Система из 2 уравнений 2 степени

Система из 2 уравнений 2 степени

Система уравнений второй степени. Способы решения

Система уравнений второй степени – это система уравнений, в которой есть хотя бы одно уравнение второй степени.

Систему из двух уравнений, в которой одно уравнение второй степени, а второе уравнение первой степени, решают следующим образом:

1) в уравнении первой степени одну переменную выражают через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, благодаря чему получается уравнение с одной переменной;

3) решают получившееся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

Пример : Решим систему уравнений

1) Второе уравнение является уравнением первой степени. В ней выражаем переменную x через y:

2) в первом уравнении вместо x подставляем полученное выражение 1 – 2y:

Раскрываем скобки и упрощаем:

Приравниваем уравнение к нулю и решаем получившееся квадратное уравнение:

3) Решив квадратное уравнение, найдем его корни:

4) Осталось найти значения x. Для этого в одно из двух уравнений системы просто подставляем значение y. Второе уравнение проще, поэтому выберем его.
Итак, подставляем значения y в уравнение x + 2y = 1 и получаем:
1) х + 2(-0,125) = 1
х – 0,25 = 1
х = 1 + 0,25
х₁ = 1,25.

Способы решения системы уравнений с двумя уравнениями второй степени.

1. Замена системы уравнений равносильной совокупностью двух систем.

Пример : Решим систему уравнений

Здесь нет уравнений первой степени, поэтому решать их вроде бы сложнее. Но в первом уравнении многочлен можно разложить на линейные множители и применить метод группировки:

(Пояснение-напоминание: x – 3y встречается в выражении дважды и является общим множителем в многочлене (x – 3y)(x + 3y) – 1(x – 3y). По правилу группировки, мы умножили его на сумму вторых множителей и получили равносильное уравнение).

В результате наша система уравнений обретает иной вид:

Первое уравнение равно нулю только в том случае, если x – 3y = 0 или x + 3y – 1 = 0.

Значит, нашу систему уравнений мы можем записать в виде двух систем следующего вида:

Мы получили две системы, где первые уравнения являются уравнениями первой степени. Мы уже можем легко решить их. Понятно, что решив их и объединив затем множество решений этих двух систем, мы получим множество решений исходной системы. Говоря иначе, данная система равносильна совокупности двух систем уравнений.

Итак, решаем эти две системы уравнений. Очевидно, что здесь мы применим метод подстановки, подробно изложенный в предыдущем разделе.

Обратимся сначала к первой системе.
В уравнении первой степени выразим х через у:

Подставим это значение во второе уравнение и преобразим его в квадратное уравнение:

Как решается квадратное – см.раздел «Квадратное уравнение». Здесь мы сразу напишем ответ:

Теперь подставим полученные значения у в первое уравнение первой системы и решим его:

Итак, у нас есть первые ответы:

Переходим ко второй системе. Не будем производить вычисления – их порядок точно такой же, что и в случае с уравнениями первой системы. Поэтому сразу напишем результаты вычислений:

Таким образом, исходная система уравнений решена.

1 1
(–3 — ; –1 — ), (3; 1), (2,5; –0,5), (–2; 1).
2 6

2. Решение способом сложения.

Пример 2 : Решим систему уравнений

Второе уравнение умножим на 3:

Зачем мы умножили уравнение на 3? Благодаря этому мы получили равносильное уравнение с числом -3y, которое встречается и в первом уравнении, но с противоположным знаком. Это поможет нам буквально при следующем шаге получить упрощенное уравнение (они будут взаимно сокращены).

Сложим почленно левые и правые части первого уравнения системы и нашего нового уравнения:

Сводим подобные члены и получаем уравнение следующего вида:

Упростим уравнение еще, для этого сокращаем обе части уравнения на 5 и получаем:

Приравняем уравнение к нулю:

Это уравнение можно представить в виде x(x – 2y) = 0.

