Система двух нелинейных уравнений с переменной

Системы с нелинейными уравнениями

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

Примеры решения систем уравнений других видов

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Определение 1 . Пусть A – некоторое множество пар чисел (x ; y) . Говорят, что на множестве A задана числовая функция z от двух переменных x и y , если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A ставится в соответствие некоторое число.

Задание числовой функции z от двух переменных x и y часто обозначают так:

причем в записи (1) числа x и y называют аргументами функции , а число z – значением функции , соответствующим паре аргументов (x ; y) .

Определение 2 . Нелинейным уравнением с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида

где f (x , y) – любая функция, отличная от функции

где a , b , c – заданные числа.

Определение 3 . Решением уравнения (2) называют пару чисел (x ; y) , для которых формула (2) является верным равенством.

Пример 1 . Решить уравнение

Решение . Преобразуем левую часть уравнения (3):

Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x и y удовлетворяют системе уравнений

решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .

Пример 2 . Решить уравнение

вытекает, что уравнение (5) решений не имеет.

Ответ : Решений нет.

Пример 3 . Решить уравнение

Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида

где y – любое число.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

Определение 4 . Решением системы уравнений

называют пару чисел (x ; y) , при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .

Пример 4 . Решить систему уравнений

(7)

Решение . Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y через неизвестное x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

Таким образом, решениями системы (7) являются две пары чисел

и

Ответ : (– 1 ; 9) , (9 ; – 1)

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

Определение 5 . Однородным уравнением второй степени с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида

где a , b , c – заданные числа.

Пример 5 . Решить уравнение

Решение . Для каждого значения y рассмотрим уравнение (8) как квадратное уравнение относительно неизвестного x . Тогда дискриминант D квадратного уравнения (8) будет выражаться по формуле

откуда с помощью формулы для корней квадратного уравнения найдем корни уравнения (8):

Ответ . Решениями уравнения (8) являются все пары чисел вида

( y ; y) или

где y – любое число.

Следствие . Левую часть уравнения (8) можно разложить на множители

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .

Пример 6 . Решить систему уравнений

(9)

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

.

В случае, когда x = – y , из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

корнями которого служат числа y₁ = 2 , y₂ = – 2 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 2) , (2 ; – 2) .

,

из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

которое корней не имеет.

Ответ : (– 2 ; 2) , (2 ; – 2)

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

Пример 7 . Решить систему уравнений

(10)

Решение . Совершим над системой (10) следующие преобразования:

• второе уравнение системы оставим без изменений;
• к первому уравнению, умноженному на 5 , прибавим второе уравнение, умноженное на 3 , и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (10).

В результате система (10) преобразуется в равносильную ей систему (11), в которой первое уравнение является однородным уравнением:

(11)

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

.

В случае, когда x = – 5y , из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

которое корней не имеет.

,

из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

,

корнями которого служат числа y₁ = 3 , y₂ = – 3 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 3) , (2 ; – 3) .

Ответ : (– 2 ; 3) , (2 ; – 3)

Примеры решения систем уравнений других видов

Пример 8 . Решить систему уравнений (МФТИ)

Решение . Введем новые неизвестные u и v , которые выражаются через x и y по формулам:

(13)

Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x и y через u и v . Из системы (13) следует, что

(14)

Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x . С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему

из которой находим

(15)

Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде

(16)

У системы (16) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное u через неизвестное v и подставить это выражение во второе уравнение системы:

Следовательно, решениями системы (16) являются две пары чисел

Из формул (13) вытекает, что , поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае u₂ = 5, v₂ = 2 из формул (15) находим значения x и y :

Определение 6 . Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел (x ; y ; z) , при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.

Пример 9 . Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными

(17)

Решение . У системы (17) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное z через неизвестные x и y и подставить это выражение во второе уравнение системы:

(18)

Перепишем второе уравнение системы (18) в другом виде:

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае x = 4, y = 4 .

Ответ : (4 ; 4 ; – 4)

Замечание . Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы линейных уравнений» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

Нелинейные уравнения с двумя переменными и их система

Уравнения с двумя переменными \(x \ и \ y\) имеет вид \(f(x,y)= \varphi(x,y)\) , где \( f\ и \ \varphi\) – выражения с переменными \(x \ и \ y\) .

Если в уравнении \(x(x-y)=4\) подставить вместо переменной х ее значение –1, а вместо у – значение 3, то получится верное равенство: \(1\cdot(-1-3)=4\) . Пара (–1; 3) значений переменных х и у является решением уравнения \(x(x-y)=4\) .

