Система дифференциальных уравнений свободных колебаний

Дифференциальное уравнение свободных колебаний

Для изучения любого физического явления необходима модель. Моделью для изучения механических колебаний является гармонический осциллятор.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, которые могут быть описаны дифференциальным уравнением свободных гармонических колебаний, имеющим вид:

. (19.5)

Выражение (19.5) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, решением уравнения (19.5) является выражение (19.1).

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, математический и физический маятники.

Пружинный маятник — Пружинный маятник тело, подвешенное на пружине жесткостью k.Модель пружинного маятника показана на рис.19.1. Положение тела, при котором пружина не деформирована, является положением устойчивого равновесия. При отклонении тела от положения равновесия в результате деформации возникает сила упругости, которая согласно закону Гука равна .

Свободные колебания совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Рис. 19.1

В случае пружинного маятника уравнение движения согласно второму закону Ньютона можно записать . Делим на m, получим:

. (19.6)

Учтем, что , получим уравнение (19.5)

Период колебаний пружинного маятника определяется как

. (19.7)

Потенциальная энергия пружинного маятника определяется как:

. (19.8)

Математический маятник. Математическим маятником называют подвешенный на тонкой нерастяжимой нити груз, размеры которого меньше длины нити, а масса больше массы нити.

Положение, в котором нить вертикальна – положение устойчивого равновесия. В положении устойчивого равновесия сила тяжести уравновешена силой натяжения нити , как показано на рис.19.2. При отклонении нити на угол α торавнодействующая сил тяжести и силы натяжения нити будет направлена к положению устойчивого равновесия.

. (19.9)

Если тело отпустить, то будем наблюдать свободные колебания. Во время колебаний можно считать, что меняется только координата х. Запишем проекцию равнодействующей силы на ось х

. (19.10)

При малых значениях a (a

4 о ) пренебрегаем движением вдоль оси y

(19.11)

Рис.19.2.

Из уравнения (19.10), учитывая (19.11) определим проекцию равнодействующей силы на ось х, которая согласно второму закону Ньютона равна

,

учтем, что , получим

Уравнение гармонических колебаний математического маятника можно записать в дифференциальной форме

. (19.12)

Подставим значение . Получим уравнение (19.5). Отсюда период математического маятника равен

, (19.13)

где l – длина математического маятника.

Физический маятник. Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр масс. Ось вращения, которого, расположена выше центра масс (рис.19.3).

При колебаниях физического маятника, возникает вращающий момент , который согласно основному уравнению динамики вращательного движения равен:

, (19.14)

где J – момент инерции,

ε – угловое ускорение,

l – расстояние между точкой подвеса и центром масс. Уравнение (19.14) можно записать в виде: или .

Принимая во внимание или .

Можно получить выражение периода колебаний физического маятника:

, (19.15)

где — приведенная длина физического маятника. Приведенная длина, приравнивается длине математического маятника с таким же периодом колебаний.

Рис.19.3.

Период колебаний физического маятника, следовательно, и его приведенная длина, немонотонно зависят от расстояния от точки подвеса до центра масс маятника. Это легко заметить, если в соответствии с теоремой Штейнера (4.7) момент инерции выразить через момент инерции относительно параллельной горизонтальной оси, проходящей через центр масс. Тогда период колебаний будет равен

, (19.16)

где J₀ –момент инерции центра масс.

На практике значения низших собственных частот систем могут быть весьма малыми. Например, бельевая веревка, подвешенная на двух столбах, может в случае достаточного провисания совершать свободные колебания с частотой 1-2Гц. Колебания такого типа были обнаружены осенью 1959г. у проводов линии электропередачи, пересекавшей реку Северную, частота собственных колебаний была весьма низкой — около 1/8Гц. Провода диаметром 43мм, протянутые над рекой, были прикреплены к двум большим пилонам, расстояние между которыми превышало 1,6км. Было обнаружено, что когда ветер дул с небольшой силой, но в определенном направлении, возникали столь интенсивные низкочастотные колебания проводов, что эти провода, минимальное расстояние между которыми составляло 8,2м, входили в соприкосновение, вызывавшее короткое замыкание в системе электропередачи. (Была найдена вероятная причина этих колебаний, и в дальнейшем их удалось предотвращать путем покрытия тросов тонкой пластиковой лентой: благодаря этому изменялась геометрия поверхности, обтекаемой воздушным потоком).

