Система дифференциальных уравнений с граничными условиями

Система дифференциальных уравнений с граничными условиями

Глава 5. Решение дифференциальных уравнений

5 .1 Вычислительный блок Given– Odesolve

Применение функции Odesolve требует записи вычислительного блока, состоящего из трех частей:

1) ключевого слова Given (Дано);

2) дифференциального уравнения и начальных или граничных условий к нему;

3) функции о desolve ( x , xk , n ) (решение ОДУ), где x – имя переменной, относительно которой решается уравнение; xk – конец интервала интегрирования (начало интервала интегрирования указано ранее, в начальных условиях); n – необязательный внутренний параметр, определяющий число шагов интегрирования, на которых решается дифференциальное уравнение.

Примеры использования функции Odesolve приведены на рис. 5.2–5.5.

Given

граничные условия можно задавать лишь в двух точках:

в начале и в конце интервала интегрирования

Рис. 5.2 Решение уравнения с граничными условиями

Если вид дифференциального уравнения изменяется с изменением аргумента, например, уравнение содержит ступенчатую разрывную функцию, то такое уравнение можно записать с использованием условия, то есть записать несколько уравнений в виде одного уравнения (рис. 5 . 3 ).

MathCAD позволяет записать условие несколькими способами:

– с использованием булевых операторов:

;

– с использованием функции if :

.

В данном случае невозможно записать условие с использование условного оператора программирования if , так как вертикальной черте (обязательному признаку программирования) должен предшествовать оператор присваивания :=, тогда как в нашем случае использован знак + или знак логического равенства =.

поменяйте местами закрашенные выражения

Given

Рис. 5.3 Объединение двух дифференциальных уравнений в одно

В MathCAD все встроенные функции для решения дифференциальных уравнений требуют записи производной высшего порядка в явном виде. Однако, как показано на рис. 5 . 2 , присутствие коэффициента (постоянного или переменного) перед производной высшего порядка – не помеха при решении ОДУ. Если уравнение есть сложная функция от высшей производной, предварительно надо решить это уравнение алгебраически относительно высшей производной. На рис. 5 .4. исходное уравнение решено символьно относительно у'(х). Для выполнения этой операции надо выделить переменную, затем в главном меню выбрать команду Symbolics → Variable → Solve (Символьные вычисления→Переменная→Решить). Найденный результат подставлен в дифференциальное уравнение, которое решено с помощью функции Odesolve.

В MathCAD 2001 i возможности функции Odesolve были расширены. Теперь она может решать и системы дифференциальных уравнений. При этом несколько изменяется обращение к ней.

Дано уравнение

решим его относительно у'(х)

has solution(s)

уравнение в стандартном виде подставим в блок Given — Odesolve

два корня уравнения дают решение ОДУ

Given

Рис. 5.4 Приведение дифференциального уравнения к стандртному виду и его решение

Обращение к функции для решения одного уравнения выглядит так:

о desolve ( x , xk , n ),

для решения системы дифференциальных уравнений–

о desolve ((вектор имен неизвестных), x , xk , n ).

Н а рис. 5 .5 приведено решение системы из трех дифференциальных уравнений первого порядка. соответственно, вектор имен неизвестных содержит имена трех неизвестных, х, у и z . Граничные условия заданы в точке t = –1. конечная точка интервала интегрирования t =3. Следовательно, интервал интегрирования от –1 до 3. Конечное значение всегда должно быть больше начального.

Если график строится для значений, выходящих за пределы интервала интегрирования, MathCAD экстраполирует значения функции за пределы интервала интегрирования, получая чаще всего неправдоподобные результаты.

Если в MathCAD 11 функция Odesolve решает системы уравнений только с начальными параметрами, то в MathCAD 12, 13, 14 – и с начальными, и с граничными условиями.

поменяйте вид уравнений и граничные условия

Рис. 5.5 Решение системы ОДУ функцией Odesolve

В MathCAD 2001 i у функции Odesolve появилась возможность принимать в качестве ограничений алгебраические уравнения (рис. 5.6 и 5.7), но только в задачах с начальными условиями.

Рассмотрим механизм работы блока Odesolve: блок Odesolve преобразует заданные дифференциальные уравнения к стандартному виду, используемому функциями rkfixed и Rkadapt . С помощью указанных функций он решает систему ОДУ (или одно ОДУ) с начальными условиями. В результате расчета получают массив значений функции и ее производные.

Далее используются функции интерполяции lspline и interp , преобразующие массив решений системы ОДУ в функцию, которую затем можно дифференцировать или интегрировать. Необязательный параметр steps в обращении к функции Odesolve как раз и задает число точек интерполяции. Чем больше steps , тем выше точность интерполяции, но тем больше время решения задачи.

При решении системы ОДУ есть возможность выбрать метод решения. Для этого надо установить курсор на слове Odesolve и нажать правую кнопку мыши. В открывшемся контекстном меню выбрать Fixed (Решение с фиксированным шагом функцией rkfixed ), Adaptive (Решение с переменным шагом функцией Rkadapt ) или Stiff (Решение жесткой системы ОДУ функцией Radau ) , как показано на рис. 5.7 .

дифференциальные

уравнения

алгебраическое уравнение

требуется 6 начальных условий:

Рис. 5. 6 Решение системы ОДУ с алгебраическими ограничениями функцией Odesolve

Given

Рис. 5.7 В ыбор метода решения дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений с граничными условиями

Для решения дифференциальных уравнений Mathcad предоставляет пользователю библиотеку встроенных функций Differential Equation Solving, предназначенных для численного решения дифференциальных уравнений.

ODESOLVE

Встроенная функция odesolve предназначена для решения дифференциальных уравнений, линейных относительно старшей производной. В отличие от других функций библиотеки Differential Equation Solving, odesolve решает дифференциальные уравнения, записанные в общепринятом в математической литературе виде.

• Функция odesolve решает для уравнений вида
  a(x) y(n) + F(x, y, y’ , . y (n-1) )=f(x)
  задачу Коши
  y(x₀ )=y₀ , y'(x₀ )=y_0,1 , y»(x₀ )=y_0,2 , . y (n-1) (x₀ )=y_0,n-1
  или простейшую граничную задачу
  y (k) (a)=y_a,k , y (m) (b)=y_b,k , 0 + ), а для записи производных можно использовать как оператор дифференцирования, так и знак производной, например, вторую производную можно вводить в виде или в виде y»(x). При этом необходимо обязательно записывать аргумент искомой функции.
• Для того чтобы вывести в рабочий документ значения решения в любой точке промежутка интегрирования, достаточно ввести имя функции Y, указать в скобках значение аргумента и знак равенства.
• Значения решения в любой точке промежутка интегрирования можно использовать в дальнейших вычислениях, достаточно ввести в нужном месте имя функции Y, указав в скобках значение аргумента.

Полную информацию о правилах использования функции odesolve можно получить во встроенном справочнике Mathcad в разделе Overview fnd Tutorials.

Функции для решения систем, записанных в нормальной форме

Встроенные функции Mathcad, предназначенные для решения задачи Коши и граничных задач, решают их для нормальных с и с т е м обыкновенных дифференциальных уравнений. Задачи для уравнений высших порядков сводятся к соответствующим задачам для нормальных с и с т е м.

Рассмотрим задачу Коши:

Численное решение этой задачи состоит в построении таблицы приближенных значений
y_i,1 , y_i,2 , . y_i,N
решения y₁ (x), y₂ (x), . y_N (x)
на отрезке [x₀ , x_N ] в точках
x₁ , x₂ , . x_N, которые называются узлами сетки.
Обозначив

, ,

,

,

где — искомое решение, — вектор начальных условий, а — вектор правых частей, запишем систему дифференциальных уравнений в векторной форме:

, .

В Mathcad решить задачу Коши для такой системы можно с помощью следующих функций:

• rkfixed(y, x1, x2, npoints, D) —решение задачи на отрезке методом Рунге—Кутты с постоянным шагом;
• Rkadapt(y, x1, x2, npoints, D) —решение задачи на отрезке методом Рунге—Кутты с автоматическим выбором шага;
• rkadapt(y, x1, x2, acc, npoints, D, kmax, save) —решения задачи в заданной точке методом Рунге-Кутты с автоматическим выбором шага;
• Bulstoer(y, x1, x2, npoints, D) —решение задачи на отрезке методом Булирша-Штера;
• bulstoer(y, x1, x2, acc, npoints, D, kmax, save) —решение задачи в заданной точке методом Булирша—Штера;
• Stiffr(y, x1, x2, acc, D, J) — решение задачи для жестких систем на отрезке с использованием алгоритма Розенброка;
• stiffr(y, x1, x2, acc, D, J, kmax, save) —решения задач для жестких систем на отрезке с использованием алгоритма Розенброка;
• Stiffb(y, x1, x2, acc, D, J) —решение задачи для жестких систем на отрезке с использованием алгоритма Булирша—Штера;
• stiffb(y, x1, x2, acc, D, J, kmax, save) —решение задач для жестких систем в заданной точке с использованием алгоритма Булирша—Штера.

Смысл параметров для всех функций одинаков и определяется математической постановкой задачи:
y — вектор начальных условий , ;
x1, x2 — начальная и конечная точки отрезка интегрирования системы; для функций, вычисляющих решение в заданной точке, x1 — начальная точка, x2 — заданная точка;
npoints — число узлов на отрезке [x1, x]; при решении задачи на отрезке результат содержит npoints+1 строку;
D — имя вектор-функции D(x,y) правых частей , ; ( имя D – от Derivative — производная, имя вектора, содержащего выражения для производных (derivatives) искомого решения);
J — имя матрицы-функции J(x,y) размерности n x (n+1), в первом столбце которой хранятся выражения частных производных по x правых частей системы, а в остальных n столбцах содержится матрица Якоби правых частей:
.
acc — параметр, контролирующий погрешность решения при автоматическом выборе шага интегрирования (если погрешность решения больше acc, то шаг сетки уменьшается; шаг уменьшается до тех пор, пока его значение не станет меньше save );
kmax — максимальное число узлов сетки, в которых может быть вычислено решение задачи на отрезке, максимальное число строк в результате;
save — наименьшее допустимое значение шага неравномерной сетки.

Результат работы функции — матрица, содержащая n+1; ее первый столбец содержит координаты узлов сетки, второй столбец — вычисленные приближенные значения решения y₁ (x) в узлах сетки, (k+1) -й — значения решенияy_k (x) в узлах сетки.

При решении задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка результат вычислений всех приведенных выше функций — матрица, в первом столбце которой содержатся координаты узлов сетки x₀ , x₁ , . x_N, а во втором — значения приближенного решения в соответствующих узлах.

При исследовании автономных систем дифференциальных уравнений второго порядка полезную информацию можно получить рассматривая интегральные и фазовые кривые системы.

При исследовании автономных систем дифференциальных уравнений второго порядка полезную информацию о свойствах решений можно получить, построив векторное поле системы.

Запишем автономную систему второго порядка

.

Эта система полностью определяется заданием векторного поля , поскольку векторное поле задает в каждой точке направление касательной к фазовой кривой системы, проходящей через эту точку.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Начальные и граничные условия

Здравствуйте, продолжаем нашу рубрику по дифференциальным уравнениям, это уже 2 статья, если вы хотите начать сначала и ознакомиться с видами дифференциальных уравнений, то вам в первую статью.

Введение

Итак, для использования численных методов при решении дифференциального уравнения необходимо дополнительные условия. Если искомая функция(концентрация, температура и т.д) является функцией времени u=u(t), то требуются начальные условия, которые являются значением этой функции в момент времени, принятый за начальный:

Если начальная функция также зависит и от пространственных координат u=u(t,x), то начальное условие характеризуют ее распределение в пространстве в начальный момент времени:

В последнем случае помимо начальных условий требуются еще и граничные условия, которые имеют значения функции u(t,x) на границе изучаемой системы для любого момента времени. Причем, если искомая функция зависит от нескольких пространственных координат, то необходимо задавать граничные условия по каждой из них.

Небольшой пример

Например для следующего уравнения:

• начальное условие
• 2 граничных условия по координате
• 1 граничное условие по координате
• 2 граничных условия по координате

Сразу же возникает вопрос, почему именно так? Так вот, порядок производной определяет количество граничных условий для переменной. Как вы заметили, по y присутствует только первая производная, поэтому и одно граничное условие.

Классификация граничных условий

Для лучшего понимания рассмотрим классификацию на примере уравнения:

будет изменятся от до , соответственно при , будет левая граница, а при , будет правая.

Граничные условия 1-ого рода

Записываются следующим образом:

— функции, зависящие от , как пример:

Граничные условия 2-ого рода

Здесь вместо самих функций используются их первые производные.

Граничные условия 3-ого рода

Смешанные граничные условия

В этом случае левое и правое граничные условия могут быть разных родов:

Заключение

На этом мы подходим к концу нашей статьи. Сегодня мы с вами изучили начальные и граничные условия в дифференциальных уравнениях. Если вам что то осталось непонятным, то это нормально, не пугайтесь. В будущих статьях мы будем еще подробнее разбираться с этими и другими тонкостями, ну а на сегодня это все.

Спасибо, что прочитали статью, если у вас остались вопросы, то задавайте их в комментариях.
И, буду вам очень признателен, если вы вступите в нашу группу вконтакте, ссылка на которую размещена слева вверху под названием сайта.