Система канонических уравнений смешанного метода

Строительная механика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

и автоматизации производства

Расчет статически неопределимых рам

смешанным и комбинированным методами

Методические указания по выполнению

Дисциплина – «Строительная механика»

«Строительная механика машин»

Специальности – 150301 «Динамика и прочность машин»

270105 «Городское строительство и хозяйство»

Печатается по решению редакционно-

издательского совета ОрелГТУ

Авторы: д-р техн. наук, профессор кафедры

«Теоретическая и прикладная механика»

канд. техн. наук, доцент

Рецензент: д-р техн. наук, профессор, зав. каф.

«Промышленное и гражданское

Методические указания по выполнению РГР на тему «расчет статически неопределимых рам смешанным и комбинированным методами» содержат смешанный метод расчета статически неопределимых рам, комбинированный способ расчета, задание к РГР и необходимую литературу.

Предназначены студентам, обучающихся по специальностям: 150301 – «Динамика и прочность машин», 270102 – «Промышленное и гражданское строительство», 270105 – «Городское строительство и хозяйство», изучающих дисциплину «Строительная механика», могут быть полностью использованы при изучении дисциплины «Строительная механика машин».

Орловский государственный технический университет

Лицензия ИД № 000 от 01.01.2001 г.

Подписано к печати 20.07.2007 г. Формат 60х84 1/16

Печать офсетная. Уч.-изд. л. 2,7. Усл. печ. л. 2,0. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета

на полиграфической базе ОрелГТУ.

302020, г. Орел, Наугорское шоссе, 29.

1 Смешанный метод расчета статически неопределимых рам………. 5

1.2 Примеры решения задач…………………………………………..7

2 Комбинированный способ расчета…………………………………. 20

2.2 Примеры решения задач……………………………………..…..21

Строительной механикой называется наука о методах расчета сооружений на прочность и устойчивость.

В строительной механике широко применяются методы теоретической механики, сопротивления материалов, математики и физики. Строительная механика является наукой экспериментально-теоретической, так как базируется на результатах испытаний сооружений (в натуре и на моделях), опыте их в эксплуатации и теоретических исследованиях. Трудно переоценить значение современной строительной механики. Вооруженный знанием ее законов и правил, проектировщик получает возможность создавать сооружения не только надежные и прочные в эксплуатации, но так же и экономичные.

В методических указаниях изложены основные понятия, необходимые для изучения строительной механики, даны методы расчета статических неопределимых балок, приведены примеры расчетов рам и балок.

1 Смешанный метод расчета статически

Смешанный метод рекомендуется применять для расчета статически неопределимых стержневых систем (как правило, рам) в том случае, когда их структура существенно неоднородна, т. е. отдельные выделенные условно части обладают ограниченной подвижностью ввиду наличия большого количества «лишних» связей, а другие более подвижны, так как имеют небольшое число таких связей (рис. 1.1).

Левая и правая части рамы (фрагмент I) обладают меньшей подвижностью, чем средняя часть (фрагмент II), которая относительно более свободна.

Степень статической и кинематической неопределимости этой рамы равны 7. Такая система обладает примерно одинаковой трудоемкостью при решении как методом сил, так и методом перемещений.

Смешанный метод использует преимущества метода сил и метода перемещений. В нем за основные неизвестные принимаются как перемещения (повороты и поступательные смещения узлов), так и усилия (силы и изгибающие моменты).

При выборе основной системы в одной части рамы, обладающей относительной свободой, исключаются лишние связи (как в методе сил), а в «более жесткой» вводятся дополнительные связи (как в методе перемещений). Например, для рассматриваемой рамы основная система будет иметь вид, представленный на рисунке 1.2. Эта система имеет три неизвестных: два и – угловые перемещения во введенных заделках и – усилие по направлению отброшенной связи (если средний пролет не загружен, то в нем не возникает поперечной силы и изгибающего момента).