Здесь мы получаем ситуацию, с которой уже сталкивались в предыдущем примере: уравнение верно только в том случае, если x = 0 или x – 2y = 0.

Значит, исходную систему опять-таки можно заменить равносильной ей совокупностью двух систем:

Обратите внимание: во второй системе уравнение x – 2y = 0 мы преобразовали в x = 2y.

Итак, в первой системе мы уже знаем значение x. Это ноль. То есть x₁ = 0. Легко вычислить и значение y: это тоже ноль. Таким образом, первая система имеет единственное решение: (0; 0).

Решив вторую систему, мы увидим, что она имеет два решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

Таким образом, исходная система имеет следующие решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

3. Решение методом подстановки.

Этот метод был применен в начале раздела. Здесь мы выделяем его в качестве одного из способов решения. Приведем еще один пример.

Пример . Решить систему уравнений

│х + у = 9
│у 2 + х = 29

Первое уравнение проще, поэтому выразим в нем х через у:

Теперь произведем подстановку. Подставим это значение х во второе уравнение, получим квадратное уравнение и решим его:

у 2 + 9 – у = 29
у 2 – у – 20 = 0

D = b 2 – 4ас = 1 – 4 · 1 · (–20) = 81

Осталось найти значения х. Первое уравнение проще, поэтому им и воспользуемся:

1) х + 5 = 9
х = 9 – 5
х₁ = 4

2) х – 4 = 9
х = 9 + 4
х₂ = 13

Изящные способы решения систем уравнений с двумя переменными второй степени

Разделы: Математика

Цели урока:

рассмотреть интересные способы решения систем уравнений с двумя переменными второй степени;
• продолжить работу по формированию у учащихся умений решать системы уравнений с двумя переменными различными способами;
• развивать логическое мышление, способность к абстрагированию, анализу.

Ход урока

Решение систем, содержащих два уравнения с двумя переменными второй степени весьма трудная задача, но в некоторых случаях системы могут быть решены с помощью простых и изящных приемов. Открыть некоторые из них – это цель сегодняшнего урока.

I. Проверка домашнего задания.

Решить систему уравнений способом подстановки и графически.

Первый ученик показывает решение системы уравнений:

(1)

— способом подстановки.

1) ху=-3;
2)

умножим обе части уравнения на ,получим:пусть и 0,тогда по теореме, обратной теореме Виета, получим:

Если z =9,то ,

z =1, то

-3,-1,1,3 отличны от нуля, значит, они являются корнями уравнения

3) Если то	то
то	то

Ответ:(3;-1), (-3;1), (-1;3), (1;-3)-решения системы (1).

Второй ученик показывает решение системы уравнений:

— графическим способом.

В одной системе координат построим графики уравнений: и ху= -3.

-графиком этого уравнения является окружность с центром в точке (0;0) и радиусом .

В треугольнике АВС,АВС =90°, АВ=1, ВС=3, АС=.

Длину отрезка АС= возьмем за радиус окружности .

ху=3; у=; — графиком этого уравнения является гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных углах.

Графики изображены на рисунке 1.

Графики и пересекаются в четырех точках (они обозначены буквами А, В, С, Д), следовательно, данная система уравнений имеет четыре решения:

Интересно заметить, что решения данной системы симметричны. Точки С и В и А и Д симметричны относительно начала координат. Точки С и А и Д и В симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов (прямой у=х), поэтому их координаты “меняются местами”.

II. “Открытие” новых способов решения этой же системы.

Для решения этой системы есть более изящные и красивые способы. Открыть их, понять и научиться применять — это цель нашего урока. Поставив цель мы в конце урока должны подвести итог нашей работе, для этого мы будем использовать идею Эдварда де Боно, которую он назвал “Шесть шляп — шесть способов мышления”- они нам и помогут с разных позиций проанализировать урок, работая в группах.

Работа в группах.

Решить систему новым способом (на работу 5-7мин.).

Свое решение на доске показывает одна из групп:

(1)

Система (1) “распадается” на две более простые системы:

(2)

(3)

Каждое решение системы (1) является решением хотя бы одной из систем (2) или (3).И каждое решение системы (2) и (3) является решением системы (1).

Системы (2) и (3) является симметричными, решим каждую из них:

(1)

(2)

Пусть и корни уравнения	Пусть и корни уравнения
и его корни, решения системы (1).	и его корни, решения системы (2)

Для того чтобы понять содержательную сторону приведенного решения, обратимся к графической иллюстрации. На рис.2 в одной системе координат показано графическое решение систем.

и

Каждая прямая х+у =2 и х+у =-2 пересекает гиперболу ху=-3 в двух точках, а всего мы имеем четыре точки пересечения (они обозначены буквами А, В, С, Д). Это те же точки, которые получились при пересечение гиперболы и окружности (смотри рис.1).

Еще один способ решения данной системы представил один из учеников, для которого это было домашнее индивидуальное задание.

Сложим почленно первое уравнение системы сначала с уравнением 2ху=-6,а затем с уравнением -2ху=6.Получим систему:

Из первого уравнения получаем, что

Из второго уравнения получаем, что

Рассматривая каждое уравнение первой строки совместно с каждым уравнение второй строки приходим к четырем системам линейных уравнений:

Решив каждую из них получим следующие решения исходной системы:

Решение проиллюстрировано графически на рис.3.

Теперь мы видим, что четыре прямые при попарном пересечении указывают нам те же самые точки, которые получились при пересечении окружности и гиперболы (смотри рис.1).

И еще разберем один из способов решения системы

Данная система является симметричной и решается она очень красиво с помощью введения новых переменных. Пусть , и учитывая, что ,получим:

Если u=-3, то или тогда получим:

и

Полученные системы тоже являются симметричными системами, которые мы уже решали. Итак,(3;1), (-1;3), (-3;1),(1;-3)-решения данной системы.

Мы рассмотрели пять различных способов решения одной и той же системы уравнений. Каждый выберет для себя способ, который ему больше всего понравился, самое главное — что каждый из Вас научился решать системы такого вида и поэтому эпиграфом урока могли служить слова Б.В.Гнеденко: “Ничто так не содействует усвоению предмета, как действие с ним в разных ситуациях”.

1 задание. Решить систему уравнений:

2 задание. На рисунке 4 построены: окружность парабола и прямая у=2х+10.Составьте всевозможные системы двух уравнений с двумя переменными и укажите их решения.

3 задание. Система уравнений. где b-произвольное число, может иметь одно, два, три или четыре решения, а также может не иметь решений. Запишите конкретную систему, которая имела бы два решения. Проиллюстрируйте решение системы, графически на рисунке 5.

1 задание. Решить систему уравнений:

2 задание. На рисунке 6 построены кубическая парабола у=х, гипербола у= и прямая у=2х.

Составьте всевозможные системы двух уравнений с двумя переменными и укажите их решения.

3 задание. Система уравнений где b- произвольное число, может иметь одно, два, три или четыре решения, а также может не иметь решений. Запишите конкретную систему, которая имела бы одно решение. Проиллюстрируйте решение графически на рисунке 5.

IV. Подведение итогов урока.

Для анализа урока мы будем использовать идею Эдварда де Боно, которую он назвал “Шесть шляп”.

Зелёная шляпа-символ свежей листвы, изобилия и плодородия. Она символизирует творческое начало и расцвет новых идей.

Итак, первая группа ответит на вопросы: пригодятся ли нам знания, полученные на уроке, умения исследовать и находить различные способы решения систем уравнений?

Жёлтая шляпа — солнечный, жизнеутверждающий цвет. Она полна оптимизма, под ней живёт надежда и позитивное мышление.

Итак, вторая группа отметит какие положительные моменты были на уроке и обоснует свой оптимизм.

Белая шляпа — белый цвет беспристрастен и объективен. В ней “варятся” мысли, “замешанные” на цифрах и фактах.

Итак, третья группа должна изложить происходящее на уроке опираясь и подкрепляя свой ответ цифрами и фактами.

Красная шляпа-символ восприятия действительности на уровне чувств. В ней можно отдать себя во власть эмоций.

Итак, четвёртая группа постарается высказать свои эмоции по поводу данного урока.

Чёрная шляпа — черный цвет мрачный, зловещий, словом — недобрый. Это критика, доходящая до въедливости.

Итак, пятая группа должна высказать свое мнение о том, что получилось на уроке или что требует доработки.

Синяя шляпа — синий цвет холодный, это цвет неба. Синяя шляпа связана с организацией, обобщением того, что достигнуто.

Итак, шестая группа при подведении итогов урока должна указать, на что необходимо обратить внимание при изучении данной темы?

V. Домашнее задание.

А.П. Ершова, В.В. Голобородько “Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 9 класса” (разноуровневые дидактические материалы). С-9,стр. 19 (по уровням сложности)

Конспект и презентация к уроку алгебры в 9 классе «Системы уравнений 2 степени»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение.docx

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение

Островская средняя общеобразовательная школа

Разработка урока по алгебре в 9 классе по теме:

«Решение систем уравнение второй степени».

Варёшина Елена Александровна.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: проблемный, словесный, наглядный, практический.

Формы классной работы: деловая игра «Редакция»

индивидуальная, парная, групповая.

Оборудование: мел, классная доска, ноутбук, мультимедийный проектор с экраном, электронная версия урока – презентация, раздаточный материал (карточки с заданиями разного уровня), оценочный лист для каждой группы

Форма проведения урока: групповая.

Образовательные: познакомиться с алгоритмом решения систем методом подстановки, проанализировать и сравнить с графическим способом, сформировать умение решать системы уравнений, содержащие уравнения второй степени способом подстановки.

Развивающие . развивать вычислительную технику, мыслительную активность, логическое мышление, память, интерес к предмету умений говорить и слушать; способствовать формированию ключевых понятий; выполнение заданий различного уровня сложности.

Воспитательные: воспитывать внимательность, аккуратность, умения четко организовывать самостоятельную и индивидуальную работу.

Организационный момент. Сообщение формы урока, запись в тетрадях числа . 3 мин.

Проверка д.з. 3 мин

Постановка целей и задач урока, распределение заданий.5мин

Работа в группах, обсуждение поставленной задачи и запись в тетрадях. 5мин

Фронтальная работа.2+1+ 3+2+3=10 мин

Работа в группе.5мин.

Самостоятельная работа. 5мин

Проверка д.з. чтоб получить разрешение на работу в редакции.

Планёрка. Распределение обязанностей.

Отчёт о проделанной работе.

« Знание – только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью ». Л. Н. Толстой.

Теоретический отдел — собирают необходимую теорию по теме. (Москвина Вержилия, Маслова Екатерина,

Маянцев Сергей, Баранов Артём)

Информационно отдел – изучают алгоритм решения систем способом подстановки(Смирнова Анастасия, Терминова Василиса,

Смирнова Вика, Смирнов Антон)

Практический предлагают пример решения системы способом подстановки. (Смирнова Ирина, Романович Сергей, Маслова Елизавета, Галкин Сергей)

Научный отдел рассматривают 2 способа. (Лебедев Андрей, Веселова Анастасия, Охотников Никита, Смирнов Максим)

Аналитический отдел должны сравнить с решением систем 1 степени и сравнить графический метод и метод подстановки: Павлова Елизавета, Козлов Дмитрий, Мосеев Илья, Осипян Арсений).

Отдел писем и печати.(Смирнова Арина, Смирнов Егор, Коростин Никита, Редкова Вика,)

1 этап — организационный.

1.Добрый день, уважаемые коллеги. Да, да, я не ошиблась. Сегодня, 14.12.2013 года мы продолжаем изучать тему «Решение систем уравнение второй степени» и я предлагаю данный урок провести в форме деловой игры «Редакция». Я, если вы не возражаете — главный редактор. Вы — сотрудники редакции».

