Система дифференциальных уравнений производная по параметру

Дифференцируемость решения по параметру и ее применения по начальным условиям

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Рассматривается система уравнений с параметром ц При каждом /i система имеет решение. Оно зависит не только от ty но и от выбранного значения параметра поэтому обозначается x(t, р). Теорема 1. Пусть при — область в Rn+I, М — интервал в R1) все функции a'(fi) непрерывны. Пусть при всех ft € М на отрезке t2] Э t0 решение x(t,p) задачи (1) существует и проходит в области D. Тогда это решение имеет производные dxjdp, непрерывные по (;t, ц).

Функции V4 = Qxjdp. (i = 1. п) удовлетворяют системе уравнений в вариациях В (2) производные от /• зависят от аргументов J, «j /i). xn(t9fi)9fi9 где — координаты решения /*) при том значении при котором разыскивается дх/др. Если решение x(t, ц) известно хотя бы при одном значении д, то система^!), позволяет найти дх/дц при этом ft. Систему (2) можно не запоминать, она получается посредством дифференцирования обеих частей системы (1) по \l\ при этом считаем, что х = x(t, /х), и дх

Найти дх/дц при \l — 0 от решения задачи Дифференцируемость решения по параметру и ее применения по начальным условиям. Решение примера. Условия теоремы 1 выполнены, так как функции / = х2 + 4fit р? и a(fi) = 2/i — 1 непрерывны и имеют непрерывные производные по х и ц. Дифференцируя (3) по ц и обозначая х^ = и, получаем Здесь \i = 0, а х — решение задачи (3) при ц = О, то есть задачи dx/dt = ж2, ж(1) = -1. Отсюда а: = -1 ft.

Теперь (4) принимает вид Решая это линейное уравнение (выкладки пропускаем), получаем и = t2 + d

2. Из начального условия находим с = 1. Итак, Доказательство теоремы. Зафиксируем /х € М. Имеем где — решение задачи (1), но с Д вместо ji, то есть Обозначим дробь в (5) через Д). Идея доказательства теоремы. Составляем дифференциальное уравнение для v(t9 Д) при Д Ф fi.

Его правая часть при Д /х стремится к правой части уравнения (2).

Поэтому и решение v(t9 Д) при Д /х, то есть дробь в (5), стремится к решению уравнения (2). Значит, предел в (5), то есть дх/дц9 существует и удовлетворяет уравнению (2). Из уравнений (6) и (1), вычитая и деля на Д — р, получаем Преобразуем первую дробь в (7). Положим Тогда Поэтому из (7) имеем Так как df/dx, df/Зц непрерывны по совокупности переменных, то подынтегральные функции непрерывны по , а интегралы непрерывно по t. Из (6) по теореме 7 §7 ж непрерывно по (;t, Д) — по совокупности переменных.

Поэтому последние два интеграла в (8) — непрерывные функции от Д), включая значение Д = Обозначая их #(*,Д) и Л(*,Д), получаем Функция v(t9 Ji) была определена при Д Ф ц. Доопределяем ее при Д = /м как решение уравнения (9) с начальным условием и(*0, ц) = a'(/i), полученным из начального условия (7) при . По теореме 7 §7 функция v(t9JT) непрерывна по Д, включая Д = /х.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

При Д = /х имеем х* = х = /*), /1* = ц9 подынтегральные выражения в (8) не зависят от 8. Тогда в (9) матрица Я и вектор h принимают значения Таким образом, для v(t9fi) уравнение (9) и начальное условие v(t0,n) = a'(fi) совпадают с (2), то есть v(t9fi) удовлетворяет (2). В силу непрерывности Д) существует lim v(t9 Д) = То есть в (5) существует производная дх/дц = и координаты tf. вектора v(t9 ц) удовлетво- ряют системе уравнений и начальным условиям (2). Теперь пусть ц меняется на интервале М.

(и производные д/ди от них) непрерывны по (*,/*). По теореме 7 §7 решение системы (2), то есть производные тоже непрерывны по Дифференцнруемость решения по начальным условиям (следствие теоремы 1). Рассмотрим начальную задачу Пусть при (*,s) е D все функции Д и непрерывны, и на отрезке [t<912] Э t0 решение задачи (10) существует и проходит в области D. Тогда при существуют непрерывные производные решения £, по начальным условиям удовлетворяют системе Здесь решение задачи (10). Доказательство. Пусть xk0 = /х, а при t ^ fc ®f0 не зависит от Тогда система (10) удовлетворяет условиям теоремы 1.