Колебания проводов над рекой не представляют собой свободных колебаний, поскольку в этом случае пассивная система находилась под действием внешнего источника энергии — ветра. Однако характерно, что при решении этой проблемы инженерам, как обычно, потребовалась информация относительно значений собственных частот системы, близких к частоте наблюдавшихся колебаний.

18.3.Скорость и ускорение гармонических колебаний

Если материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало координат тогда зависимость координаты х от времени t описывается уравнением (19.1). Скорость и ускорение a колеблющееся точки соответственно равны:

, (19.17)

и , (19.18)

т.е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды скорости и ускоренияколебаний соответственно равны υ_max = Аw и a_max= Аw₀ 2 . Фаза скорости (19.17) отличается от фазы величины (19.1) на , а фаза ускорения (19.18) отличается от фазы величины (19.1) на . В момент времени, когда х=0скорость колеблющейся точки максимальна по величине и равна амплитуде скорости в моменты прохождения колеблющейся точки через положение равновесия. При максимальных смещениях (х =±А) скорость равна нулю. Вектор скорости всегда направлен в сторону движения.

Ускорение равно нулю при прохождении колеблющейся точки через положение равновесия и достигает максимального по величине значения, которое равно амплитуде ускорения, при максимальных смещениях колеблющейся точки. Вектор ускорения всегда направлен в сторону положения равновесия. Удаляясь от положения равновесия, колеблющаяся точка движется, замедлено, приближаясь к нему – ускоренно.

Рис.19.4.

График гармонического колебания, который описывается уравнением (19.1), скорость гармонического колебания, описываемая уравнением (19.17), и ускорение (19.18) показаны на рис.19.4. Видно, что смещение, скорость и ускорение гармонически колеблющейся точки являются периодическими функциями от времени с одинаковыми периодами.

Свободные колебания системы и степени свободы

Свободные колебания системы с одной степенью свободы

• Система 6es свободно отбрасывает с усилием сопротивления. Механическая система называется системой 1 степени свободы, если ее положение в пространстве уникально. Она определяется присвоением одной величины q, называемой общими координатами. Движение системы в пространстве описывается временной зависимостью обобщенных координат. Возьми это. Рассмотрим положение начала координат обобщенной системы и устойчивое равновесие нулевого уровня потенциальной энергии, малое движение системы вокруг этого положения равновесия. Отклонение системы от положения равновесия при выборе такой опорной точки определяется величиной обобщенных координат.

Предположим, что составлено небольшое дифференциальное уравнение В случае движения по общим координатам и малой величины общей скорости, которая отсчитывается от положения равновесия, она ограничивается линейным членом дифференциального уравнения движения. Этот. Метод отбрасывания в терминах нелинейных дифференциальных уравнений, включающий квадратные и более продвинутые обобщенные координаты и скорости Линеаризация уравнения. Конечно, такая линеаризация в некоторой степени искажает действительный образ движения, но тем меньше отклонение системы от устойчивого положения Если она находится в равновесии, то линеаризованное уравнение движения системы описывается более точно.

Кольцо совершает сложное движение, которое можно разложить па относительное по отношению к проволоке и переносное вращательное вместе с проволокой вокруг вертикальной оси х. Людмила Фирмаль

Линеаризация дифференциальных уравнений позволяет получить замкнутые решения таких систем. Как правило, невозможно найти точный Интеграл системы нелинейных уравнений в ее окончательном виде. Удобный способ создания дифференциального уравнения малой вибрации В системе используется уравнение Лагранжа. Эти уравнения системы с 1 степенью свободы, где t-кинетическая энергия системы, обобщаются координаты q и обобщенная скорость q-обобщенная сила.

Кинетическая энергия системы, на которую воздействуют стационарные связи, выражается формулой t-j в терминах обобщенных координат и скоростей. Л 2, где q-положительная функция обобщенных координат q. Затем, чтобы линеаризовать выражение кинетической энергии, ряд Маклорина Л-Л0ЛО7ЦИв,.

Разверните вопрос .Это значение уравнения 2 равно Г1Л0 4л0 4 .4 .Затем, предполагая, что dn мал, для краткости он приближается к S, где константа A 0 обозначается a .эта константа всегда Положительный .Это называется коэффициентом инерции .Для линейных обобщенных координат коэффициент инерции a имеет размерность массы, а для угловых координат-размерность момента Инерции твердого тела .Потенциальная энергия системы является функцией обобщенной координаты ПП9 .6 разверните эту функцию в макросерии вблизи положения устойчивого равновесия п-п .0 p-0, 1p-0, h-и h .. 7 в этом уравнении p 0 0, 8.

