Система из двух уравнений окружности

Уравнение с двумя переменными и его график. Уравнение окружности

п.1. Понятие уравнения с двумя переменными

Мы уже знакомы со многими функциями и умеем их записывать в виде формул:
y = 2x + 5 – прямая, y = 5x 2 + 2x – 1 – парабола, \(\mathrm\) – гипербола.

Если записать такое выражение: x 2 (x + y) = 1 – y – в нём тоже есть две переменные x и y, и постоянная 1.

Для наших примеров:
F(x; y) = 2x – y + 5 = 0 – прямая
F(x; y) = 5x 2 + 2x – y – 1 = 0 – парабола
F(x; y) = \(\mathrm<\frac1x>\) – y = 0 – гипербола
F(x; y)=x 2 (x + y) + y – 1 = 0 – некоторая кривая (график — ниже).

п.2. Обобщенные правила преобразования графика уравнения

Пусть F(x; y) = 0 – исходный график некоторой функции

Симметричное отображение относительно оси OY

Симметричное отображение относительно оси OX

Центральная симметрия относительно начала координат

Параллельный перенос графика на a единиц вправо

Параллельный перенос графика на a единиц влево

Параллельный перенос графика на b единиц вниз

Параллельный перенос графика на b единиц вверх

Сжатие графика к оси OY в a раз

Сжатие графика к оси OX в b раз

F(x; by) = 0
0 Например:

Окружность с центром в точке O(2; 1) и радиусом R = 3 задаётся уравнением: $$ \mathrm <(x-2)^2+(y-1)^2=9>$$

п.4. Примеры

Пример 1. Постройте график уравнения:
а) 2x + 7y – 14 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm<7>=-\frac<2> + 2 > \) – это прямая

б) xy + 4 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm> \) – это гипербола

в) ( x+ 2) 2 + y 2 = 4
Это – уравнение окружности с центром O(–2; 0), радиусом \( \mathrm=2> \)

г) x 2 + 5y – 2 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm<5>> \) – это парабола

Пример 2*. Постройте график уравнения:
а) 2|x| + 5y = 10
\( \mathrm<5>=-\frac25|x|+2> \)
Строим график для \( \mathrm \), а затем отражаем его относительно оси OY в левую полуплоскость.

б) 3x + |y| = 6
|y| = –3x + 6
Строим график для y > 0: y = –3x + 6, а затем отражаем его относительно оси OX в нижнюю полуплоскость.

в) |x| + |y| = 2
|y| = –|x| + 2
Строим график для x > 0, y > 0: y = –x + 2, а затем отражаем его относительно осей OX и OY.

г) |x – 1| + |y – 2| = 4
Получим тот же ромб (квадрат), что и в (в), но его центр будет перенесен из начала координат в точку O(1; 2).

д) \(\mathrm<\frac<|x-1|><2>+2|y-2|=4>\)
Ромб по x растянется в 2 раза по диагонали, а по y – сожмётся в 2 раза по диагонали.

Пример 3. Постройте график уравнения:
а) x 2 + y 2 + 4x – 6y + 4 = 0
Выделим полные квадраты:
(x 2 + 4x + 4) + (y 2 – 6y + 9) – 9 = 0
(x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 3 2 – уравнение окружности с центром (–2; 3), радиусом 3.

Система уравнений с параметром.

Задача 1

Найти все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений \[\left\< \begin ((x+5)^2+y^2-a^2)\ln <(9-x^2-y^2)>= 0; \\ ((x+5)^2+y^2-a^2)(x+y+5-a) = 0 \\ \end\right. \] имеет два различных решения.

Условие получено от пользователей сайта alexlarin.net.

Задача хорошо решается графическим методом. Мне она показалась интересной тем, что, в отличие от обычной практики, в процессе размышлений здесь графики лучше размещать на отдельных рисунках. Привожу полное решение этой задачи в качестве очередного примера заданий ЕГЭ на параметр.

Подробное решение

Решение любой задачи, содержащей алгебраические выражения, должно начинаться с анализа области допустимых значений (ОДЗ) этих выражений. Особенно важно не забывать об этом при решении заданий второй части ЕГЭ профильного уровня.

Здесь одно из уравнений содержит натуральный логарифм, область определения которого ограничена. Следовательно \[9-x^2-y^2>0; \\ 9>x^2+y^2; \\ x^2+y^2 Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Приравняем поочередно каждый сомножитель к нулю, преобразуем к виду, удобному для графического представления и проанализируем его вклад в решение отдельных уравнений и всей системы в целом.
Начнем с сомножителя, общего для обоих уравнений.

\[ (x+5)^2+y^2-a^2 = 0; \\ (x+5)^2+y^2=a^2 \]

Получили уравнение окружности на координатной плоскости. Радиус окружности равен абсолютному значению параметра а. В случае, когда а = 0, окружность вырождается в точку. (Не забываем, что r = |а| потому, что нужно рассмотреть все возможные значения параметра, в том числе и отрицательные, которые при возведении в квадрат удовлетворяют уравнению окружности.) Центр окружности расположен в точке с координатами <−5;0>. Изобразим несколько таких окружностей для различных значений параметра а.
Так как рассматриваемый сомножитель входит в оба уравнения системы, то все точки этих окружностей могут быть искомыми решениями системы. Но реально являются таковыми только те из них, которые входят в ОДЗ, т.е. те участки окружностей, которые пересекают упомянутый выше круг радиуса 3.

Анализируем рисунок:
— (красные) окружности, радиусы которых меньше 2 или больше 8 не имеют общих точек с (голубым) кругом, т.е. при \(|a| \in [0;2) \cup (8;+\infty)\) рассматриваемый сомножитель не дает вклада в решение системы,
— окружности c r = 2 и r = 8 касаются границы голубого круга, но она не входит в ОДЗ, поэтому при \(|a| = 2\) и \(|a| = 8\) рассматриваемый сомножитель также не даст вклада в решение системы,
— в случае, когда радиус окружности принадлежит промежутку (2;8), она пересекается с кругом ОДЗ в двух точках и решением системы являются все точки дуги (красной) окружности, лежащей внутри этого (голубого) круга. Таких точек, а следовательно и решений системы, бесконечное множество.

Выводы:
1) при \(a \in (-8; -2)\cup (2;8)\) система уравнений имеет бесконечное множество решений;
2) при \(a \in (-\infty; -8] \cup [-2;2] \cup[8;+\infty)\) сомножитель \(((x+5)^2+y^2-a^2)\) не дает вклада в решения системы, поэтому при некоторых значениях параметра а из этого диапазона система может иметь два различных решения, если таковые будут получены из анализа оставшихся двух сомножителей.

Итак, продолжаем искать решения заданной системы уравнений среди решений следующей системы, содержащей оставшиеся два сомножителя \[\left\< \begin \ln <(9-x^2-y^2)>= 0; \\ (x+y+5-a) = 0. \\ \end\right. \] Последняя равносильна заданной при условии, что нас не интересует случай, когда \((x+5)^2+y^2-a^2 = 0\). В дальнейшем эту систему я буду называть сокращенной.

Преобразуем уравнения, чтобы построить графики \[ \ln <(9-x^2-y^2)>= 0; \\ 9-x^2-y^2 = 1; \\ 9-1 = x^2+y^2 ; \\ x^2+y^2 =8. \] Получили уравнение окружности на координатной плоскости. Радиус окружности равен \(\sqrt<8>\), центр находится в точке <0;0>. Вся эта окружность находится в области допустимых значений исходной (заданной в условии) системы уравнений. На рисунке она изображена сплошной синей линией. \[(x+y+5-a) = 0 \\ x+y+5=a ; \\ y = -x + (a-5) \] Получили уравнение прямой на координатной плоскости. Прямая проходит параллельно биссектрисе второго и четвертого координатных углов (тангенс угла наклона равен −1) и пересекает ось ординат в точке \(a-5\). Изобразим несколько таких прямых для различных значений параметра а.

Решением сокращенной системы уравнений будут точки пересечения окружности \(r = \sqrt<8>\) с этими прямыми. Прямые могут пересекать окружность в двух точках, касаться её в одной точке или вообще не иметь общих точек с окружностью. Нас интересуют те из них, которые имеют по два пересечения, что будет соответствовать двум различным решениям системы уравнений. Как видно по рисунку, такие прямые находятся между двумя касательными к окружности. Нужно уточнить их уравнения, чтобы найти соответствующие пределы изменения параметра a.

Если вы очень точно и крупно изобразили координатную плоскость на чертеже, то можно попытаться определить точки касания по рисунку. Например, на увеличенном рисунке с иконкой лупы видно, что касание происходит в точках с координатами <2;2>и <−2;−2>. Однако не забывайте, что экзамен не проверяет ваш глазомер, и истинное значение координаты может отличаться на десятые или сотые доли от видимого, тем более, что радиус окружности у нас имеет иррациональное значение \(\sqrt<8>\). Поэтому, как минимум, необходимы проверка предполагаемых значений координат подстановкой в уравнение окружности и геометрическое обоснование касания. Ещё лучше точно вычислить точки касания через производную и уравнения касательных.

Например, для точки <2;2>применим первый способ:
— пусть x = 2 и y = 2, тогда \(x^2+y^2 = 2^2+2^2 = 4+4=8\), значит точка лежит на окружности;
— радиус, проведенный в эту точку, совпадает с диагональю квадрата 2×2, которая проходит под углом 45° к положительному направлению оси Ох и поэтому перпендикулярна к рассматриваемым (зелёным) прямым. Таким образом, выполняется условие: радиус окружности перпендикулярен касательной.
(Примечания: I.Имелся в виду квадрат с вершинами в точках <0;0>, <0;2> <2;2>и <2;0>). II.Тангенс угла наклона наших прямых равен −1, следовательно они проходят под углом 135° к положительному направлению оси Ох.)

В качестве второго примера, левую точку касания полностью найдём через производную и уравнение касательной. Нижняя часть окружности соответствует графику функции \[ y = — \sqrt <8-x^2>\] Вычислим производную этой функции \[ y’ = (- \sqrt<8-x^2>)’ = -\dfrac<1\cdot(8-x^2)'><2\sqrt<8-x^2>> = -\dfrac<-2x><2\sqrt<8-x^2>> = \dfrac<\sqrt<8-x^2>> \] Приравняем производную к тангенсу угла наклона искомой касательной, т.е. в нашем случае к −1 и решим уравнение относительно x. \[\dfrac<\sqrt<8-x^2>> = -1;\\ x = — \sqrt<8-x^2>; \; x^2 = 8-x^2; \\ 2x^2 = 8; \; x^2 = 4; \; x = \pm2.\] Нашли абсциссы точек касания. Подстановкой в уравнение окружности находим ординаты этих точек \[ y = — \sqrt<8-x^2>; \; y(-2) = — \sqrt <8-(-2)^2>= — \sqrt <8-4>= -2;\]

Итак, точки касания найдены и обоснованы. Определим соответствующие им значения параметра a.
\[ y = -x + (a-5) \\ при \; x=2, \; y = 2 \;имеем\\ 2 = -2 + (a-5) \\ a-5=4;\; a = 9 \\ при \; x=-2,\; y = -2 \; имеем \\ -2 = 2 + (a-5) \\ a-5=-4; \; a = 1 \] Следовательно, при \(a \in (1; 9) \) сокращённая система уравнений имеет ровно два различных решения.