Тогда решение x(t, ц) имеет непрерывные по t, ц производные по ц до порядка т включительно. Доказательство производится с помощью индукции по т. Для т = 1 утверждение теоремы 2 следует из теоремы 1. Пусть утверждение верно для производных до порядка 771 — 1 ^ 1. Докажем, что оно верно и для производных порядка т. Так как а функции и. = dxjdpi (i = 1. 7i) удовлетворяют системе (2), то надо проверить, что правые части в (2) имеют непрерывные производные по щ, fi до порядка т — 1 включительно.

1 по /i. Значйт, в (2) сложная функция принадлежит , аналогично dfjd^ также . По предположению индукции, примененному к системе (2), решение ир. ип системы (2) принадлежит по р. Так как ий =, то xt(t9 fi) G .

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)

Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

Дифференциальные уравнения с малым параметром при производной

Возьмем дифференциальное уравнение (где — параметр)

Если функция в некоторой замкнутой области изменения непрерывна по совокупности аргументов и удовлетворяет условию Липшица по

где не зависит от , то решение (1) непрерывно зависит от .

Во многих задачах физики приходится рассматривать уравнения вида (где — малый параметр)

Разделив обе части уравнения (2) на , приведем его к виду

откуда видно, что правая часть (3) терпит разрыв при , так что теоремой о непрерывной зависимости решений от параметра воспользоваться в этом случае нельзя.

Вопрос ставится так: при каких условиях для малых значений в уравнении (2) можно отбросить член и в качестве приближения к решению дифференциального уравнения (2) рассматривать решение так называемого «вырожденного уравнения»

Пусть для определенности 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/QHAQSFZiDGh0BCgsXHgm/CxLgAAALNJREFUGNNjYCAecHtgF8+vWYFNmEWCoX4DnOcOZ/IuYAhMANJMCiAem00AVFzRgEHxAlDAULYBJKsCk3C8wKD4iYFhborzA4i5xg4Q8QIGRSEGjglwK1gnOyGJm5VvQEgkwMVZPy8OgIufT4CaL8TA3IAw5zDYnI0GICe1w4VVDkPs1QK6/wFD1yalPIhzLKE61UQZHgYwsEsZgl3EZgmzhqn+uRiQCsuAhAPcdibVZxsYAOHLKP4AljeRAAAAAElFTkSuQmCC» /> и пусть вырожденное уравнение (4) имеет лишь одно решение . В зависимости от поведения вблизи решения уравнения (4) решение дифференциального уравнения (2) при стремится к решению вырожденного уравнения, либо быстро удаляется от него.

В первом случае решение уравнения (4) называют устойчивым , во втором — неустойчивым .

Именно, если при переходе через график решения вырожденного уравнения (4) функция с возрастанием при фиксированном меняет знак с на , то решение вырожденного уравнения устойчиво и им можно приближенно заменить решение . уравнения (2) (рис. 47).

Если же функция меняет знак с на , то решение вырожденного уравнения (4) неустойчиво и заменять решение дифференциального уравнения (2) решением вырожденного уравнения (4) нельзя (рис. 48).

Достаточные условия устойчивости или неустойчивости выражаются следующими предложениями.

1. Если на решении уравнения (4), то решение вырожденного уравнения устойчиво.

2. Если 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> на решении уравнения (4), то решение вырожденного уравнения неустойчиво.

Если вырожденное уравнение (4) имеет несколько решений , то каждое из них должно быть исследовано на устойчивость . При этом поведение интегральных кривых дифференциального уравнения (2) при может быть различным в зависимости от выбора начальных условий — начальной точки .

Возможен также полуустойчивый случай , когда функция при переходе через кривую не меняет знак (например, если есть корень четной кратности вырожденного уравнения (4)). В этом случае при малом интегральные кривые уравнения (2) с одной стороны кривой стремятся к этой кривой, а с другой — удаляются от нее.