Это происходит потому, что положение равновесия выбирается относительно нулевого уровня потенциальной энергии. Обобщенная сила положения равновесия Итак, поскольку он равен нулю, строка 7 начинается с пункта 3. Отбрасывание членов более высокого порядка и указание краткости p 0 дает p us, 10. Где константа находится c называется квазиупругим модулем упругости. В случае устойчивого равновесия с 0.

Введение кинетической энергии 5 и потенциала 10 в уравнение Лагранжа 1 Дифференциальное уравнение для малых свободных колебаний системы со степенью свободы от 0 до 1. 11. Это уравнение имеет структуру, аналогичную свободному дифференциальному уравнению. Изменение массы, возникающее под действием линейной восстанавливающей силы. Общая форма интеграла в уравнении 11 дана для простоты. Где l-амплитуда Колебаний, a-начальная фаза, т а-фаза колебаний, а-круговая частота вибрации, часто называют просто частотой вибрации. Определены амплитуда и начальная фаза колебаний В соответствии с начальными условиями.

Если обобщенные координаты в t q и начальные значения их производных равны 0, о, то период колебаний-t-2 k-14 свободен, или иначе получается соответствующее значение. Вибрация системы, определяемая уравнением 12, является гармонической вибрацией. Их частота и период не зависят от исходных данных-эта характеристика называется малой изохронностью Колебания. Заметим, конечно, что дифференциальное уравнение свободной вибрации 11 может быть описано без применения уравнения Лагранжа. Когда решить проблему бесплатно 1 вибрация системы dof, следующие шаги порекомендованы.

Первый способ-применение уравнения Лагранжа 1 и выбор обобщенных координат q 2 В системе выражений кинетической энергии g3 можно найти только потенциальную энергию p или вычислить значение обобщенной 4 путем подстановки g и p. Выражение обобщенной силы в уравнении Лагранжа, получение дифференциального уравнения малой вибрации b путем интегрирования этого уравнения и определения любой интегральной постоянной. Найти уравнение движения системы 6 и определить период колебаний и другие искомые величины.

Второй способ заключается в применении одного из основных уравнений динамики или 1 общей теоремы динамики Система 1 основана на условиях задачи, дифференциальных уравнениях-основных уравнениях динамики, теореме движения центра инерции, теореме изменения- Применяя выбранную теорему, теорему об изменении основного момента кинетической энергии, импульса 2, Составляем дифференциальное уравнение малых колебаний системы. 3 интегрируем это дифференциальное уравнение и определяем любую интегральную постоянную из исходных данных 4 находим далее искомую величину периода колебаний и покоя. Вопрос 18. 6.

Устройство, предназначенное для определения коэффициента трения скольжения между сухими поверхностями, рис. а, прямоугольный металлический блок размещен горизонтально 2. Плоскость de на двух цилиндрах вращается в противоположных направлениях вокруг неподвижных осей a и b. Центр тяжести блока равен g, , , x a x задача 18. 6. Высота h от плоскости ДЕ. Расстояние ab 2a. At в первый момент центр тяжести сместился от центрального position. As в результате блок начал совершать гармонические колебания периодического g. Трение скольжения между блоком и обоими цилиндрами одинаково, найти коэффициент трения скольжения. Решение.

Мысленно отбросьте цилиндр и замените действие обычной реакцией rj. R2 и сила трения frlt frt рисунок b. Сила тяжести блока r приложена к центру тяжести. Создайте дифференциальное уравнение для плоского движения блока, учитывая, что блок не движется. Вдоль оси y и МЯс инерции вокруг центра, чтобы не вращаться — — -р, — Шmj c ri rj-p 0, 2 mra-х-riвхrift-frjh 0. 3 ри-л х ра РЖ хр откуда введите это значение в уравнение 1 и вы найдете дифференциальное уравнение движения r -, r 7s-tax.

Это дифференциальное уравнение для свободных гармонических колебаний. Периодичность этих колебаний равна 4пДgp 4n задача 18. 7, где искомый коэффициент трения скольжения определяется следующим уравнением рама балансировочной машины От рычага ab, который может вращаться вокруг неподвижной точки c, его центр тяжести, стержень bd и диск e будут соответствовать установленному валу od. Конец o. Концы рычагов a и b соединены вертикальной пружиной с неподвижным основанием. Вес Рычага АВ равен 12 г.