Таким образом, при решении заданной рамы смешанным методом будет три неизвестных: , , . Если внешняя нагрузка будет симметричной, то и останется два неизвестных и .

Условием для составления канонических уравнений смешанного метода являются эквивалентность заданной и основной систем как в отношении внутренних усилий, так и в отношении перемещений узлов, что соответствует условиям:

— отсутствия перемещений по направлению отброшенных связей;

— отсутствия реактивных усилий во введенных заделках или дополнительных связях.

Система канонических уравнений в рассматриваемом случае будет иметь следующий вид:

(1)

В этих уравнениях:

– перемещение в выбранной основной системе по направлению усилия от действия усилия ;

– то же от действия усилия ;

– перемещение в основной системе по направлению усилия от угла поворота ;

– то же от угла поворота ;

– перемещение в основной системе по направлению усилия от действия заданной нагрузки;

– реакция во введенной заделке от усилия ;

– то же от усилия ;

– реакция во введенной заделке от угла поворота ;

– то же от угла поворота ;

– реакция во введенной заделке от действия заданной на-грузки.

Коэффициенты канонических уравнений делятся на четыре
группы:

— коэффициент определяется как в методе сил с использованием интеграла Максвелла-Мора;

— коэффициент определяется по таблицам, составленным для метода перемещений;

— коэффициент определяется из чисто статических соображений, свойственных методу перемещений;

— коэффициент определяется путем составления плана перемещений.

Следует иметь в виду, что

. (2)

После нахождения неизвестных и из системы канонических уравнений строятся окончательная эпюра изгибающих моментов путем суммирования исправленных единичных эпюр моментов и и грузовой эпюры моментов :

Далее по эпюре строится эпюра Q, а по эпюре Q – эпюра N.

1.2 Примеры решения задач

Пример 1. Рассмотрим пример расчета рамы (рис. 1.1).

Строим эпюры , и (рис. 1.3) и определяем коэффициенты системы канонических уравнений (1).

;

При этом окончательно система канонических уравнений примет следующий вид:

(3)

Решая систему, находим:

Построим исправленные эпюры и и окончательную эпюру изгибающих моментов (рис. 1.4).

Проводим статическую проверку решения путем статического вырезания узлов рамы и составления уравнений равновесия.

Проводим кинематическую проверку решения. Для этого строим единичную эпюру изгибающих моментов в любой статически определимой системе метода сил (рис. 1.5) и перемножаем ее с эпюрой «».

Равенство нулю интеграла Максвелла-Мора говорит об отсутствии перемещения по направлению отброшенной связи . По эпюре «» строим эпюру «Q» (рис. 1.6).

По эпюре «Q» строим эпюру «N» (рис. 1.7).

Проводим окончательную проверку решения, составляя уравнения равновесия.

Пример 2. Для рамы (рис. 1.9, а) определить горизонтальное перемещение шарнира К от действия заданной внешней нагрузки.

Степень статической неопределимости для заданной рамы равна 10; степень ее кинематической неопределимости равна 7.

Основная система смешанного метода показана на рис. 1.9, б.

Так как нагрузка, действующая на раму, имеет кососимметричный характер, а также учитывая симметрию самой рамы относительно вертикальной оси, можно утверждать, что симметричные неизвестные . Система канонических уравнений смешанного метода существенно упрощается и приобретает следующий вид:

Строим единичные эпюры , и и грузовую эпюру момен-
тов .

Определяем коэффициенты канонических уравнений:

С учетом найденных коэффициентов запишем систему канонических уравнений и решим ее.

«Исправляем» эпюры единичных моментов и строим окончательную эпюру «Мок» по формуле:

Проводим статическую и кинематическую проверки эпюры «».

Для определения горизонтального перемещения шарнира используем статически определимую систему, приведенную выше, и построим эпюру .

Таким образом шарнир К смещается вправо на величину

Пример 3. Для рамы (рис. 1.14, а) определить угол поворота узла К от заданного теплового воздействия.