В первом случае мы говорили, что начальная точка принадлежит области притяжения полуустойчивого решения , а во втором случае — области отталкивания.

В полуустойчивом случае, как правило, нельзя заменять решение исходного уравнения (2) решением вырожденного уравнения (4).

Можно указать критерии, когда интегральные кривые уравнения (2) при соответствующем выборе начальной точки приближаются к решению вырожденного уравнения и остаются в его окрестности при t_0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADIAAAASBAMAAADrvZC0AAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/EGEAcAwIdVhoRCxcVFiSWq88AAAANlJREFUGNNjYMADbqPx2R5AGbxiaDIcDVAGjwiInLkBLuO4AMY4ACL5m+FSihMgtLJhsAKI9mwugAhMDlwMYRUt/ARh+EVBaKUOJaj2gw5QU5iiEkAUixTQeeoghgzcaqajICkmeQaGWTpAl7PJwmXYl4JkmMUZuAXYBZC9wxQKdoprAwNfA4MYyDvMEFc6QV3guMDDOYBFiIGBNSAHLMDZBXV1ooEtcwADUIZT+DRYAuYdBp5WA2awHoYyiP8QoZPNwCnAIoY99Lml2RpwRMwsVQUcMuzaDAwA1XUm63jYJJgAAAAASUVORK5CYII=» style=»vertical-align: middle;» />, однако это справедливо лишь при отсутствии возмущений уравнения (2).

Приведем эти критерии.

Пусть в окрестности полуустойчивого решения вырожденного уравнения (4) функция . Если 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />, то интегральные кривые уравнения (2), приближающиеся к кривой , не могут пересечь эту кривую и остаются в ее окрестности при t_0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADIAAAASBAMAAADrvZC0AAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/EGEAcAwIdVhoRCxcVFiSWq88AAAANlJREFUGNNjYMADbqPx2R5AGbxiaDIcDVAGjwiInLkBLuO4AMY4ACL5m+FSihMgtLJhsAKI9mwugAhMDlwMYRUt/ARh+EVBaKUOJaj2gw5QU5iiEkAUixTQeeoghgzcaqajICkmeQaGWTpAl7PJwmXYl4JkmMUZuAXYBZC9wxQKdoprAwNfA4MYyDvMEFc6QV3guMDDOYBFiIGBNSAHLMDZBXV1ooEtcwADUIZT+DRYAuYdBp5WA2awHoYyiP8QoZPNwCnAIoY99Lml2RpwRMwsVQUcMuzaDAwA1XUm63jYJJgAAAAASUVORK5CYII=» style=»vertical-align: middle;» /> (начальная точка должна находиться в области притяжения полуустойчивого решения ; если находится в области отталкивания, то соответствующая интегральная кривая уравнения (2) быстро удаляется от кривой ) (рис. 49). Если , то интегральные кривые, приближающиеся к графику функции , пересекут его и с другой стороны кривой быстро удалятся от нее. Если 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> при и при t_1″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADIAAAASBAMAAADrvZC0AAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAD3RSTlMAAaiFwGEw00IhQBBx8FF4mUoDAAAAxElEQVQY02NgwANOo/HZHkAZPN/QZNgLoAyhjyAydANcRl4BypAFM1iL4VL9ARB6sb3zAhAtWjwBIhDsrwxhzdCPgDDknCB0R3kHVLuuANQUDqcEEMX4CUhkgxiX4FZzqICkOL4yMBj9Arn+D1yGEyzD/JOBIfEXinc4XBpAlAjQO4wgGaaPzBBXSkBdIK8gLgCWYXFIAguwFkFdnW9gA9HDelkb4tMJsDApMYDIMEyD+A8ROtlQe7AC3DLm3x1waAEFCwDPjC4HC7XnhAAAAABJRU5ErkJggg==» style=»vertical-align: middle;» />, то при достаточно малом интегральные кривые, выходящие из точки , принадлежащей области притяжения корня , остаются вблизи кривой при 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAARCAMAAACVS259AAAANlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADAR2LVAAAAEnRSTlMA5dARAV6h/4HAIUExsUAQcZHkvQX+AAAAz0lEQVQoz51S0RLDIAgThyJFV/v/Pztx7Wm1W2/zgTshJgEx5o/zeD5+QDu2ZJcbwlZnNDmt39ABQuIDwe5OHorZVFjrydCsu3whA74EIXnfFkodkw1j35FCjduhRZ0ddNaf+3YVjsR6WTkJQV9G4dODcMDVPJdHiYY5SuGY4LYqRU3I2J54jhfsDKiJ6VuXBu+8I+mQNhi5mZueVLgoEiHs4XOruM9dxxdKAwK9l2mQZQdK3atrsya72Xj6pmnb0NvsYQdh7KnD5S7HLMr9Ah4fBg4hVyWJAAAAAElFTkSuQmCC» />; в окрестности точки они пересекают кривую и затем удаляются от нее.

Если в окрестности полуустойчивого решения функция , то для справедливости высказанных утверждений знаки у производной надо заменить противоположными.

Пример 1. Выяснить, стремится ли решение уравнения

удовлетворяющее начальному условию к решению вырожденного уравнения при t_0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADIAAAASBAMAAADrvZC0AAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/EGEAcAwIdVhoRCxcVFiSWq88AAAANlJREFUGNNjYMADbqPx2R5AGbxiaDIcDVAGjwiInLkBLuO4AMY4ACL5m+FSihMgtLJhsAKI9mwugAhMDlwMYRUt/ARh+EVBaKUOJaj2gw5QU5iiEkAUixTQeeoghgzcaqajICkmeQaGWTpAl7PJwmXYl4JkmMUZuAXYBZC9wxQKdoprAwNfA4MYyDvMEFc6QV3guMDDOYBFiIGBNSAHLMDZBXV1ooEtcwADUIZT+DRYAuYdBp5WA2awHoYyiP8QoZPNwCnAIoY99Lml2RpwRMwsVQUcMuzaDAwA1XUm63jYJJgAAAAASUVORK5CYII=» style=»vertical-align: middle;» /> и .

Решение. Имеем , так что решение вырожденного уравнения устойчиво и, следовательно, решение исходного уравнения , выходящее из любой начальной точки , стремится к решению вырожденного уравнения при и t_0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADIAAAASBAMAAADrvZC0AAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/EGEAcAwIdVhoRCxcVFiSWq88AAAANlJREFUGNNjYMADbqPx2R5AGbxiaDIcDVAGjwiInLkBLuO4AMY4ACL5m+FSihMgtLJhsAKI9mwugAhMDlwMYRUt/ARh+EVBaKUOJaj2gw5QU5iiEkAUixTQeeoghgzcaqajICkmeQaGWTpAl7PJwmXYl4JkmMUZuAXYBZC9wxQKdoprAwNfA4MYyDvMEFc6QV3guMDDOYBFiIGBNSAHLMDZBXV1ooEtcwADUIZT+DRYAuYdBp5WA2awHoYyiP8QoZPNwCnAIoY99Lml2RpwRMwsVQUcMuzaDAwA1XUm63jYJJgAAAAASUVORK5CYII=» style=»vertical-align: middle;» /> (рис.50).

В этом можно убедиться непосредственно проверкой. Решая дифференциальное уравнение (5) как линейное неоднородное при заданном начальном условии , найдем

откуда непосредственно видно, что при t_0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADIAAAASBAMAAADrvZC0AAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/EGEAcAwIdVhoRCxcVFiSWq88AAAANlJREFUGNNjYMADbqPx2R5AGbxiaDIcDVAGjwiInLkBLuO4AMY4ACL5m+FSihMgtLJhsAKI9mwugAhMDlwMYRUt/ARh+EVBaKUOJaj2gw5QU5iiEkAUixTQeeoghgzcaqajICkmeQaGWTpAl7PJwmXYl4JkmMUZuAXYBZC9wxQKdoprAwNfA4MYyDvMEFc6QV3guMDDOYBFiIGBNSAHLMDZBXV1ooEtcwADUIZT+DRYAuYdBp5WA2awHoYyiP8QoZPNwCnAIoY99Lml2RpwRMwsVQUcMuzaDAwA1XUm63jYJJgAAAAASUVORK5CYII=» style=»vertical-align: middle;» />, то есть 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> и имеем .

Пример 2. Исследовать на устойчивость решение вырожденного уравнения для уравнения

Решение. Вырожденное уравнение имеет два решения . Имеем

так что решение устойчивое

так что решение вырожденного уравнения неустойчивое (рис. 51).

Пример 3. Исследовать на устойчивость решение вырожденного уравнения, отвечающего уравнению

Решение. Вырожденное уравнение имеет корень второй кратности. Функция 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAALkAAAAaBAMAAAAZC+AvAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAhEGnwQEQMSFh0HHnUV2ErEoAAAL8SURBVEjH1VXPaxNBFH67m83uugSytARFDaF68BSKEfVQi2LSCoJssSeVssWiHkTiLwQPJUr+gAj1UqUYiz0ED1FKD0VCWq3SiFLQoxaSNiYhxL/BN7ObdHc2iSjm4EBmN29mvn3zve+9B/AfjAeRRA/RF7j3vQOX6nKjh74vdUEX8Xeb8WbQvet4+9NfyMQtdAL3RkdAYlf7XNuEVPvjQhan+3HW/NCKsxApwa4NANWwLRKDcyzqbTkB7yo6OHKNsY+tRE24G9pRmMXnnP37yhp7w9V24L4SQL8Ol43vzMI+w2OSu7kB4jryOuxwbp3Zrj5rhz72A70LQSZKv60+bgVpBZQKfQsmQKqi4a3jXIRM/AAdlCp/O/QL+M1xv6xpdNW7GLDsfBH4Onl59FlLqGXgte39JgX9ga94qTfkJpMaHcQ8gYHwnb4XcYTvZjCdgrEXO7qateA5RN8iL7cKA4YQA/lA7RBdmLqbOfYRIMzkdjgEoF0sJE86hBF8nQCubJPtU1O3XAP4beprEcCDZ85bcTwM5yYbJpoD3cAk4GthRyKIQRQGX7ZbDlJ4rmSh8zWkDtEvWedS4jtv3EJXKTF7iXlOBz7OVSWis1dNq5hB/vgSuOAJMxSdq5jo01lrXS6SeZqgczvomyQOHvN+LXRybxf6qB1dKJvM5JpUKKUmzwwzGFqmQPhIeeErbmZ8RSIbIqoYyjZG5L4HiPYiQllEFYTjrqgqZzZTasopdyXrjOqMGVW8lOnkBEpVwQ1RaVD6mcALXc8raMq5FempDoeSjpTz5JMGcGs2Re623oZAoOkXRiHLmE3fIob3JXqWfj5/CvcdYbLJ4wd1/kl61MnMFv4fb9HlXW5mE0ydHaKXz6GwSSWQ4zooiC7psq67K4GCrlwBtlhdBVoJmtViyZZoxCqfoE7OWOWylUJKnq1iHzpV8OXOXYWrf6JVxPz+nR1GXdW8r1N7WO3SEgtU5lb3CPxN9/B3aYmi+fh954NOnU/8F51Z1P/4yC/Sm7UN4zo0AAAAAABJRU5ErkJggg==» style=»vertical-align: middle;» /> в окрестности этого корня, и 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />. Следовательно, решение — полуустойчивое, и если начальная точка лежит в полуплоскости под прямой (область притяжения корня ), то интегральная кривая , выходящая из точки , будет при t_0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADIAAAASBAMAAADrvZC0AAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/EGEAcAwIdVhoRCxcVFiSWq88AAAANlJREFUGNNjYMADbqPx2R5AGbxiaDIcDVAGjwiInLkBLuO4AMY4ACL5m+FSihMgtLJhsAKI9mwugAhMDlwMYRUt/ARh+EVBaKUOJaj2gw5QU5iiEkAUixTQeeoghgzcaqajICkmeQaGWTpAl7PJwmXYl4JkmMUZuAXYBZC9wxQKdoprAwNfA4MYyDvMEFc6QV3guMDDOYBFiIGBNSAHLMDZBXV1ooEtcwADUIZT+DRYAuYdBp5WA2awHoYyiP8QoZPNwCnAIoY99Lml2RpwRMwsVQUcMuzaDAwA1XUm63jYJJgAAAAASUVORK5CYII=» style=»vertical-align: middle;» /> оставаться в окрестности линии (рис.52).