То есть решением уравнения с двумя переменными называют множество упорядоченных пар значений переменных, образующих это уравнение в верное равенство.

Нелинейные уравнения с двумя переменными решаются так же, как и линейные уравнения с двумя переменными, – с помощью графика. При этом желательно переменную у выразить через х и построить график полученной функции. Все соответствующие координаты точек графика будут являться парами ответов данного уравнения.

Система вида \(\left\< \begin f_1 (x,y) = C_1 \\ f_2 (x,y) = C_2 \\ \end \right.\) , называется системой нелинейных уравнений с двумя переменными, если хотя бы одно из уравнений нелинейное. Нелинейные системы не имеют универсального способа решения, поэтому при решении конкретной системы уравнений нужно учитывать особенности заданных уравнений, переходя к равносильным системам.

Две системы называются равносильными, если множества их решений совпадают или обе системы не имеют решений.

Утверждения о равносильности систем уравнений:

• если одно из уравнений системы заменить на равносильное уравнение, то получим систему, равносильную исходной;
• если одно из уравнений системы заменить суммой каких-либо двух уравнений данной системы, то получим систему, равносильную исходной;
• если одно из уравнений системы выражает зависимость какой-либо переменной, например x, через другие переменные, то, заменив в каждом уравнении системы переменную x на ее выражение через другие переменные, получим систему, равносильную исходной.

Рассмотрим некоторые методы решения нелинейных систем уравнений.

Метод разложения на множители

Пример 1. Решить систему: \(\left\< \begin x^2-2y^2-xy+2x-y+1=0, \\ 2x^2-y^2+xy+3y-5=0. \\ \end \right.\)

Заметим, что множитель \(x+y+1\ne0\) , так как в этом случае правая часть второго уравнения системы также обратилась бы в нуль. Следовательно, система равносильна системе \(\left\< \begin x-2y+1=0 \\ (2x-y+1)(x+y+1)=6 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin x=2y-1 \\ (2x-y+1)(x+y+1)=6 \\ \end \right. \)

Решим второе уравнение:

\((2(2y-1)-y +1)(2y-1+y+1) =6 \\( 4y — 2 -y + 1)\cdot 3y = 6 \\(3y-1)\cdot 3y = 6 \\9y ^2-3y -2 = 0 \\y_1= 1; y_2 = -\frac23\)

Выразив x из первого уравнения и подставив во второе, получили уравнения для нахождения у. В первое уравнение системы вместо у подставляем найденное значение и находим значения x: \(x_1=1; \ x_2=-\frac73\) .

Ответ: \((1; 1); (- \frac73; — \frac23 )\) .

Метод исключения одной из неизвестных

Метод исключения неизвестных позволяет последовательно сводить решение данной системы к решению системы (или совокупности систем), содержащей на одну переменную меньше.

Пример 2. Решить систему: \(\left\< \begin 3x^2y^2+x^2-3xy=7, \\ 10x^2y^2+3x^2-20xy=3. \\ \end \right. \)

Решение: Левые части уравнений системы содержат одни и те же комбинации неизвестных. Умножим уравнения на подходящие множители с тем, чтобы исключить из системы одно из неизвестных. Из системы исключим х 2 . Для этого умножим первое уравнение на –3 и сложим со вторым уравнением.

В результате получаем уравнение \((xy)^2-11xy+18=0\) .

Решим данное уравнение путем замены.

Пусть \(xy = t\) , тогда \( t^2 — 11t + 18= 0\) , откуда \(t_1 = 2; t_2 = 9\) .

Таким образом, исходная система распадается на системы:

В первом случае находим \(x^2=1\) . Если \(x = 1, то\ y = 2 , \ а \ если\ x = -1, \ то\ y = -2\) .

Во втором случае получаем \(x^2=-209\) , т. е. не имеет действительных решений.

Метод подстановки

Пример 3. Решить систему: \(\left\< \begin x + y = 3, \\ x^3 + x^2 y = 12. \\ \end \right.\)

Решение: \(\left\< \begin x + y = 3 \\ x^3 + x^2 y = 12 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin x + y = 3 \\ x^2 \left( \right) = 12 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin x + y = 3 \\ x^2 \cdot 3 = 12 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin x + y = 3 \\ x^2 =4 \\ \end \right. \)

\(\left\< \begin x + y = 3 \\ x_1=2; x_2=-2 \\ \end \right. \Rightarrow y=3-x \Rightarrow y_1=3-2=1, y_2=3-(-2)=5\)

Метод введения новых переменных

Пример 4. Решить систему: \(\left\< \begin x + y +\frac=\frac12, \\ \frac<(x+y)x>=-\frac12. \\ \end \right.\)

Решение: Введем новые неизвестные \(u =x+y, v = \frac\) и получим симметричную систему уравнений: \(\left\< \begin u+v=\frac12 \\ uv=-\frac12 \\ \end \right.\) . Решения этой системы: \(u_1=1, v_1=-\frac12; u_2=-\frac12, v_2=1\) . Получаем системы уравнений: \(\left\< \begin x+y=1 \\ \frac=-\frac12 \\ \end \right. \ и \ \left\< \begin x+y=-\frac12 \\ \frac=1 \\ \end \right. \) , которые являются линейными. Решение первой системы – \((-1;2)\) , второй – \((- \frac 1 <4>; — \frac 1<4>)\) .

План-конспект по математике на тему «Системы нелинейных уравнений с двумя переменными»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Методическая разработка занятия

по дисциплине «Математика»

Тема: «Системы нелинейных уравнений с двумя переменными» для студентов 1 курса

Составитель: Котенева Е.А., преподаватель математики

Тема урока : Системы нелинейных уравнений с двумя переменными.

Тип урока : урок изучения нового материала.

Цель урока : Систематизация материала и применение знаний в новой ситуации; умение определять рациональный способ решения систем уравнений с двумя переменными.

повторение и систематизация знаний и умений решения систем уравнений с двумя переменными;

стимулирование интереса обучающихся к решению систем уравнений различными методами..

продолжение работы над развитием операционного стиля мышления через всестороннюю оценку ситуации, оптимальное планирование действий, поиск информации, необходимой для решения задачи – формирование компетентности в сфере познавательной деятельности;

развитие внимания, творческих способностей обучающихся.

воспитание ответственности, внимательности, аккуратности, дисциплинированности, усидчивости.

технология обучения в сотрудничестве;

систематизация и обобщение знаний об основных методах решения систем уравнений;

совершенствование навыков решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными;

применение знаний на практике для углубления и расширения ранее усвоенных знаний.

формирование умений анализировать, сопоставлять, обобщать знания;

развитие умения работать в группах;

формирование чувства ответственности за свою работу;

овладение опытом переноса знаний и умений в нестандартные ситуации при решении возникающих новых задач.

формирование культуры общения и осознанной потребности в знаниях;

развитие умения управлять своей учебной деятельностью.

Методы обучения: частично-поисковый, репродуктивный, словесно – наглядно – практический .

Формы организации познавательной деятельности обучающихся : групповая, индивидуальная.

— самоанализ и самооценка, рефлексия.

Цель: обеспечить нормальную внешнюю обстановку для работы на уроке и психологически приготовить обучающихся к общению и предстоящему занятию

приветствие студентов, проверка их готовности к занятию, проверка отсутствующих.

Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности обучающихся

Цель: поднять мотивацию обучающихся к участию в процессе познавательной деятельности, организация активной, самостоятельной и результативной работы каждого обучающегося при решении учебно-познавательных задач. Познакомить с планом и правилами работы, постановка проблемы и целей.

сообщение студентам темы урока, раскрытие её содержание (план занятия), а так же разъяснение цели и формы их деятельности на уроке.

Актуализация опорных знаний

Цель: проверить правильность, полноту и осознанность приобретенных ранее знаний, мотивировать и мобилизовать силы обучающихся.

повторение навыков решения систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Обобщение и систематизация знаний

подготовка обучающихся к обобщённой деятельности;

воспроизведение на новом уровне.

Применение знаний и умений в новой ситуации

Цель: закрепить в памяти обучающихся те знания, которые они приобрели в ходе теоретического изучения материала, работая в парах, способствовать формированию у обучающихся умений и навыков при решении систем нелинейных уравнений

выполнение обучающимися заданий

Контроль усвоения изученного материала

работа в группах

Цель: подвести итог урока, оценить работу обучающихся, создать условия для самооценки учебной деятельности, закрепить положительные эмоции от познания нового, сообщить обучающимся о Д/з и разъяснить методику его выполнения.

анализ и содержание итогов работы;

формирование выводов по изученному материалу;

выдача домашнего задания.