Радиус инерции к проходящей горизонтальной оси 3. Проходя через центр тяжести С, который равен dm. Вес q сечение вала od 2 кг является постоянным. Вес диска e составляет n 4, 5 кг. Коэффициент жесткости каждой пружины составляет cj 32 кг ДМ. Размеры ac 2 dm, ac 12 dm, oe m dm, de 4 dm определяют частоту собственных колебаний системы, игнорируя вес тяги bd. Масса диска считается сосредоточенной в точке Е. Для Чтобы найти собственную частоту системы, мы применяем уравнение Лагранжа. Система имеет 1 степень свободы. Выберите угол поворота рычага ab в качестве обобщенной координаты. Указывает этот угол q. Кинетическая энергия системы равна t-l. 1 выпуск, 18. 7.

Где 1lv-момент инерции Рычага АВ к горизонтальной оси через центроид С. od-неподвижный вал момент инерции вала od и угол поворота вала phx-od, вместе с диском установленным относительно горизонтальной оси до конца o. in небольшое движение Вертикальные перемещения точек b и d являются equal. So bc-tf является od-tf, дифференцируя 2 во времени и подставляя значение px в 1, кинетическая энергия равна Перейти к обобщенной скорости 3 обобщенный расчет силы. Горизонтальное положение рычага — это положение статического равновесия. Показывает угол поворота рычага ab Это соответствует переходу из ненапряженного состояния пружины в равновесное положение.

Бесконечно малое приращение bf от положения равновесия, направленное на угол По часовой стрелке, все показатели работы основания силы для 6a-cx ac 2 f f fst bf-cc rc f bf—n-oe-q-t h 6a-ci ac 1 f bf-cx df bf—g, pm 1, bc q. N-oe s q 6f 4, 2, согласно k sun od. Здесь основная работа упругих сил типа пружины а рассчитывается по формуле b ax-f bx-sa x xst bx-ciac f ac bf-ch acr f fet bf. By добродетель В уравнении равновесия угловые скобки 4 равны нулю, поэтому это 6a bf-ckf ac 1 bc 1 bf, а обобщенная сила q, — c1v ac 1 sc 2. To составьте уравнение b-Лагранжа Подставим значения кинетической энергии 3 и обобщенной силы из b. Получим ld iod j-Ф-cxac 1 bcpjФ.

• Найдите коэффициенты этого уравнения и выразите их в следующем порядке kg, dm, sec, c1 -КАК ac 4 12-32 148. 32. Вводя численное значение коэффициента в уравнение 6, находим f 782 p 0. Собственная частота системы v782 равна 28 1 секунде. Задача 18. 8. Центробежный регулятор вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью. Регуляторы a и b веса p поворачиваются к концу стержня od n ob соответственно. Он соединен с точкой o. Муфта m может перемещаться вдоль вертикальной оси.

Муфта шарнирно соединена со стержнем mc и md и соединена со стержнем шарниром c и o. ПРО А и ОВ. Длина стержня oa-ov 1, далее os-0d mc md. Стержень в положении динамического равновесия образует вертикальную линию и угол a0. At в один момент регулятор отключился. Вышел из равновесия, предоставленный самому себе devices. In в этом случае угловая скорость регулятора w вокруг вертикальной оси не изменяется, и контроллер Найти период малых колебаний вблизи положения равновесия. Масса стержня и муфты игнорируется.

При относительном криволинейном движении материальной точки удобно пользоваться дифференциальными уравнениями движения в проекциях на оси натурального триэдра. Людмила Фирмаль

Мяч a и b рассматриваются как важные точки. Решение. Разделите раствор на 2 этапа. Во-первых, положение динамического равновесия системы определяется кинетическим методом statics. In Фаза 2, используя уравнение Лагранжа с обобщенными координатами Найти дифференциальное уравнение для малых колебаний системы и частоты и периода этих колебаний. Первая ступень. Примените метод статики движения к шару а в положении динамического равновесия. Шар фигура ТФ актов по тяжести Р, Шатун Н реакция направлена вдоль стержня АО. Согласно методу кинетической статики, эти силы должны компенсироваться силой инерции j.

При вращении с постоянной угловой скоростью c вокруг вертикальной оси существует только сила вертикальной инерции, равная по абсолютной величине j ml sin aoco, которая является массой шара. 3 Мощность jk p, n можно рассматривать как фигуру. tf. Создайте схему треугольника мощности. c, оттуда найти p tg 0 jn mzsinoofind. Отсюда, угол о Положение w 2-я стадия динамического равновесия. Дайте угол od, образованный стержнем с небольшим вертикальным шагом ba.

