Синус косинус суммы и разности аргументов уравнения

Сумма и разность синусов и косинусов: вывод формул, примеры

Формулы суммы и разности синусов и косинусов для двух углов α и β позволяют перейти от суммы указанных углов к произведению углов α + β 2 и α — β 2 . Сразу отметим, что не стоит путать формулы суммы и разности синусов и косинусов с формулами синусов и косинусов суммы и разности. Ниже мы перечислим эти формулы, приведем их вывод и покажем примеры применения для конкретных задач.

Формулы суммы и разности синусов и косинусов

Запишем, как выглядят формулы суммы и разности для синусов и для косинусов

Формулы суммы и разности для синусов

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α — β 2 sin α — sin β = 2 sin α — β 2 cos α + β 2

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α — β 2 cos α — cos β = — 2 sin α + β 2 cos α — β 2 , cos α — cos β = 2 sin α + β 2 · β — α 2

Данные формулы справедливы для любых углов α и β . Углы α + β 2 и α — β 2 называются соответственно полусуммой и полуразностью углов альфа и бета. Дадим формулировку для каждой формулы.

Определения формул сумм и разности синусов и косинусов

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус полусуммы.

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы и косинуса полуразности этих углов.

Разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности этих углов, взятому с отрицательным знаком.

Вывод формул суммы и разности синусов и косинусов

Для вывода формул суммы и разности синуса и косинуса двух углов используются формулы сложения. Приведем их ниже

sin ( α + β ) = sin α · cos β + cos α · sin β sin ( α — β ) = sin α · cos β — cos α · sin β cos ( α + β ) = cos α · cos β — sin α · sin β cos ( α — β ) = cos α · cos β + sin α · sin β

Также представим сами углы в виде суммы полусумм и полуразностей.

α = α + β 2 + α — β 2 = α 2 + β 2 + α 2 — β 2 β = α + β 2 — α — β 2 = α 2 + β 2 — α 2 + β 2

Переходим непосредственно к выводу формул суммы и разности для sin и cos.

Вывод формулы суммы синусов

В сумме sin α + sin β заменим α и β на выражения для этих углов, приведенные выше. Получим

sin α + sin β = sin α + β 2 + α — β 2 + sin α + β 2 — α — β 2

Теперь к первому выражению применяем формулу сложения, а ко второму — формулу синуса разностей углов (см. формулы выше)

sin α + β 2 + α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 sin α + β 2 + α — β 2 + sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 + sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим искомую формулу

sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 + sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α — β 2

Действия по выводу остальных формул аналогичны.

Вывод формулы разности синусов

sin α — sin β = sin α + β 2 + α — β 2 — sin α + β 2 — α — β 2 sin α + β 2 + α — β 2 — sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 — sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 = = 2 sin α — β 2 cos α + β 2

Вывод формулы суммы косинусов

Вывод формулы разности косинусов

cos α — cos β = cos α + β 2 + α — β 2 — cos α + β 2 — α — β 2 cos α + β 2 + α — β 2 — cos α + β 2 — α — β 2 = cos α + β 2 cos α — β 2 — sin α + β 2 sin α — β 2 — cos α + β 2 cos α — β 2 + sin α + β 2 sin α — β 2 = = — 2 sin α + β 2 sin α — β 2

Примеры решения практических задач

Для начала, сделаем проверку одной из формул, подставив в нее конкретные значения углов. Пусть α = π 2 , β = π 6 . Вычислим значение суммы синусов этих углов. Сначала воспользуемся таблицей основных значений тригонометрических функций, а затем применим формулу для суммы синусов.

Пример 1. Проверка формулы суммы синусов двух углов

α = π 2 , β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 — π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 · 3 2 · 3 2 = 3 2

Рассмотрим теперь случай, когда значения углов отличаются от основных значений, представленных в таблице. Пусть α = 165 ° , β = 75 ° . Вычислим значение разности синусов этих углов.

Пример 2. Применение формулы разности синусов

α = 165 ° , β = 75 ° sin α — sin β = sin 165 ° — sin 75 ° sin 165 — sin 75 = 2 · sin 165 ° — 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 · sin 45 ° · cos 120 ° = 2 · 2 2 · — 1 2 = 2 2

С помощью формул суммы и разности синусов и косинусов можно перейти от суммы или разности к произведению тригонометрических функций. Часто эти формулы называют формулами перехода от суммы к произведению. Формулы суммы и разности синусов и косинусов широко используются при решении тригонометрических уравнений и при преобразовании тригонометрических выражений.

Урок по теме «Применение формул синуса и косинуса суммы и разности аргументов при решении уравнений». 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Цели урока:

• Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения обучающихся, связанные с применением формул синуса и косинуса суммы и разности аргументов и решения уравнений.
• Содействовать развитию математического мышления обучающихся, развивать умение наблюдать, сравнивать, анализировать математические ситуации.
• Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.

Оборудование: карточки с заданиями, копировальная бумага.

1. Организационный момент

2. Проверка домашнего задания

3. Выполнение карточек

Выдаются карточки с заданиями и копировальная бумага. Ученики выполняют задания на листах через копирку, один экземпляр оставляют себе. После проверяют выполненное задание. Ответы к заданиям карточек находятся с обратной стороны доски.

4. Устная работа

1. Исправьте ошибки на доске и подумайте о причинах их возникновения.

Для каких а существует arcsinа и arccosа?

3. Упростите выражения:

5. Основной этап

– Какие способы решения уравнений вам известны?
Определить типы уравнений и способы их решения.

– Какие виды заданий можно ещё придумать? (Например: найдите наименьший положительный корень уравнения и др.)