Степень статической неопределимости для заданной рамы равна 3; степень ее кинематической неопределимости равна 4.

Основная система смешанного метода показана на рис. 1.14, б. Каноническое уравнение в рассматриваемом случае примет следующий вид:

Строим единичные эпюры моментов (рис. 1.15) и с их помощью определяем коэффициенты канонических уравнений.

Тогда система канонических уравнений приобретает следующий вид:

Строим эпюры «» по формуле:

Кинематическая проверка. Определим угол поворота сечения А, который в заделке, как известно, равен нулю. Для этого предварительно построим единичные эпюры изгибающих моментов и продольных сил от действия единичного момента, приложенного в сечении А в основной системе метода сил (рис. 1.17).

Определим угол поворота узла К. Для этого построим эпюры единичных моментов и единичных продольных сил (рис. 1.18).

Следовательно, узел К поворачивается против часовой стрелки на величину .

2 Комбинированный способ расчета

2.1 Общие замечания

При расчете статически определимых систем наряду с вышеупомянутыми методами довольно широкое распространение получил и комбинированный способ расчета. Наиболее целесообразно использовать его для расчета симметричных рам на воздействие несимметричных нагрузок.

Сущность комбинированного способа состоит в следующем. Заданная несимметричная нагрузка раскладывается на симметричную и кососимметричную составляющие. Далее, в отличие от смешанного метода, рама рассчитывается раздельно на каждое из этих нагружений. При этом для каждого варианта загружения может использоваться любой из известных методов (метод сил или метод перемещений).

На предварительном этапе производится выбор основных систем рамы с учетом симметрии заданных систем и с использованием приема группировки неизвестных. Затем анализируется количество симметричных и кососимметричных неизвестных в рамках каждого рассмотренного метода.

Рассмотрим вариант выбора основных систем на примере рамы (рис. 2.1)

Основные системы, соответствующие методам сил и перемещений, со своими неизвестными изображены на рисунке 2.2.

Из анализа выбранных основных систем можно сделать вывод о том, что при расчете рамы на симметричную нагрузку целесообразно применить метод перемещений с одним лишь симметричным неизвестным , (при этом остальные, кососимметричные, неизвестные заведомо равны 0). При расчете на кососимметричную составляющую внешней нагрузки следует применить метод сил, дающий только одно кососимметричное неизвестное (при этом остальные симметричные неизвестные ). Ниже приведены примеры расчета рам с использованием комбинированного способа.

2.2 Примеры решения задач

Пример 1. Для рамы, изображенной на рисунке 2.3, необходимо построить эпюры М, Q и N от действия внешней нагрузки.

На рисунке 2.4 показаны основные системы при расчете соответственно заданной рамы методом сил и методом перемещений, выбранные с учетом ее симметрии при использовании группировки неизвестных. Анализ выбора основных систем отражен в таблице 2.1.

Таблица 2.1 — Анализ выбора основных систем

Произведем разложение заданной нагрузки на симметричную и кососимметричную составляющие (рис. 2.5).

Для расчета заданной рамы применим комбинированный способ. При этом при расчете на симметричную составляющую нагрузки используем метод перемещений с одним неизвестным (), а на кососимметричную — метод сил так же с одним неизвестным ().

Расчет на симметричную нагрузку

Строим эпюры и ; из них определяем и , а из канонического уравнения метода перемещений находим .

«Исправив» , строим окончательную эпюру моментов от симметричной нагрузки (рис. 2.7)

Расчет на кососимметричную нагрузку

Разбивая основную систему метода сил на отдельные фрагменты (рис. 2.8), строим эпюры и . По этим эпюрам подсчитываем и , и решая каноническое уравнение методом сил, находим .

«Исправив» эпюру строим от кососимметричной нагрузки (рис. 2.10).

Складывая эпюры моментов от симметричной и кососимметричной нагрузок, строим эпюру «Мок» (рис. 2.11).