I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

Приветствие обучающихся, проверка готовности к уроку.

II. ПОСТАНОВКА ЦЕЛИ И ЗАДАЧ УРОКА. МОТИВАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ОБУЧАЮЩИХСЯ

Сообщение студентам темы урока, раскрытие её содержание (план занятия), а так же разъяснение цели и формы их деятельности на уроке.

III . АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ

1) Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2) Контроль усвоения материала (задания по карточкам).

Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

а) ;

б) ;

в) .

IV . ОБОБЩЕНИЕ И СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Вспомним основные методы решения систем уравнений.

1. Метод подстановки.

2. Метод алгебраического сложения уравнений.

3. Метод замены переменной.

4. Метод разложения на множители.

5. Графическое решение систем уравнений.

1. Метод подстановки.

Решите систему уравнений: .

Из второго уравнения находим: Подставляя это значение в первое уравнение, получаем: или . Корнями этого уравнения являются числа . Таким образом, получаем совокупность двух систем уравнений:

Первая система имеет решения , а вторая . Значит, данная система имеет решения:

2. Метод алгебраического сложения уравнений.

Решите систему уравнений:

Метод подстановки в данном случае приводит к сложным выкладкам. Прибавим к первому уравнению системы второе уравнение, тогда получаем т.е.

равносильную заданной. А теперь воспользуемся методом подстановки:

то есть

Полученная система уравнений равносильна совокупности двух систем уравнений:

Первая система имеет решение а вторая Значит, решение данной системы имеет вид: .

3. Метод замены переменных.

Решите систему уравнений: .

Пусть u = тогда получаем более простую систему ,

равносильно исходной. Решив полученную систему, будем иметь:

Перейдём к переменным x и y , и решим совокупность двух систем уравнений:

или т.е.

Ответ: .

4. Метод разложения на множители.

Решите систему уравнений:

Второе уравнение системы представим в виде: =0. Тогда данная система будет равна совокупности двух систем, решаемых методом подстановки.

или значит

И решением первой системы будет

или значит и решением второй системы будет

Ответ: ;

5. Графическое решение систем уравнений.

Решите систему уравнений:

Уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом 6. Уравнение — парабола, это уравнение можно переписать в виде: . Вершиной этой параболы является точка (0; 6), ветви параболы направлены вниз, она пересекает ось Ох в точках (6; 0); (-6; 0). Построим графики указанных линий и найдем их точки пересечения.

Из чертежа видно, что линии пересекаются трижды и точками пересечения являются А (-6; 0); В (0; 6); С (6; 0).

Рассмотрим два распространённых вида нелинейных систем: однородные системы и симметричные системы. Сначала обсудим однородные системы.

Решим систему уравнений: .

Особенностью системы является то, что первое уравнение – однородное. Решим его, считая y неизвестной, а х – постоянной величиной. Получаем: y = , т.е. Таким образом, нашли линейную связь между переменными (фактически получили линейное уравнение ). Далее исходная система сводится к совокупности двух систем уравнений:

а) Решения этой системы (1;1),(-1;-1);

б) Подставляя первое уравнение во второе, получим:

или Тогда х= и решения системы

При решении сходной системы все преобразования были равносильными. Поэтому решения проверять не надо. Исходная система имеет 4 решения: (1;1), (-1;-1),

Решим систему уравнений:

В этой системе однородного уравнения нет. Зато левая часть каждого уравнения представляет собой однородный многочлен по переменным x и у. Поэтому нетрудно получить и однородное уравнение . Почленно разделим первое уравнение на второе (это можно сделать, т. к. левые части уравнений не равны нулю): Используем свойство пропорции и получим: 8( (однородное уравнение).

Решая это уравнение, найдём корни: и Исходная система сводится к совокупности двух систем уравнений. Причём в качестве второго уравнения систем можно использовать любое из уравнений исходной системы. Будем использовать, например, второе уравнение. Получаем:

а) Подставим первое уравнение во второе: 2 или 352у 2 = 8, откуда (тогда х= ). Система имеет решения:

б) Подставим первое уравнение во второе:

или у 2 = 4 и у = ±2 (тогда x = ±1). Система имеет решения: (1; -2), (-1; 2).

Все преобразования были равносильны, и решения исходной системы (которые не проверяем): (1; 2), (-1; 2).