Шарик начинает мелко вибрировать Рядом с положением равновесия. Регулятор представляет собой систему с 2 степенями свободы. Возьмем обобщенный координатный угол a. Это позволит определить отклонение шарика и стержня Это угол от вертикали, где угол Р — угол поворота регулятора вокруг вертикальной оси. Создадим первое уравнение Лагранжа обобщенных координат a. Рассмотрим движение шара как составное Найти абсолютную скорость шара по переносному вращению вокруг вертикальной оси и теорему сложения относительной скорости вращения вокруг горизонтальной оси через точку o Переносные и относительные модули скорости такие же, как iv zsina o zsina-q, vr 1a.

Обратите внимание, что vr находится на плоскости, которая совпадает с ромб oabm, и v перпендикулярно этой плоскости. Г 2 В, П Ф2 грех 4-й. Кинетическая энергия 2 шаров равна 3. Перейдем к определению обобщенных сил. Вертикальные координаты шара z равны 2 zcosa. Его вариация-6z-zsinada. Основная задача гравитации, которая является единственной активной силой, приложенной к системе, 2r — это 6 a 2p dz-2p1 sin a ba. So обобщенная сила-это qa- 2pzsina. 4.

Если подставить найденную кинетическую энергию и обобщенные значения силы в уравнение Лагранжа, то получим dt да 2 f sin a cos a. 5 замена dt, согласно 2-му, b 2 вместо 7 2 atcsl w s f — — — — — — — — 2w ln и 6, или производная коэффициента, деленная на, а, noting-ш2sin aepcos a, Р-sin ao r найдена. 7 угол р, согласно условиям — Небольшое количество. В результате, грех А0 П и грех С С ко п п потому что, потому что ОО п потому что АО-psinctg, где примерно греха П и п, потому что п i1. By введя значение 8 и заменяя г л в cosпо 1 В уравнение 7, получаем 0-грех чч 0 А0 А0 А0 потому что потому что-0 грех куб. См 4-и cos СС Син о 0 потому что А0 0 или 0 СО2 грех аб0 грешить, потому что А0 00 0.

Потому что ao02 второй размер Для меньших порядков мы в конечном итоге находим дифференциальное уравнение свободных малых колебаний центробежного регулятора e, sin al 0 0. 9 частота свободных колебаний равна sin a, , В a. Период свободных малых колебаний был равен угловой скорости 10, и 2-е уравнение Лагранжа, соответствующее обобщенной координате р, не требовалось. Это и есть условие Задача изменяет набор координат.

Его производная-регулятор постоянен при вращении вокруг вертикальной оси. Задача 18. 9. Груз веса Р подвешен нерасширении нить АБ. Он набрасывается сверху на блок с неподвижной осью o. Вес блока f. Его масса равномерно распределяется по поверхности круга с радиусом d. Конец резьбы b прикрепляется к вертикальной пружине, а коэффициент с одинаковой жесткостью. Определите изменение нагрузки.

Если в первый момент груз неподвижен, то его вес уравновешивается натяжением пружины, и сообщается начальная скорость v0 Трение между осью нисходящего блока и подшипником игнорируется. Вес нити игнорируется. Решение. Используйте 2-й вид уравнения Лагранжа. Выберите ось x начинается в положении равновесия груза и направляет его вертикально вниз. Тогда координата x нагрузки в любой момент времени полностью определяет положение системы. Это считается корректировкой сообщества.

Кинетическая энергия системы-это сумма кинетической энергии нагрузки и кинетической энергии агрегата. Скорость Груза Поскольку скорость и величина точек на ободе блока равны, окончательное представление кинетической энергии системы обобщенной скоростью принимает вид Дает системе возможное движение bx и составляет основную задачу данной мощности. Основная работа заключается в работе силы тяжести груза и силы упругости пружин 6Д П ЛК-ы х д р ВХ-х Д-в ы х ВХ-СБХ. В состоянии равновесия это СД Р.

Буква d указывает на статическое удлинение пружины. Обобщенная сила-это коэффициент, когда это возможно. Перемещение bx в начальной школе работа q формула. 1 заметим, что в этой задаче обобщенная сила q может быть легко вычислена другим способом. Давайте создадим выражение возможности Энергия системы выбора нулевого положения равновесия груз П. В свою очередь, Н-lr и обобщенной Си. 11 матчей 1. Создайте уравнение Лагранжа. Или потому что bt dx это решение Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами имеют вид x a sin ktp, 2. Где частота a находится из уравнения p 0.