По эпюре «» строим эпюру «Q», а по эпюре «Q» — эпюру «N» (рис. 2.12).

3 Задание к РГР

1. Выбрать вариант расчетной схемы рамы по своему порядковому номеру в журнале учета посещаемости студентов.

2. Рассчитать раму с помощью смешанного метода и построить эпюры внутренних усилий: М, Q, N.

1. Александров, материалов / , , . – М.: Высшая школа, 1995. – 606 с.

2. Дарков, механика / , . – М.: Высшая школа, 1995. – 560 с.

3. Коробко, статически неопределимых систем. Методические указания к выполнению РГР / , . – Орел: ОрелГТУ, 1998. – 65 с.

4. Строительная механика. Под ред. . – М.: Высшая школа, 1976. – 600 с.

Метод сил — расчет статически неопределимых рам

При решении задач сопромата, статически неопределимой называется такая система, которая не может быть рассчитана при помощи одних только уравнений статики, так как имеет лишние связи. Для расчета таких систем составляются дополнительные уравнения, учитывающие деформации системы.

Оговоримся, что здесь и далее понятие “расчет” подразумевает только построение эпюр внутренних силовых факторов, возникающих в элементах системы, а не расчет на прочность, жесткость и т.д.

Статически неопределимые системы обладают рядом характерных особенностей:

1. Статически неопределимые конструкции являются более жесткими, чем соответствующие статически определимые, так как имеют дополнительные связи.
2. В статически неопределимых системах возникают меньшие внутренние усилия, что определяет их экономичность по сравнению со статически определимыми системами при одинаковых внешних нагрузках.
3. Нарушение лишних связей в статически неопределимой системе не всегда приводит к разрушению, в то время как потеря связи в статически определимой системе делает ее геометрически изменяемой.
4. Для расчета статически неопределимых систем необходимо предварительно задаваться геометрическими характеристиками поперечных сечений элементов, т.е. фактически их формой и размерами, так как их изменение приводит к изменению усилий в связях и новому распределению усилий во всех элементах системы.
5. При расчете статически неопределимых систем необходимо заранее выбрать материал конструкции, так как необходимо знать его модули упругости.
6. В статически неопределимых системах температурное воздействие, осадка опор, неточности изготовления и монтажа вызывают появление дополнительных усилий.

Основными методами расчетастатически неопределимых систем являются:

1. Метод сил. Здесь в качестве неизвестных рассматриваются усилия – силы и моменты.
2.Метод перемещений. Неизвестными являются деформационные факторы – углы поворотов и линейные смещения.
3.Смешанный метод. Здесь часть неизвестных представляет собой усилия, а другая часть – перемещения.
4. Комбинированный метод. Используется при расчете симметричных систем на несимметричные нагрузки. Оказывается, что на симметричную составляющую заданной нагрузки систему целесообразно рассчитывать методом перемещений, а на обратносимметричную составляющую – методом сил.
Помимо указанных аналитичеких методов при расчете особо сложных систем используются различные численные методы.

Канонические уравнения метода сил

Для получения дополнительных уравнений, о которых говорилось в предыдущем параграфе, нужно прежде всего превратить заданную, n раз статически неопределимую систему, в статически определимую, удалив из нее лишние связи. Полученная статически определимая система называется основной. Отметим, что преобразование заданной системы в статически определимую не является обязательным. Иногда используется модификация метода сил, в которой основная система может быть статически неопределимой, однако изложение этого вопроса выходит за рамки этого пособия. Устранение каких-либо связей не изменяет внутренние усилия и деформации системы, если к ней приложить дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Значит, если к основной системе приложить заданную нагрузку и реакции удаленных связей, то основная и заданная системы станут эквивалентными.

В заданной системе по направлениям имеющихся жестких связей, в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе, перемещений быть не может, поэтому и в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны равняться нулю. А для этого реакции отброшенных связей должны иметь строго определенные значения.