Теперь обратимся к симметричным системам уравнений. Если каждое уравнение системы не меняется при замене х и у и наоборот, то систему называют симметричной . Такие системы решаются заменой а = х + у и b = xу (простейшие симметричные многочлены).

Решим систему уравнений:

Прежде всего убедимся, что эта система симметричная. В каждом уравнении поменяем х и у и наоборот. Получаем систему уравнений Видим, что каждое уравнение такой системы совпадает с соответствующим уравнением исходной системы. Следовательно, данная система симметричная.

Введем новые переменные, а=х+у и b=ху. Учтем, что и запишем данную систему в виде: Сложим уравнения системы и получим квадратное уравнение: а 2 + а — 20 = 0, корни которого а ₁ = 4 (соответствующее значение b ₁ = 3) и а ₂ = -5 (значение b ₂ = 12). Вернемся к старым переменным и получим совокупность двух систем уравнений:

Так как первое уравнение линейное, то для решения системы можно использовать метод подстановки. Однако проще применить обратную теорему Виета . Будем считать, что х и у — корни некоторого приведенного квадратного уравнения. Так как известны сумма корней и их произведение, то уравнение имеет вид: t 2 – 4t + 3 = 0 — и его корни t ₁ = 1 и t ₂ = 3. Мы не знаем, какой из этих корней соответствует х, а какой — у. Поэтому система имеет два решения: (1; 3) и (3; 1).

Заметим, что это общее свойство симметричных систем: если система имеет решение (с; d), то она обязательно имеет и решение (d; с);

Получаем квадратное уравнение t 2 + 5t + 12 = 0. Его дискриминант отрицательный, и оно корней не имеет. Поэтому и такая система решений не имеет.

Все преобразования (метод замены переменных, метод алгебраического сложения) были равносильны. Поэтому решения проверять не надо. Итак, исходная система уравнений имеет два решения: (1; 3), (3; 1).

Встречаются (по гораздо реже) симметричные системы трех уравнений с тремя переменными. Для их решения также используют обратную теорему Виета для кубического уравнения. Если числа x, y, z удовлетворяют условиям: то x, y, z — корни приведенного кубического уравнения t 3 + аt 2 + bt + c = 0.

V . ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ И УМЕНИЙ В НОВОЙ СИТУАЦИИ

Решите систему уравнений

Решение. Пусть Тогда . Теперь первое уравнение системы можно записать так: . Отсюда
Для решения исходной системы достаточно решить две более простые системы.
1) Отсюда ,
Из второго уравнения получаем: . Тогда .
2) Отсюда
Из второго уравнения получаем: Тогда
Ответ:

Решите систему уравнений

Решение. Заметим, что данная система не изменится, если заменить x на y , а y на x . В таких случаях может оказаться эффективный замена x + y = u , xy = v .

Перепишем данную систему так:

Выполним указанную замену. Получим систему:

Её можно решить методом подстановки (сделайте это самостоятельно). Получаем:
или

Остается решить 2 системы: и Каждую из них можно решить методом подстановки. Однако здесь удобнее воспользоваться теоремой, обратной теореме Виета. Так, для системы Можно считать, что x и y – корни квадратного уравнения . Отсюда Следовательно, пары чисел (1;2) и (2;1) являются решениями этой системы.
Используя теорему, обратной теореме Виета, легко убедиться, что система решений не имеет.

V I . КОНТРОЛЬ УСВОЕНИЯ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА

Работа в группах.

№ 1. Установите графически количество решений системы уравнений:

1) 2) 3) 4)

№ 2. Решите графически систему уравнений:

1) 2) 3) 4)
№3. Решите графически систему уравнений:
1) 2) 3)

№ 4. Решите методом подстановки систему уравнений:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

№ 5.Решите методом подстановки систему уравнений:
1) 2) 3) 4)
№6. Решите систему уравнений:
1) 2) 3) 4)

5) 6) 7)

Глава 4. § 4.6 стр.92-98 примеры.

Список использованных источников:

Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосенко В.С., Шибут А.С. Системы алгебраических уравнений. Текстовые задачи. Справочное пособие для абитуриентов и школьников. 1998. — 288 с.

Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса. Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. 4-е изд. — М.: Просвещение, 1995. — 335 с.

Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа.10-11 классы: Учебник.- М.: Мнемозина, 2009.

Мордкович А.Г., Денищева Л.О., Корешкова Т.А. и др. Алгебра и начала математического анализа.10-11 классы: Задачник.- М.: Мнемозина, 2009.