6. Домашнее задание: §19, №14, 15(а),16(а), 23 (б), 24( в).

7. Рефлексия

– Ребята, на листочках, которые лежат перед вами , написаны начала предложений. Мне бы хотелось узнать, как для вас прошёл урок? В чём были затруднения? Что получилось?

• Сегодня я узнал…
• Было интересно…
• Я выполнял задание…
• Я понял, что…
• Теперь я могу…
• Я почувствовал, что…
• Я приобрёл…
• Я научился…
• У меня получилось…
• Я смог…
• Я попробую…
• Меня удивило…

Синус и косинус суммы и разности аргументов

п.1. Косинус разности и суммы

Пусть \(\angle AOB=\alpha,\ \angle AOC=\beta,\ \alpha\gt\beta\) Тогда \(\angle BOC=\alpha-\beta\)

B \(\Delta BOC\) по теореме косинусов: \(BC^2=OB^2+OC^2-2\cdot OB\cdot OC\cdot cos(\alpha-\beta)\)
Т.к. \(OB=OC=1\), получаем: $$ BC^2=1+1-2\cdot 1\cdot 1\cdot cos(\alpha-\beta)=2-2cos(\alpha-\beta)=2(1-cos(\alpha-\beta)) $$
B \(\Delta BDC\) по теореме Пифагора: \(BC^2=BD^2+CD^2=(BF-CE)^2+(OE-OF)^2=\) \begin =(sin\alpha-sin\beta)^2+(cos\beta-cos\alpha)^2=sin^2\alpha-2sin\alpha sin\beta+sin^2\beta+\\ +cos^2\alpha-2cos\alpha cos\beta+cos^2\beta=(sin^2\alpha+cos^2\alpha)+(sin^2\beta+cos^2\beta)-\\ -2sin\alpha sin\beta-2cos\alpha cos\beta=2(1-sin\alpha sin\beta-cos\alpha cos\beta) \end
Приравниваем оба полученных выражения для \(BC^2\): \begin 2(1-cos(\alpha-\beta))=2(1-sin\alpha sin\beta-cos\alpha cos\beta)\\ 1-cos(\alpha-\beta)=1-sin\alpha sin\beta-cos\alpha cos\beta\\ cos(\alpha-\beta)=cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta \end
Чтобы найти косинус суммы, используем полученное выражение для косинуса разности и четность функций: \begin cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha-(-\beta))=cos\alpha cos(-\beta)+sin\alpha sin(-\beta)=\\ =cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta\\ cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta \end

п.2. Синус суммы и разности

По формуле приведения: \begin sin(\alpha+\beta)=cos\left(\frac\pi2-(\alpha+\beta)\right)=cos\left(\left(\frac\pi2-\alpha\right)-\beta\right)=\\ =cos\left(\frac\pi2-\alpha\right)cos\beta+sin\left(\frac\pi2-\alpha\right)sin\beta=sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta\\ sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta \end
Чтобы найти синус разности, используем полученное выражение для синуса суммы и четность функций: \begin sin(\alpha-\beta)=sin(\alpha+(-\beta))=sin\alpha cos(-\beta)+cos\alpha sin(-\beta)=\\ =sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta\\ sin(\alpha-\beta)= sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta \end

п.3. Примеры

Пример 1. Упростите выражение:
a) \begin \frac=\frac=\\ =\frac<-cos\alpha cos\beta>=-tg\alpha tg\beta \end
б) \begin cos\left(\frac\pi3+\alpha\right)+cos\left(\frac\pi3-\alpha\right)-cos\alpha=cos\frac\pi3 cos\alpha-sin\frac\pi3 sin\alpha+cos\frac\pi3 cos\alpha+\\ +sin\frac\pi3 sin\alpha-cos\alpha=2cos\frac\pi3 cos\alpha=cos\alpha\left(2cos\frac\pi3-1\right)=\\ =cos\alpha\left(2\cdot\frac12-1\right)=0 \end
в) \begin \frac<2cos(\alpha-\beta)>-ctg\alpha=\\ =\frac<2(cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta)>-ctg\alpha=\\ =\frac<2(cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta)><2sin\alpha cos\beta>-ctg\alpha=\frac+\frac-ctg\alpha=\\ =ctg\alpha+tg\beta-ctg\alpha=tg\beta \end
г) \begin cos^2\left(\frac\pi3+\alpha\right)+cos^2\left(\frac\pi3-\alpha\right)+cos^2\alpha=\left(cos\frac\pi3 cos\alpha-sin\frac\pi3 sin\alpha\right)^2+\\ +\left(cos\frac\pi3 cos\alpha+sin\frac\pi3 sin\alpha\right)^2+cos^2\alpha=\left(cos\frac\pi3 cos\alpha\right)^2-2cos\frac\pi3 cos\alpha sin\frac\pi3 sin\alpha+\\ +\left(sin\frac\pi3 sin\alpha\right)^2+\left(cos\frac\pi3 cos\alpha\right)^2+2cos\frac\pi3 cos\alpha sin\frac\pi3 sin\alpha+\left(sin\frac\pi3 sin\alpha\right)^2+cos^2\alpha=\\ =2\left(cos\frac\pi3 cos\alpha\right)^2+2\left(sin\frac\pi3 sin\alpha\right)^2+cos^2\alpha=2\cdot \frac14 cos^2\alpha+2\cdot\frac34 sin^2\alpha+cos^2\alpha\\ =\frac32 cos^2\alpha+\frac32 sin^2\alpha=\frac32(cos^2\alpha+sin^2\alpha)=\frac32 \end