Условие равенства нулю перемещения по направлению любой i-ой связи из n отброшенных на основании принципа независимости действия сил имеет вид:

где первый индекс означает направление перемещения и номер отброшенной связи, а второй указывает на причину, вызвавшую перемещение, т.е. — это перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией k-ой связи; — перемещение по направлению i-ой связи, вызванное одновременным действием всей внешней нагрузки.

В методе сил реакцию k-ой связи принято обозначать через Xk. С учетом этого обозначения и в силу справедливости закона Гука перемещения можно представить в виде:

где — единичное (или удельное) перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией т.е. реакцией, совпадающей по направлению с Xk, но равной единице.

Подставляя (2) в (1), получим:

Физический смысл уравнения (3): перемещение в основной системе по направлению i-ой отброшенной связи равно нулю.

Записывая выражения, аналогичные (3), для всей совокупности отброшенных связей, получим систему канонических уравнений метода сил:

Вид уравнения (4), т.е. количество слагаемых в каждом из них и их общее число, определяется только степенью статической неопределимости системы и не зависит от ее конкретных особенностей.

Коэффициенты системы канонических уравнений (4) определяются методом Мора-Верещагина путем перемножения соответствующих эпюр. Все эти коэффициенты, как указывалось выше, представляют собой перемещения; коэффициенты, стоящие при неизвестных – единичные перемещения, а свободные члены – грузовые. Единичные перемещения делятся на главные, расположенные по главной диагонали и имеющие одинаковые индексы и побочные (). Главные перемещения всегда положительные, в отличие от побочных. Симметрично расположенные перемещения в соответствии с теоремой о взаимности перемещений равны друг другу, т.е. .

Алгоритм расчета методом сил

Независимо от особенностей рассматриваемой конструкции, можно выделить следующую последовательность расчета статически неопределимых систем методом сил:

1. Определить степень статической неопределимости.
2. Выбрать основную систему.
3. Сформировать эквивалентную систему.
4. Записать систему канонических уравнений.
5. Построить единичные и грузовые эпюры внутренних силовых факторов, возникающих в элементах рассматриваемой конструкции.
6. Вычислить коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений.
7. Построить суммарную единичную эпюру.
8. Выполнить универсальную проверку коэффициентов при неизвестных и свободных членов.
9. Решить систему (4), т.е. определить реакции лишних связей.
10. Построить эпюры возникающих внутренних силовых факторов для заданной системы (иначе говоря, окончательные эпюры).
11. Выполнить статическую и кинематическую проверки.
Отметим, что пункты 7, 8, 11 приведенного алгоритма не являются безусловно необходимыми, хотя и позволяют контролировать правильность выполнения расчета. А для систем с одной лишней связью пункты 7 и 8 просто лишены смысла, так как в этом случае суммарная единичная эпюра совпадает с единичной.
Остановимся подробнее на некоторых из вышеперечисленных этапов расчета.

Выбор основной системы

Это важнейший этап расчета, так как рациональный выбор основной системы существенно упрощает вычислительную работу. Рассмотрим возможные способы удаления лишних связей, что и определяет вид основной системы.

1. Отбрасывание лишних связей осуществляется полным удалением некоторых опор или их заменой опорами с меньшим числом связей. Реакции, действующие в направлениях отброшенных связей, являются лишними неизвестными. На рис.1,б, в, г показаны различные варианты эквивалентной системы, полученные этим способом для рамы (рис.1,а).

2.Постановка шарниров в промежуточных сечениях стержней позволяет в каждом таком сечении установить связь, соответствующую изгибающему моменту. Эти моменты являются лишними неизвестными. Для рамы, имеющей степень статической неопределимости n=3 (рис.2,а), при выборе основной системы необходимо поставить три шарнира. Положение этих шарниров может быть произвольным, но удовлетворяющим требованию геометрической неизменяемости системы (рис.2,б).

