Sinx 1 2 решение уравнения на графике

Функция y = sin x, её свойства и график

п.1. Развертка ординаты движения точки по числовой окружности в функцию от угла

При движении точки по числовой окружности её ордината является синусом соответствующего угла (см. §2 данного справочника).

Рассмотрим, как изменяется синус, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=sinx на этом отрезке.

Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривая продолжится вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x синусоидой .
Часть синусоиды для 0≤x≤2π называют волной синусоиды .
Часть синусоиды для 0≤x≤π называют полуволной или аркой синусоиды .

п.2. Свойства функции y=sinx⁡

1. Область определения \(x\in\mathbb\) — множество действительных чисел.

2. Функция ограничена сверху и снизу

Область значений \(y\in[-1;1]\)

3. Функция нечётная

4. Функция периодическая с периодом 2π

5. Максимальные значения \(y_=1\) достигаются в точках

Минимальные значения \(y_=-1\) достигаются в точках

Нули функции \(y_<0>=sinx_0=0\) достигаются в точках \(x_0=\pi k\)

6. Функция возрастает на отрезках

$$ -\frac\pi2+2\pi k\leq x\leq\frac\pi2+2\pi k $$

Функция убывает на отрезках

$$ \frac\pi2+2\pi k\leq x\leq\frac<3\pi><2>+2\pi k $$

7. Функция непрерывна.

п.3. Примеры

Пример 1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=sinx на отрезке:

a) \(\left[\frac\pi6; \frac<3\pi><4>\right]\) $$ y_=sin\left(\frac\pi6\right)=\frac12,\ \ y_=sin\left(\frac\pi2\right)=1 $$ б) \(\left[\frac<5\pi><6>; \frac<5\pi><3>\right]\) $$ y_=sin\left(\frac<3\pi><2>\right)=-1,\ \ y_=sin\left(\frac<5\pi><6>\right)=\frac12 $$

Пример 2. Решите уравнение графически:
a) \(sinx=3x\)

Один корень: x = 0

б) \(sinx=2x-2\pi\)

Один корень: x = π

в) \(sinx-\sqrt=0\)
\(sinx=\sqrt\)

Один корень: x = π

г*) \(sinx=\left(x-\frac\pi2\right)^2-\frac<\pi^2><4>\)
\(y=\left(x-\frac\pi2\right)^2-\frac<\pi^2><4>\) – парабола ветками вверх, с осью симметрии \(x_0=\frac\pi2\) и вершиной \(\left(\frac\pi2; -\frac<\pi^2><4>\right)\) (см. §29 справочника для 8 класса)

Два корня: \(x_1=0,\ \ x_2=\pi\)

Пример 3. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=sinx,\ \ y=-sinx,\ \ y=2sinx,\ \ y=sinx+2 $$

\(y=-sinx\) – отражение исходной функции \(y=sinx\) относительно оси OX. Область значений \(y\in[-1;1]\).
\(y=2sinx\) – исходная функция растягивается в 2 раза по оси OY. Область значений \(y\in[-2;2]\).
\(y=sinx+2\) — исходная функция поднимается вверх на 2. Область значений \(y\in[1;3]\).

Пример 4. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=sinx,\ \ y=sin2x,\ \ y=sin\frac <2>$$

Амплитуда колебаний у всех трёх функций одинакова, область значений \(y\in[-1;1]\).
Множитель под синусом изменяет период колебаний.
\(y=sin2x\) — период уменьшается в 2 раза, полная волна укладывается в отрезок \(0\leq x\leq \pi\).
\(y=sin\frac<2>\) — период увеличивается в 2 раза, полная волна укладывается в отрезок \(0\leq x\leq 4\pi\).

Решить тригонометрическое уравнение sin x = 1/2

—>Просмотров : 5942 | —>Добавил : driven (10.11.2019) (Изменено: 10.11.2019)