Вернёмся к заданной системе уравнений. Чтобы она имела два различных решения, параметр a должен находиться в таком диапазоне, где первый из рассмотренных нами сомножителей не дает решений (иначе, как мы выяснили, их будет бесконечно много), а система из оставшихся двух сомножителей, сокращенная система, дает ровно два решения. Чтобы определить этот диапазон, найдем пересечение полученных ранее интервалов для параметра а с помощью числовой оси.

Как видно оба условия выполняюися для \(a \in (1; 2]\cup [8; 9)\)

Ответ: \(a \in (1; 2]\cup [8; 9)\)

Конечно, в итоговое решение, которое будет переписано на бланк, вы можете поместить один рисунок, который выглядит примерно так:

В качестве решения приведите все алгебраические выкладки с кратким обоснованием.

Задача для самостоятельного решения.

Задача 2

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений \[\left\< \begin (x+y-2a)\sqrt <8x-y^2-x^2>= 0; \\ (x+y-2a) \Large (\normalsize x^2+(y+3)^2-a^2 \Large )\normalsize = 0 \\ \end\right. \] имеет ровно два различных решения.

1) ОДЗ: \( 8x-y^2-x^2 \ge 0 \)
\[ 8x-y^2-x^2 = 0 \\ 2\cdot 4\cdot x-y^2-x^2 +16-16=0 \\ 16 = x^2 -2\cdot x\cdot 4+16+y^2 \\ (x-4)^2+y^2=4^2 \] ОДЗ — круг радиуса 4 центром в точке О₁<4;0>, включая границу.

2) Система равносильна совокупности \[ \left[ \begin x+y-2a = 0; \\ <\left\< \begin \sqrt <8x-y^2-x^2>= 0; \\ x^2+(y+3)^2-a^2 = 0. \end \right.> \end \right. \] 3) Первое уравнение совокупности \[x+y-2a = 0; \\ y=-x+2a \] является уравнением прямых на координатной плоскости.

Находим точки касания этих прямых и окружности ОДЗ: \[ (x-4)^2+y^2 = 4^2 \\ y = \pm \sqrt <16 - (x-4)^2>\\ y’ = \pm \dfrac<1\cdot (16 - (x-4)^2)'><2\sqrt<16 - (x-4)^2>> = \mp \dfrac<\sqrt<16 - (x-4)^2>> \\ \mp \dfrac<\sqrt<16 - (x-4)^2>> = -1 \\ \pm (x-4) = \sqrt <16 - (x-4)^2>\\ (x-4)^2 = 16 — (x-4)^2 \\ (x-4)^2 = 8\\ x = \pm \sqrt <8>+ 4 = 4 \pm 2\sqrt<2>. \\ y = \pm \sqrt <16 - (x-4)^2>= \pm \sqrt <16 - 8>= \pm 2\sqrt<2>. \\ \] При каких \(a\) через точки касания проходят прямые? \[ x+y-2a= 0;\\ 4+2\sqrt<2>+2\sqrt <2>= 2a;\\ a=2+2\sqrt<2>.\] \[ x+y-2a = 0;\\ 4-2\sqrt<2>-2\sqrt<2>=2a;\\ a=2-2\sqrt<2>. \]

Вывод:
— при \( a \in (2-2\sqrt<2>;\; 2+2\sqrt<2>) \) бесконечное множество решений;
— при \( a = 2-2\sqrt<2>\) и \(a = 2+2\sqrt <2>\) уравнение имеет единственное решение;
— при \( a \in (-\infty; 2-2\sqrt<2>)\cup (2+2\sqrt<2>; + \infty) \) уравнение не даёт вклада в решения исходной системы.

4) Рассматриваем систему совокупности (сокращенную систему): \[ <\left\< \begin \sqrt <8x-y^2-x^2>= 0; \\ x^2+(y+3)^2-a^2 = 0. \end \right.> \] \[\sqrt <8x-y^2-x^2>= 0 \Leftarrow\Rightarrow 8x-y^2-x^2=0 \Leftarrow\Rightarrow (x-4)^2+y^2 = 4^2 \] Решениями первого уравнения этой системы являются все точки окружности — границы ОДЗ.
\[x^2+(y+3)^2-a^2 =0 \Leftarrow\Rightarrow x^2+(y+3)^2= a^2 \] Решениями второго уравнения этой системы являются все точки окружностей радиуса \(а\) центром в точке О₂<0;-3>.

Решением системы — пересечение этих множеств.

При каких \(a\) окружности касаются друг друга?
Из геометрии — точки касания окружностей лежат на одной прямой с их центрами. \[O_1O_2 = \sqrt <4^2+3^2>= 5\] Следовательно, \(|a|=5-4=1\) радиус меньшей касательной окружности, \(|a|=5+4=9\) радиус большей.

Вывод:
— при \( |a| \in (1;\;9) \) по 2 решения;
— при \( |a| = 1\) и \(|a| = 9 \) по 1-му решению;
— при \( |a| \in [0;\; 1)\cup (9;\; + \infty) \) решений нет.

5) Общий вывод:
— при \( a \in (-\infty;\; -9)\cup (-1;\; 2-2\sqrt<2>) \cup (9;\; +\infty ) \) система уравнений, заданная в условии задачи, не имеет решений;
— при \( a = \<-9;\;-1;\;2-2\sqrt<2>;\;9\;\> \) она имеет единственное решение;
— при \( a \in (-9;\;-1)\cup (2+2\sqrt<2>;\;9) \) два решения;
— при \( a = 2+2\sqrt <2>\) три решения;
— при \( a \in (2-2\sqrt<2>;\; 2+2\sqrt<2>) \) бесконечное множество решений.

Ответ: \( a \in (-9;\; -1)\cup (2+2\sqrt<2>;\; 9) \)

Перейдите по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2018.

Задания по теме «Системы уравнений с параметром»

Открытый банк заданий по теме системы уравнений с параметром. Задания C6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1227

Условие

Найдите все значения a > 0, при каждом из которых система \begin(x-4)^2+(|y|-4)^2=9,\\ x^2+(y-4)^2=a^2\end имеет ровно 2 решения.

Решение

Если y \geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность \phi _1 с центром в точке C_1 (4; 4) радиуса 3 , а если y то оно задаёт окружность \phi _2 с центром в точке C_2 (4; -4) того же радиуса.

При a > 0 второе уравнение задаёт окружность \phi с центром в точке C(0; 4) радиуса a . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a , при каждом из которых окружность \phi имеет ровно две общие точки с объединением окружностей \phi _1 и \phi _2.

Координаты точки касания окружностей \phi и \phi _1 явно видны на чертеже — точки A_1 (1; 4) и B_1 (7; 4) . То есть при a=CA_1=1 и a=CB_1=7 окружности \phi и \phi _1 касаются. При a > 7 и a окружности \phi и \phi _1 не пересекаются, при 1 окружности \phi и \phi _2 имеют 2 общие точки.

Далее, из точки C проведём луч CC_2 и обозначим A_2 и B_2 точки его пересечения с окружностью \phi_2 , где A_2 лежит между C и C_2. Заметим, что длина отрезка CC_2= \sqrt <4^2+(4-(-4))^<2>>= \sqrt <80>= 4\sqrt 5.

При a или a > CB_2 окружности \phi и \phi_2 не пересекаются. При CA_2 окружности \phi и \phi _2 имеют 2 общие точки. При a =CA_2=4\sqrt 5-3 или a=CB_2=4\sqrt 5+3, окружности \phi и \phi _2 касаются.

Исходная система имеет ровно 2 решения тогда и только тогда, когда окружность \phi с одной из окружностей \phi _1 и \phi _2 имеет 2 общие точки, а с другой не пересекается, либо касается одновременно двух окружностей.

Так как 1 то условию задачи удовлетворяют значения a\in (1;4\sqrt 5-3) \cup (7; 4\sqrt 5+3).