3. Рассечение стержня устраняет три связи, соответствующие внутренним усилиям M, Q, N (рис.2,в). В частных случаях (рис.2,г) рассечение стержня по шарниру освобождает две связи (рис.2,д), а рассечение прямолинейного стержня с шарнирами по концам – одну связь (рис.2,е).

Среди связей статически неопределимой системы различают абсолютно необходимые и условно необходимые. К абсолютно необходимым относятся связи, при удалении которых система становится геометрически изменяемой. Для абсолютно необходимой связи характерна статическая определимость усилия в ней, т.е. реакция такой связи может быть вычислена из условия равновесия. При выборе основной системы абсолютно необходимые связи отбрасывать нельзя.

Связи, при удалении которых система продолжает оставаться геометрически неизменяемой, называются условно необходимыми. Система, у которой удалили такую связь, может являться основной системой метода сил.

Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

Этому этапу расчета предшествует построение единичных и грузовых эпюр внутренних силовых факторов (для балок и рам – эпюр изгибающих моментов). Единичные эпюры строятся от действия безразмерной единичной силы или безразмерного единичного момента, совпадающих по направлению с направлением соответствующей лишней неизвестной в эквивалентной системе, и обозначаются через , а единичная эпюра – через .

Грузовая эпюра строится от внешней нагрузки, приложенной к основной системе. При этом можно строить одну эпюру от одновременного действия всех внешних нагрузок или несколько эпюр, отдельно от каждой из приложенных нагрузок. Такое разбиение одной грузовой эпюры на несколько более простых, как правило, целесообразно только тогда, когда среди действующих нагрузок есть равномерно распределенная, и эпюра моментов на соответствующем участке под ней является знакопеременной. При этом в каждом каноническом уравнении число свободных членов будет равно числу построенных грузовых эпюр.

Единичные и грузовые перемещения (коэффициенты и свободные члены канонических уравнений) в общем случае можно вычислить методом Мора. Для балок и рам это можно сделать при помощи правила Верещагина.

Универсальная проверка коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

Для выполнения универсальной проверки необходимо построить суммарную единичную эпюру — эпюру моментов от одновременного действия всех единичных сил, приложенных к основной системе:

Перемножим суммарную единичную эпюру с эпюрой :

Таким образом результат перемножения суммарной и i-ой единичной эпюр — это перемещение по направлению i-ой связи от совместного действия единичных лишних неизвестных. Это перемещение равно сумме коэффициентов i-го канонического уравнения:

Такая проверка называется построчной и выполняется для каждого канонического уравнения.
Вместо n построчных проверок чаще всего выполняется одна – универсальная поверка, которая состоит в перемножении суммарной единичной эпюры самой на себя и проверке условия:

Если универсальная проверка выполняется, значит единичные перемещения вычислены правильно; если нет – необходимо выполнить построчные проверки, что позволит уточнить перемещение, при вычислении которого допущена ошибка.

Для выполнения проверки грузовых перемещений необходимо перемножить суммарную единичную и грузовую эпюры изгибающих моментов:

Таким образом, проверка свободных членов системы канонических уравнений (4) состоит в выполнении условия:

Построение окончательных эпюр внутренних силовых факторов

Окончательные эпюры можно построить двумя способами.

Так как при найденных значениях лишних неизвестных Xi выполняются условия совместности деформаций, то из расчета основной системы можно получить все искомые внутренние усилия заданной системы. На основании принципа независимости действия сил для изгибающих моментов получим:

или, учитывая, что

приходим к выражению:

Аналогично определяется продольные и поперечные силы:

Второй способ основан на том, что в результате вычисления реакций лишних связей Xi исходная статически неопределимая система приведена к статически определимой системе, загруженной внешними нагрузками и реакциями лишних связей. Поэтому окончательные эпюры внутренних силовых факторов можно построить для эквивалентной системы, вычислив предварительно (и то не всегда) из условий равновесия опорные реакции последней.

Недостатком первого способа является то обстоятельство, что для его реализации необходимо дополнительно построить эпюры Qi, Ni (i=1, 2, …,n), Qf, Nf, которые не используются в расчете методом сил и поэтому не были построены ранее.

В связи с этим для построения окончательных эпюр более рациональным представляется второй способ, а условие (8) можно использовать в качестве дополнительной проверки.

Проверка окончательной эпюры изгибающих моментов

Эта проверка выполняется в двух вариантах: статическая и кинематическая.

При статической проверке, выполняемой обычно для рам, вырезаются узлы и записываются условия их равновесия под действием узловых сосредоточенных моментов и изгибающих моментов на концах стержней. Эта проверка является вспомогательной и выполняется автоматически при правильных эпюрах изгибающих моментов в основной системе и при выполнении кинематической проверки.

Статическая проверка эпюр Q и N состоит в том, что для любой отсеченной части рамы сумма проекций на две оси всех действующих сил – внешних нагрузок и внутренних усилий – должна быть равна нулю.

Основной проверкой окончательной эпюры моментов в методе сил является кинематическая проверка, которая может быть построчной или универсальной.
При построчной проверке каждая единичная эпюра моментов перемножается с окончательной эпюрой моментов М:

Таким образом, в результате перемножения каждой единичной эпюры с окончательной эпюрой моментов получим ноль:

Вариантом построчной проверки является проверка по замкнутомуконтуру, состоящая в том, что сумма приведенных (т.е. деленных на жесткость соответствующего стержня или его участка) площадь эпюры М, находящихся внутри каждого замкнутого бесшарнирного контура, должна быть равна сумме приведенных площадей, находящихся снаружи этого контура.

Суммируя выражения типа (11) для всех n, получим выражение, служащее для универсальной кинематической проверки окончательной эпюры изгибающих моментов:

Формулу (12) можно интерпретировать следующим образом: условное перемещение эквивалентной, или, что то же самое, заданной системы по направлению всех неизвестных от действия всех неизвестных и внешних нагрузок, равно нулю.

Определение перемещений в статически неопределимых системах

Для определения перемещения в статически неопределимой системе используется тождественность заданной и эквивалентной систем в том смысле, что если условия совместности деформаций выполняются, т.е. справедливы уравнения (4), то перемещения в эквивалентной системе соответствуют перемещениям заданной системы. Тогда, построив для основной системы эпюру изгибающих моментов от единичной силы (или единичного момента) приложенной в направлении искомого перемещения, величину перемещения находим по формуле:

где М – эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки, построенная для статически неопределимой системы.

Отметим, что при вычислении перемещения можно поступить и наоборот: единичную эпюру моментов построить в статически неопределимой заданной системе, а эпюру моментов от внешних нагрузок М – в основной (статически определимой) системе.

Пример расчета

Построить эпюры продольных, поперечных сил и изгибающих моментов для плоской рамы (рис.3,а).

Степень статической неопределимости рамы:

n = r — s = 4 — 3 = 1

Выбираем основную систему, отбрасывая на правой опоре горизонтальный стержень (рис.3,б), т.е. заменяем шарнирно-неподвижною опору на шарнирно-подвижную. На базе основной системы формируем эквивалентную систему (рис.3,в).

Заменяя реакцию лишней связи соответствующей единичной силой, (рис. 3,г) строим эпюру моментов M1 (рис.3,д).

Грузовая эпюра моментов (рис.3,ж), построенная от одновременного действия всех внешних нагрузок (рис.3,е), является знакопеременной на участке, где действует нагрузка q. Это создает определенные трудности (хотя и не непреодолимые!) при ее перемножении с единичной эпюрой M1. В связи с этим целесообразно построить две грузовых эпюры – отдельно от нагрузки q (эпюра Mq) и от совместного действия F и M (эпюра MF). Эти варианты нагружения и эпюры представлены на рис.3,з и рис.3,а,б,в.

