверждать, что sin х =/= 0. В противном случае из уравнения вытекало бы, что cos х = 0. Но тогда не выполнялось бы тождество sin 2 х +cos 2 х = 1. Итак, sin х =/=
0. Поэтому обе части данного уравнения можно разделить на sin 2 х. В результате получим:

откуда (ctg х)₁ = 0; (ctg х)₂ = 1. Соответственно этому получаются две группы корней:

Некоторые тригонометрические уравнения, не являясь однородными, легко сводятся к однородным.

Например, если в уравнении

представить 0,5 в виде 0,5 (sin 2 х +cos 2 х), то получится однородное уравнение
sin х cos x = 0,5 sin 2 х + 0,5 cos 2 х