Любая постоянная Интегралы a и 0 определяются из начальных условий t 0, и существуют x0 0, jjg-og. Если вы присвоите эти значения 2, вы найдете oa sinp или р0. Затем из 2, чтобы получить Ак, потому что КТ введение значения любой константы при i0 t 0 ak или 2 в конечном итоге даст x в sin at. Цикл свободных колебаний нагрузки равен задаче 18. 10. Масса q и радиус Горсуча g удерживается в равновесии на идеально гладкой горизонтальной поверхности резьбой ab. In в этом случае плоская часть поверхности полусферы образует горизонт и угол. a. Определите после Обрыв резьбы ab, скорость центра o и ее максимальное, наибольшее давление полушария на горизонтальную плоскость.

Кроме того, предполагая, что угол a мал, длина становится короче Эквивалентный математический маятник. Решение. После того, как резьба нарезается, Рис. 2 силы действуют на всем полушарии. Это реакция веса q и гладкой плоскости Н. Обе силы направлены вертикально. Согласно теореме о движении центра инерции, ускорение центроида С также направлено вертикально. Начальная скорость точки С, а также других точек полушария Если она равна нулю, то центр инерции перемещается в вертикальном направлении по прямой линии. Центр полусферы o находится на некотором расстоянии r от гладкой плоскости. Перемещение по горизонтальной линии параллельно плоскости отсчета.

Таким образом, скорость точки с направлена вертикально, а скорость точки о направлена горизонтально. Восстановление до скорости 2 из этих 2 точек являются вертикальными, поэтому мы находим мгновенный центр скорости a b. Примените теорему изменения кинетической энергии для перемещения полушарий с самого начала Положение, определяемое углом a, при любом положении угла p получает 44 cos f-cos a представляет ОС. 1 слева от уравнения находится уравнение кинетической энергии В конце движения, в первый момент, кинетическая энергия ручара была равна нулю, потому что ручар был неподвижен.

На правой стороне рассчитана работа силы тяжести при переходе полушарий От начального положения до конечного положения. Эта реакция направлена перпендикулярно движению точки d, поэтому работа реакции n равна нулю. Момент инерции полусферы относительно момента Для ic tp sin8 p центр скорости может быть выражен на основе теоремы Штейнера следующим образом 2 Итак, если известна функция угла. Айкью-определить момент Инерция пола шара направлена к горизонтальной оси, которая проходит через центр инерции и перпендикулярна плоскости чертежа. Равномерный момент инерции шарика 2 0 Центральная ось равна 2 0-mg 2t g. Здесь m 2t-масса однородного шара.

Затем формируется равномерный момент инерции полусферы относительно горизонтальной оси, которая перпендикулярна плоскости чертежа Проходя через точку О, расстояние центра инерции полусферы от точки о равно zr 8. Используйте теорему Штайнера, чтобы создать это значение с помощью −1, -tp-a mr-iт И-Л. В уравнении 2 r mr tp sin r tr c sin f. Для краткости, если вы укажете 83 45 секунд, вы получите cozy-cos от 1 до 2g и s sin y 3 4 5. Скорость точки o центра половины шара равна тому же значению, что и v0 op. ВМ со ф потому что j в точке o скорость f 0.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания

На тело, совершающее свободные колебания, действуют две силы:

1. Сила, определяемая по второму закону Ньютона:

где m – масса тела;

а – ускорение;

х – смещение;

t – время.

2. Сила упругости, выраженная по закону Гука:

где k – коэффициент упругости. Знак минус показывает, что сила упругости F_упр всегда направлена в сторону положения равновесия.

На основании второго закона Ньютона (произведение массы тела на его ускорение равно сумме всех действующих сил) получаем:

.

Перенесем –kx в левую часть равенства, получим:

.

Введем замену: ,

где ω₀ – круговая (циклическая) частота колебаний (ω₀=2πν)

Получили дифференциальное уравнение второго порядка относительно смещения х.

Решением этого уравнения будет:

или (см. рис.1 и рис. 2).

,

где А – амплитуда колебания;

φ₀ – начальная фаза;

ω₀t+φ₀ – фаза колебания в момент времени t;

ω₀t= ∆φ – изменение фазы колебания за время t.

Выведем уравнения мгновенной скорости и мгновенного ускорения, если колебания совершаются по закону косинуса.