2. Ну а чтобы получить разрешение на свою деятельность вы должны были выполнить домашнее задание: решить системы графическим способом. Проверьте правильность решения. И поставьте себе оценку в оценочных листах.

3. Читаю письмо. Ну что, коллеги, поможем ученикам? Кто знает, какими методами можно ещё решать системы?

1.В тетрадях записывают число, классная работа, тема урока, домашнее задание.

2. Проверяют д. з.

Арина говорит, что пришло письмо от учеников Юрьевской школы. « Я освоил графический способ решения систем и даже объяснить могу это всем, Но я хотел бы очень знать, какими способами ещё можно решать?

Если знаете, объясните, расскажите и решение покажите».

3. этап-постановка целей и задач (планёрка-распределение обязанностей).

Всё правильно, такой способ мы изучали, но давно не повторяли

1 для решения систем линейных уравнений, мы применяли способ подстановки.

Это очень интересно…хотелось бы конкретики, если честно.

Возможно, не исключено, давайте разберёмся, с чего же мы начнём.

2 мы помним способ сложения. 3 может есть ещё какие — то способы. Вот для уравнений мы использовали в этом году способ введения новой переменной

Итак, судя по всему интернет у них не работает, значит информацию мы поместим в газете, это самый надёжный вестник на свете. А что мы там разместим, и как жду ваших предложений.

— ну и продукт нашей работы будет совместная газета, которую потом прочитают все.

Что бы всё успеть, предлагаю распределить обязанности по отделам:

4 Мы считаем, что всегда нужно начинать с теории.

надо теорию, алгоритм, примеры, самим решить.

Теоретический отдел — собирают необходимую теорию по теме. (Москвина Вержилия

Маянцев Сергей, Баранов Артём).

2 Информационно отдел – изучают алгоритм решения систем способом подстановки (Смирнова Анастасия, Терминова Василиса,

Смирнова Вика, Смирнов Антон)

3. Практический предлагают пример решения системы способом подстановки. (Смирнова Ирина, , Смирнов Максим Маслова Елизавета,

4. Научный отдел (Лебедев Андрей, Веселова Анастасия, Охотников Никита, Романович Сергей).

5 Аналитический отдел должны сравнить с решением систем первой степени и сравнить графический и метод подстановки: Павлова Елизавета, Козлов Дмитрий, Мосеев Илья, Осипян Арсений).

6. Отдел писем и печати .(Смирнова Арина, Смирнов Егор, Коростин Никита, Редкова Вика,)

7. А я, Варёшина Елена Александровна, на правах главного редактора, сообщаю, что планёрка закончена. Задание дано, и 5 минут вы работаете в отделах – проводите корреспондентское расследование, после чего собираемся на производственное совещание, где необходимо выступить с отчётом о проделанной работе.

-Готовят ответы на вопросы:

1. Понятие системы уравнения 2 степени с двумя переменными

2. что называется решением системы уравнения 2 степени с двумя переменными

3. Что значит решить систему уравнений с двумя переменными.

1.Готовят ответы на вопросы:

Алгоритм решения системы

способом подстановки. Записывают его на листе для газеты.

3.Решают способом подстановки предложенную систему в тетрадях и на листке для газеты.

.Решают способом подстановки и по теореме Виета предложенную систему в тетрадях и на листке для газеты.

5.Называют достоинства и недостатки каждого способа, т.е. сравнивают.

1.Во время производственного совещания оформляют название, эпиграф газеты, собирают информацию из группы по разным разделам, включают отзывы и предложения, а так же предновогодние поздравления.

( также прочитывают всю информацию) и записывают в тетрадь.

4. этап — работа в группах — корреспондентское расследование. (работа в отделах).

Работа в редакции требует быстрой реакции на события дня, поэтому постарайтесь быть активнее. Основные мысли при обсуждении фиксируйте в тетрадях.