При таком разбиении внешней нагрузки каноническое уравнение метода сил содержит два грузовых перемещения и имеет вид:

Вычислим коэффициенты канонического уравнения:

Реакция лишних связи:

Эпюры Nz, Qy, Mx для заданной системы, загруженной нагрузками F, M, q и X1 (рис.3,г) представлены на рис.3,д,е,ж.

Как уже говорилось, при построении эпюр Nz и Q в рамах ординаты можно откладывать в любую сторону, но обязательно указывать знаки; а при построении эпюр Mx знаки можно не указывать, но обязательно откладывать ординаты со стороны сжатых волокон соответствующих элементов.

В рассмотренном примере универсальная проверка правильности вычисления коэффициентов канонического уравнения и свободных членов не выполнялась, так как рама имеет степень статической неопределимости n = 1, а, значит, суммарная единичная эпюра (если ее построить) совпадет с единичной эпюрой M1. В этом случае можно (и желательно!) проверить правильность выполнения расчета при помощи универсальной кинематической проверки окончательной эпюры моментов Mx.

Выполним эту проверку для рамы, рассмотренной в последнем примере (рис.3,а). Должно выполняться условие:

Покажем отдельно фрагменты перемножаемых эпюр (рис.3,д и рис.4,ж) для ригеля (рис.5,а,б) и стойки (рис.5,в,г) с указанением всех характерных размеров и соответствующих им ординат. Причем стойка (на рис.5,в,г) показана в горизонтальном положении.

Точка пересечения кривой на ригеле эпюры Mx с осью (рис.5,б) определяется следующим образом. Обозначим координату произвольного сечения, отсчитываемую от правого конца ригеля, через z, тогда момент Mx определяется в виде:

откуда z = 3,77 м (второй корень этого уравнения лишен физического смысла).

Лекция №34. Смешанный метод расчета рам

Рассмотренные ранее метод сил и метод перемещений могут быть использованы при расчете самых произвольных статически неопределимых систем. Однако каждый из них имеет свою рациональную область применения. Например, для рам с прямолинейными стержнями, имеющими в основном жесткие узлы, рациональнее применять метод перемещений. В шарнирно-стержневых системах, в системах со стержнями ломаного очертания, неизвестных метода сил обычно меньше, чем метода перемещений.

Встречаются системы, в которых можно выделить одну часть более удобную для расчета методом перемещений, а другая более удобна для расчета методом сил.

Этаж	Степень статической неопределимости	Степень кинематической неопределимости
1 этаж 2 этаж
Итого

Как видно из таблицы, здесь первый этаж более рационально решать методом перемещений, а второй – методом сил.

Метод, в котором принимают часть неизвестных метода сил, а часть – метода перемещений, называется смешанным. Предложен метод Ф. Блейхом (конец XIX в) и развит в канонической форме А.А. Гвоздевым (1927 год).

Условиями эквивалентности заданной и основной систем в этом случае будут равенство нулю перемещений по направлению неизвестных X₁ и X₂ и равенство нулю реактивных усилий в связях 3 и 4.

В канонической форме эти условия запишутся:

; (1)

Уравнения (1) – канонические уравнения смешанного метода.

Коэффициенты d_ik определяют как в методе сил, путем перемножения эпюр с помощью интеграла Мора:

;

для вычисления, которого можно использовать правило Верещагина или формулу Симпсона, d_ik = d_ki.

Коэффициенты r_ik— определяют как в обычном методе перемещений. Это реактивное усилие в связи i от единичного смещения связи k. r_ik = r_ki

Между коэффициентами со штрихами существует связь:

И проще определить который представляет собой реактивное усилие в связи i от действия силы X_k = 1 , а затем приравнять . Либо определяют из эпюры перемещений.

Смешанный метод обладает преимуществом над другими в тех случаях, когда одна часть рамы обладает повышенной подвижностью, а другая – повышенной жесткостью.

Пример: P = 6 кН 2EI