Затухающие колебания.

Все реальные гармонические колебания происходят при воздействии сил сопротивления, на преодоление которых тело затрачивает часть своей энергии, в результате амплитуда колебания уменьшается со временем, т.е. колебания носят затухающий характер.

Представим график затухающего колебания:

Вывод дифференциального уравнения затухающего колебания.На тело, кроме силы силы упругости действует сила сопротивления:

где r – коэффициент сопротивления.

Согласно второму закону Ньютона можно записать:

.

Разделим на массу m, получим:

.

Введем обозначения: ,

где β – коэффициент затухания.

Получили дифференциальное уравнение затухающего колебания:

.

Решение уравнения существенно зависит от знака разности ,

где ω— круговая частота затухающих колебаний, ω₀ — круговая частота собственных колебаний системы (без затухания).

При ω>0 решение дифференциального уравнения будет следующим:

.

Амплитуда затухающего колебания в любой момент времени t определяется равенством:

,

где А₀ – начальная амплитуда, указанная на графике (см. рис 3).

Период Т затухающих колебаний определяется по формуле:

.

Скорость затухания (быстрота уменьшения амплитуды) определяется величиной коэффициента затухания β: чем больше β, тем быстрее уменьшается амплитуда.

Для характеристики скорости затухания ввели понятие декремента затухания.

Декрементом затухания называется отношение двух соседних амплитуд, разделенных периодом:

На практике степень затухания характеризуется логарифмическим декрементомзатухания λ, равным:

Выведем формулу, связывающую логарифмический декремент затухания λ с коэффициентом затухания β и периодом колебания Т.

.

Выведем размерность коэффициента затухания

.

Вынужденные колебания. Вынужденными колебанияминазываются колебания, возникающие в системе при воздействии на неё внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.

Пусть на систему действует сила:

где F₀ – максимальное значение,

ω — круговая частота колебаний внешней силы.

На систему действуют сила сила сопротивления и сила упругости .

С учетом всех четырех сил на основании второго закона Ньютона запишем:

.

Разделим обе части равенства на m, получим:

.

Получили дифференциальное уравнение вынужденного колебания:

.

Представим график вынужденных колебаний:

В начале амплитуда колебаний возрастает, а затем становится постоянной А.

Для установившихся вынужденных колебаний:

(см. рис. 4)

Резонанс.Если ω₀ и β для системы заданы, то амплитуда А вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некоторой определенной частоте вынуждающей силы, называемой резонансной. Достижение максимальной амплитуды вынужденных колебаний для заданных ω₀ и β называется резонансом.

Резонансная круговая частота определяется формулой:

а резонансная амплитуда:

.

Если отсутствует сопротивление (β=0), то амплитуда неограниченно возрастает.

Представим на графиках зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы ω при различных значениях коэффициента затухания:

По виду резонансной кривой резонанс может быть острым при β→0, тупым – при β→1. (см. рис. 5).

По механизму возбуждения резонанс классифицируется на:

— механический; акустический; электромагнитный; парамагнитный; ядерномагнитный.

Возникновение резонансных явлений в организме может быть как полезным, так и вредным. Например, на акустическом резонансе основано восприятия звука, инфразвук может вызвать разрыв тканей внутренних органов.

Автоколебания.При затухающих колебаниях энергия системы расходуется на преодоление сопротивления среды. Если восполнять эту потерю энергии, то колебания станут незатухающими. Пополнять эту потерянную системой энергию можно за счет источника энергии извне, а можно сделать так, чтобы колеблющаяся система сама бы управляла внешним воздействием.

Незатухающие колебания, возникающие в системе за счет источника энергии, не обладающего колебательными свойствами, называются автоколебаниями, а сами системы – автоколебательными.

Классическим примером автоколебаний являются часы: заведенная пружина; поднятая гиря – источник энергии; анкер – регулятор поступления энергии от источника; маятник или баланс – колебательная система.

Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой автоколебательной системы.

Автоколебания осуществляется по следующей схеме:

Через канал обратной связи регулятор, получив информацию о состоянии колебательной системы, осуществляет регулирующую подачи энергии от источника к системе.

К автоколебательным системам относятся сердце, легкие и т.д.

Автоколебательная система сердца может быть представлена в следующем виде:

Порядок выполнения работы:

1. Включить кимограф, записать положение равновесия.
2. Отклонив маятник в сторону, отпустить его, одновременно включив секундомер.
3. После записи последнего n-го колебания отключить секундомер.
4. После последнего колебания зарегистрировать положение равновесия и отключить кимограф.
5. Записать графики 3-го – 5-го колебательных процессов.
6. С помощью линейки для каждого графика определить величину начальной амплитуды (А₀) и последней амплитуды (А_n).
7. Подсчитать число полных колебаний на графике (n).
8. Определить период колебания T:

где t – время по секундомеру.

1. Определить величину коэффициента затухания по формуле:

.

1. Определить величину логарифмического декремента затухания: .
2. Полученные данные занести в таблицу.

Контрольные вопросы

1. Определения и единицы измерения основных характеристик колебательного движения.
2. Гармонические колебания. Вывод дифференциального уравнения гармонического колебания и его решение.
3. Затухающие колебания. Вывод дифференциального уравнения затухающего колебания и его решение.
4. Декремент затухания, логарифмический декремент затухания. Вывод формулы, связывающей логарифмический декремент с периодом колебания и коэффициентом затухания.
5. Вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденного колебания и его решение.
6. Резонанс и его значение в медицине.
7. Автоколебания.

Тестовые задания

1. Циклической (круговой) частотой называется число полных колебаний за:

а) 1 с; б) 1 мин; в) 1 ч; г) 2π с.

1. Укажите формулу, связывающую циклическую частоту ω с частотой ν:

а) ; в) ;

б) ; г) .

1. Укажите формулу, по которой определяется амплитуда затухающего колебания в любой момент времени t:

а) ; в) ;

б) . г) .

1. Декрементом затухания называется отношение:

а) двух соседних амплитуд;

б) двух соседних амплитуд, разделенных периодом;

в) первой и последней амплитуд;

г) двух амплитуд, разделенных полупериодом.

1. Укажите единицу измерения коэффициента затухания β:

б) безразмерная величина; г) .

6. Укажите решение дифференциального уравнения свободного гармонического колебания:

а) ; в) ;

б) ; г) .

7. Укажите, сколько сил действует на систему, если она совершает свободные гармонические колебания:

8. Укажите дифференциальное уравнение свободного гармонического колебания:

а) ; в) ;

б) ; г) .

9. Укажите решение дифференциального уравнения затухающего колебания:

а) ; в) ;

б) ; г) .

10. Сколько полных колебаний тело должно совершить в одну минуту, чтобы частота его колебаний равнялась 1 Гц:

11. Укажите подстановку в уравнение смещения затухающего колебания:

:

а) ; в) ;

б) ; г) ;

12. Укажите, сколько сил действует на систему, если она совершает вынужденные колебания:

13. Укажите дифференциальное уравнение вынужденного колебания:

а) ; в) ;

б) ; г) .

14. Укажите блок – схему, по которой осуществляются автоколебания:

15. Укажите формулу, связывающую логарифмический декремент затухания λ с периодом колебания Т и коэффициентом затухания β:

а) ; в) ;

б) ; г) .

16. Укажите дифференциальное уравнение затухающего колебания:

а) ; в) ;

б) ; г) .

17. Укажите, по какой формуле определяется период колебания Т, если за время t тело совершило n полных колебаний:

а) ; в) ;

б) ; г) .

18. Укажите единицу измерения логарифмического декремента затухания:

б) с 2 ; г) безразмерная величина.

19. Укажите, какой параметр в уравнении смещения указывает на то, что процесс носит затухающий характер:

20. Укажите, какая сила вызывает уменьшение амплитуды при затухающих колебаниях:

а) ускоряющая сила;

б) сила упругости;

в) сила сопротивления;

г) сила давления.

21. Укажите, при каком значении декремента затухания процесс затухания будет проходить наиболее медленно:

а) ; в) ;

б) ; г) .

22. Укажите, на каком из графиков показан период колебания Т:

23. Укажите график вынужденного колебания:

24. Укажите, каков физический смысл знака «-» в формуле закона Гука

а) физический смысл отсутствует;

б) показывает, что направления силы упругости F_упр и смещения х совпадают;

в) показывает, что направления силы упругости F_упр и смещения х противоположны;

г) показывает, что направления силы упругости F_упр и смещения х взаимно перпендикулярны.

25. Частотой колебания ν называется величина, показывающая число полных колебаний:

а) за минуту; в) за час;

б) за секунду; г) за сутки.

26. Укажите, в каких единицах измеряется циклическая частота ω:

а) в секундах; в) в минутах;

б) в Гц ; г) в часах.

27. Укажите условие резонанса при β=0: